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专题 4.2 一次函数的应用
目录
图象信息题.........................................................................................................................................1
一次函数行程问题.............................................................................................................................4
一次函数方案设计问题.....................................................................................................................8
一次函数最大利润问题...................................................................................................................13
一次函数中动点产生的函数关系问题..........................................................................................16
图象信息题
【例1】在一条笔直的公路上有 、 两地，甲、乙两辆车从 地出发，沿相同的路线匀
速行驶，前往 地，甲车先出发1小时后，乙车才出发，乙车比甲车先到达 地并停留1
小时，再按原路原速返回，途中与甲车相遇，甲车到达 地后停止，两车与 地的距离
（单位： 与乙车行驶的时间 （单位： 之间的函数关系如图，下列说法错误的是
A．乙的速度是
B． 、 两地相距
C．乙出发7.4小时第二次与甲相遇
D．甲从 地出发到达 地需要9小时
【解答】解：由图可知，乙出发时，甲车已行驶 ，
甲车速度是 ，
乙车速度为 ，故 正确，不符合题意；
由图可知，乙出发后 到达 地，、 两地相距 ，故 错误，符合题意；
由图可知，乙出发 小时第二次与甲相遇，
，
解得 ，故 正确，不符合题意；
甲从 地出发到达 地需要 ，故 正确，不符合题意；
故选： ．
【变式训练1】甲、乙两车均从 地开往相距 的 地，如图，反映了甲、乙两车的
路程 （单位： 之间的关系，下列结论正确的是
A．甲车的速度为 B．甲乙两车同时从 地出发
C．乙车比甲车提前1小时到 地 D．甲车行驶1.5小时追上乙车
【解答】解：由图可知，甲车的速度为 ，故 错误，不符合题意；
甲车比乙车晚出发 ，故 错误，不符合题意；
乙车比甲车晚 到达 地，故 错误，不符合题意；
乙车速度为 ，
当 甲 车 行 驶 1.5 小 时 ， 所 行 路 程 为 ， 此 时 乙 车 行 驶 路 程 为
，
甲车行驶1.5小时追上乙车，故 正确，符合题意；
故选： ．【变式训练2】有一个装有进水管和出水管的容器，从某时刻开始 内只进水不出水，
在随后的 内既进水又出水，每分钟的进水量和出水量是两个常数，容器内的水量
与时间 之间的关系如图所示，则单开出水管每分钟的出水量为
A． B． C． D．
【解答】解：根据图象，每分钟进水 ，
设每分钟出水 ，
则 ，
解得 ，
故每分钟的出水量为 ，
故选： ．
【变式训练3】班级足球联赛上，小杰在 点处得球并开始匀速向 点方向带球，同时小
宇在中场 点以相同的速度向 点方向匀速跑动，已知 ，点 、 、 在同一直
线上，小宇跑到 点后立即转身，以原速 的速度原路匀速向 点方向跑去，途中小杰传
球给小宇，小宇立即转身保持速度不变向 点方向带球进攻，小杰也立即以原速配合小宇
向 点方向匀速跑动，最终小宇在 点完成射门并停止运动，小杰保持原速匀速跑到 点
