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专题4.2.4 相似三角形的应用（能力提升）（解析版）
一、选择题。
1．（2021•罗湖区校级模拟）1m长的标杆直立在水平地面上，它在阳光下的影子长度为
0.8m，同一时刻，某电视塔的影子长度为100m，则该电视塔的高度为（ ）
A．150m B．125m C．120m D．80m
【答案】B。
【解答】解：设电视塔的高度应是x，根据题意得： ＝ ，
解得：x＝125，
故选：B．
2．（2021•江川区模拟）如图，为估算学校的旗杆的高度，身高1.6米的小红同学沿着旗
杆在地面的影子AB由A向B走去，当她走到点C处时，她的影子的顶端正好与旗杆的
影子的顶端重合，此时测得AC＝2m，BC＝8m，则旗杆的高度是（ ）
A．6.4m B．7m C．8m D．9m
【答案】C。
【解答】解：设旗杆高度为h，
由题意得 ＝ ，h＝8米．
故选：C．
3．（2021秋•鄄城县期中）如图所示，某同学拿着一把有刻度的尺子，站在距电线杆 30m
的位置，把手臂向前伸直，将尺子竖直，看到尺子遮住电线杆时尺子的刻度为 12cm，
已知臂长60cm，则电线杆的高度为（ ）
A．2.4m B．24m C．0.6m D．6m
【答案】D。【解答】解：作AN⊥EF于N，交BC于M，
∵BC∥EF，
∴AM⊥BC于M，
∴△ABC∽△AEF，
∴ ，
∵AM＝0.6，AN＝30，BC＝0.12，
∴EF＝ ＝ ＝6m．
故选：D．
4．（2022•馆陶县三模）图1是装满了液体的高脚杯（数据如图），用去部分液体后，放
在水平的桌面上如图2所示，此时液面AB＝（ ）
A．4cm B．3cm C．2cm D．1cm
【答案】B。
【解答】解：如图：∵CD∥AB，
∴△CDO∽ABO，
∴ ＝ ，
∵OC＝8cm，OA＝4cm，CD＝6cm，
∴ ＝ ，∴AB＝3（cm），
故选：B．
5．（2022•随州模拟）《九章算术》是中国古代的数学专著，是“算经十书”（汉唐之间
出现的十部古算书）中最重要的一种．书中有下列问题：“今有邑方不知大小，各中开
门．出北门八十步有木，出西门二百四十五步见木．问邑方有几何？”意思是：如图，
点M、点N分别是正方形ABCD的边AD、AB的中点，ME⊥AD，NF⊥AB，EF过点
A，且ME＝80步，NF＝245步，则正方形的边长为（ ）
A．280步 B．140步 C．300步 D．150步
【答案】A。
【解答】解：设正方形的边长为x步，
∵点M、点N分别是正方形ABCD的边AD、AB的中点，
∴AM＝ AD，AN＝ AB，
∴AM＝AN，
由题意可得，Rt△AEM∽Rt△FAN，
∴ ＝ ，
即AM2＝80×245＝19600，
解得：AM＝140，
∴AD＝2AM＝280步；
故选：A．
6．（2021•商河县校级模拟）如图，某同学拿着一把 12cm长的尺子，站在距电线杆30m的位置，把手臂向前伸直，将尺子竖直，看到尺子恰好遮住电线杆，已知臂长 60cm，
则电线杆的高度是（ ）
A．2.4m B．24m C．0.6m D．6m
【答案】D。
【解答】解：作AN⊥EF于N，交BC于M，
∵BC∥EF，
∴AM⊥BC于M，
∴△ABC∽△AEF，
∴ ＝ ，
∵AM＝0.6，AN＝30，BC＝0.12，
∴EF＝ ＝ ＝6（m）．
故选：D．
7．（2021秋•洪洞县期中）如图是小明在“综合与实践”课中“制作视力表”的相关内
容：当测试距离为3m时，视力表中最大的“E”字高度为45mm，则当测试距离为5m
时，视力表中最大的“E”字高度为（ ）
A．120mm B．30mm C．75mm D．27mm
【答案】C。
【解答】解：如图，设最大的“E”字高度为xmm，3m＝3000mm，5m＝5000mm，
