专题4.2相似三角形中的动点问题（强化）（解析版）_北师大初中数学_9上-北师大版初中数学_06专项讲练

专题 4.2 相似三角形中的动点问题 【例题精讲】 【例1】如图， 中， 厘米， 厘米，点 从 出发，以每秒2厘米的速 度向 运动，点 从 同时出发，以每秒3厘米的速度向 运动，其中一个动点到端点时， 另一个动点也相应停止运动，设运动的时间为 ． （1）用含 的代数式表示： ， ． （2）当以 ， ， 为顶点的三角形与 相似时，求运动时间是多少？ 【解答】解：（1） ， ． （2） ， 当 时， ，即 ，解得 ； 当 时， ，即 ，解得 ． 运动时间为 秒或4秒． 【例2】如图，在矩形 中， ， ．点 、 、 分别从点 、 三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向移动．点 、 的速度均为 ，点 的 速度为 ，当点 追上点 （即点 与点 重合）时，三个点随之停止移动．设移动开始后第 秒时， 的面积为 （1）当 秒时， 的值是多少？ （2）写出 和 之间的函数解析式，并指出自变量 的取值范围； （3）若点 在矩形的边 上移动，当 为何值时，以点 、 、 为顶点的三角形与以 点 、 、 为顶点的三角形相似？请说明理由． 【解答】解：（1）如图1，当 秒时， ， ， ， ， ， 由 ， ； （2）①如图1，当 时，点 、 、 分别在边 、 、 上移动， 此时 ， ， ， ， ，． ②如图2，当点 追上点 时， ，解得 ， 当 时，点 在边 上移动，点 、 都在边 上移动，此时 ， ， ， ． 即 ． （3）如图 1，当点 在矩形的边 上的边移动时，在 和 中， ， ①若 ，即 ， 解得 ． 所以当 时， ， ②若 即 ，解得 ． 所以当 时， ． 综上所述，当 或 时，以点 、 、 为顶点的三角形与以 、 、 为顶点的 三角形相似． 【题组训练】 2．如图，在 中， ， ， ．现在有动点 从点 出发，沿线段 向终点 运动，动点 从点 出发，沿折线 — 向终点运动．如果点 的 速度是 ，点 的速度是 ．它们同时出发，当有一点到达终点时，另一点也停 止运动．设运动的时间为 秒． （1）如图1， 在 上，当 为多少秒时，以点 、 、 为顶点的三角形与 相 似？ （2）如图2， 在 上，是否存着某时刻，使得以点 、 、 为顶点的三角形与 相似？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）如图1，当 时， ， ． 在 中，由勾股定理，得 ． ， ， ，， ， 如图2，当 时， ， ， ， ． 综上所述， 或 时，以点 、 、 为顶点的三角形与 相似； （2）如图3，当 时， ． ， ， ， ， 当 时，， （舍去）， 时， 在 上，以点 、 、 为顶点的三角形与 相似． 3．如图，在 中， ， ，点 从点 出发，沿 以 的速度向点 运动，同时点 从点 出发，沿 以 的速度向点 运动，当 其中一点到达终点时，另一点也停止运动，设运动时间为 ． （1）当 时，求 的值． （2） 与 能否相似？若能，求出 的长；若不能，请说明理由． 【解答】解：（1）当 时， ， ， ， ， 解得： ； 即当 ， ； （2）能， ①当 时，有 ， 即： ， 解得： ，， ②当 时，有 ， 即： ， 解得： 或 （舍去）， ， 综上所述，当 或 时， 与 相似． 4．在 中， ， ， ，现有动点 从点 出发，沿 向点 方向运动，动点 从点 出发，沿线段 也向点 方向运动，如果点 的速度是 ，点 的速度是 ，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止 运动．设运动时间为 秒．求： （1）当 时，这时， ， 两点之间的距离是多少？ （2）若 的面积为 ，求 关于 的函数关系式． （3）当 为多少时，以点 ， ， 为顶点的三角形与 相似？ 【解答】解：由题意得 ， ，则 ， （1）当 时， ， ， 由勾股定理得 ；（2）由题意得 ， ，则 ， 因此 的面积为 ； （3）分两种情况： ①当 时， ，即 ，解得 ； ②当 时， ，即 ，解得 ． 因此 或 时，以点 、 、 为顶点的三角形与 相似． 5．如图，在 中， ， ，动点 从点 开始沿 边运动，速度为 ；动点 从点 开始沿 边运动，速度为 ；如果 、 两动点同时运动， 那么何时 与 相似？ 