和小宇击掌庆祝．小宇和小杰之间的距离 （米 与他们运动的时间 （秒 之间的关系如
图所示，下列说法正确的是A．小宇开始出发时的速度为8米 秒
B．球场上 两点的距离为32米
C．小宇射门时，小杰距 点30米
D．第7秒时，小杰与小宇击掌庆祝
【解答】解：设小杰的速度为 ，小宇的速度为 ，则由题意可得：
前3秒 ，3秒后 ，
，
解得： ，
小宇开始出发时的速度为6米秒，
故 错误，不符合题意；
球场上 两点的距离为 （米 ，
故 错误，不符合题意；
小宇射门时，花的时间是 （秒 ，
此时小杰距 点路程为： （米 ，
故 正确，符合题意；
所以击掌庆祝的时间为： （秒 ，
故 错误，不符合题意；
故选： ．一次函数行程问题
【例2】如图是甲骑自行车与乙骑摩托车分别从 ， 两地向 地 ， ， 地在同一直
线上）行驶过程中离 地的距离与行驶时间的关系图，请你根据图象回答下列问题：
（1） 点表示的意义是什么？
（2）甲、乙两人在途中行驶的平均速度分别为多少？
（3）直接写出甲乙两人相距 时 的值．
【解答】解：（1）由图象可得 点表示的意义是： 地距离 地比 地距离 地近，近
；
（2）甲的平均速度： ，
乙的平均速度： ；
（3）设甲出发 小时后，甲乙两人相距 ，
①甲在乙前方时，
，
解得： ；
②甲在乙后方时，
，
解得： ；
③当乙已到达 点，甲离 点还剩 时，
，
解得： ，综上所述， 的值为3或 或5
【变式训练1】如图所示为某汽车行驶的路程 与时间 的函数关系图，观察图中
所提供的信息解答下列问题：
（1）汽车在前8分钟内的平均速度是 ；
（2）汽车中途停了 分钟；
（3）当 时，求 与 的函数关系式．
【解答】解：（1）由函数图象，得
．
故答案为： ；
（2）由函数图象，得
汽车在中途停的时间为 （分钟）．
故答案为：7分钟；
（3）设 时的解析式为 ，由题意，得
，
解得： ，
．【变式训练2】甲、乙两车从 地驶向 地，并以各自的速度匀速行驶，甲车比乙车早行
驶 ，并且甲车途中休息了 ，如图是甲、乙两车行驶的距离 与时间 的函数
图象．
（1）直接写出 和 的值；
（2）甲车从 地到 地共用多少小时；
（3）当两车相距 时，乙车行驶了多长的时间？
【解答】解：（1）由题意，得
．
，
．
答： ， ；
（2）第一种方法：当 时，设 与 之间的函数关系式为 ，由题意，得
，
解得： ，
，
当 时，甲车 与 之间的函数关系式为 ，当 时， ，
解得： ，
甲车共行驶时间是 （小时）；
第二种方法： （小时）；
（3）设乙车行驶的路程 与时间 之间的解析式为 ，由题意，得
，
解得： ，
．
当 时，
解得： ．
当 时，
解得： ，
， ，
答：乙车行驶 小时或 小时，两车恰好相距 ．
【变式训练3】甲乙两队规划了一条南北向徒步训练路线，甲队自南向北行进，乙队反之，
他们分别以不同的速度匀速前进，因装备问题，乙队推迟了 10分钟出发．两队相遇、交换
信息、休整了十分钟，之后继续按照原方向、各自原速度行进，都到达终点时停止计时，
在整个过程中，甲、乙两队的距离 （米 与甲出发的时间 （分 之间的关系如图所示．
（1）徒步训练路线的长度是 570 0 米，乙的速度是 米 分；
（2）乙到达终点后，甲还需 分钟到达终点 地；
（3）直接写出整个过程中 与 的函数解析式，并指出自变量 的取值范围．【解答】解：（1）从图象可得，徒步训练路线的长度是5700米；
甲的速度为： （米 分），
则乙的速度为： （米 分），
故答案为：5700，60；
（2）甲行完全程所需时间为 （分钟），
乙行完全程所需时间为 （分钟），
而乙比甲晚出发10分钟，
乙到达终点后，甲还需 （分钟），
故答案为： ；
（3）当 时， ；
当 时， ；
当 时， ；
当 时． ；
当 时， ，．
一次函数方案设计问题
【例3】通讯运营商的手机上网流量资费标准推出了三种优惠方案：
方案 ：按流量计费，0.25元 兆；
方案 元流量套餐包月，包含500兆流量，如果超过500兆，超过部分另外计费（见图
