第28讲三角恒等变换（2）（解析版）_2.2025数学总复习_2024年新高考资料_1.2024一轮复习_2024年高考数学一轮复习精品导学案（新高考）

第 28 讲 三角恒等变换（2） 知识梳理 1. 在三角函数式的化简、求值、证明等三角恒等变换中，要注意将不同名的三角函数化成同名的三角 函数，如遇到正切、正弦、余弦并存的情况，一般要切化弦． 2. 要注意对“1”的代换： 如1＝sin2α＋cos2α＝tan，还有1＋cosα＝2cos2，1－cosα＝2sin2. 3. 对于sinαcosα与sinβ±cosα同时存在的试题，可通过换元完成： 如设t＝sinα±cosα，则sinαcosα＝±. 4. 要注意角的变换，熟悉角的拆拼技巧，理解倍角与半角是相对的，如2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋ β)－β＝(α－β)＋β，是的半角，是的倍角等． 5. 用三角方法求三角函数的最值常见的函数形式： (1)y＝asinx＋bcosx＝sin(x＋φ)，其中cosφ＝，sinφ＝.则－≤y≤. (2)y＝asin2x＋bsinxcosx＋ccos2x可先降次，整理转化为上一种形式． (3)y＝(或y＝) 可转化为只有分母含sinx或cosx的函数式sinx＝f(y)的形式，由正、余弦函数的有界性求解． 6. 用代数方法求三角函数的最值常见的函数形式： (1)y＝asin2x＋bcosx＋c可转化为关于cosx的二次函数式． (2)y＝asinx＋(a，b，c＞0)，令sinx＝t，则转化为求y＝at＋(－1≤t≤1)的最值，一般可用基本不等式 或单调性求解． 1、【2023年新高考1卷】 已知 ，则 （ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用和角、差角的正弦公式求出 ，再利用二倍角的余弦公式计算作答. 【详解】因为 ，而 ，因此 ， 则 ，所以 . 故选：B 2、【2021年新高考1卷】若 ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】 将式子先利用二倍角公式和平方关系配方化简，然后增添分母( )，进行齐次化处理，化为 正切的表达式，代入 即可得到结果． 【详解】 将式子进行齐次化处理得： ． 故选：C． 3、【2018年新课标1卷文科】已知角 的顶点为坐标原点，始边与 轴的非负半轴重合，终边上有两点 ， ，且 ，则 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】 首先根据两点都在角的终边上，得到 ，利用 ，利用倍角公式以及余弦函数的定义式，求得，从而得到 ，再结合 ，从而得到 ，从而确定选项. 【详解】 由 三点共线，从而得到 ， 因为 ， 解得 ，即 ， 所以 ，故选B. 4、【2018年新课标1卷文科】已知函数 ，则 A． 的最小正周期为 ，最大值为 B． 的最小正周期为 ，最大值为 C． 的最小正周期为 ，最大值为 D． 的最小正周期为 ，最大值为 【答案】B 【解析】 【分析】 首先利用余弦的倍角公式，对函数解析式进行化简，将解析式化简为 ，之后应用余弦型 函数的性质得到相关的量，从而得到正确选项. 【详解】 根据题意有 ， 所以函数 的最小正周期为 ， 且最大值为 ，故选B.1、若tan α＝，tan(α＋β)＝，则tan β＝ . 【答案】 【解析】 tan β＝tan[(α＋β)－α] ＝ ＝＝. 2、已知锐角α，β满足sin α＝，cos β＝，则α＋β等于( ) A. B.或 C. D．2kπ＋(k∈Z) 【答案】 C 【解析】 由sin α＝，cos β＝， 且α，β为锐角， 可知cos α＝，sin β＝， 故cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β ＝×－× ＝， Δ AEB 3、已知¿ ， ，则 [ 的值为_______． 【答案】3 【解析】 ． 4、设 为锐角，若 ，则 的值为 ． 17√2 50 【答案】 π π π 24 α+ ) α+ ) α+ )= 6 6 6 25, 【解析】 因为α为锐角，cos( = ，∴sin( = ，∴sin2( cos2( ， π π π √2 17 17√2 2α+ )=sin[2(α+ )− ]= × = 12 6 4 2 25 50 所以sin( 5、 （2022年福建诏安县模拟试卷）已知 ， ，则 的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 因为 ，则 ，所以， ， 所以， . 故选：B. 考向一 变角的运用 例1、已知α为锐角，若cos ＝，求 sin 的值． 【解析】 设β＝α＋，则β∈， 所以sin β＝，sin 2β＝2sin βcos β＝， cos 2β＝2cos2β－1＝， 所以sin＝sin ＝sin （2β－）＝sin 2βcos －cos 2βsin ＝. 变式1、（1）（2022·江苏·南京外国语学校模拟预测）已知 ，若 ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】. 故选：C. （2）（2022·广东湛江·二模）若 ， ，则 ___________. 【答案】 【解析】因为 ， ， 所以 ， 故答案为： 1 1 tan tan 变式2、（1）（2021·山东烟台市·高三二模）已知 2 ， 3，则 tan2 的 值为______． 【答案】1 tan2tan2 2 【解析】 ，而 ， 1 1  tan()tan() 2 3 tan2  1 ∴ ， 1tan()tan() 1 1 1  2 3 tan21 ∴ . 故答案为：1. （2）已知α，β∈，sin(α＋β)＝－，sin＝，则cos＝________. 