【解答】解：设经过 秒时，以 与 相似，则 厘米， 厘米， 厘米， ， 当 时， ，即 ，解得 ； 当 时， ，即 ，解得 ； 即经过2秒或0.8秒时， 与 相似．6．如图，在等腰 中， ， ．点 由点 出发沿 方向向 点 匀速运动，同时点 由点 出发沿 方向向点 匀速运动，它们的速度均为 ． 连接 ，设运动时间为 ，解答下列问题： （1）当 为何值时， 的面积为 ； （2）在点 ， 的运动中，是否存在时间 ，使得 与 相似？若存在，请求出 对应的时间 ；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）分别过点 、 作 、 ，垂足为 、 如图 ， ， ， ． ， ， 解得 解得 ．答： 为5秒时， 的面积为 ． （2）存在．理由如下： ①当 时， ， 即 ， 解得 ， ②当 时， ， 即 ， 解得 ． 答：存在时间 为 或 秒时，使得 与 相似． 7．如图， ， ， ， ．点 从点 出发，以 的 速度沿 向点 匀速运动，同时点 从点 出发，以 的速度沿 向点 匀速运 动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止． （1）求经过几秒后， 的面积等于 面积的 ？ （2）经过几秒， 与 相似？ 【解答】解：（1）设经过 秒， 的面积等于 面积的 ， ，解得： ， 答：经过4秒后， 的面积等于 面积的 ； （2）设经过 秒， 与 相似， 因为 ， 所以分为两种情况：① ， ， 解得： ； ② ， ， 解得： ； 答：经过 秒或 秒时， 与 相似． 8．如图，在 中， ， ， ， 于点 ．点 从点 出发，沿线段 向点 运动，点 从点 出发，沿线段 向点 运动．两点同时出 发．速度都为每秒1个单位长度，当点 运动到 时，两点都停止．设运动时间为 秒． （1）求线段 的长； （2）设 的面积为 ，求 与 之间的函数关系式，并确定在运动过程中是否存在某 一时刻 ，使得 ？若存在，求出 的值；若不存在，说明理由．【解答】解：（1） ， ， ， ， ， ， 解得： ； （2） ， 过点 作 于 ，如图所示： ， ， ， ，即 ， ， ； ， ，即： ， 整理得： ，解得： ， ， 在运动过程中存在某一时刻 ，使得 ， 的值为：3或1.8． 9．如图， ， ，动点 、 分别以每秒 和 的速度同时开始运 动，其中点 从点 出发，沿 边一直移到点 为止，点 从点 出发沿 边一直移 到点 为止，（点 到达点 后，点 继续运动） （1）请直接用含 的代数式表示 的长和 的长，并写出自变量的取值范围． （2）当 等于何值时， 与 相似？ 【解答】解：（1）由题意得： ， ； （2）当 时， ①若 ，则有 ， ，， ， ， ， ， 解得： ， ②当 ，若 ，则有 ， 所以 ， 即 ， 解得： （不符合题意，舍去）； 当 时，点 与 重合， ，只有当 时，有 ， ， ， 解得： ， 综上所述： 在 中，当 时， ， 在 中，当 时， ． 10．如图所示，在矩形 中， ， ．点 沿 边从点 开始向点 以 秒的速度移动，点 沿 边从点 开始向点 以 秒的速度移动，如果 、 同时出发，用 （秒 表示移动的时间 ，那么： （1）点 运动多少秒时， 的面积为 ； （2）当 为何值时， 与 相似？【解答】解：（1）当运动时间为 时， ， ， 依题意得： ， 整理得： ， 解得： ， ． 答：当 为1或5时， 的面积等于 ； （2） ， ， ， ， ， ， ①当 时， ， ， 解得： ； ②当 时， ， ， 解得： ． 当 或1.2时， 与 相似． 11．如图，在 中， ， ．动点 从点 出发，沿 向终点 匀 速运动，速度是 ；同时，动点 从点 出发，沿 向终点 匀速运动，速度是 ．当 与 相似时，求运动的时间．【解答】解：设运动的时间为 ， ①当 时， ，即 ． 解得 ； ②当 时， ，即 ． 解得 ． 综上所述，运动时间为 或 ． 12．如图，在 中， ， ， ，动点 从点 出发， 在 边上以每秒 的速度向点 匀速运动，同时动点 从点 出发，在 边上以每 秒 的速度向点 匀速运动，设运动时间为 秒 ，连接 ． （1）若 ，求 的值； （2）若 与 相似，求 的值． 【解答】解：（1） 在 中， ， ， ， ， ， ． 由题意知： ， ，， ， ， 解得： ． （2）分两种情况：①当 时， 则 ，即 ， 解得： ． ②当 时， 则 ，即 ， 解得： ． 综上所述：当 或 时， 与 相似． 13．