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专题 27.6 图形的位似变换【八大题型】
【人教版】
【题型1 位似图形的相关概念辨析】...................................................................................................................1
【题型2 判断位似中心】.......................................................................................................................................2
【题型3 求位似图形的相似比】...........................................................................................................................3
【题型4 求位似图形的长度】...............................................................................................................................4
【题型5 求位似图形的面积】...............................................................................................................................5
【题型6 求位似图形的周长】...............................................................................................................................6
【题型7 求位似图形的坐标】...............................................................................................................................8
【题型8 格点中作位似图形】...............................................................................................................................9
【知识点1 位似图形】
1、定义：一般的，如果两个相似多边形任意一组对应顶点 , 所在的直线都经过同一点 ，且有
= ，那么这样的两个多边形叫做位似多边形，点 叫做位似中心
2、性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比
3、画图步骤：
（1）尺规作图法：① 确定位似中心；②确定原图形中的关键点关于中心的对应点；③描出新图形
（2）坐标法：在平面直角坐标系中，将一个多边形每个顶点的横坐标、纵坐标都乘于同一个数 ，
所对应的图形与原图形位似，位似中心是坐标原点，它们的相似比为
【题型1 位似图形的相关概念辨析】
【例1】（2022·全国·九年级专题练习）下列命题：①两个相似多边形面积之比等于相似比的平方：②两个
AB AC
相似三角形的对应高之比等于它们的相似比；③在△ABC与△A'B'C'中， = ，∠A=∠A'，那
A'B' A'C'
么△ABC∼△A'B'C'；④已知△ABC及位似中心O，能够作一个且只能作一个三角形与△ABC位似，使
位似比为2其中真命题的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式1-1】（2022·江苏·九年级专题练习）下列语句中，不正确的是（ ）A．位似的图形都是相似的图形
B．相似的图形都是位似的图形
C．位似图形的位似比等于相似比
D．位似中心可以在两个图形外部，也可以在两个图形内部
【变式1-2】（2022·四川达州·九年级期末）下列说法中正确的有（ ）
①位似图形都相似；
②两个等腰三角形一定相似；
③两个相似多边形的面积比是2:3，则周长比为4:9；
④若一个矩形的四边形分别比另一个矩形的四边形长2，那么这两个矩形一定相似．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式1-3】（2022·山东青岛·九年级单元测试）关于对位似图形的4个表述中：
①相似图形一定是位似图形，位似图形一定是相似图形；
②位似图形一定有位似中心；
③如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，那么，这两个图形是位似
图形；
④位似图形上任意两点与位似中心的距离之比等于位似比．
正确的个数( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【题型2 判断位似中心】
【例2】（2022·全国·九年级专题练习）如图，正方形OEFG和正方形ABCD是位似图形，且点D与点G
是一对对应点，点D(2，2)，点G(0，1)，则它们位似中心的坐标是（ ）
A．(-2，0) B．(-1，0) C．(0，0) D．(-3，0)
【变式2-1】（2022·北京师大附中九年级阶段练习）图中的两个三角形是位似图形，它们的位似中心是（）
A．点P B．点O C．点M D．点N
【变式2-2】（2022·全国·九年级单元测试）下列四边形ABCD和四边形EFGD是位似图形，它们的位似中
心是（ ）
A．点E B．点F C．点G D．点D
【题型3 求位似图形的相似比】
【例3】（2022·湖北恩施·二模）如图，在边长为1的正方形网格中，△ABC与△DEF是位似图形，则
△ABC与△DEF的相似比为（ ）．
1 1 √2
A． B． C． D．2
2 3 2
【变式3-1】（2022·全国·九年级专题练习）如图，已知△ABC与△DEF位似，位似中心为点O，△ABC的
面积与△DEF面积之比为16：9，则CO:OF的值为（ ）A．3：4 B．4：7 C．4：3 D．7：4
【变式3-2】．（2022·福建厦门·模拟预测）如图，把△AOB缩小后得到△COD，则△AOB与△COD的相
似比为______．
【变式3-3】（2022·全国·九年级单元测试）△ABC三个顶点A(3,6)、B(6,2)、C(2,-1)，以原点为位
2 2 1
似中心，得到的位似图形△A'B'C'三个顶点分别为A'(1,2)，B'(2, )，C( ,- )，则△A'B'C'与
3 3 3
△ABC的位似比是________．
【题型4 求位似图形的长度】
