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专题 4.2 相似三角形的应用
目录
相似三角形的应用（影子问题）....................................................................................................1
相似三角形的应用（路灯和影长）................................................................................................3
相似三角形的应用（平面镜测高）................................................................................................5
相似三角形综合应用.........................................................................................................................8
相似三角形与几何综合运用...........................................................................................................11
相似三角形的应用（影子问题）
【例1】在相同时刻的物高与影长成比例，如果高为 的测杆的影长为 ，那么影长为
的旗杆的高是
A． B． C． D．
【解答】解：设影长为 的旗杆的高是 ，
在相同时刻物高与影长成比例，高为 的测杆的影长为 ，
，解得 ．
故选： ．
【变式训练1】《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书于约一千五百年前，其中有
首歌谣：今有竿不知其长，量得影长一丈五尺，立一标杆，长一尺五寸，影长五寸，问竿
长几何？意即：有一根竹竿不知道有多长，量出它在太阳下的影子长一丈五尺，同时立一
根一尺五寸的小标杆，它的影长五寸（提示：1丈 尺，1尺 寸），则竹竿的长为
A．五丈 B．四丈五尺 C．一丈 D．五尺
【解答】解：设竹竿的长度为 尺，
竹竿的影长 一丈五尺 尺，标杆长 一尺五寸 尺，影长五寸 尺，，解得 （尺 ．
故选： ．
【变式训练2】小明身高1.5米，在操场的影长为2米，同时测得教学大楼在操场的影长为
60米，则教学大楼的高度应为
A．45米 B．40米 C．90米 D．80米
【解答】解： 在相同时刻，物高与影长组成的直角三角形相似，
教学大楼的高度：60，
解得教学大楼的高度为45米．
故选： ．
【变式训练3】小明和小华利用阳光下的影子来测量一建筑物顶部旗杆的高．如图所示，在
某一时刻，他们在阳光下，分别测得该建筑物 的影长 为16米， 的影长 为20
米，小明的影长 为2.4米，其中 、 、 、 、 五点在同一直线上， 、 、
三点在同一直线上，且 ， ．已知小明的身高 为1.8米，求旗杆的高
．
【解答】解： ，
，
，
，
，即 ，
，
同理得 ，
，即 ，，
（米 ，
答：旗杆的高 是3米．
相似三角形的应用（路灯和影长）
【例2】如图，小明同学用自制直角三角形纸板 测量树的高度 ，他调整自己的位
置，设法使斜边 保持水平，并且边 与点 在同一直线上．已知纸板的两条边
， ，测得边 离地面的高度 ， ，则树高
．
【解答】解：在 中， ，
即： ，
，
由题意得： ， ，
，
，
， ， ，
，
解得： 米，
，
．
故答案是：10.5
【变式训练1】如图，小明探究课本“综合与实践”板块“制作视力表”的相关内容：当测
试距离为 时，标准视力表中最大的“ ”字高度为 ，当测试距离为 时，最大的“ ”字高度为
A． B． C． D．
【解答】解：由题意得： ，
，
， ， ，
，
，
故选： ．
【变式训练2】利用标杆 测量建筑物的高度的示意图如图所示，若标杆 的高为1.5
米，测得 米， 米，则建筑物的高 为 米．
【解答】解： ，
，
，即 ，
（米 ．
故答案为：15
【变式训练3】如图，小明在打网球时，使球恰好能打过网，而且落在离网4米的位置上，
则球拍击球的高度 为 ．【解答】解： ，