象）；
方案 元包月，无限制使用．
用 表示每月上网流量（单位：兆）， 表示每月的流量费用（单位：元），方案 和方
案 对应的 关于 的函数图象如图所示，请解决以下问题：
（1）写出方案 的函数解析式，并在图中画出其图象；
（2）求出方案 的函数解析式；
（3）选取哪种方案能节省上网费用？
【解答】解：（1）根据题意可知， ，图象如图，（2）当 时， ，
当 时，设方案 的解析式为
代入 ， 得：
，
解得 ，
，
方案 的函数解析式为 ；
（3）由 ，
解得 ，
根据函数图象可知，当 时，选取 方案节省上网费用；
当 ，选取 方案节省上网费用，
当 ，
解得 ，
即 ，选取 方案节省上网费用，
当 时，选取 方案节省上网费用．
综上所述： ，选 方案；当 时，选 、 方案， 时，选 方
案，当 选 、 方案； 时，选 方案．
【变式训练1】民族要复兴，乡村必振兴．2月21日发布的2021年中央一号文件，主题是
全面推进乡村振兴，加快农业农村现代化．乡村振兴战略的实施效果要用农民生活富裕水平来评价，某合作社为尽快打开市场，对本地新产品进行线上和线下销售相结合的模式，
具体费用标准如下：
线下销售模式：标价5元 千克，八折出售；
线上销售模式：标价5元 千克，九折出售，超过6千克时，超出部分每千克再让利1.5元．
购买这种新产品 千克，所需费用为 元， 与 之间的函数关系如图所示．
根据以上信息回答下列问题：
（1）请求出两种销售模式对应的函数解析式；
（2）说明图中点 坐标的实际意义；
（3）若想购买这种产品10千克，请问选择哪种模式购买最省钱？
【解答】解：（1）由题意知，图中射线 为线下销售，折线 为线上销售，
线下销售： ；
线上销售：当 时， ，
当 时， ，
，
线下销售 与 之间的函数关系为 ，线上销售 与 之间的函数关系为
；
（2）图象得： ，
解得： ，，
，
图中点 坐标的实际意义为当购买9千克产品时，线上线下都花费36元；
（3）购买10千克产品线下需花费： （元 ，
线上需花费： （元 ，
购买这种产品10千克，线上购买最省钱．
或：根据图象，当 时，线上购买比线下购买省钱．
【变式训练2】暑期将至，某健身俱乐部面向学生推出暑期优惠活动，活动方案如下．
方案一：购买一张学生暑期专享卡，每次健身费用按六折优惠．
方案二：不购买学生暑期专享卡，每次健身费用按八折优惠．
设某学生暑期健身 次，按照方案一所需费用为 元，且 ；按照方案二所需费
用为 元，且 ，其函数图象如图所示．
（1）求 和 的值，并说明它们的实际意义；
（2）求打折前的每次健身费用和 的值；
（3）八年级学生小华计划暑期前往该俱乐部健身20次，应选择哪种方案所需费用更少？
请说明理由．
【解答】解：（1） 的图象过点 ， ，，
解得 ，
表示的实际意义是：购买一张学生暑期专享卡后每次健身费用为15元，
表示的实际意义是：购买一张学生暑期专享卡的费用为30元；
（2）由题意可得，打折前的每次健身费用为 （元 ，
；
（3）选择方案一所需费用更少．理由如下：
由题意可知， ， ，
当健身20次时，
选择方案一所需费用： （元 ，
选择方案二所需费用： （元 ，
，
选择方案一所需费用更少．
【变式训练3】随着春节临近，某儿童游乐场推出了甲、乙两种消费卡，设消费次数为 时，
所需费用为 元，且 与 的函数关系如图所示．根据图中信息，解答下列问题；
（1）分别求出选择这两种卡消费时， 关于 的函数表达式．
（2）求出 点坐标．
（3）洋洋爸爸准备240元钱用于洋洋在该游乐场消费，请问选择哪种消费卡划算？【解答】解：（1）设 ，
根据题意得 ，解得 ，
；
设 ，
根据题意得： ，解得 ，
；
（2）解方程组 ，得 ，
点坐标为 ；
（3）甲： ，解得 ，即甲种消费卡可玩12次；
乙： ，解得 ，即乙种消费卡可玩14次；
，
洋洋爸爸准备240元钱用于洋洋在该游乐场消费，选择乙种消费卡划算．
一次函数最大利润问题
【例4】某工厂计划生产甲、乙两种产品共2500吨，每生产1吨甲产品可获得利润0.3万元，
