专题4.2全等三角形（解析版）_北师大初中数学_7下-北师大版初中数学_7下-初中数学北师大版（旧版）赠送_06专项讲练_七年级数学下册单元题型精练（基础题型+强化题型）（北师大版）

专题 4.2 全等三角形 识别全等图形 【例1】观察下面的6组图形，其中是全等图形的有 A．3组 B．4组 C．5组 D．6组 【解答】解：观察图①④⑤⑥四组图形经过平移、旋转、对折后能够完全重合，是全等图 形， 故选： ． 【变式训练1】下列各组图形中，属于全等图形的是 A． B． C． D． 【解答】解： 、两个图形不能完全重合，故本选项错误； 、两个图形，不能完全重合，故本选项错误； 、两个图形能完全重合，故本选项正确； 、两个图形不能够完全重合，故本选项错误． 故选： ． 【变式训练2】下列各选项中的两个图形属于全等形的是A． B． C． D． 【解答】解： 、两个图形能够完全重合，是全等图形，符合题意； 、两个图形大小不同，不能完全重合，不是全等图形，不符合题意； 、两个图形大小不同，不能完全重合，不是全等图形，不符合题意； 、两个图形形状不同，不能完全重合，不是全等图形，不符合题意； 故选： ． 【变式训练3】下列图形中被虚线分成的两部分不是全等形的是 A． B． C． D． 【解答】解： 、长方形被对角线分成的两部分是全等形； 、正六边形被对角线分成的两部分是全等形； 、梯形被对角线分成的两部分不是全等形； 、圆被对角线分成的两部分是全等形， 故选： ． 全等的判断 【例2】工人师傅常常利用角尺构造全等三角形的方法来平分一个角，如图，在 的 两边 、 上分别取 ，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点 、 重 合，这时过角尺顶点 的射线 就是 的平分线．这里构造全等三角形的依据是A． B． C． D． 【解答】解： 移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点 、 重合， ， 在 和 中， ， ， ， 即 是 的平分线， 故选： ． 【变式训练1】我国传统工艺中，油纸伞制作非常巧妙，其中蕴含着数学知识．如图是油纸 伞的张开示意图， ， ，则 的依据是 A． B． C． D． 【解答】解：在 和 中， ， ，故选： ． 【变式训练2】如图，已知 ， ，要证 ，证明中判定两个三角形全 等的依据是 A．角角角 B．角边角 C．边角边 D．角角边 【解答】解：在 与 中， ， 则 ． ． 故选： ． 【变式训练3】如图，已知 ， ，使能得到 ，这所依据的是 A． B． C． D． 【解答】解：在 和 中， ， ，故选： ． 【例3】如图，点 在 上， ， ，则补充下列条件，不一定能使 的是 A． B． C． D． 【解答】解： 、添加 时， 不能判定 ，故 选项符合题意； 、添加 ，根据 ，能判定 ，故 选项不符合题意； 、由 ，可得 ，所以添加 ，根据 ，能 判定 ，故 选项不符合题意； 、由 ，可得 ，所以添加 ，根据 ，能判定 ，故 选项不符合题意； 故选： ． 【变式训练1】如图， ， ，欲证 ，则可增加的条件时 A． B． C． D． 【解答】解： ． ， ， ，不符合全等三角形的判定定理， 不能推出 ，故本选项不符合题意； ． ， ， ，不符合全等三角形的判定定理，不能推出 ，故本选项不符合题意； ． ， ， ，不符合全等三角形的判定定理，不能推出 ，故本选项不符合题意； ． ， ，即 ， ， ， ，符合全等三角形的判定定理 ，能推出 ，故本选项符合题意； 故选： ． 【变式训练2】如图，已知 ，那么添加下列一个条件后，仍无法判定 的是 A． B． C． D． 【解答】解： 、添加 ，根据 ，能判定 ，故 选项不符合题 意； 、添加 ，根据 ，能判定 ，故 选项不符合题意； 、添加 时，根据 ，能判定 ，故 选项不符合题意； 、添加 ， 不能判定 ，故 选项符合题意； 故选： ． 【变式训练3】如图，在 和 中， ， ，添加下列条件中的一 个仍无法证明 的是 A． B． C． D． 