，即 ，
则 ，
，
经检验， 是原方程的解，
故答案为：1.5米．
相似三角形的应用（平面镜测高）
【例3】如图是小玲设计用手电来测量某古城墙高度的示意图．在点 处放一水平的平面
镜，光线从点 出发经平面镜反射后，刚好射到古城墙 的顶端 处．已知 ，
．且测得 米， 米， 米．那么该古城墙 的高度是
米．
【解答】解： ， ，
即
解得： 米．
【变式训练1】如图，为了测量操场上一棵大树的高度，小英拿来一面镜子，平放在离树根
部 的地面上，然后她沿着树根和镜子所在的直线后退，当她后退 时，正好在镜中看
见树的顶端．小英估计自己的眼睛到地面的距离为 ，则大树的高度是 ．【解答】解： ， ，
，
，
即 ，
，
故答案为：
【变式训练2】如图，在测量旗杆高度的数学活动中，某同学在脚下放了一面镜子，然后向
后退，直到他刚好在镜子中看到旗杆的顶部．若眼睛距离地面 ，同时量得
， ，则旗杆高度 ．
【解答】解： ， ，
，
，，
，
，
，
故答案为：9
【变式训练3】春暖花开，草长莺飞，学校开展了校外实践活动某数学社团成员小明、小王
和小丽发现在活动根据地远处的小山坡上有一棵小树，如图所示，记小树的位置为点 ，
他们想利用皮尺、平面镜等测量工具测量小树到山脚下的距离（即 的长度）：小明站
在点 处，让小丽移动平面镜至点 处，此时小明在平面镜内可以看到点 ．小王、小丽
用皮尺测得 为3米， 为18米，同时测得 ．已知小明的眼睛到地面的
距离 米，请根据以上数据，求 的长度．（结果保留根号）
【解答】解：过 作 于 ，
，
，
设 为 米， 米， 米，
，
，
，
，，
解得： ，
（米 ，
答： 的长度为 米．
相似三角形综合应用
【例4】青龙寺是西安最著名的樱花观赏地，品种达到了13种之多，每年3、4月陆续开放
的樱花让这里成为了花的海洋．一天，小明和小刚去青龙寺游玩，想利用所学知识测量一
棵樱花树的高度（樱花树四周被围起来了，底部不易到达）．小明在 处竖立了一根标杆
，小刚走到 处时，站立在 处看到标杆顶端 和树的顶端 在一条直线上．此时测
得小刚的眼睛到地面的距离 米；然后，小刚在 处蹲下，小明平移标杆到 处时，
小刚恰好看到标杆顶端 和树的顶端 在一条直线上，此时测得小刚的眼睛到地面的距离
米．已知 米， 米， 米，点 、 、 、 在一条
直线上，点 在 上， ， ， ， ．根据以上测量过
程及测量数据，请你求出这棵樱花树 的高度．【解答】解：过点 作 于点 ，交 于点 ，过点 作 于点 ，交
于点 ，
由 题 意 可 得 ： ， 米 ， ， 米 ，
米．
， ，
，
，
．
， ，
．
．
（米 ．
答：这棵樱花树 的高度是8.8米．
【变式训练1】某校社会实践小组为了测量古塔的高度，在地面上 处垂直于地面竖立了
高度为2米的标杆 ，这时地面上的点 ，标杆的顶端点 ，古塔的塔尖点 正好在同
一直线上，测得 米，将标杆向后平移到点 处，这时地面上的点 ，标杆的顶端
点 ，古塔的塔尖点 正好在同一直线上（点 ，点 ，点 ，点 与古塔底处的点
在同一直线上），这时测得 米， 米，请你根据以上数据，计算古塔的高度 ．
【解答】解：根据题意得， ， ，
，
，
，
，
（米 ，
，
米，
答：古塔的高度 约为68.7米．
【变式训练2】学完了《图形的相似》这一章后，某中学数学实践小组决定利用所学知识去
测量一古建筑 的高度（如图 ．如图2，在地面 上取 ， 两点，分别竖立两根高
为 的标杆 和 ，两标杆间隔 为 ，并且古建筑 ，标杆 和 在同一
竖直平面内，从标杆 后退 到 处，从 处观察 点， ， ， 三点成一线；从
标杆 后退 到 处，从 处观察 点， ， ， 三点也成一线．请根据以上测量数据，帮助实践小组求出该古建筑的高度．
【解答】解：设 ，由题意可知，
， ，
， ，
，
，
，
解得： ，
则 ，即 ，
解得： ，
答：该古建筑的高度为25米．
【变式训练3】阳光明媚的一天实践课上，亮亮准备用所学知识测量教学楼前一座假山
的高度，如图，亮亮在地面上的点 处，眼睛贴地观察，看到假山顶端 、教学楼顶端
在一条直线上．此时他起身在 处站直，发现自己的影子末端和教学楼的影子末端恰好重
合于点 处，测得 米，亮亮的身高 为1.6米．假山的底部 处因有花园围栏，
无法到达，但经询问和进行部分测量后得知， 米，点 、 、 、 在一条直线
上， ， ， ，已知教学楼 的高度为16米，请你求出假山的