每生产1吨乙产品可获得利润0.4万元．设该工厂生产了甲产品 （吨 ，生产甲、乙两种
产品获得的总利润为 （万元）．
（1）求 与 之间的函数表达式（不需要写出自变量取值范围）；
（2）根据市场调研发现，甲产品需求量吨数范围是 ．求出该工厂生产甲、乙
两种产品各为多少吨时，能获得最大利润．
【解答】解：（1） ，与 之间的函数表达式为： ；
（2） ，
， 随 的增大而减小，
，
当 时， 最大，此时 （吨 ，
生产甲1000吨，乙1500吨时，利润最大．
【变式训练1】某商店销售一台 型电脑销售利润为100元，销售一台 型电脑的销售利润
为150元．该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台，其中 型电脑的进货量不超过
型电脑的3倍，设购进 型电脑 台，这100台电脑的销售总利润为 元．
（1）求 关于 的函数解析式；
（2）该商店购进 型、 型电脑各多少台，才能使销售总利润最大？最大利润为多少？
【解答】解：（1）由题意可得，
，
即 关于 的函数解析式为 ；
（2） 型电脑的进货量不超过 型电脑的3倍，
，
解得 ，
， ，
随 的增大而减小，
当 时， 取得最大值，此时 ， ，
答：该商店购进 型25台、 型电脑75台时，才能使销售总利润最大，最大利润为
13750元．
【变式训练2】某段时间超市从产地批发 、 两种产品， 产品的批发价为13元 ，产品的批发价为16元 ，其中 产品的销售单价始终为18元 ， 产品的销售情况
如下：不超过 不优惠，超过 的部分给予一定的优惠，其中 产品销售金额
（元 与销量 之间的函数关系如图．
（1）求 产品销售金额 （元 与销量 之间的函数关系式；
（2）若每天 、 两种产品共购进 ，当天都能销售完（损耗不计），且超市购进
产品不低于 但又不超过 ，设销售 、 两种产品的总利润为 （元 ，求
与 的函数关系式，并写出 的取值范围；
（3）在（2）的条件下，当购进 产品不超过 时，超市决定对 的 产品按17元
销售让利顾客， 产品的售价不变，要保证 、 两种产品的总利润每天不低于1060
元，求 的最大值．
【解答】解：（1）由图可知：
当 时，每千克的销售单价为： （元 ，
；
当 时，超过的部分每千克的销售单价为： （元 ，
；产品销售金额 （元 与销量 之间的函数关系式为 ；
（2）由题意可知：购进 产品 ，购进 产 ，
超市购进 产品不低于 但又不超过 ，
，即 ，
当 时， ；
当 时， ；
综上所述， ；
（3）当购进 产品不超过 时，
此时 ，
，
当 时， 取最大值，最大值为 ．
【变式训练3】某商店销售 型和 型两种电脑，其中 型电脑每台的利润为400元．
型电脑每台的利润为500元，该商店计划再一次性购进两种型号的电脑共100台，其中
型电脑的进货量不超过 型电脑的2倍．若设购进 型电脑 台，这100台电脑的销售总
利润为 元．
（1）则购进 型电脑 台；（用含有 的代数式表示）
（2）直接写出 关于 的函数关系式 ；
（3）该商店购进 型、 型电脑各多少台，才能使销售总利润最大，最大利润是多少？
【解答】解：（1） 商店计划再一次性购进两种型号的电脑共100台，其中 型电脑 台，
购进 型电脑 台，
故答案为： ；（2）由题意可得，
，
关于 的函数关系式是 ，
故答案为： ；
（2） 型电脑的进货量不超过 型电脑的2倍，
，
解得， ，
， ，
随 的增大而减小，
为整数， ，
当 时， 取得最大值，此时 ， ，
答：该商店购进 型、 型电脑34台、66台时，才能使销售总利润最大，最大利润是
46600元．
一次函数中动点产生的函数关系问题
【例5】小球沿着如图所示的轨道（由光滑的水平轨道 和斜坡轨道 组成）运动，从
点 开始到点 再返回到点 ．小球在 上做匀速运动，下列表达小球运动的路程 随
着时间 变化的图象中，合理的是
A． B．C． D．
【解答】解：由题意可知，小球的路程由 0开始，随时间 的增大而增大，故选项 不合
题意；
