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第 75 讲 二项式定理
1. 二项式定理
公式：(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N*)
这个公式表示的定理叫做二项式定理．在上式中右边的多项式叫做(a＋b)n的二项展开式，其中的系数
C(k＝0，1，…，n)叫做二项式系数，式中的Can－kbk叫做二项展开式的通项，用T 表示，即T ＝Can－
k＋1 k＋1
kbk．
2. 二项展开式形式上的特点
(1)项数为__n＋1__．
(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n.
(3)字母a按__降幂__排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按__升幂__排列，从第
一项起，次数由零逐项增1直到n.
(4)二项式系数从__C__，C，一直到C，__C__．
3. “杨辉三角”与二项式系数的性质
(1)“杨辉三角”有如下规律：左右两边斜行都是1，其余各数都等于它“肩上”两个数字之和．
(2)对称性：在二项展开式中与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即C＝__C__．
(3)增减性与最大值：二项式系数C，当k＜时，二项式系数逐渐__增大__；当k＞时，二项式系数逐渐
__减小__．当n是偶数时，中间一项的二项式系数最大；当n是奇数时，中间两项的二项式系数最大．
(4)各二项式系数的和：(a＋b)n的展开式的各项二项式系数之和为__2n__，即C＋C＋…＋C＝__2n__.
(5)奇数项的二项式系数之和等于偶数项的二项式系数之和，即C＋C＋…＝__C＋C＋…__＝__2n－1__
1、（2023•北京） 的展开式中， 的系数是
A． B．40 C． D．80
【答案】
【解析】由二项式定理可知 展开式的第 项
， ，1， ，
令 ，可得 ．即含 的项为第3项，
，故 的系数为80．
故选： ．
2、（2023•天津）在 的展开式中， 项的系数为 ．
【答案】60．
【解析】二项式 的展开式的通项为 ，
令 得， ，项的系数为 ．
故答案为：60．
3、（2022•上海）二项式 的展开式中， 项的系数是常数项的5倍，则 ．
【答案】10．
【解析】 二项式 的展开式中， 项的系数是常数项的5倍，
即 ，即 ，
，
故答案为：10．
4、（2022•浙江）已知多项式 ，则 ．
【答案】8， ．
【解析】 ，
；
令 ，则 ，
令 ，则 ，
．
故答案为：8， ．
5、（2022•新高考Ⅰ） 的展开式中 的系数为 （用数字作答）．
【答案】 ．
【解析】 的通项公式为 ，
当 时， ，当 时， ，
的展开式中 的系数为 ．故答案为： ．
6、（2022•天津） 的展开式中的常数项为 ．
【答案】15．
【解析】 的展开式的通项是
要求展开式中的常数项只要使得 ，即
常数项是 ，
故答案为：15
7、（2022•上海）在 的展开式中，则含 项的系数为 ．
【答案】66．
【解析】展开式的通项公式为 ，由 ，得 ，
得 ，
即 ，即含 项的系数为66，
故答案为：66．
8、（2023•上海）已知 ，若存在 ，
1，2， ， 使得 ，则 的最大值为 ．
【答案】49．
【解析】二项式 的通项为 ， ，1，2， ， ，
二项式 的通项为 ， ，1，2， ， ，
， ，1，2， ， ，
若 ，则 为奇数，
此时 ，，
，
，
又 为奇数，
的最大值为49．
故答案为：49．
9、（2022•北京）若 ，则
A．40 B．41 C． D．
【答案】
【解析】法一： ，
可得 ， ， ，
，
故答案为：41．
法二： ，
令 ，可得 ，
再令 ，可得 ，
两式相加处以2可得， ，
故选： ．
1、(1＋2x)5的展开式中，x2的系数为( )
A. 10 B. 20 C. 25 D. 40
【答案】 D
【解析】 T ＝C(2x)r＝C2rxr，当r＝2时，x2的系数为C·22＝40.故选D.
r＋1
2、若展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为( )
A. 6 B. 12 C. 20 D. 32
【答案】 C【解析】二项式系数之和2n＝64，∴n＝6，T ＝C·x6－r·＝Cx6－2r，当6－2r＝0，即当r＝3时为常数项，T
r＋1 4
＝C＝20.故选C.