【例4】（2022·重庆·一模）如图，△ABC与△DEF是位似图形，且位似中心为O，OB:OF=3:2，若线段
AC=9，则线段DE的长为（ ）A．2 B．4 C．6 D．8
【变式4-1】（2022·全国·九年级专题练习）如图，已知△ABC与△A′B′C′是以坐标原点O为位似中心的位似
OA 1 1
图形，且 = ，若点A（﹣1，0），点C（ ，1），则A′C′=_____．
OA' 2 2
【变式4-2】（2022·全国·九年级专题练习）在平面直角坐标系中，已知A(6,3)、B(6,0)两点，以坐标原
1
点O为位似中心，相似比为 ，把线段AB缩小后得到线段A'B'，则A'B'的长度等于________．
3
【变式4-3】（2022·全国·九年级课时练习）如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=4．若矩形AEFG与矩
形ABCD位似，点F在矩形ABCD的内部，且相似比为3:4，则点C、F之间的距离为_________．
【题型5 求位似图形的面积】
【例5】（2022·河北·石家庄外国语教育集团九年级阶段练习）如图，△ABC与△ADE成位似图形，位似
中心为点A，若AD:AB=1:3，则△ADE与△ABC面积之比为（ ）A．1:2 B．1:3 C．1:9 D．1:16
【变式5-1】（2022·重庆市巴川中学校八年级期末）如图，△ABC与△A'B'C'位似，位似中心为点O，
OA'=2AA'，△ABC的面积为9，则△A'B'C'面积为（ ）
9 9
A．4 B．6 C． D．
2 4
【变式5-2】（2022·全国·九年级课时练习）如图，已知 ▱ABCD的面积为24，以B为位似中心，作
2
▱ABCD的位似图形 ▱EBFG，位似图形与原图形的位似比为 ，连接AG、DG．则△ADG的面积为
3
________．
【变式5-3】（2022·全国·九年级课时练习）如图，在平面直角坐标系中，正方形A B C A 与正方形
1 1 1 2
A B C A 是以O为位似中心的位似图形，且位似比为，点A ，A ，A 在x轴上，延长A C 交射线OB
2 2 2 3 1 2 3 3 2 1
与点B ，以A B 为边作正方形A B C A ；延长A C 交射线OB 与点B ，以A B 为边作正方形
3 3 3 3 3 3 4 4 3 1 4 4 4
A B C A ；…按照这样的规律继续下去，若OA =1，则正方形A B C A 的面积为________．
4 4 4 5 1 2021 2021 2022 2022【题型6 求位似图形的周长】
【例6】（2022·浙江温州·二模）如图，已知△ABC与△DEF是位似图形，O是位似中心，若OA＝2OD，
则△ABC与△DEF的周长之比是（ ）
A．2：1 B．3：1 C．4：1 D．6：1
【变式6-1】（2022·全国·九年级专题练习）如图，四边形ABCD与四边形EFGH位似，位似中心是O，若
OA∶OE＝1∶3，且四边形ABCD的周长为4，则四边形EFGH的周长为（ ）
A．12 B．16 C．20 D．24
【变式6-2】（2022·重庆南岸·九年级期末）如图，已知△ABC与△DEF位似，位似中心为点O，OA：OD
＝1：3，且△ABC的周长为2，则△DEF的周长为（ ）A．4 B．6 C．8 D．18
【变式6-3】（2022·全国·九年级课时练习）如图，△ABC与△DEF位似，点O是位似中心．若
OA:AD=2:3，△DEF与△ABC的周长差为12cm，则△ABC的周长为（ ）
A．6cm B．8cm C．10cm D．12cm
【题型7 求位似图形的坐标】
【例7】（2022·河北·泊头市教师发展中心九年级期中）如图所示，在平面直角坐标系中，已知点A（-4，
1
2），B（-2，-2）．以坐标原点O为位似中心把△AOB缩小得到△AOB，△AOB 与△AOB的位似比为 ，
1 1 1 1
2
则点A的对应点A 的坐标为_______．
1
【变式7-1】（2022·甘肃·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，以原点O为位似中心，将 AOB缩小为
△
1
原来的 ，得到 COD，若点A的坐标为（4，2），则AC的中点E的坐标是 _____．
2
△【变式7-2】（2022·全国·九年级专题练习）如图，△ABC中，A，B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是
(-1,0)．以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A'B'C，并把△ABC的边长放大到原来
的2倍．设点B的对应点B'的横坐标是m，则点B的横坐标是（ ）
1 1 1 1
A．- (m+3) B．- (m+1) C．- (m-1) D．- m
2 2 2 2
【变式7-3】（2022·山东·胶州市初级实验中学模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC与正
方形ODEF是位似图形，点O为位似中心，位似比为2：3，点B、E在第一象限，若点A的坐标为（4，
0），则点E的坐标是_____．
【题型8 格点中作位似图形】
【例8】（2022·辽宁抚顺·二模）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别为A（﹣2，2），B
（﹣6，4），C（﹣4，8）．(1)画出△ABC关于x轴对称的△ABC ；
1 1 1
1
(2)以坐标原点O为位似中心，将△ABC缩小为原来的 ，得到△A'B'C'，使△ABC与△A'B'C'位于位
2
似中心两侧，请在平面直角坐标系中画出△A'B'C'；
(3)设△ABC与△△A'B'C'的周长分别为l 、l ，则l ：l ＝．
1 2 1 2
【变式8-1】（2022·河南南阳·九年级期中）如图，在正方形网格图中，每个小正方形边长均为1，点O和
△ABC的顶点均为小正方形的顶点．
(1)以O为位似中心，在网格图中作△A'B'C'，使△A'B'C'和△ABC位似，且位似比为1：3．
(2)证明△A'B'C'和△ABC相似．
【变式8-2】（2022·浙江宁波·九年级专题练习）如图，9×9的方格都是由边长为1的小正方形组成．
▱ABCD的顶点都在格点上，请按以下要求在图1，图2中画出相应的格点图形（顶点均在格点上）．(1)画出▱ABCD绕点A旋转得到的 ▱AB'C'D'，使得点B落在边BC上．
1
(2)请以A为位似中心，作与 ▱ABCD的面积比为 的位似图形 ▱AEFG．
4
【变式8-3】（2022·山西吕梁·九年级期末）如图，网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的
顶点叫做格点，以格点为顶点，分别按下列要求画三角形．
(1)在图②中，请在网格中画一个与图①△ABC相似的△DEF；
(2)在图③中，以O为位似中心，画一个△ABC ，使它与△ABC的位似比为2：1．
1 1 1