由图知，tan∠1＝ ＝ ，
解得x＝75，
∴当测试距离为5m时，视力表中最大的“E”字高度为75mm，
故选：C．
8．（2021秋•邓州市期中）大约在两千四五百年前，如图1墨子和他的学生做了世界上第
1个小孔成倒像的实验．并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景
长，说在端”．如图2所示的小孔成像实验中，若物距为10cm，像距为15cm，蜡烛火
焰倒立的像的高度是9cm，则蜡烛火焰的高度是（ ）
A．6cm B．8cm C．10cm D．12cm
【答案】A。
【解答】解：设蜡烛火焰的高度是xcm，
由相似三角形对应高的比等于相似比得到： ＝ ．
解得x＝6．
即蜡烛火焰的高度是6cm．
故选：A．
9．（2022春•九龙坡区校级期中）某天小明和小亮去某影视基地游玩，当小明给站在城楼
上的小亮照相时，发现他自己的眼睛、凉亭顶端、小亮头顶三点恰好在一条直线上（如图）．已知小明的眼睛离地面的距离AB为1.6米，凉亭顶端离地面的距离CD为1.9
米，小明到凉亭的距离BD为2米，凉亭离城楼底部的距离DF为38米，小亮身高为1.7
米．那么城楼的高度为（ ）
A．7.6米 B．5.9米 C．6米 D．4.3米
【答案】B。
【解答】解：过点A作AM⊥EF于点M，交CD于点N，
由题意得：AN＝2米，CN＝1.9﹣1.6＝0.3（米），MN＝38米，
∵CN∥EM，
∴△ACN∽△AEM，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
∴EM＝6，
∵AB＝MF＝1.6米，
∴城楼的高度为：6+1.6﹣1.7＝5.9（米）．
故选：B．
10．（2021秋•合浦县期中）如图所示，为了测量文昌塔AB的高度，数学兴趣小组根据光
的反射定理（图中∠1＝∠2），把一面镜子放在点C处，然后观测者沿着直线BC后退
到点D．这时恰好在镜子里看到塔顶A，此时量得CD＝4m，BD＝94m，观测者目高ED
＝1.6m，则塔AB的高度为（ ）A．35m B．36m C．37m D．38m
【答案】B。
【解答】解：∵CD＝4m，BD＝94m，
∴BC＝BD﹣CD＝90m．
由题意知∠1＝∠2，∠ABC＝∠EDC＝90°，
∴△ABC∽△EDC．
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
∴AB＝36．
故选：B．
二、填空题。
11．（2022春•新泰市期末）旗杆的影子长6米，同时测得旗杆顶端到其影子顶端的距离
是10米，如果此时附近的小树影子长3米，那么小树有 4 米高．
【答案】4。
【解答】解：如图，
由题意得，AC＝10m，BC＝6m，
在Rt△ABC中，AB＝ ＝8；
∵△ABC∽△A'B'C'，
∴ ＝ ，即 ＝ ，
解得：A'B'＝4，
即树高为4m，
故答案为：4．12．（2022•东莞市校级一模）小明希望测量出电线杆 AB的高度，于是在阳光明媚的一
天，他在电线杆旁的点D处立一标杆CD，使标杆的影子DE与电线杆的影子BE部分重
叠（即点E、C、A在一直线上），量得ED＝2米，DB＝4米，CD＝1.5米．则电线杆
AB长＝ 4. 5 米．
【答案】4.5。
【解答】解：∵CD∥AB，
∴△ECD∽△EAB，
∴ED：EB＝CD：AB，
∴2：6＝1.5：AB，
∴AB＝4.5米．
答：电线杆AB长为4.5米．
13．（2022•青羊区校级模拟）如图是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图，点P
处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD的顶端C
