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专题 27.6 图形的位似变换
◆ 典例分析
【典例1】如图，在坐标系中，阴影所示的两个正方形是位似形，则位似中心的坐标为
【思路点拨】
本题考查了位似图形，以及求位似中心，连接对应点，存在两种情况，第一：位似中心在两个图形的中
间，第二：位似中心在第二象限，根据位似图形的性质，相似比等于对应点到位似中心的距离比，即可作
答．
【解题过程】
解：如图：位似中心在两个图形的中间，连接对应点，相交于点H，HE⊥x轴，
∵两个正方形是位似形，
AB AH BH 1
∴ = = = ，
DC HD CH 2
∵AB⊥x轴，HE⊥x轴，
∴△ABD∽△HED，
2 2
则BD=4−1=3，ED= BD= ×3=2，
1+2 3
∴BE=1，
故OE=2，
BD AB
∴ = ，
OD HO3 1
即 = ，
2 HO
2
则HO= ，
3
( 2)
此时位似中心为 2， ；
3
如图：位似中心在两个图形的中间，连接对应点，相交于点H，
∵两个正方形是位似形，
AB AH BH 1
∴ = = = ，
DC HD CH 2
∵AB⊥x轴，DC⊥x轴，
∴△ABH∽△DCH，
HB HB AB 1
∴ = = = ，
HC HB+4 DC 2
故HB=4，
由于点H在x轴的负半轴上，
此时位似中心为(−4，0)；
( 2)
综上：位似中心为(−4，0)或 2， ，
3
( 2)
故答案为：(−4，0)或 2， ．
3
◆ 学霸必刷
1．（24-25九年级上·重庆·阶段练习）如图，△ABC和△≝¿是以点O为位似中心的位似图形，
OC:CF=1:2，若S ，则S 为（ ）
△≝¿=36¿ △ABCA．6 B．3 C．4 D．8
2．（23-24九年级下·山东菏泽·开学考试）如图，在△ABC中，A,B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标
是(−1,0)，以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A′B′C，使得△A′B′C的边长是
( 1)
△ABC的边长的2倍．设点B的坐标是 −3, ，则点B′的坐标是（ ）
2
A．(3,−1) B．(4,−1) C．(5,−2) D．(6,−1)
3．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，正方形ABCD的两边BC，AB分别在平面直角坐标系的x、y
轴的正半轴上，正方形A′B′C′D′与正方形ABCD是以AC的中点O′为中心的位似图形，已知AC=3❑√2，
若点A′的坐标为(1,2)，则正方形A′B′C′D′与正方形ABCD的相似比是（ ）
1 1 1 2
A． B． C． D．
6 3 2 3
4．（2024·浙江嘉兴·模拟预测）如图，△ABC与△≝¿是位似图形，BC,EF都与x轴平行，点A，D与位
似中心点P都在x轴上，点C，E在y轴上．若点B的坐标是(2,3)，点F的横坐标为−1，则点P的坐标为（ ）
A．(−2,0) B．(0,−2) C．(−1.5,0) D．(0,−1.5)
5．（2024·浙江温州·一模）如图，在平面直角坐标系中，等边△OAB的顶点O(0,0)，B(1,0)，已知
△OA′B′与△OAB位似，位似中心是原点O，且△OA′B′的面积是△OAB面积的16倍，则点A对应点A′
的坐标为（ ）
A．(1 ❑√3) B． 或
, (2❑√3,2) (−2❑√3,−2)
2 2
C． D． 或
(4,4❑√3) (2,2❑√3) (−2,−2❑√3)
6．（2024·重庆·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△DEC是以点C为位似中心的位似图
形，若点A坐标为(5,4)，点C的坐标为(3,0)，且AB=2DE，则点D的坐标为（ ）
A．(2,2) B．(2,−2) C．(1,2) D．(1,−2)
7．（24-25九年级上·山东聊城·阶段练习）如图，正方形OEFG和正方形ABCD是位似图形，点F的坐标
为(−1,−1)，点A的坐标为(3,2)，则这两个正方形位似中心的坐标是 （ ）A．(1,0) B．(−5,−1)
C．(1,0)或(−5,−1) D．(1,0)或(−5,−2)
8．（23-24九年级上·湖南长沙·期末）如图，点O是等边三角形PQR的中心，P′，Q′，R′分别是OP，
OQ，OR的中点，则△P′Q′R′与△PQR是位似三角形．此时，△P′Q′R′与△PQR的位似比为 ．
9．（23-24九年级上·江西吉安·期末）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原
点O为位似中心的位似图形，且相似比为1:2，点A，B，E在x轴上，若OA=2，则点G的坐标为
．
10．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，在平行四边形ABCD中，以C为位似中心，作平行四边形