高度 ．【解答】解： ， ，
，
，
，即 ，
解得 ．
， ，
，
，
，即 ，
解得 ，
假山的高度 为8米．
相似三角形与几何综合运用
【例5】如图， 是一块锐角三角形余料，边 ，高 ，要把它加
工成矩形零件 ，使一边在 上，其余两个顶点分别在边 、 上．
（1）求证： ；
（2）若这个矩形的边 ，则这个矩形的长、宽各是多少？【解答】解：（1） 四边形 为矩形，
，
即 ，
；
（2）设边宽为 ，则长为 ，
四边形 为矩形，
，
，
，
，
，
，
由题意知 ， ， ， ，
，
解得 ，
．
即长为 ，宽为 ．
答：矩形的长 ，宽为 ．【变式训练1】如图，一块直角三角形木板，直角边 的长为1.5米，三角形的面积为1.5
平方米，工人师傅要用它截取一个面积最大的正方形桌面，请甲、乙两位同学设计加工方
案，甲同学的设计方案如图（1），乙同学的设计方案如图（2），你认为哪位同学设计的
正方形面积大？请说明理由．
【解答】解：甲同学设计的正方形面积大，理由如下：
，三角形的面积为1.5平方米，
，
设正方形边长为 ，
图（1）中， ，
，
，
，
解得 ；
图（2）中，由勾股定理得， ，
过点 作 于 ，交 于 ，
由面积得 ，
，，
，
，
，
解得 ，
，
甲同学设计的正方形面积大．
【变式训练2】一块材料的形状是等腰 ，底边 ，高 ．
（1）若把这块材料加工成正方形零件，使正方形的一边在 上，其余两个顶点分别在
， 上（如图 ，则这个正方形的边长为多少？
（2）若把这块材料加工成正方体零件（如图2，阴影部分为正方体展开图），则正方体的
表面积为多少？
【解答】解：（1）设正方形边长 为 ，
是 的高，
，
四边形 是正方形，
，
，
，
，，
，
，
答：这个正方形的边长为 ；
（2）设正方形边长 为 ，
为 的高，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
答：正方体的表面积为 ．
【变式训练3】如图， 是等腰三角形铁板余料，其中 ， ，
若 上截出一矩形零件 ，使 在边 上，点 、 分别在 、 上．
（1）设 ， ，试写出 与 的函数关系式；
（2）问截得的矩形 的长、宽为何值时，该矩形的面积等于三角形铁板余料面积的
一半？【解答】解：（1） 是等腰三角形， ，
（三线合一），
则 ，
设 ， ，
四边形 是矩形，
，
，
故 ，即 ，
故 ．
；
（2）根据题意得， ，
解得： ，
，
答：矩形 的长、宽分别为12和8时，该矩形的面积等于三角形铁板余料面积的一半．
一．选择题（共8小题）
1．一个直角三角形木架的两条直角边的边长分别是 ， ．现要做一个与其相似
的三角形木架，如果以 长的木条为其中一边，那么另两边中长度最大的一边最多可达
到
A． B． C． D．
【解答】解： 一个直角三角形木架的两条直角边的边长分别是 ， ，
三角形的斜边长为： ，现要做一个与其相似的三角形木架，以 长的木条为其中一边，
当另两边中长度最大的一边最长，则两三角形的相似比为： ，
故设要做的三角形最长边长为： ．
故选： ．
2．如图，在测量旗杆高度的数学活动中，小达同学在脚下放了一面镜子，然后向后退，直
到他刚好在镜子中看到旗杆的顶部．若眼睛距离地面 米，同时量得 米，
米，则旗杆高度 为
A．7.5米 B． 米 C．7米 D．9.5米
【解答】解： ， ，
，
，
，
，
，
，
故选： ．
3．如图，有一块三角形余料 ， ，高线 ，要把它加工成一个
矩形零件，使矩形的一边在 上，点 、 分别在 ， 上，若满足 ，
则 的长为A． B． C． D．
【解答】解：如图，设 交 于点 ．
，
可以假设 ， ．
四边形 是矩形，
，
，
， ，
，
，
，
解得 ，
．
故选： ．
4．如图，王华把一面很小的镜子水平放置在离树底（点 米的点 处，然后沿着直线
后退到点 ，这时恰好在镜子里看到树梢（点 ，已知 米，王华目高米，则树的高度 为
A．4.8米 B．3.2米 C．8米 D．20米
【解答】解：根据题意得
， ，
，
，即 ，
，
答：树的高度 为 ．
故选： ．
5．如图，某“综合与实践”小组为测量河两岸 ， 两点间的距离，在点 所在岸边的
平地上取点 ， ， ，使 ， ， 在同一条直线上，且 ；使 且 ，
， 三点在同一条直线上．若测得 ， ， ，则 ， 两点间
的距离为
A． B． C． D．
【解答】解： ， ，
，
，
，
，