3、(2021·青岛二模)已知(x＋1)的展开式中常数项为－40，则a的值为( )
A.2 B.－2 C.±2 D.4
【答案】 C
【解析】 的展开式的通项公式为T ＝C(ax)5－r·
r＋1
＝(－1)ra5－rCx5－2r，
令5－2r＝－1可得r＝3，
令5－2r＝0可得r＝，不符合题意，舍去.
∴(－1)3a5－3C＝－40，即10a2＝40，
∴a＝±2.
4、(2022·广州三模)若x8＝a＋a(x＋1)＋a(x＋1)2＋…＋a(x＋1)8，则a＝________．
0 1 2 8 3
【答案】 －56
【解析】 由题意可知，x8＝[(x＋1)－1]8，则[(x＋1)－1]8展开式的通项为T ＝C·(x＋1)8-r·(－1)r，由x8＝a
r＋1 0
＋a(x＋1)＋a(x＋1)2＋…＋a(x＋1)8，得所求的项是a(x＋1)3.令8－r＝3，解得r＝5，所以a ＝(－1)5×C
1 2 8 3 3
＝－56.
5、 (2022·泰安一模)在(1－x)4(2x＋1)5的展开式中，含x2的项的系数是________．
【答案】 6
【解析】 (1－x)4的展开式的通项为C(－x)k，(2x＋1)5的展开式的通项为C(2x)5-t，所以(1－x)4(2x＋1)5展开
式中，含x2的项为C(－x)0·C(2x)5-3＋C(－x)1C(2x)5-4＋C(－x)2C(2x)5-5＝6x2，所以含x2的项的系数为6.
考向一 二项展开式中特定项及系数问题
例1、已知在(－)n的展开式中，第5项为常数项．
(1) 求n的值；
(2) 求含x2的项的系数.
【解析】 (1) 展开式的通项为T ＝Cx·x＝C x.
r＋1
因为第5项为常数项，
所以当r＝4时，＝0，解得n＝8.
(2) 令＝2，得r＝(n－6)＝1，
所以所求的系数为C×＝－4.
变式1、已知在(－)n的展开式中，第5项为常数项．
求展开式中所有的有理项．
【解析】 根据展开式的通项，由题意，得
令＝m(m∈Z)，
则8－2r＝3m，即r＝4－m.
因为0≤r≤8，且r∈Z，所以m应为偶数，所以m可取2，0，－2，即r可取1，4，7，
所以第2项，第5项与第8项均为有理项，它们分别为－4x2, ，－.
变式2、 的展开式中的常数项为( )
A. 1 B. 11 C. －19 D. 51
【答案】 B
【解析】 ＝[(x－)＋1]5，展开式的通项为T ＝C，当r＝5时，常数项为C＝1；当r＝3时，常数项为－
r＋1
CC＝－20；当r＝1时，常数项为CC＝30.综上所述，常数项为1－20＋30＝11.
变式3、 (1)(x2＋x＋1)(x－1)4的展开式中，x3的系数为( )
A.－3 B.－2 C.1 D.4
【答案】B
【解析】 (x－1)4的通项为T ＝Cx4－k(－1)k，(x2＋x＋1)(x－1)4的展开式中，x3的系数为C(－1)3＋C(－1)2
k＋1
＋C(－1)＝－2.
(2)的展开式中常数项是________.
【答案】 －1 683
【解析】 表示五个相乘，则展开式中的常数项由三种情况产生，第一种是从五个中分别抽取2x，2x，，，－
3，则此时的常数项为C·C·22·(－3)＝－360；第二种情况是从五个中都抽取－3，则此时的常数项为(－3)5＝
－243；第三种情况是从五个中分别抽取2x，，－3，－3，－3，则此时的常数项为C·C·21·(－3)3＝－1
080，则展开式中常数项为－360－243－1 080＝－1 683.