ABCD的位似平行四边形PECF，且与原图形的位似比为2:3，连接BP，DP，若平行四边形ABCD的面
积为20，则△PBE与△PDF的面积之和为
11．（23-24九年级上·河南平顶山·期末）如图，△AOC中三个顶点的坐标分别为(4,0)、(0,0)、(4,3)，
AP为△AOC的一条中线，以O为位似中心，把△AOP每条边扩大到原来的2倍，得到△A′OP′，则PP′
的长为 ．12．（2023·吉林长春·模拟预测）如图，△ABC中，AC=BC,∠ACB=90°，三个顶点均在坐标轴上，B
1
的坐标为(1,0)，将△ABC位似缩小到原来的 ，得到△A′B′C′，当点B的对应点B′的坐标为(0,3)时，则点
2
C的对应点C′的坐标为 ．
13．（23-24九年级上·四川成都·期中）已知正方形ABCD的边长为4，点P是该正方形边上一点，以P为
1
位似中心，作正方形A B C D ∽正方形ABCD，相似比为 ，则点A 与点B的最大距离为
1 1 1 1 2 1
；连接A C ，若△PA C 的周长为3+2❑√2，则△PA C 的面积为 ．
1 1 1 1 1 1
14．（24-25九年级上·吉林长春·期中）如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=3，点D是AB的
中点，连接CD，AE⊥CD分别交CD、AB于点F、E．给出下面四个结论：①AB=2CD；②
2
△ECF∽△ABC；③△ACF和△EDF是以点F为位似中心的位似图形；④S = S ．上述结
四边形ACED 3 △ABC
论中，所有正确结论的序号是 ．
15．（24-25九年级上·全国·单元测试）如图，正方形ABCD与正方形EFGH是位似图形，已知A(0,5)，D(0,3)，E(0,1)，H(0,4)，求位似中心的坐标．
16．（24-25九年级上·四川巴中·阶段练习）如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方
格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，△ABC的顶点都在格点上．
（1）将△ABC向下平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度得到△A B C ，请画出△A B C ；
1 1 1 1 1 1
（2）以O为位似中心，画出△A B C 的位似图形图形△A B C ，使放大后的位似比为1：2；
1 1 1 2 2 2
（3）点P是x轴上一动点，则PB+PC的最小值是______．
17．（23-24九年级上·河南南阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点都在网格的格点上，按
要求解决下列问题．（1）画出△ABC关于y轴的轴对称图形△A B C ；
1 1 1
（2）以原点O为位似中心，在第一象限内出画出△A B C ，使得△A B C 与△A B C 位似，且相似比
2 2 2 1 1 1 2 2 2
为1：3．并写出△ABC与△A B C 的面积之比为 ；
2 2 2
（3）在（1）、（2）的条件下，设△ABC内一点P的坐标为(a，b)，则△A B C 内与点P的对应点P
2 2 2 2
的坐标为 ．
18．（23-24九年级上·江苏常州·阶段练习）如图，在10×10的正方形方格中，每个小正方形的边长为1，
顶点都在网格线交点处的三角形叫作格点三角形，如图建立平面直角坐标系，已知△ABC三个顶点的坐标
分别是A(2，2)，B(4，0)，C(4，−4)．
（1）经过A，B，C三点的圆弧所在圆的圆心M的坐标为 ；
（2）在图中，以点O为位似中心画△A B C ，使它与△ABC的位似比为1：2；
1 1 1（3）若有一个格点三角形与△ABC相似，且它与△ABC有一条公共边和一个公共角∠ABC，请直接写出
满足上述条件的三角形未知顶点的坐标 ．
19．（23-24九年级下·山东德州·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，△AOB的顶点坐标分别为
A(2,1)、O(0,0)、B(1,−2)．
（1）画出将△AOB向左平移3个单位，再向上平移1个单位后的△A O B ；
1 1 1
（2）以原点O为位似中心，位似比为1:2，在y轴的左侧，画出将△A O B 放大后的△A O B ；
1 1 1 2 2 2
（3）判断△AOB与△A O B ，能否是关于某一点Q为位似中心的位似图形，若是，请直接写出点Q的坐
2 2 2标．
20．（2023·山东济南·三模）平面内，先将一个多边形以自身的一个顶点为位似中心放大或缩小，再将所
得多边形沿过该点的直线翻折，称这种变换为自位似轴对称变换，变换前后的图形成自位似轴对称．例
如：如图1，先将△ABC以点A为位似中心缩小，得到△ADE，再将△ADE沿过点A的直线l翻折，得到
△AFG，则△ABC和△AFG成自位似轴对称．
（1）如图2，在△ABC中，∠ACB=90°，AC
