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专题4.2 因式分解-提取公因式（基础篇）（专项练习）
一、单选题
类型一、因式分解的识别
1．若 ，那么（ ）
A．k＝10，从左到右是因式分解 B．k＝－10，从左到右是因式分解
C．k＝10，从左到右是乘法运算 D．k＝－10，从左到右是乘法运算
2．对于①a2+2ab＝a（a+2b），②（a+1）（a﹣2）＝a2﹣a﹣2从左到右的变形，下列表
述正确的是（ ）
A．①②都是整式乘法
B．①②都是因式分解
C．①是因式分解，②是整式乘法
D．①是整式乘法，②是因式分解
3．下列因式分解正确的是（ ）
A．a2+1＝a（a+1） B．
C．a2+a﹣5＝（a﹣2）（a+3）+1 D．
类型二、因式分解的参数问题
4．多项式 可分解为 ，则a的值分别是（ ）
A．10 B． C．2 D．
5．已知关于x的二次三项式 分解因式的结果是 ，则代数式 的
值为（ ）
A．－3 B．－1 C．－ D．
6．把多项式 因式分解，得 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
类型三、识别公因式
7．多项式 的公因式是（ ）A． B． C． D．
8．下列各组多项式中，没有公因式的是（ ）
A．ax﹣by和by2﹣axy B．3x﹣9xy和6y2﹣2y
C．x2﹣y2和x﹣y D．a+b和a2﹣2ab+b2
9．若 ，则E是（ ）
A． B． C． D．
类型四、提取公因式
10．将 分解因式，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
11．下列因式分解正确的是（ ）
A． B．
C． D．
12．多项式 的公因式是（ ）
A． B．
C． D．
类型五、提取公因式的应用
13．如图，边长为a，b的长方形的周长为18，面积为12，则a3b＋ab3的值为（ ）
A．216 B．108
C．140 D．68414．对于任何整数a，多项式 都能（ ）
A．被3整除 B．被4整除 C．被5整除 D．被a整除
15．若 ，则 的值为（ ）
A．3 B．6 C．9 D．12
二、填空题
类型一、因式分解的识别
16．下列各式从左到右是因式分解的是_______．
① ； ② ；
③ ； ④ ；
⑤ ； ⑥ ．
17．观察下列从左到右的变形：
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） ；
其中是因式分解的有______（填序号）．
18．给出下列六个多项式：①x2＋y2；②－x2＋y2；③x2＋2xy＋y2；④x4－1；⑤x(x＋1)－
2(x＋1)；⑥m2－mn＋ n2.其中，能因式分解的是________(填序号)．
类型二、因式分解的参数问题
19．若多项式 可分解因式 ，则 _______， _______．
20．分解因式： ，则 _______；
21．若多项式x2-3(m-2)x+36能用完全平方式分解因式，则m的值为_________．类型三、识别公因式
22．多项式 各项的公因式是________．
23．多项式 各项的公因式是________．
24．多项式12b3﹣8b2+4b的公因式是________．
类型四、提取公因式
25．把多项式 因式分解得：______．
26．分解因式：6x2y﹣3xy＝_____．
27．分解因式： ______________．
类型五、提取公因式的应用
28．已知ab＝7，a+b＝2，则多项式a2b+ab2﹣20的值为_____．
29．化简： ________.
