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专题 27.6 位似【十大题型】
【人教版】
【题型1 位似图形的识别】......................................................................................................................................1
【题型2 判断位似中心】..........................................................................................................................................2
【题型3 根据位似概念判断正误】..........................................................................................................................4
【题型4 求两个位似图形的相似比】......................................................................................................................5
【题型5 格点中作位似图形】..................................................................................................................................6
【题型6 求位似图形的坐标】..................................................................................................................................8
【题型7 求位似图形的长度】..................................................................................................................................9
【题型8 求位似图形的周长】................................................................................................................................10
【题型9 求位似图形的面积】................................................................................................................................11
【题型10 位似图形的规律探究】............................................................................................................................13
【知识点 位似图形】
1、定义：一般的，如果两个相似多边形任意一组对应顶点P,P’所在的直线都经过同一点O，且有
OP’=k·OP，那么这样的两个多边形叫做位似多边形，点O叫做位似中心
2、性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比
3、画图步骤：
（1）尺规作图法：① 确定位似中心；②确定原图形中的关键点关于中心的对应点；③描出新图形
（2）坐标法：在平面直角坐标系中，将一个多边形每个顶点的横坐标、纵坐标都乘于同一个数k(k≠0)，
所对应的图形与原图形位似，位似中心是坐标原点，它们的相似比为|k|
【题型1 位似图形的识别】
【例1】（2023春·山东滨州·九年级统考期末）下图所示的四种画法中，能使得△DEF是△ABC位似图形的
有（ ）A．①② B．③④ C．①③④ D．①②③④
【变式1-1】（2023春·山东烟台·九年级统考期末）视力表用来测试一个人的视力，如图是视力表的一部分，
图中的“ ”均是相似图形，其中不是位似图形的是（ ）
A．①和② B．②和③ C．①和④ D．②和④