方法总结：求二项展开式中的特定项，一般是利用通项公式进行，化简通项公式后，令字母的指数符合要
求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数r＋1，代回通项公式即可
考向二 二项式系数的和或各项系数的和的问题
例2、在(2x－3y)10的展开式中，求：
(1) 二项式系数的和；
(2) 各项系数的和；
(3) 奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和；
(4) 奇数项系数和与偶数项系数和；
(5) x的奇次项系数和与x的偶次项系数和．
【解析】：设(2x－3y)10＝ax10＋ax9y＋ax8y2＋…＋a y10，(*)
0 1 2 10
各项系数的和为a ＋a ＋…＋a ，奇数项系数和为a ＋a ＋…＋a ，偶数项系数和为a ＋a ＋a ＋…＋
0 1 10 0 2 10 1 3 5
a，x的奇次项系数和为a＋a＋a＋…＋a，x的偶次项系数和为a＋a＋a＋…＋a ．
9 1 3 5 9 0 2 4 10
由于(*)是恒等式，故可用“赋值法”求出相关的系数和．
(1)二项式系数的和为C＋C＋…＋C＝210．
(2)令x＝y＝1，各项系数和为(2－3)10＝(－1)10＝1．
(3)奇数项的二项式系数和为C＋C＋…＋C＝29，
偶数项的二项式系数和为C＋C＋…＋C＝29．
(4)令x＝y＝1，得到a＋a＋a＋…＋a ＝1，①
0 1 2 10
令x＝1，y＝－1(或x＝－1，y＝1)，得a－a＋a－a＋…＋a ＝510，②
0 1 2 3 10
①＋②得2(a＋a＋…＋a )＝1＋510，∴奇数项系数和为；
0 2 10
①－②得2(a＋a＋…＋a)＝1－510，∴偶数项系数和为．
1 3 9
(5)x的奇次项系数和为a＋a＋a＋…＋a＝；x的偶次项系数和为a＋a＋a＋…＋a ＝．
1 3 5 9 0 2 4 10
变式1、已知在(x－3)n的展开式中，各项的二项式系数和为32，求：(1) 展开式中各项的系数之和；
(2) 展开式中所有奇数项的系数之和．
【解析】 展开式中二项式系数和为2n＝32，即n＝5.
设(x－3)5 ＝ax5＋ax4＋ax3＋ax2＋ax＋a.
0 1 2 3 4 5
(1) 展开式中各项的系数之和为a＋a＋a＋a＋a＋a，
0 1 2 3 4 5
令x＝1，得a＋a＋a＋a＋a＋a＝(－2)5＝－32.
0 1 2 3 4 5
(2) 展开式中所有奇数项的系数之和为a＋a＋a.
0 2 4
令x＝－1，得－a＋a－a＋a－a＋a＝(－4)5＝－1 024. ①
0 1 2 3 4 5
又a＋a＋a＋a＋a＋a＝－32.②
0 1 2 3 4 5
由②－①整理，得 a＋a＋a＝496.
0 2 4
变式2、已知在(x－3)n的展开式中，各项的二项式系数和为32，求：求展开式中各项的系数的绝对值
的和．
【解析】 展开式中各项的系数的绝对值的和为|a|＋|a|＋|a|＋|a|＋|a|＋|a|.
0 1 2 3 4 5
方法一：可知|a|＋|a|＋|a|＋|a|＋|a|＋|a|＝ a－a＋a－a＋a－a＝1 024.
0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5
方法二：可知|a|＋|a|＋|a|＋|a|＋|a|＋|a|即是二项式(x＋3)5展开式各项的系数和，令x＝1，得其和为
0 1 2 3 4 5
1 024.
变式3、已知在(x－3)n的展开式中，各项的二项式系数和为 32，求：求展开式中二项式系数最大的
项．
【解析】 因为n＝5，展开式共6项，
所以二项式系数最大的项为第3，4两项，
所以二项式系数最大的项为T＝Cx3(－3)2＝90x3，
3
T＝Cx2(－3)3＝－270x2.