小球从 运动到 时，速度比较快，图象较陡；从 到 时，速度较慢，图象变缓；从
到 时，速度变快，图象变陡；故选项 、 不合题意，选项 符合题意．
故选： ．
【变式训练1】小明晚饭后出门散步，从家点 出发，最后回到家里，行走的路线如图所
示．则小明离家的距离 与散步时间 之间的函数关系可能是
A． B．
C． D．
【解答】解：根据函数图象可知，小明距离家先逐渐远去，有一段时间离家距离不变说明
他走的是一段弧线，之后逐渐离家越来越近直至回家，分析四个选项只有 符合题意．
故选： ．
【变式训练2】如图，正方形 的边长为 4， 为正方形边上一动点，运动路线是
，设 点经过的路程为 ，以点 、 、 为顶点的三角形的面积是 ，则下列图象能大致反映 与 的函数关系的是
A． B．
C． D．
【解答】解：当点 由点 向点 运动，即 时， 的值为0；
当点 在 上运动，即 时， 随着 的增大而增大；
当点 在 上运动，即 时， 不变；
当点 在 上运动，即 时， 随 的增大而减小．
故选： ．
【变式训练3】如图 1，在长方形 中，动点 从点 出发，沿长方形的边由
运动，设点 运动的路程为 ， 的面积为 ，把 看作 的函数，
函数的图象如图2所示，则 的面积为A．10 B．16 C．18 D．20
【解答】解：由图2知：
当动点 由 时，点 运动的路程为4，
，
当 和 时， 的面积相等，
，
，
故选： ．
一．选择题（共8小题）
1．如图，射线 ， 分别表示甲、乙两名运动员在自行车比赛中所走路程与时间的关系，
则图中显示的他们行进的速度关系是
A．甲比乙快 B．乙比甲快 C．甲、乙同速 D．不一定
【解答】解：由图象可得，在相同的时间内，甲走的路程大于乙走的路程，
故甲的速度比乙快，
故选： ．
2．某航空公司规定，旅客乘机所携带行李的质量 与其运费 （元 由如图所示的一
次函数图象确定，那么旅客可携带的免费行李的最大质量为
A． B． C． D．
【解答】解：设 与 的函数关系式为 ，
由题意可知 ，
解得 ，
所以函数关系式为 ，
当 时，即 ，所以 ．
故选： ．
3．在 中，点 是 的内心，连接 、 ，过点 作 分别交 、
于点 、 ，已知 是常数），设 的周长为 ， 的周长为 ，
在下列图象中，大致表示 与 之间的函数关系的是A． B．
C． D．
【解答】解：如图，
点 是 的内心，
，
又 ，
，
，
，
同理可得 ，
，
，
， ，
即 是 的一次函数，
所以 选项正确．
故选： ．
4．国内航空规定，乘坐飞机经济舱旅客所携带行李的重量 与其运费 （元 之间是一次函数关系，其图象如图所示，那么旅客可携带的免费行李的最大重量为
A． B． C． D．
【解答】解：设携带行李的重量 与其运费 （元 之间的函数关系式为 ，由题
意，得
，
解得： ，
．
当 时， ，
．
故选： ．
5．某市出租车计费办法如图所示．根据图象信息，下列说法错误的是
A．出租车起步价是10元
B．在3千米内只收起步价
C．超过3千米部分 每千米收3元D．超过3千米时 所需费用 与 之间的函数关系式是
【解答】解：由图象可知，出租车的起步价是10元，在3千米内只收起步价，
设超过3千米的函数解析式为 ，则 ，解得 ，
超过3千米时 所需费用 与 之间的函数关系式是 ，
超过3千米部分 每千米收2元，
故 、 、 正确， 错误，
故选： ．
6．甲、乙两车同时从 地出发，以各自的速度匀速向 地行驶，甲车先到达 地后，立
即按原路以相同速度匀速返回（停留时间不作考虑），直到两车相遇，若甲、乙两车之
间的距离 （千米）与两车行驶的时间 （小时）之间的函数图象如图，则 、 两地
之间的距离为 千米．
A．150 B．300 C．350 D．450
【解答】解：设甲乙两车的速度分别为 千米 时、 千米 时，
由题意得， ，
解方程组得 ，
所以， 、 两地之间的距离 千米．
故选： ．7．在直角坐标系中，点 在直线 上， 为原点，则 的最小值为
A． B． C． D．
【解答】解： 点的坐标 ，
，
，
，
．
