第20讲利用导数研究函数的单调性（原卷版）_2.2025数学总复习_2024年新高考资料_1.2024一轮复习_2024年高考数学一轮复习精品导学案（新高考）

第 20 讲 利用导数研究函数的单调性 1. 函数的单调性 设函数y＝f(x)在某个区间内可导，若f′(x) 0，则f(x)为增函数，若f′(x) 0，则f(x)为减函数． 2. 求可导函数f(x)单调区间的步骤： (1) 确定f(x)的 ； (2) 求导数f′(x)； (3) 令f′(x) 0(或f′(x) 0)，解出相应的x的取值范围； (4) 当 时，f(x)在相应区间上是增函数，当 时，f(x)在相应区间上是减函数． 3. 常用结论 (1) f′(x)>0(或f′(x)<0)是f(x)在(a，b)内单调递增(或递减)的充分不必要条件． (2) f′(x)≥0(或f′(x)≤0)(f′(x)不恒等于0)是f(x)在(a，b)内单调递增(或递减)的充要条件． (3) 对于可导函数f(x)，“f′(x)＝0”是“函数f(x)在x＝x 处有极值”的必要不充分条件． 0 0 31 1 1 1、【2022年全国甲卷】已知a= ,b=cos ,c=4sin ，则（ ） 32 4 4 A．c>b>a B．b>a>c C．a>b>c D．a>c>b 1 2．【2022年新高考1卷】设a=0.1e0.1,b= ，c=−ln0.9，则（ ） 9 A．a1 时，讨论 f x 的单调性； 变式1、已知函数f(x)＝ax2－(a＋1)x＋lnx，a>0，试讨论函数y＝f(x)的单调性．变式2、已知函数f(x)＝(a－1)ln x＋ax2＋1，讨论函数f(x)的单调性． 方法总结： 对含参函数的合理分类，关键是找到引起分类讨论的原因． 2. 会对函数进行准确求导，求导以后进行整理并因式分解，其中能否因式分解、每个因式系数的正负、根 的大小等都是引起分类讨论的原因． 考向四 构造函数研究单调性   0, 例4、（多选题）已知定义在   2  上的函数 f x 的导函数为 f x ，且 f 00， f(x)cosx f(x)sinx0 ，则下列判断中正确的是( )  6    f  f f ln 0       A．  6  2  4 B．  3     f  3f f  2f         C．  6   3 D．  4  3 变式1、（2022·重庆市育才中学模拟预测）（多选题）已知函数 对于任意的 都有 ，则下列式子成立的是（ ） A． B． C． D． 变式2、（2022·江苏盐城·三模）已知 为 的导函数，且满足 ，对任意的 总有，则不等式 的解集为__________． 方法总结：(1)对于不等式f′(x)＋g′(x)>0(或<0)，构造函数F(x)＝f(x)＋g(x)； (2)对于不等式f′(x)－g′(x)>0(或<0)，构造函数F(x)＝f(x)－g(x)； 特别地，对于不等式f′(x)>k(或0(或<0)，构造函数F(x)＝f(x)g(x)； (4)对于不等式f′(x)g(x)－f(x)g′(x)>0(或<0)，构造函数F(x)＝(g(x)≠0)； (5)对于不等式xf′(x)＋f(x)>0(或<0)，构造函数F(x)＝xf(x)； (6)对于不等式xf′(x)－f(x)>0(或<0)，构造函数F(x)＝(x≠0) 1、（2022·广东惠州·二模）若函数 在 上单调递增，则实数 的取值范围是______． ，若 在 上存在单调递增区间，则 的取值范围是_______ 2、 3、（2022·江苏·南京市宁海中学二模）已知 是可导的函数，且 ，对于 恒成立， 则下列不等关系正确的是（ ） A． B． C． D． 4、（2022·辽宁·大连二十四中模拟预测）已知函数 ，若 且 ，则有 （ ） A． 可能是奇函数，也可能是偶函数 B． C． 时， D．