30．已知 ， ，则 ________．
三、解答题
31．把下列各式因式分解：
（1） （2）
32．利用因式分解计算：
（1）22014﹣22013； （2）（﹣2）101+（﹣2）100．
33．如果 的整数部分为a，小数部分为b（1）直接写出a= ，b=
（2）计算： 的值
参考答案
1．B
【解析】
【分析】先通过恒等变形算出k＝－10，然后再根据因式分解的概念求解即可．
【详解】
解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
由因式分解的定义可知：把一个多项式化成几个整式的积的形式叫做因式分解，从等号左
边到等号右边为因式分解，
故选：B．
【点拨】本题考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义是解此题的关键，注意：把
一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解．
2．C
【解析】
【分析】根据因式分解的意义：将一个多项式化为几个整式的积的形式的这种变形叫因式
分解，从而得出是因式分解的有两个条件：一、等号右边必须是整式的积的形式，二、必
须是整式；从而可以得出结论．
【详解】
解：由因式分解的意义得：①是因式分解；
②不是因式分解，右边不是积的形式，是整式乘法；∴表述正确的是：①是因式分解，②是整式乘法．
故选：C．
【点拨】本题主要考查了因式分解和整式乘法的定义，熟知定义是解题的关键．
3．D
【解析】
【分析】根据因式分解的定义严格判断即可．
【详解】
∵ +1≠a（a+1）
∴A分解不正确；
∵ ，不是因式分解，
∴B不符合题意；
∵（a﹣2）（a+3）+1含有加法运算，
∴C不符合题意；
∵ ，
∴D分解正确；
故选D．
【点拨】本题考查了因式分解，即把一个多项式写成几个因式的积，熟练进行因式分解是
解题的关键．
4．B
【解析】
【分析】利用多项式乘法整理多项式进而得出a的值．
【详解】
∵多项式 可分解为 ，
∴ ，
∴ ，
故选：B．
【点拨】此题主要考查了整式的混合运算，得出同类项系数相等是解题关键．
5．C【解析】
【分析】根据因式分解与整式乘法的关系，可求得a与b的值，从而可求得结果的值．
【详解】
则 ，
∴
故选：C
【点拨】本题考查了因式分解与整式乘法的关系，负整数指数幂的意义，掌握因式分解与
整式乘法的关系是本题的关键．
6．A
【解析】
【分析】利用多项式乘以多项式法则计算，再利用多项式相等的条件求出a与b的值，即
可求出a+b的值．
【详解】
解：根据题意得：
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
故选A．
【点拨】本题考查因式分解，解决本题的关键是要理解两个多项式相等的条件，两个多项
式分别经过合并同类项后，如果他们的对应项系数都相等,那么称这两个多项式相等．
7．C
【解析】
【分析】根据公因式是多项式中每项都有的因式，可得答案．
【详解】
项式 的公因式是
故选：C．
【点拨】本题考查了公因式的定义．确定多项式中各项的公因式，可概括为三“定”：①定系数，即确定各项系数的最大公约数；
②定字母，即确定各项的相同字母因式（或相同多项式因式）；
③定指数，即各项相同字母因式（或相同多项式因式）的指数的最低次幂．
8．D
【解析】
【分析】直接利用公因式的确定方法：①定系数，即确定各项系数的最大公约数；②定字
母，即确定各项的相同字母因式（或相同多项式因式）；③定指数，即各项相同字母因式
（或相同多项式因式）的指数的最低次幂，进而得出答案．
【详解】
解：A、by2−axy＝−y（ax−by），故两多项式的公因式为：ax−by，故此选项不合题意；
B、3x−9xy＝3x（1−3y）和6y2−2y＝−2y（1−3y），故两多项式的公因式为：1−3y，故此选
项不合题意；
C、x2−y2＝（x−y）（x＋y）和x−y，故两多项式的公因式为：x−y，故此选项不合题意；
D、a＋b和a2−2ab＋b2＝（a−b）2，故两多项式没有公因式，故此选项符合题意；
故选：D．
【点拨】此题主要考查了公因式，掌握确定公因式的方法是解题关键．
9．C
【解析】
【分析】观察等式的右边，提取的是 ，故可把 变成 ，即左边＝
．
【详解】
解： ，
∴ ，
故选C．
【点拨】本题主要考查了利用提取公因式法分解因式，解题的关键在于能够熟练掌握提公
因式法．
10．C
【解析】【分析】直接利用提取公因式法进行分解因式即可．
【详解】
解： ＋ ＝ ＝ ；
故选C．