【解答】解： ， ， 即 ， ． ， ， ，符合全等三角形的判定定理 ，能推出 ，故本选项不符合题意； ． ， ， ，不符合全等三角形的判定定理，不能推出，故本选项符合题意； ． ， ， ，符合全等三角形的判定定理 ，能推出 ，故本选项不符合题意； ． ， ， ，符合全等三角形的判定定理 ，能推出 ，故本选项不符合题意； 故选： ． 求线段长度 【例4】如图， 是 上一点， 交 于点 ， ， ，若 ， ，则 的长是 A．1 B．2 C．3 D．4 【解答】解： ， ， ， 在 和 中， ， ， ， ， ． 故选： ． 【变式训练1】如图，已知点 、 、 、 在同一条直线上， ， ， ，如果 ， ，那么 的长等于A．1 B． C．2 D．3 【解答】解： ， ， ， ， 在 和 中， ， ， ， ， ， ． 故选： ． 【变式训练2】如图，直线 上有三个正方形 、 、 ，若正方形 、 的边长分别为4 和6，则正方形 的面积为 A．26 B．49 C．52 D．64 【解答】解：如图，正方形 ， 的边长分别为4和6， ， ， 由正方形的性质得： ， ， ， ， ， 在 和 中， ， ， ， ， ， ， 正方形 的面积为 ， 故选： ． 【变式训练3】如图，在 中， ， ，垂足分别为 ， ， ， 交于点 ，已知 ， ，则 的长是 A．1 B． C．2 D． 【解答】解： ， ，， ， ， ， 又 ， ， 在 和 中， ， ， ， ， 故选： ． 求对应角度 【例5】如图，在 与 中，点 在 上， ， ， ， 交 于点 ， ，则 A． B． C． D． 【解答】解：在 和 中， ， ，， ， ， 故选： ． 【变式训练1】如图，在 和 中， ， ， ，则 A． B． C． D． 【解答】解：如图， ， ， ， 在 和 中， ， ， ． 故选： ． 【变式训练2】如图，已知 ， ， ，则 的度数为A． B． C． D． 【解答】解：在 和 中， ， ， ， ， ， ， 故选： ． 【变式训练3】如图， 是 平分线上的一点， 于点 ， 于点 ， 连结 ，若 ，则 A． B． C． D． 【解答】解： 平分 ， ， ， ， ， ， ，， ， 点 与点 都在 的垂直平分线上， 是 的垂直平分线， ， ， ， ， 故选： ． 平移型型全等证明题 【例6】如图，已知 ， ， ． （1）求证： ； （2）若 ， ，求 的度数． 【解答】（1）证明： ， ， ， ， 在 和 中， ， ， ； （2）解： ， ， ， ， ． 【变式训练1】如图，点 、 、 、 在同一直线上，点 、 在 的异侧， ， ， ．（1）求证： ； （2）若 ， ，求 的度数． 【解答】（1）证明： ， ， 在 与 中， ， ， （2）解：由（1）知， ， ， ， ， ， ， 又 ， ， ． 【变式训练2】已知，如图 、 、 、 在同一条直线上， ， ， ． 求证：（1） ； （2） ． 【解答】（1）， ， ，且 ， ， （2） 对称型全等证明题 【例7】如图，点 ， ， ， 在同一条直线上， ， ， ， 与 交于点 ． 求证：（1） ； （2） ． 【解答】证明：（1） ， ， 在 和 中， ， ； （2） ， ， ． 【变式训练1】如图， 平分 ， ． （1）求证： ； （2）若 ， ，求 的度数．【解答】（1）证明： 平分 ， ， 在 和 中， ， ； （2）解： ， 而 ， ， ， ， ． 【变式训练2】如图：点 、 在 上， ， ， ， 与 交 于点 ．过点 作 ，垂足为 ． （1）求证： ； （2）求证： ． 【解答】证明：（1） ， ， ，在 与 中， ， ； （2） ， ， ， 又 ， 平分 ， ． 旋转型全等证明题 【例8】如图， ， ， ，点 在 边上． （1）求证： ． （2）若 ，求 的度数． 【解答】（1）证明： ， ， ， 在 和 中 ；（2） ， ， ， ， ， ， ， ， 即 是 ． 【变式训练1】如图，点 在 上， ， 交于点 ， ， ， ． （1）求证： ； （2）若 ，求 的度数． 