【变式1-2】（2023春·河北保定·九年级校考期末）下列各选项的两个图形中，是位似图形的有几个（
）
A．2 B．3 C．4 D．1
【变式1-3】（2023春·河南平顶山·九年级校考期中）在如图所示的网格中，△ABC的位似图形是 ．【题型2 判断位似中心】
【例2】（2023春·河北邯郸·九年级统考期末）把△ABC放大为原图形的2倍得到△A'B'C'，则位似中心
可以是（ ）
A．G点 B．F点 C．E点 D．D点
【变式2-1】（2023春·河南驻马店·九年级统考期中）用作位似图形的办法，可以将一个图形放大或缩小，
位似中心位置可选在（ ）
A．原图形的外部 B．原图形的内部 C．原图形的边上 D．任意位置
【变式2-2】（2023春·湖南邵阳·九年级统考期末）如图，△ABC与△A'B'C'是位似图形，且顶点都在格
点上，则位似中心的坐标是 ．
【变式2-3】（2023春·安徽安庆·九年级统考期末）图中两个四边形是位似图形，它们的位似中心是（ ）A．点M B．点N C．点O D．点P
【题型3 根据位似概念判断正误】
【例3】（2023春·江西吉安·九年级统考期末）如图，以点O为位似中心，把△ABC放大为原图形的2倍
得到△DEF，以下说法中错误的是（ ）
A．△ABC∽△DEF B．AB∥DE C．OA:OD=1:2D．EF=4BC
【变式3-1】（2023春·河北保定·九年级统考期末）下列关于位似图形的表述：
①相似图形一定是位似图形，位似图形一定是相似图形；
②位似图形一定有位似中心；
③如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，那么这两个图形是位似图
形；
④位似图形上任意两点与位似中心的距离之比等于位似比．
其中正确命题的序号是（ ）
A．②③ B．①② C．③④ D．②③④
【变式3-2】（2023春·安徽·九年级统考期中）如图，△ABC的三个顶点A(1，2)、B(2，2)、C(2，1).以原
点O为位似中心，将△ABC扩大得到△AB C ,且△ABC 与△AB C 的位似比为1 :3.则下列结论错误的是
1 1 1 1 1 1
( )A．△ABC∽△A B C B．△AB C 的周长为6+3√2
1 1 1 1 1 1
C．△AB C 的面积为3 D．点B 的坐标可能是(6，6)
1 1 1 1
【变式3-3】（2023春·九年级课时练习）如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，M、N分别
是边AB、AD的中点，连接OM、ON、MN，则下列叙述正确的是（ ）
A．△AOM和△AON都是等边三角形
B．四边形MBON和四边形MODN都是菱形
C．四边形AMON与四边形ABCD是位似图形
D．MO∥BC且BM＝CO
【题型4 求两个位似图形的相似比】
【例4】（2023春·陕西咸阳·九年级统考期末）如图，以点O为位似中心，将△ABC放大得到△DEF．若
AD=OA，则△ABC与△DEF的周长之比为（ ）
A．1:6 B．1:5 C．1:4 D．1:2
【变式4-1】（2023春·四川成都·九年级统考期末）如图，四边形ABCD与四边形EFGH位似，其位似中OF 2 EF
心为点O，且 = ，则 =（ ）
FB 3 AB
2 2 3 3
A． B． C． D．
3 5 5 2
【变式4-2】（2023春·湖北襄阳·九年级统考期末）在平面直角坐标中，把 ABC以原点O为位似中心放大，
得到 A'B'C'，若点A和它对应点A'的坐标分别为(2，5)，(-6，-15)，则 A'B△'C'与 ABC的相似比为( )
△ 1 △ 1 △
A．-3 B．3 C． D．-
3 3
【变式4-3】（2023春·辽宁铁岭·九年级校联考期末）如图，六边形ABCDEF与六边形A'B'C'D'E'F'
是位似图形，O为位似中心，OA'：OA=1：2，则B′C′：BC= ．
【题型5 格点中作位似图形】
【例5】（2023春·山西长治·九年级统考期末）如图，点P(-6,6)和△ABC在平面直角坐标系中，点A的坐
标是(4,4)，根据下列要求，解答相应的问题：(1)作△ABC关于y轴对称的△A'B'C'，直接写出点A的对应点A'的坐标；
(2)作△A'B'C'关于点P成位似中心的位似△DEF，△DEF与△A'B'C'的相似比为2:1，且这两个三角形在点
P同侧，直接写出点A'的对应点D的坐标．
【变式5-1】（2023春·河南南阳·九年级统考期中）如图，在正方形网格图中，每个小正方形边长均为1，
点O和△ABC的顶点均为小正方形的顶点．
(1)以O为位似中心，在网格图中作△A'B'C'，使△A'B'C'和△ABC位似，且位似比为1：3．
(2)证明△A'B'C'和△ABC相似．