， ， ，．
故选： ．
6．据《墨经》记载，在两千多年前，我国学者墨子和他的学生做了“小孔成像”实验，阐
释了光的直线传播原理．小孔成像的示意图如图所示，光线经过小孔 ，物体 在幕布
上形成倒立的实像 ．若物体 的高为 ，小孔 到物体和实像的水平距离 ，
分别为 ， ，则实像 的高度为
A． B． C． D．
【解答】解： ，
，
，
，
答：实像 的高度为 ，
故选： ．
7．如图，小明同学用自制的直角三角形纸板 测量树的高度 ，他调整自己的位置，
设法使斜边 保持水平，并且边 与点 在同一直线上．已知纸板的两条直角边
， ，测得边 离地面的高度 ， ，则树高 长
为A． B． C． D．
【解答】解： ， ，
，
，即 ，
解得： ，
，
，
，
即树高 ．
故选： ．
8．大约在两千四五百年前，如图1墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成倒像的实验．
并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”．如图 2所示
的小孔成像实验中，若物距为 ，像距为 ，蜡烛火焰倒立的像的高度是 ，则
蜡烛火焰的高度是
A． B． C． D．
【解答】解：设蜡烛火焰的高度是 ，
由相似三角形对应高的比等于相似比得到： ．
解得 ．
即蜡烛火焰的高度是 ．
故选： ．
二．填空题（共4小题）
9．古希腊数学家泰勒斯曾利用立杆测影的方法，在金字塔影子的顶部直立一根木杆，借助太阳光测金字塔的高度．如图，木杆 长2米，它的影长 是4米，同一时刻测得
是268米，则金字塔的高度 是 13 4 米．
【解答】解：据相同时刻的物高与影长成比例，
设金字塔的高度 为 米，则可列比例为， ，
解得： ，
经检验， 是原方程的解，
．
故答案为：134．
10．如图，小卓利用标杆 测量旗杆 的高度，测得小卓的身高 米，标杆
米， 米， 米，则旗杆 的高度是 9 米．
【解答】解： 的延长线交 于 ，如图，
易得 ， ， ，
，
，
，
，即 ，
，
，
即旗杆 的高度是 ．
故答案为：9．11．有一块三角形的草坪，其中一边的长为 ．在这块草坪的图纸上，这条边的长为
．已知图纸上的三角形的周长为 ，则这块草坪的周长为 3 0 ．
【解答】解：设这块草坪的周长为 ，根据题意可得：
，
解得： ，
故答案为：30．
12．如图是步枪在瞄准时的示意图，步枪上的准星宽度 为 ，目标的正面宽度
为 ，若从眼睛到准星的距离 为 ，则眼睛到目标的距离 为 12 5 ．
【解答】解：设眼睛到目标的距离为 ， ， ，
，
，
，
，
即 ，
解得 ．
答：眼睛到目标的距离 为 ，
故答案为：125．
三．解答题（共3小题）
13．位于沱河南岸的永城沱南生态广场，有座雕塑《汉韵南风袅袅歌》，雕塑由主体和书
着《永城赋》的基座两部分构成（如图），其立意是“这里是汉兴腹地，这里是豫东江南
”九 班数学社团的同学们想利用学过的测量旗杆高度的方法测量这座雕塑（含基座，
下同）的高度（从雕塑周围地平面算起），已知负责测量的小永身高为 米（眼睛以上的高度忽略不计），测量时小永的影长为 米，雕塑的影长为 米；利用小镜测量时，小永
离镜子的距离为 米，镜子离雕塑的最高点所在直线的距离为 米．请你帮助小永选择其
中一个方案，画出图形并计算出雕塑的高度（结果用含字母的式子表示）．
【解答】解： 小永身高为 米（眼睛以上的高度忽略不计），测量时小永的影长为 米，
雕塑的影长为 米，
雕塑的高度 米，
答：雕塑的高度为 米．
14．如图，利用标杆 测量建筑物 的高度．已知标杆 高 ，测得 ，
，点 ， ， 在同一直线上，点 在 上．求该建筑物 的高度．
【解答】解： ， ，
，
，
，
，
， ， ，
，
，
该建筑物 的高度是 ．
15．为了加快城市发展，保障市民出行方便，某市在流经该市的河流上架起一座桥，连通南北，铺就城市繁荣之路．小明和小颖想通过自己所学的数学知识计算该桥 的长．如
图，该桥两侧河岸平行，他们在河的对岸选定一个目标作为点 ，再在河岸的这一边选出
点 和点 ，分别在 、 的延长线上取点 、 ，使得 ．经测量，
米， 米，且点 到河岸 的距离为60米．已知 于点 ，请
你根据提供的数据，帮助他们计算桥 的长度．
【解答】解：如图所示，过 作 于 ，
，
，
，
，
， ，
，
，
，即 ，
解得 ，
桥 的长度为80米．
