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专题 4.2 十字相乘
一．选择题（共3小题）
1．将多项式 分解因式，正确的是
A． B． C． D．
【解答】解： ．
故选： ．
2．下列算式计算结果为 的是
A． B． C． D．
【解答】解： ，
故选： ．
3．已知 ，则
A． B． C． D．
【解答】解： ，
，
， ；
故选： ．
二．填空题（共4小题）
4．分解因式： ．
【解答】解： ，
故答案为： ．
5．分解因式： ．【解答】解： ，
故答案为： ．
6．因式分解 ．
【解答】解： ．
故答案为： ．
7．分解因式： ．
【解答】解： ．
故答案为： ．
三．解答题（共8小题）
8．分解因式：
（1） ；
（2） ；
（3） ．
【解答】解：（1）
；
（2）
；（3） ．
9．因式分解：
（1） ；
（2） ．
【解答】解：（1）
．
（2）
．
10．分解因式：
（1） ；
（2） ．
【解答】解：（1）原式 ；
（2）原式
．
11．观察探究性学习小组的甲、乙两名同学进行的因式分解：
甲：
（分成两组）
（直接提公因式）乙：
（直接运用公式）
请你在他们解法的启发下，完成下面的因式分解：
（1） ；
（2） ．
【解答】解：（1）
；
（2）
．
12 ． 【 阅 读 】 下 列 是 多 项 式 因 式 分 解 的 过 程 ：
，请利用上述
方法解决下列问题．
【应用】（1）因式分解： ；（2）若 ，试比较 与0的大小关系；
【灵活应用】（3）若 ，求 的值．
【解答】解：（1）
；
（2）
，
，
，
；
（3） ，
，
，
， ，
， ，
．
13．阅读与思考：整式乘法与因式分解是方向相反的变形．由 得 ．利用这个式子可以将
某些二次项系数是1的二次三项式分解因式．例如：将式子 分解因式．
分析：这个式子的常数项 ，一次项系数 ．
所以 ．
解： ．请仿照上面的方法，解答下列问题：
（1）分解因式： ；
（2）若 可分解为两个一次因式的积，则整数 的所有可能值是 ；
（3）利用上面因式分解方法解方程： ．
【解答】解：（1） ，
故答案为： ；
（2） ， ， ， ，
， ， ， ，
若 可分解为两个一次因式的积，则整数 的所有可能值是： ， ，
故答案为： ， ；
（3） ，
，
或 ，
， ．
14．阅读材料：根据多项式乘多项式法则，我们很容易计算：； ．
而因式分解是与整式乘法方向相反的变形，利用这种关系可得：
； ．
通过这样的关系我们可以将某些二次项系数是 1 的二次三项式分解因式．如将式子
分解因式．这个式子的二次项系数是 ，常数项 ，一次项系数
，可以用下图十字相乘的形式表示为：
先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十
字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求和，使其等于一次项系数，然后横向书写
这样，我们就可以得到： ．
利用这种方法，将下列多项式分解因式：
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） ．
【解答】（1） ；
（2） ；
（3） ；（4） ．
故答案为：（1） ，（2） ，（3） ，（4）
．
15．因式分解与整式乘法互为逆运算．如对多项式 进行因式分解：
首先，如果一个多项式能进行因式分解，则这个多项式可看作是有两个较低次多项式相乘
得来的．故可写成 ，即 （对任意
实数 成立），由此得 ， ．易得一组解： ， ，所以
．像这种能把一个多项式进行因式分解的方法，称为待定系数法．
（1）因式分解： ．
（2）因式分解： ，请写出一组满足要求的 ， ， 的值：
．
（3）请你运用待定系数法，把多项式 进行因式分解．
【解答】解：（1）
．
故答案为： ．
（2） ．
．
， ， ．
解得： ， ， 或 ， ， ．故选填一组即可．
故答案为： ， ， ．
（3）原式
．