【变式5-2】（2023春·安徽合肥·九年级合肥市五十中学西校校考期中）如图，在边长为1个单位长度的小
正方形组成的网格中，给出了格点△ABC（顶点是网格线的交点）和格点P．
B C
（1）以A点为位似中心，将△ABC在网格中放大成△ABC ，使 1 1=2，请画出△ABC ；
1 1 1 1
BC
（2）以P点为三角形的一个顶点，请画一个格点△PMN，使△PMN∽△ABC，且相似比为√2．【变式5-3】（2023春·陕西榆林·九年级校考期末）如图，在平面直角坐标系中， ABC的顶点为A（2，
1），B（1，3），C（4，1），若 ABC 与 ABC是以坐标原点O为位似中心的△位似图形，点A、B、C
1 1 1
的对应点分别为A 、B 、C ，且A△的坐标为△（4，2）．
1 1 1 1
(1)请在所给平面直角坐标系第一象限内画出△A B C ；
1 1 1
(2)分别写出点B 、C 的坐标．
1 1
【题型6 求位似图形的坐标】
【例6】（2023春·山东威海·九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，等边三角形OAB的顶点
O(0,0)，B(2,0)，已知△OA'B'与△OAB位似，位似中心是原点O，且△OA'B'的面积是△OAB面积的4
倍，则点A对应点A'的坐标为（ ）A．(1 √3) B． 或
, (2√3,2) (-2√3,-2)
2 2
C． D． 或
(4,4√3) (2,2√3) (-2,-2√3)
【变式6-1】（2023春·山东泰安·九年级统考期末）如图，矩形OABC与矩形ODEF是位似图形，点P是位
似中心．若点B的坐标为(2，3)，点E的横坐标为-1，则点P的坐标为（ ）
A．(0，-2) B．(-2，0) C．(-1.5，0) D．(0，-1.5)
【变式6-2】（2023春·重庆渝中·九年级重庆巴蜀中学校考期末）如图，△ABC 三个顶点的坐标分别是A
（－2，2），B（－4，1），C（－1，－1）．以点C为位似中心，在x轴下方作△ABC的位似图形
△A'B'C．并把△ABC的边长放大为原来的2倍，那么点A'的坐标为( )
A．（1，－6） B．（1，－7） C．（2，－6） D．（2，－7）
【变式6-3】（2023春·广西北海·九年级统考期中）如图，在平面直角坐标系中，等腰Rt△ABC与等腰
Rt△CDE关于原点O成位似关系，相似比为1：3，∠ACB＝∠CED＝90°，A、C、E是x轴正半轴上的点，
B、D是第一象限的点，BC＝2，则点D的坐标是（ ）A．（9，6） B．（8，6） C．（6，9） D．（6，8）
【题型7 求位似图形的长度】
【例7】（2023春·陕西榆林·九年级统考期中）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别是
A(1,2)，B(1,1)，C(3,1)，以原点为位似中心，在原点的同侧画△DEF，使△DEF与△ABC成位似图形，
且相似比为2:1，则线段DF的长度为（ ）
A．2√5 B．2 C．4 D．5
【变式7-1】（2023春·重庆沙坪坝·九年级重庆一中校考期中）如图，△ABC与△A'B'C'位似，点O为位
1
似中心，若△ABC的周长等于△A'B'C'周长的 ．AO=2，则OA'的长度为（ ）
4
A．4 B．6 C．8 D．10
【变式7-2】（2023·重庆·九年级专题练习）如图，△ABC与△A'B'C'位似，位似中心为O．△ABC与
△A'B'C'的面积之比为9∶1，若OA'=2，则OA的长度为（ ）A．6 B．12 C．18 D．20
【变式7-3】（2023春·福建泉州·九年级统考期末）如图，DE是△ABC的中位线，D'E'是△A'B'C'的中
位线，连结A A'、BB'、CC'．已知BC=4，2OA=OA'，2OB=OB'，2OC=OC'．则D'E'的长度为
（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【题型8 求位似图形的周长】
【例8】（2023春·重庆南岸·九年级统考期末）如图，已知△ABC与△DEF位似，位似中心为点O，OA：
OD＝1：3，且△ABC的周长为2，则△DEF的周长为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．18
【变式8-1】（2023春·江苏常州·九年级统考阶段练习）如图，两个五边形是位似图形，位似中心为点O，OA 2
点A与A′对应， ＝ ，若小五边形的周长为4，则大五边形的周长为 ．
A A' 3
【变式8-2】（2023春·九年级课时练习）如果两个五边形是位似图形,相似比为5∶3,且它们的周长和为240
cm,则大五边形与小五边形的周长差为 cm.