故选： ．
8．如图，直线 与 轴、 轴交于 、 两点， 的平分线所在的直线
的解析式是
A． B． C． D．
【解答】解：对于直线 ，
令 ，求出 ；令 求出 ，
， ，即 ， ，
根据勾股定理得： ，在 轴上取一点 ，使 ，连接 ，
为 的平分线，
，
在 和△ 中，
，
△ ，
，
设 ，则 ，
在 △ 中， ，
根据勾股定理得： ，
解得： ，
，即 ，
设直线 解析式为 ，
将 与 坐标代入得： ，
解得： ，
则直线 解析式为 ．
故选： ．
二．填空题（共4小题）9．弹簧的长度 与所挂物体的质量 之间是一次函数关系，其图象如图所示，则弹
簧本身的长度为 ．
【解答】解：设 与 之间的函数关系式为 ，
将 、 代入 ，
，
解得： ，
与 之间的函数关系式为 ，
当 时， ，
弹簧本身的长度为 ．
故答案为： ．
10．如图，在平面直角坐标系中， 的圆心坐标是 ， ，半径为3，函数
的图象被 截得的弦 的长为 ，则 的值是 ．【解答】解：作 轴于 ，交 于 ，作 于 ，连接 ，如图，
的圆心坐标是 ，
， ，
把 代入 得 ，
点坐标为 ，
，
为等腰直角三角形，
也为等腰直角三角形，
，
，
在 中， ，
，
，
．
故答案为： ．
11．一个水库的水位在最近 内持续上涨，下表记录了这 内6个时间点的水位高度，
其中 表示时间， 表示水位高度．
0 1 2 3 4 5
3 3.3 3.6 3.9 4.2 4.5据估计这种上涨规律还会持续 ，预测再过 水位高度将为 5. 1 ．
【解答】解：由表格中数据可知，当 时， ；当 时， ，
设 ，将 ， 代入，
可得： ，
解得： ，
，
经检验表格中其它数据均符合 ，
与 的函数关系式为 ，
若这种上涨规律还会持续 ，则 ，
当 时， ，
故答案为：5.1．
12．已知：如图，三个半圆依次相外切，它们的圆心都在 轴的正半轴上并与直线
相切，设半圆 、半圆 、半圆 的半径分别是 、 、 ，则当 时，
9 ．
【解答】解：如图，过 、 、 作直线的垂线，垂足为 、 、 ，过 、 作 ， ，垂足为 、 ，
直线解析式为 ，
，
在 △ 中， ， ，由 ，得 ，解
得 ；
在 △ 中， ， ，由 ，得 ，解
得 ．
故答案为：9．
三．解答题（共3小题）
13．甲、乙两家体育用品商店出售相同的乒乓球和乒乓球拍，乒乓球每盒定价 5元，乒乓
球拍每副定价40元．现两家商店都搞促销活动，甲店每买一副球拍赠两盒乒乓球；乙店按
九折优惠．某班级需购球拍4副，乒乓球 盒．
（1）若在甲店购买付款 （元 ，在乙店购买付款 （元 ，分别写出 与 的函数关系
式；
（2）试讨论在哪家商店购买合算？
【解答】解：（1）在甲店购买需付款： ，在乙店购买需付款： ；
（2） ，
解得： ，
时，在甲商店购买合算，
时，在甲乙商店购买一样合算，
时，在乙商店购买合算．
14．有一进水管与出水管的容器，从某时刻开始 内只进水不出水，在随后的 内
既进水又出水，每分的进水量和出水量是两个常数，容器内的水量 （单位： 与时
间 （单位：分）之间的关系如图所示：
（1）求 时 随 变化的函数关系式；
（2）当 时，求 与 的函数解析式；
（3）每分钟进水、出水各是多少升？
【解答】解：设 ．
图象过 ，
，
．
；
（2）设 ．图象过 、 ，
，
解得： ，
；
（3）根据图象，每分钟进水 升，
设每分钟出水 升，则 ，
解得： ，
每分钟进水、出水各是5升、 升．
15．如图，一次函数 的图象与 轴和 轴分别交于点 和点 ，将 沿直
线 对折，使点 和点 重合，直线 与 轴交于点 ，与 交于点 ．
（1）求 ， 两点的坐标；
（2）求 的长；
（3）设 是 轴上一动点，若使 是等腰三角形，写出点 的坐标（不需计算过程）
【解答】解：（1）令 ，则 ；令 ，则 ，
故点 的坐标为 ，点 的坐标为 ．
（2）设 ，则 ，
，，
，
解得 ，
．
（3）设 点坐标为 ，
当 时， ，解得 ；
当 时， ，解得 或 ；
当 时， ，解得 ．
点坐标为 ， ， ， ， ．