处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，且测得AB＝1.2米，BP＝1.8米，PD＝12米，那么该古
城墙的高度是 8 米．
【答案】8。
【解答】解：由题意知：光线AP与光线PC，∠APB＝∠CPD，
所以Rt△ABP∽Rt△CDP，
所以AB：BP＝CD：PD
即1.2：1.8＝CD：12，
解得CD＝8米．
故答案为：8．
14．（2022春•肇源县期末）如图，光源P在水平横杆AB的上方，照射横杆AB得到它在
平地上的影子为CD（点P、A、C在一条直线上，点P、B、D在一条直线上），不难发现AB∥CD．已知AB＝1.5m，CD＝4.5m，点P到横杆AB的距离是1m，则点P到地面
的距离等于 3 m．
【答案】3。
【解答】解：如图，作PF⊥CD于点F，
∵AB∥CD，
∴△PAB∽△PCD，PE⊥AB，
∴△PAB∽△PCD，
∴ ，
即： ，
解得PF＝3．
故答案为：3．
15．（2021•深圳模拟）如图所示，某校数学兴趣小组利用标杆BE测量建筑物的高度，已
知标杆BE高为1.5m，测得AB＝3m，AC＝10m，则建筑物CD的高是 5 m．
【答案】5。
【解答】解：∵EB⊥AC，DC⊥AC，
∴EB∥DC，
∴△ABE∽△ACD，
∴ ＝ ，∵BE＝1.5m，AB＝3m，AC＝10m，
∴ ＝ ，
解得，DC＝5，
即建筑物CD的高是5m，
故答案为：5．
16．（2022春•海门市期中）如图，为了测量一栋楼的高度，小王在他的脚下放了一面镜
子，然后向后退，直到他刚好在镜子中看到楼的顶部．如果小王身高 1.55m，他的眼睛
距地面1.50m，同时量得BC＝0.3m，CE＝2m，则楼高DE为 1 0 m．
【答案】10。
【解答】解：根据题意，
∵∠ABC＝∠DEC＝90°，∠ACB＝∠DCE（反射角等于入射角），
∴△ABC∽△DEC，
∴ ＝ ，即 ＝ ，
∴DE＝10（m）
故答案为：10．
17．（2021秋•李沧区期中）如图，小颖同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度
AB，她调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上，
已知纸板的两条边DE＝8cm，DF＝10cm，测得边DF离地面的高度AC＝1.5m，CD＝
8m，则树高AB＝ 7. 5 m．【答案】7.5。
【解答】解：∵∠EDF＝∠CDB，∠BCD＝∠FED＝90°，
∴ ，
∵DE＝8cm，DF＝10cm，
∴EF＝ ＝ ＝6（cm），
∵DE＝8cm＝0.08m，EF＝6cm＝0.06m，
∴ ，
∴BC＝6m，
AB＝AC+BC＝1.5+6＝7.5（m），
故答案为：7.5．
18．（2021秋•邓州市期中）清朝《数理精蕴》里有一首小诗《古色古香方城池》：今有
一座古方城，四面正中都开门，南门直行八里止，脚下有座塔耸立．又出西门二里停，
切城角恰见塔形，请问诸君能算者，方城每边长是几？
如图所示，诗的意思是：有正方形的城池一座，四面城墙的正中有门，从南门口（点
D）直行8里有一塔（点A），自西门（点E）直行2里至点B，切城角（点C）也可以
看见塔，问这座方城每面城墙的长是 8 里．
【答案】8。
【解答】解：设这座方城每面城墙的长为x里，
由题意得，BE∥CD，∠BEC＝∠ADC＝90°，CE＝CD＝ x，BE＝2里，AD＝8里，
∴∠B＝∠ACD，
∴△CEB∽△ADC，
∴ ，∴ ，
∴x＝8，
答：这座方城每面城墙的长为8里，
故答案为：8．
三、解答题。
19．（2021秋•阜南县月考）一块直角三角形木板，一直角边BC长75cm，另一直角边AC