【变式8-3】（2023春·安徽合肥·九年级统考期末）如图，△ABC与△DEF位似，点O是位似中心．若
OA:AD=2:3，△DEF与△ABC的周长差为12cm，则△ABC的周长为（ ）
A．6cm B．8cm C．10cm D．12cm
【题型9 求位似图形的面积】
【例9】（2023春·四川攀枝花·九年级统考期末）如图，原点O是△ABC和△A'B'C'的位似中心，点
A(1,0)与点A'(-2,0)是对应点，△ABC的面积是3，则△A'B'C'的面积是 ．【变式9-1】（2023春·河北唐山·九年级校考期末）如图，△ABC与△A'B'C'是位似图形， 点O是位似中
心， 若 ， ．则 ．
OA=2A A' S =8 S =
ΔABC ΔA'B'C'
【变式9-2】（2023·广西·校联考模拟预测）已知△ABC和△A'B'C'是位似图形．△A'B'C'的面积为8cm2，
△A'B'C'的周长是△ABC的周长一半．则△ABC的面积等于（ ）
A．32cm2 B．12cm2 C．6cm2 D．24cm2
【变式9-3】（2023春·浙江温州·九年级校考阶段练习）如图1，正方形ABCD绕中心O逆时针旋转45°得
1
到正方形A'B'C'D'，现将整个图形的外围以O为位似中心得到位似图形如图2所示，位似比为 ，若整个
2
图形的外围周长为16，则图中的阴影部分面积为（ ）A．2+√2 B．4+2√2 C．6+3√2 D．8+4√2
【题型10 位似图形的规律探究】
【例10】（2023春·九年级单元测试）如图，在平面直角标系xOy中，以O为位似中心，将边长为8的等
1
边三角形OAB作n次位似变换，经第一次变换后得到等边三角形OA B ，其边长OA 缩小为OA的 ，经
1 1 1
2
1
第二次变换后得到等边三角形OA B ，其边长OA 缩小为OA 的 ，经第三次变换后得到等边三角形
2 2 2 1
2
1
OA B ，其边长OA 缩小为OA 的 ，…按此规律，经第n次变换后，所得等边出角形OA B ．的顶点A
3 3 3 2 n n n
2
1
的坐标为（ ，0），则n的值是（ ）
28
A．8 B．9 C．10 D．11
【变式10-1】（2023春·河北石家庄·九年级校考期中）如图，在平面直角坐标系中，矩形AOCB的两边
OA、OC分别在x轴和y轴上，且OA=2，OC=1，在第二象限内，以原点O为位似中心将矩形AOCB各
3 3
边放大为原来的 倍，得到矩形A OC B ，再以原点O为位似中心将矩形各边A OC B 放大为原来的
2 1 1 1 1 1 1 2
倍，得到矩形A OC B ，以此类推…，矩形A OC B 的面积为_______；矩形A OC B 的面积
2 2 2 2 2 2 2021 2021 2021为 ．
【变式10-2】（2023·广西钦州·中考真题）如图，以O为位似中心，将边长为256的正方形OABC依次作
1
位似变换，经第一次变化后得正方形OABC ，其边长OA 缩小为OA的 ，经第二次变化后得正方形
1 1 1 1
2
1 1
OABC ，其边长OA 缩小为OA 的 ，经第三次变化后得正方形OABC ，其边长OA 缩小为OA 的 ，
2 2 2 2 1 3 3 3 3 2
2 2
…，依次规律，经第n次变化后，所得正方形OAnBnCn的边长为正方形OABC边长的倒数，则n=
【变式10-3】（2023春·河南洛阳·九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，正方形A B C A 与正
1 1 1 2
1
方形A B C A 是以O为位似中心的位似图形，且位似比为 ，点A ，A ，A 在x轴上，延长A C 交射
2 2 2 3 2 1 2 3 3 2
线OB 与点B ，以A B 为边作正方形A B C A ；延长A C ，交射线OB 与点B ，以A B 为边作正
1 3 3 3 3 3 3 4 4 3 1 4 4 4
方形A B C A ；…按照这样的规律继续作下去，若OA =1，则正方形A B C A 的面积为
4 4 4 5 1 2021 2021 2021 2022
．
