第20讲利用导数研究函数的单调性（原卷版）_2.2025数学总复习_2024年新高考资料_1.2024一轮复习_2024年高考数学一轮复习精品导学案（新高考）

第 20 讲 利用导数研究函数的单调性
1. 函数的单调性
设函数y＝f(x)在某个区间内可导，若f′(x) 0，则f(x)为增函数，若f′(x) 0，则f(x)为减函数．
2. 求可导函数f(x)单调区间的步骤：
(1) 确定f(x)的 ；
(2) 求导数f′(x)；
(3) 令f′(x) 0(或f′(x) 0)，解出相应的x的取值范围；
(4) 当 时，f(x)在相应区间上是增函数，当 时，f(x)在相应区间上是减函数．
3. 常用结论
(1) f′(x)>0(或f′(x)<0)是f(x)在(a，b)内单调递增(或递减)的充分不必要条件．
(2) f′(x)≥0(或f′(x)≤0)(f′(x)不恒等于0)是f(x)在(a，b)内单调递增(或递减)的充要条件．
(3) 对于可导函数f(x)，“f′(x)＝0”是“函数f(x)在x＝x 处有极值”的必要不充分条件．
0 0
31 1 1
1、【2022年全国甲卷】已知a= ,b=cos ,c=4sin ，则（ ）
32 4 4
A．c>b>a B．b>a>c C．a>b>c D．a>c>b
1
2．【2022年新高考1卷】设a=0.1e0.1,b= ，c=−ln0.9，则（ ）
9
A．a<b<c B．c<b<a C．c<a<b D．a<c<b
1、.函数f(x)＝3＋xln x的单调递减区间是( )
A. B.
C. D.
2、函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d的图像如图，则函数y＝ax2＋bx＋的单调递增区间是( )
第2题图
A. (－∞，－2]
B.
C.
D.
3、函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的图象可能是( )A B C D
4、 下列函数中，在区间(0，＋∞)上单调递增的是( )
A. f(x)＝sin 2x
B. g(x)＝x3－x
C. h(x)＝xex
D. m(x)＝－x＋ln x
考向一 求函数的单调区间
例1、求下列函数的单调区间：
(1)f(x)＝x3－x2－2x＋3；
(2)g(x)＝x2－2lnx.
变式1、知函数f(x)＝x＋＋ln x，求函数f(x)的单调区间．
变式2、(1) 函数f(x)＝的减区间是( )
A. (－∞，2) B. (2，＋∞)
C. D. (3，＋∞)
(2) 设f(x)＝，讨论f(x)的单调性．
3) 已知x∈(0，π)，则函数f(x)＝excosx的增区间为( )
A. B.
C. D.
方法总结：1. 利用导数求函数f(x)的单调区间的一般步骤为：(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求导函数f′
(x)；(3)在函数f(x)的定义域内解不等式f′(x)＞0和f′(x)<0；(4)根据(3)的结果确定函数f(x)的单调区间．
2. 利用导数求函数单调性，在对函数求导以后要对导函数进行整理并因式分解，方便后面求根和判断导函
数的符号．
考向二 给定区间求参数的范围
例2、已知函数f(x)＝x3－ax－1.若f(x)在R上为增函数，求实数a的取值范围．变式1、 f(x)＝x3－ax－1若f(x)在区间(－1，1)上为减函数，求实数a的取值范围．
变式2、f(x)＝x3－ax－1若f(x)的单调减区间为(－1，1)，求实数a的值．
变式3、 f(x)＝x3－ax－1若f(x)在区间[1，＋∞)上不具有单调性，求实数a的取值范围．
变式4、 (2022·河北省级联测)若函数f(x)＝(x2＋mx)ex在上存在减区间，则m的取值范围是 .
方法总结： 1.明晰导数概念及其几何意义在解题中的应用，强化方程的思想，培养基本运算能力．
2. 辨析区间上单调和区间上存在单调区间的本质区别和处理策略的不同，提升参变分离和构造函数等
解决问题的方法和技巧，感悟数学解题背后的思维和内涵．
考向三 函数单调区间的讨论
1 1 
f x x m lnx mR
例3、已知函数 x   x   ．当 m>1 时，讨论 f x 的单调性；
变式1、已知函数f(x)＝ax2－(a＋1)x＋lnx，a>0，试讨论函数y＝f(x)的单调性．变式2、已知函数f(x)＝(a－1)ln x＋ax2＋1，讨论函数f(x)的单调性．
方法总结： 对含参函数的合理分类，关键是找到引起分类讨论的原因．
2. 会对函数进行准确求导，求导以后进行整理并因式分解，其中能否因式分解、每个因式系数的正负、根
的大小等都是引起分类讨论的原因．
考向四 构造函数研究单调性
 
0,
例4、（多选题）已知定义在   2  上的函数 f x 的导函数为 f x ，且 f 00，
f(x)cosx f(x)sinx0
，则下列判断中正确的是( )
 6   
f  f f ln 0
     
A．  6  2  4 B．  3
   
f  3f f  2f
       
C．  6   3 D．  4  3
变式1、（2022·重庆市育才中学模拟预测）（多选题）已知函数 对于任意的 都有
，则下列式子成立的是（ ）
A． B．
C． D．
变式2、（2022·江苏盐城·三模）已知 为 的导函数，且满足 ，对任意的 总有，则不等式 的解集为__________．
方法总结：(1)对于不等式f′(x)＋g′(x)>0(或<0)，构造函数F(x)＝f(x)＋g(x)；
(2)对于不等式f′(x)－g′(x)>0(或<0)，构造函数F(x)＝f(x)－g(x)；
特别地，对于不等式f′(x)>k(或<k)(k≠0)，构造函数F(x)＝f(x)－kx.
(3)对于不等式f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)>0(或<0)，构造函数F(x)＝f(x)g(x)；
(4)对于不等式f′(x)g(x)－f(x)g′(x)>0(或<0)，构造函数F(x)＝(g(x)≠0)；
(5)对于不等式xf′(x)＋f(x)>0(或<0)，构造函数F(x)＝xf(x)；
(6)对于不等式xf′(x)－f(x)>0(或<0)，构造函数F(x)＝(x≠0)
1、（2022·广东惠州·二模）若函数 在 上单调递增，则实数 的取值范围是______．
，若 在 上存在单调递增区间，则 的取值范围是_______
2、
3、（2022·江苏·南京市宁海中学二模）已知 是可导的函数，且 ，对于 恒成立，
则下列不等关系正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4、（2022·辽宁·大连二十四中模拟预测）已知函数 ，若 且 ，则有
（ ）
A． 可能是奇函数，也可能是偶函数 B．
C． 时， D．