【解答】（1）证明： ， ， 即： ， 在 和 中， ， ； （2）由（1）可知： ， ， ， ， ， ，． 【变式训练2】如图，在 中， ， ，点 为 内一点， ， 为 延长线上的一点，且 ． （1）求证 平分 ； （2）请判断 ， ， 之间的数量关系，并说明理由． 【解答】（1）证明： ， ． ， ， ， ． 在 与 中， ， ， ， 是 的外角， ， ， ， ， ， ， 平分 ．（2） ，理由如下： 在 上取点 ，使 ，连接 ． ， ， ， ， 为等边三角形， ， ． 在 与 中， ， ． ， ， ． 尺规作图（一个角与已知角相等） 【例9】已知： ， （如图）． （1）求作：以 为一边，作 ．（要求：仅用直尺和圆规作图，不写作法， 保留作图痕迹） （2）若 ， ，则 的度数为 或 ．【解答】解：（1）如图， ， 即为所求； （2） ， ， 或 ． 故答案为： 或 ． 【变式训练1】如图，在 中， ． （1）尺规作图：在 的内部作射线 ，交 于 ，使得 ；（不写 作法，保留作图痕迹） （2）若（1）中 ， ，求 的长． 【解答】解：（1）如图，射线 即为所求作． （2） ， ， ， ， ， ．【变式训练2】如图，在 中， ． 平分 ． （1）尺规作图：以 为顶点，作 ，交线段 于点 （不写作法，保留 作图痕迹）； （2）在（1）所作的图中，连接 ，猜想 与 的数量关系，并加以证明． 【解答】（1）解：如图，射线 即为所求作． （2）猜想： ． 证明：由作图可知， ， ， ， 平分 ， ， ． 尺规作图（角平分线） 【例10】如图， 中， ， 于 ． （1）尺规作图：作 的角平分线，交 于点 ，交 于点 （保留作图痕迹，不 写作法）； （2）若 ，求 的度数． 【解答】解：（1）如图，射线 即为所求；（2） ， ， ， 平分 ， ， ， ， ， ， 即 的度数为 ． 【变式训练1】如图，在 中， ． （1）作 的平分线 交边 于点 ．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）． （2）在（1）的条件下，若 ，求 的度数． 【解答】解：（1）如图， 为所作； （2） 平分 ， ， ． 【变式训练2】在给出的图形中，完成以下作图（尺规作图，保留作图痕迹） ①作 的平分线 ，交 于点 ；②延长 到 ，使 ，连接 ． 【解答】解：如图所示：射线 和线段 即为所求． ． 全等三角形的应用 【例11】小琪同学在数学实践活动课上，老师要求她利用所学几何知识测量出学校门前小 河的宽度（即图中 的长），经过思考探究，小琪设计方案如下： 如图，先测量出 ， ，点 、 、 在同一直线上，点 ， ， 在同一直线上，测量出 ，小琪就知道河面宽度 的长了．则你认为河宽 是多 少？请说明理由． 【解答】解：河宽为8米，理由如下： 在 和 中， ． ． ． 【变式训练1】如图， ， 两点分别位于一个池塘的两端，小明通过构造 与 来测量 ， 间的距离，其中 ， ．那么量出的 的长度就是 的距离．请你判断小明这个方法正确与否，并给出相应理由．【解答】解：正确；理由如下： 在 与 中， ． ． ． 【变式训练2】王强同学用10块高度都是 的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直 的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板 ，点 在 上，点 和 分别与木墙的顶端重合． （1）求证： ； （2）求两堵木墙之间的距离． 【解答】（1）证明：由题意得： ， ， ， ， ， ， ， 在 和 中 ，； （2）解：由题意得： ， ， ， ， ， ， 答：两堵木墙之间的距离为 ． 【变式训练3】小明利用一根 长的竿子来测量路灯的高度．他的方法是这样的：在路灯 前选一点 ，使 ，并测得 ，然后把竖直的竿子 在 的 延长线上移动，使 ，此时量得 ．根据这些数据，小明计算出了路 灯的高度．你知道小明计算的路灯的高度是多少？为什么？ 【解答】解： ， ， ， ， 在 和 中 ， ， ， ， ， ， 答：路灯的高度 是8.2米．