【点拨】本题主要考查提公因式法进行因式分解，熟练掌握提公因式法进行因式分解是解
题的关键．
11．B
【解析】
【分析】根据因式分解的定义与方法对选项进行一一分析即可得出结论．
【详解】
解：A. 不是因式分解，故选项A不正确；
B. 是因式分解，故选项B正确；
C. 是多项式乘法，不是因式分解，故选项C不正确；
D. 因式分解不正确，
故选项D不正确．
故选择B．
【点拨】本题考查因式分解的定义与方法，掌握因式分解的定义与方法是解题关键．
12．C
【解析】
【分析】根据题意可直接进行求解．
【详解】
解：由多项式 可知该多项式的公因式为 ；
故选C．
【点拨】本题主要考查因式分解，熟练掌握提公因式是解题的关键．
13．D
【解析】
【分析】根据长方形的周长可知 ，由长方形的面积，可得 ，将代数式a3b＋ab3因式分解，进而代入代数式求值即可．
【详解】
边长为a，b的长方形的周长为18，面积为12，
， ，
故选D
【点拨】本题考查了因式分解，代数式求值，整体代入是解题的关键．
14．B
【解析】
【分析】多项式利用完全平方公式计算，合并同类项进行化简，然后提取公因式进行因式
分解，即可做出判断．
【详解】
解：原式
则对于任何整数a，多项式 都能被4整除．
故选：B．
【点拨】此题考查了完全平方公式，提取公因式进行因式分解，熟练掌握完全平方公式是
解本题的关键．
15．C
【解析】
【分析】直接将已知变形得出a-b-c=3，再利用提取公因式法分解因式得出答案．
【详解】
解：∵a-3=b+c，
∴a-b-c=3，
∴a（a-b-c）-b（a-b-c）+c（b+c-a）
=（a-b-c）（a-b-c）=3×3
=9．
故选：C．
【点拨】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．
16．③④⑥
【解析】
【分析】根据因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把
这个多项式因式分解，判断求解．
【详解】
解：① 是整式的乘法，不是因式分解，故不符合题意；
② 右边不是几个整式的积的形式，不是因式分解，故不符合题意；
③ 是因式分解，故符合题意；
④ 是因式分解，故符合题意；
⑤ 等号不成立，不是因式分解，故不符合题意；
⑥ 是因式分解，故符合题意；
故答案为：③④⑥．
【点拨】此题考查了因式分解．解题的关键是掌握因式分解的定义：把一个多项式化为几
个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解．
17．（3）
【解析】
【分析】根据因式分解的定义判断即可．
【详解】
解：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把一个多项式分解因式（或因式分解）
（1） 不是因式分解，不符合题意；
（2） 不是因式分解，不符合题意；（3） 是因式分解，符合题意；
（4） 是整式的乘法，不是因式分解，不符合题意；
故答案为：（3）.
【点拨】本题考查了整式的因式分解，正确理解整式的因式分解是解本题的关键．
18．②③④⑤⑥
【解析】
【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案．
【详解】
①x2+y2不能因式分解，故①错误；
②-x2+y2利用平方差公式，故②正确；
③x2+2xy+y2完全平方公式，故③正确；
④x4-1平方差公式，故④正确；
⑤x（x+1）-2（x+1）提公因式，故⑤正确；
⑥m2-mn+ n2完全平方公式，故⑥正确；
故答案为②③④⑤⑥．
【点拨】本题考查了因式分解的意义，因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，
因式分解的方法有：提公因式法，公式法，十字相乘法，分组分解法，注意分解要彻底．
19． 64 9
【解析】
【分析】利用平方差公式可得 ，进而可得答案．
【详解】
解：∵多项式 可分解因式 ，
∴ ，
∴m=64，n=9．
故答案为：64，9．
【点拨】此题主要考查了因式分解，关键是掌握平方差公式：a2-b2=（a+b）（a-b）．
20．-1【解析】
【分析】通过整式乘法运算求解．
【详解】
解：∵（x-1）（x-3）=x2-4x+3，
∴x2+ax+b=x2-4x+3，即a=-4，b=3．
∴a+b=-1．
故答案为：-1．
【点拨】本题考查整式的运算，解题关键是进行乘法运算后对比等式两侧的系数．
21． 或者
【解析】