【答案】 － 【解析】 由题意知，α＋β∈，sin(α＋β)＝－＜0， 所以cos(α＋β)＝，因为β－∈， 所以cos＝－， cos＝cos ＝cos(α＋β)cos＋sin(α＋β)sin＝－. 方法总结：所谓边角就是用已知角表示所求的角，要重点把握住它们之间的关系，然后运用有关公式进行 求解。 考向二 求角 例2、已知锐角α，β满足sin α＝，cos β＝，求α＋β的值． 【解析】 因为α，β为锐角，且sin α＝，cos β＝， 所以cos α＝＝＝，sinβ＝＝＝， 所以cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝×－×＝. 由0＜α＜，0＜β＜，得0＜α＋β＜π. 又cos (α＋β)＞0，所以α＋β为锐角， 所以α＋β＝. 变式1、已知α，β为锐角，且sin α＝，cos β＝，求α－β的值． 【解析】 因为α，β为锐角， 所以由sin α＝，cos β＝， 得cos α＝，sin β＝，所以α＜β， 所以－＜α－β＜0， 所以cos (α－β)＝×＋×＝， 故α－β＝－. 变式2、若sin 2α＝，sin (β－α)＝，且α∈，β∈，则α＋β的值为__________． 【答案】 【解析】 因为α∈，所以2α∈.又sin 2α＝，所以2α∈，则α∈，故cos 2α＝－.又β∈，所以β－α∈， 故cos (β－α)＝－，所以cos (α＋β)＝cos [2α＋(β－α)]＝cos 2α·cos (β－α)－sin 2αsin (β－α)＝－×（－）－× ＝.又α＋β∈，故 α＋β＝. 变式3、（1）（2022·湖北·恩施土家族苗族高中高三期末）已知 且 ，则 =（ ） A． B． C． D． 或 【答案】C 【解析】因 ，则 ，， 因 ， ，则 ，又 ，有 ， 于是得 ，因此， ， 所以 . 故选：C （2）（2022·河北张家口·高三期末）已知 ， ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】BD 【解析】 ， 故 ， 所以 或 ， 故 或 . 又 ，所以 或 ， 故选：BD. 方法总结：求角的步棸：1、求角的某一个三角函数值，（结合具体情况确定是正弦、余弦还是正切）2、 确定角的范围（范围尽量缩小）3、根据范围和值确定角的大小。 考向三 公式的综合运用 例3、已知函数f(x)＝sin (x＋θ)＋a cos (x＋2θ)，其中a∈R，θ∈. (1) 当a＝，θ＝时，求f(x)在区间[0，π]上的最大值与最小值； (2) 若f＝0，f(π)＝1，求a，θ的值．【解析】 (1) 由题意，得f(x)＝sin ＋cos（x＋）＝(sin x＋cos x)－sin x＝cos x－sin x＝sin . 因为x∈[0，π]，所以－x∈， 故f(x)在区间[0，π]上的最大值为，最小值为－1. (2) 由得 由θ∈知cos θ≠0，解得 变式1、(1) 函数f(x)＝sin (x＋φ)－2sin φcos x的最大值为 ； 【答案】 1 【解析】 因为f(x)＝sin (x＋φ)－2sin φcos x＝sin x cos φ－cos x sin φ＝sin (x－φ)，且－1≤sin (x－ φ)≤1，所以f(x)的最大值为1. (2) 函数f(x)＝sin －2sin2x的最小正周期是 ． 【答案】 π 【解析】f(x)＝sin 2x－cos 2x－(1－cos 2x)＝sin 2x＋cos 2x－＝sin （2x＋）－，所以T＝＝π. 变式2、（2022·山东青岛·高三期末）（多选题）已知函数 ，则下 列结论正确的是（ ） A． B． 是 图象的一条对称轴 C． 的最小正周期为 D．将 的图象向左平移 个单位后，得到的图象关于原点对称 【答案】AC 【解析】 ，A正确； ，由于在对称轴处函数值要取到最值，故B错误； ，C正确； 将 的图象向左平移 个单位后得，其为偶函数，不关于原点对称，D错误. 故选：AC. 方法总结：降幂公式是解决含有cos2x、sin2x式子的问题较常用的变形之一，它体现了逆用二倍角公式的解 题技巧． 1、（2022·广东韶关·一模）若 ，则 __________. 【答案】 【分析】 先求出 ，利用两角差的正切公式即可求出 . 【详解】 因为 ，所以 ，所以 ，所以 . 故答案为： 2、（2022年福建连城县模拟试卷）已知 ，且 ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】A【解析】 ， ，又 ， ， ， ， . 故选：A. 3、（2022年广东揭阳市模拟试卷）已知 ，则 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 ， 解得 ， ，故 . 4 、 （ 2022 年 福 建 上 杭 县 模 拟 试 卷 ） 已 知 ， ， 则（ ） A. B. C. D. 0 【答案】D 【解析】因为 ， 所以 ，所以 ， 所以 ，所以 或 ， 因为 ，所以 ，所以 ， 所以 . 故选：D5、（2022·江苏宿迁·高三期末）已知 ， 则 ____________. 【答案】 【解析】 因为 ，所以 ， 因为 ，所以 ， 所以 ， 所以 ， 所以 ， 故答案为： . 6、（2022·江苏通州·高三期末）若 ，则α的一个可能角度值为__________. 【答案】 等答案较多 【解析】 则 ，故 ，或 故答案为： 等均符合题意. 7、（2022·江苏如东·高三期末）写出一个满足tan20°＋4cosθ＝ 的θ＝_________.【答案】 （答案不唯一）． 【解析】 ， 因此 （实际上 ）． 故答案为： （答案不唯一）． 8、（2022·江苏南京·模拟预测）已知 ， ． (1)求 的值； (2)若 ， ，求 的值． 【解析】 解：因为 ， ， 又 ，所以 ， 所以 . (2)解：因为 ， ， 又因为 ，所以 ， 由（1）知， ，所以 ． 因为 ， ，则 ，所以 ．