长100cm，要把它加工成面积最大的正方形棋盘，小明、小亮二人的加工方法分别如图
1、图2所示，请运用所学知识说明谁的加工方法得到的正方形面积较大．
【解答】解：设图1加工桌面长xcm，过点C作CM⊥AB，垂足为M，与GF相交于点
N，
∵BC＝75cm，AC＝100cm，
∴BA＝ ＝ ＝125（cm），
∵S△ACB ＝ AB•MC，
∴CM＝ ＝ ＝60（cm），
∵GF∥DE，∴△CGF∽△CAB，
∴ ，
∴ ．
∴ ．
∴x＝ ；
设图2加工桌面长ycm，
∵FD∥BC，
∴Rt△AFD∽Rt△ACB，
∴ ，
，
解得y＝ ，
∵ ，
∴图2加工方法得到的正方形面积较大．
20．（2021秋•崇川区校级月考）如图，数学兴趣小组利用硬纸板自制的 Rt△ABC来测量
操场旗杆MN的高度，他们通过调整测量位置，并使边 AC与旗杆顶点M在同一直线
上，已知AC＝0.8米，BC＝0.5米，目测点A到地面的距离AD＝1.5米，到旗杆的水平
距离AE＝20米，求旗杆MN的高度．
【解答】解：∵∠CAB＝∠EAM，∠ACB＝∠AEM＝90°，
∴△ACB∽△AEM，
∴ ，∴ ，
∴EM＝12.5（米），
∵四边形ADNE是矩形，
∴AD＝EN＝1.5（米），
∴MN＝ME+EN＝12.5+1.5＝14（米）．
21．（2021秋•锡山区校级月考）学完了《图形的相似》这一章后，某中学数学实践小组
决定利用所学知识去测量一古建筑AB的高度（如图1）．如图2，在地面BC上取E，G
两点，分别竖立两根高为2m的标杆EF和GH，两标杆间隔EG为23m，并且古建筑
AB，标杆EF和GH在同一竖直平面内，从标杆EF后退2m到D处，从D处观察A点，
A，F，D三点成一线；从标杆GH后退4m到C处，从C处观察A点，A，H，C三点也
成一线．请根据以上测量数据，帮助实践小组求出该古建筑的高度．
【解答】解：设BE＝ym，由题意可知，
△ABD∽△FED，△ABC∽△HGC，
∴ ＝ ， ＝ ，
∵EF＝HG＝2，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
解得：y＝23（m），
则 ＝ ，即 ＝ ，
解得：AB＝25（m），
答：该古建筑的高度为25米．22．（2021秋•城关区月考）某校社会实践小组为了测量古塔的高度，在地面上 C处垂直
于地面竖立了高度为2米的标杆CD，这时地面上的点E，标杆的顶端点D，古塔的塔尖
点B正好在同一直线上，测得EC＝1.2米，将标杆向后平移到点G处，这时地面上的点
F，标杆的顶端点H，古塔的塔尖点B正好在同一直线上（点F，点G，点E，点C与古
塔底处的点A在同一直线上），这时测得FG＝1.8米，CG＝20米，请你根据以上数
据，计算古塔的高度AB．
【解答】解：根据题意得，△EDC∽△EBA，△FHG∽△FBA，
∴ ＝ ，
∵DC＝HG，
∴ ，
∴ ，
∴CA＝40（米），
∴ ＝ ，
∴AB≈68.7米，
答：古塔的高度AB约为68.7米．
23．（2021秋•碑林区校级月考）小明利用数学课所学知识测量学校门口路灯的高度．如
图：AB为路灯主杆，AE为路灯的悬臂，CD是长为1.8米的标杆．已知路灯悬臂AE与
地面BG平行，当标杆竖立于地面时，主杆顶端A、标杆顶端D和地面上一点G在同一直线上，此时小明发现路灯E、标杆顶端D和地面上另一点F也在同一条直线上（路灯
主杆底端B、标杆底端C和地面上点F、点G在同一水平线上）．这时小明测得FG长
1.5米，路灯的正下方H距离路灯主杆底端B的距离为3米．请根据以上信息求出路灯
主杆AB的高度．
【解答】解：过点D作DM⊥AB于M，交EH于点N，
∵AE∥BG，AB⊥BG，
∴AE⊥AB，
∵DM⊥AB，
∴AE∥MD∥BG，
∴AM等于△ADE的边AE上的高，