【分析】先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定m
的值．
【详解】
x2-3(m-2)x+36能用完全平方式分解因式，
即 ，
，
解得： 或者 ，
故答案为： 或者 ．
【点拨】此题考查因式分解的定义，完全平方公式，根据平方项确定出这两个数是解题的
关键．
22．
【解析】
【分析】找出系数的最大公约数，相同字母的最低指数次幂即可确定公因式．
【详解】
解：系数的最大公约数是9，相同字母的最低指数次幂是 ，
∴公因式为：
故答案为：
【点拨】本题主要考查公因式的定义和确定方法； 掌握其定义是解题的关键．23．
【解析】
【分析】根据公因式的定义，找出系数的最大公约数，相同字母的最低指数次幂，然后即
可确定公因式2y，即可求解．
【详解】
解：∵多项式 系数的最大公约数是2，相同字母的最低指数次幂y，
∴该多项式的公因式为2y，
故答案为： ．
【点拨】本题考查多项式的公因式，掌握多项式每项公因式的求法是解题的关键．
24．4b
【解析】
【分析】找出系数的最大公约数，相同字母的最低指数次幂，然后即可确定公因式．
【详解】
解：∵系数的最大公约数是4，相同字母的最低指数次幂是b，
∴公因式是4b．
故答案为：4b．
【点拨】本题主要考查了公因式，掌握寻找公因式的方法是解题的关键．
25．2a（1-2a）
【解析】
【分析】提取出2a后即可得到因式分解的结果
【详解】
解：原式=2a（1-2a）
故答案为：2a（1-2a）
【点拨】本题考查多项式的因式分解，找到公因式是本题关键．
26．
【解析】
【分析】直接提取公因式进行因式分解即可．
【详解】
解：原式= ．故答案为： ．
【点拨】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
27．
【解析】
【分析】先利用乘法的分配律把原式化为 再提公因式 即可得到答案.
【详解】
解：
故答案为：
【点拨】本题考查的是利用提公因式的方法分解因式，确定整体公因式 是解本题的关
键.
28．-6
【解析】
【分析】将多项式中含有字母的式子因式分解，然后整体代入可得结果．
【详解】
解：a2b+ab2﹣20＝ab（a+b）﹣20，
∵ab＝7，a+b＝2，
∴原式＝7×2﹣20＝14﹣20＝﹣6．
故答案为：﹣6．
【点拨】本题主要考查代数式的值及因式分解，熟练掌握代数式的值及因式分解是解题的
关键．
29． ##
【解析】【分析】原式提取公因式，计算即可得到结果．
【详解】
解：原式=（a+1）[1+a+a（a+1）+a（a+1）2+…+a（a+1）2021]
=（a+1）2[1+a+a（a+1）+a（a+1）2+…+a（a+1）2020]
=（a+1）3[1+a+a（a+1）+a（a+1）2+…+a（a+1）2019]
=…
=（a+1）2023．
故答案为：（a+1）2023．
【点拨】本题考查了因式分解-提公因式法，熟练掌握提取公因式的方法是解本题的关键．
30．-3
【解析】
【分析】将多项式因式分解后，整体代入即可．
【详解】
解：∵ ， ，
∴ ，
故答案为：-3．
【点拨】本题主要考查了提取公因式法分解因式，代数式求值，正确提取公因式是解题关
键．
31．（1） ；（2）
【解析】
【分析】（1） 提取公因式 ，即可得到答案；
（2）先把原式化为 ，再提取公因式 ，即可得到答案 ．
【详解】
（1） ，
原式 ；
（2） ，原式 ，
．
【点拨】本题考查用提公因式法进行因式分解，找出题目中的公因式是解题的关键．
32．（1）22013；（2）﹣2100
【解析】
【分析】（1）根据22014＝2×22013进行解答即可；
（2）根据（﹣2）101＝（﹣2）×（﹣2）100进行解答．
【详解】
解：（1）22014﹣22013＝2×22013﹣22013＝（2-1）×22013=22013
（2）（﹣2）101+（﹣2）100＝（﹣2）×（﹣2）100+（﹣2）100＝（-2+1）×（﹣2）100=﹣
2100．
【点拨】本题主要考查因式分解，熟练掌握提公因式是解题的关键．
33．（1） ；（2）
【解析】
【分析】（1）先判断 的范围，利用不等式的基本性质再判断 的范围，从而
可得答案；
（2）先把 分解因式为： ，再把 的值代入计算即可得到答案．
【详解】
解：（1） ＜ ＜ ，
＜ ＜ ，
＜ ＜ ，
的整数部分 小数部分为：
故答案为：
（2）【点拨】本题考查的是无理数的整数部分与小数部分，无理数的估算，二次根式的混合运
算，掌握利用因式分解进行简便运算是解题得的关键．