从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的 线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形， 另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线．（1）如图①，在 中， 为角平分线， ， ，求证： 是 的完美分割线； （2）如图②，在 中， ， ， 是 的完美分割线，且 是 以 为底边的等腰三角形，求完美分割线 的长． 【解答】解：（1） ， ， ， 不是等腰三角形， 平分 ， ， ， 是等腰三角形， ， ， 是 的完美分割线； （2） ， ， ， ， 设 ，则 ， ， 解得 ， ， ，， ， ， ， ． 14．如图，在平面直角坐标系中，已知 厘米， 厘米，点 从点 开始沿 边向点 以1厘米 秒的速度移动．点 从点 开始沿 边向点 以1厘米 秒的速度移 动．如果 、 同时出发，用 （秒 表示移动的时间 ，那么，当 为何值时， 与 相似？ 【解答】解：①若 时， ，即 ， 整理得： ， 解得： ． ②若 时， ，即 ， 整理得： ， 解得： ． ， 和 均符合题意， 当 或 时， 与 相似．15．如图，矩形 中， ， ，点 为 边上一动点， 交 于点 ． （1）求证： ； （2） 点从 点出发沿 边以每秒1个单位长度的速度向 点移动，移动时间为 秒， 为何值时， ． 【解答】（1）证明： 四边形 是矩形， ， ， ， ； （2）解：当 时， ； ， ， ， ， ， ， ， 解得： ， 即当 时， ．16．如图，在 中， ， ， ，点 从 开始沿 边 向点 以 （厘米 秒）的速度移动；点 从点 开始沿 边向点 以 的 速度移动，如果 ， 同时出发，用 （秒 表示时间 ，那么： （1）点 运动多少秒时， 的面积为 ； （2）当 为何值时，以 、 、 为顶点的三角形与 相似？ 【解答】解：（1） ， ， ， 在 中， ， ， 的面积为 ； ，即 ，解得 ， ； （2）当 时， ，即 ，解得 秒； 当 ， ，即 ，解得 秒．综上所述，当 秒或 秒时，以 、 、 为顶点的三角形与 相似． 17．如图、在 中， ， ， ，点 在线段 上以每秒1个单 位的速度从点 向点 运动，同时点 在线段 上以同样的速度从点 向点 运动， 运动的时间用 （单位：秒）表示． （1）求线段 的长； （2）求当 为何值时， 与 相似？ 【解答】解：（1） ， ， ， ； （2） 点 在线段 上以每秒1个单位的速度从点 向点 运动，同时点 在线段 上以同样的速度从点 向点 运动， ， ， 当 时， ， 则 ， ， ； 当 时， ， ，， 当 或 时，经检验，它们都符合题意，此时 相似． 18．如图，正方形 的边长为4， 是 边的中点，点 在射线 上，过 作 于 ． （1）求证： ； （2）当点 在射线 上运动时，设 ，是否存在实数 ，使以 ， ， 为顶点 的三角形也与 相似？若存在，请求出 的值；若不存在，说明理由． 【解答】（1）证明： ， ． ， ． （2）解：若 ，则 ． ． 四边形 为矩形． ，即 ． 若 ，则 ． ， ． ． ， 点 为 的中点． ， ．，即 ， ，即 ． 满足条件的 的值为2或5． 20 ． 如 图 ， 在 中 ， ， ， （1）图1中共有 3 对相似三角形，写出来分别为 （不需证明）； （2）已知 ， ，请你求出 的长； （3）在（2）的情况下，如果以 为 轴， 为 轴，点 为坐标原点 ，建立直角坐 标系（如图 ，若点 从 点出发，以每秒1个单位的速度沿线段 运动，点 出 点 出发，以每秒1个单位的速度沿线段 运动，其中一点最先到达线段的端点时，两点即刻同时停止运动；设运动时间为 秒，是否存在点 ，使以点 、 、 为顶点的三角形与 相似？若存在，请求出点 的坐标；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）图1中共有3对相似三角形，分别为： ， ． 故答案为3， ， ， ； （2）如图1，在 中， ， ， ， ． 的面积 ， ； （3）存在点 ，使以点 、 、 为顶点的三角形与 相似，理由如下： 在 中， ， ， ， ． 分两种情况： ①当 时，如图2①，此时 ， ， ， 解得 ，即 ， ． 在 中，由勾股定理，得 ， 点 的坐标为 ；②当 时，如图2②，此时 ， ， ， 解得 ，即 ， ． 过点 作 轴于点 ． ， ，即 ， ． 在 中， ， ， 点 的坐标为 ． 综上可得，点 的坐标为 或 ．