∵AB⊥BG，EH⊥BG，CD⊥BG，
∴AB∥EH∥CD，
∴AE＝BH＝3米．BM＝CD＝1.8米，
∵AE∥BG，
∴△ADE∽△GDF，
∴ ，即 ，
∴AM＝3.6（米），
∴AB＝AM+BM＝5.4（米），
答：路灯主杆AB的高度为5.4米．24．（2022春•碑林区校级期中）为了加快城市发展，保障市民出行方便，某市在流经该
市的河流上架起一座桥，连通南北，铺就城市繁荣之路．小明和小颖想通过自己所学的
数学知识计算该桥AF的长．如图，该桥两侧河岸平行，他们在河的对岸选定一个目标
作为点A，再在河岸的这一边选出点B和点C，分别在AB、AC的延长线上取点D、E，
使得DE∥BC．经测量，BC＝120米，DE＝210米，且点E到河岸BC的距离为60米．
已知AF⊥BC于点F，请你根据提供的数据，帮助他们计算桥AF的长度．
【解答】解：如图所示，过E作EG⊥BC于G，
∵DE∥BC，
∴△ABC∽△ADE，
∴ ＝ ＝ ，
∴ ＝ ，
∵AF⊥BC，EG⊥BC，
∴AF∥EG，
∴△ACF∽△ECG，
∴ ＝ ，即 ＝ ，
解得AF＝80，
∴桥AF的长度为80米．25．（2021秋•新城区校级期中）小雁塔位于西安市南郊的荐福寺内，又称“荐福寺
塔”，建于唐景龙年间，与大雁塔同为唐长安城保留至今的重要标志．小明同学对该塔
进行了测量，测量方法如下，如图所示，先在点A处放一平面镜，从A处沿．NM方向
后退1米到点B处，恰好在平面镜中看到塔的顶部点M，再将平面镜沿NA方向继续向
后移动15米放在D处（即AD＝15米），从点D处向后退1.6米，到达点E处，恰好再
次在平面镜中看到塔的顶部点M、已知小明眼睛到地面的距离CB＝EF＝1.74米，请根
据题中提供的相关信息，求出小雁塔的高度MN﹒（平面镜的大小忽略不计）
【解答】解：根据题意得∠BAC＝∠NAM，∠ABC＝∠MNA，
∴Rt△AMN∽Rt△ACB，
∴ ＝ ，即 ＝ ①；
∵∠EDF＝∠NDM，∠DEF＝∠MND，
∴Rt△MND∽Rt△FED，
∴ ＝ ，即 ＝ ②，
由①②得 ＝ ，
解得AN＝25，
∴ ＝ ，
解得MN＝43.5，
答：小雁塔的高度MN为43.5米．
26．（2021秋•金水区校级期中）河南省实验中学指路灯，一直陪伴着我校航空班、足球
队、田径队日夜奋战、不断训练的同学们．一数学兴趣小组为了测量灯柱 AB的高度，
设计了以下三个方案：
方案一：在操场上点C处放一面平面镜，从点C处后退1m到点D处，恰好在平面镜中
看到灯柱的顶部A点的像；再将平面镜向后移动4m（即FC＝4m）放在F处．从点F处向后退1.5m到点H处，恰好再次在平面镜中看到灯柱的顶部A点的像，测得的眼睛距
地面的高度ED、GH为1.5m、已知点B，C、D，F、H在同一水平线上，且GH⊥FH，
ED⊥CD，AB⊥BH．（平面镜的大小忽略不计）
方案二：利用标杆CD测量灯柱的高度．已知标杆 CD高1.5m，测得DE＝2m，CE＝
2.5m．
方案三：利用三角板的直角边CE保持水平，并且边CE与点M在同一直线上．已知两
条边CE＝0.4m，EF＝0.2m，测得边CE离地面距离DC＝1.5m．
三种方案中，方案 二、三 不可行，请选择可行的方案求出灯柱的高度．
【解答】解：根据相似三角形的知识可知方案二中△ABE缺少边长的条件，故方案二不
可行，方案三中△AMC缺少边长的条件，故方案三不可行，
选方案一，
∵∠ECD＝∠ACB，∠EDC＝∠ABC，
∴△ABC∽△EDC，
∴ ，
∴AB＝ ，
设BC＝xm，
则AB＝1.5xm，
同理可得△ABF∽△GHF，
∴ ，
∵AB＝1.5xm，BF＝BC+CF＝（4+x）m，GH＝1.5m，FH＝1.5m，
∴ ，
解得：x＝8，
∴AB＝1.5x＝12（m）．故答案为：二，三；AB＝12m．