4
变式4、已知在(x－3)n的展开式中，各项的二项式系数和为32，求：
求展开式中系数的绝对值最大的项．
【解析】 设展开式中第r＋1项系数的绝对值最大，则T ＝Cx5-r(－3)r＝(－3)rCx5-r，
r＋1
所以解得≤r≤，
所以r＝4，
即展开式中第5项系数的绝对值最大，
T＝Cx·(－3)4＝405x.
5
变式5、（多选题）对任意实数x，有 .
则下列结论成立的是（ ）
A．
B．C．
D．
【答案】ACD
【解析】对任意实数x，
有 [﹣1+2（x﹣1）]9，
∴a 22＝﹣144，故A正确；
2
故令x＝1，可得a＝﹣1，故B不正确；
0
令x＝2，可得a+a+a+…+a＝1，故C正确；
0 1 2 9
令x＝0，可得a﹣a+a+…﹣a＝﹣39，故D正确；故选：ACD.
0 1 2 9
方法总结：“赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如(ax＋b)n、(ax2＋bx＋c)m (a、b∈R)
的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令 x＝1即可；对形如(ax＋by)n (a，b∈R)的式子求
其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可．
考向三 二项式定理的综合应用
例3 (1)1－90C＋902C－903C＋…＋(－1)k90kC＋…＋9010C除以88的余数是____．
(2)设复数x＝(i是虚数单位)，则Cx＋Cx2＋Cx3＋…＋Cx2019＝____．
【答案】（1）1 （2）－i－1
【解析】 (1)1－90C＋902C－903C＋…＋(－1)k90kC＋…＋9010C＝(1－90)10＝8910＝(88＋1)10＝8810＋
C889＋…＋C88＋1，
∵前10项均能被88整除，∴余数是1.
(2)x＝＝＝－1＋i，
Cx＋Cx2＋Cx3＋…Cx2019＝(1＋x)2019－1＝i2019－1＝－i－1
变式1、(1) 设a∈Z，且0≤a<13，若512 018＋a能被13整除，则a的值为( )
A. 0 B. 1 C. 11 D. 12
【答案】 D
【解析】 由于51＝52－1，故(52－1)2 018＝C522 018－C522 017＋…－C521＋1.又13整除52，所以只需13整除
1＋a.又0≤a<13，a∈Z，所以a＝12.
变式2、（2020·江苏省南京师大附中高二）已知 ， ．
记 ．
（1）求 的值；（2）化简 的表达式，并证明：对任意 的， 都能被 整除．
【答案】（1） ；（2） ，证明见解析.
【解析】由二项式定理，得 ；
（1） ；
（2）因为 ，
所以
，
，
因为 ，所以 能被 整除.
方法总结：整除问题，解决整除问题要点为：(1)观察除式与被除式间的关系；(2)将被除式拆成二项式；
(3)结合二项式定理得出结论．此外二项式定理还可应用于不等式的证明．
1、（2023·江苏连云港·统考模拟预测）二项式 的展开式中常数项为（ ）
A．80 B． C． D．40
【答案】B
【解析】二项式 的展开式的通项为 ，令 ，则 ，
所以常数项为 .
故选：B.
2、（2022·山东省淄博实验中学高三期末） 的展开式中 的系数为 ，则该二项式展开
式中的常数项为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】 的展开式通项为 ，
则 ，因为 ，则 ，
，令 ，可得 ，则 ，得 ，
因为 ，在 中，令 ，可得 ，
因此，展开式中的常数项为 .
故选：D.
3、（2022·山东临沂·高三期末）若 的展开式中，只有第6项的二项式系数最大，则该项式的展
开式中常数项为（ ）
A．90 B．-90 C．180 D．-180
【答案】C
【解析】解：因为 的展开式中只有第六项的二项式系数最大，则项数n=10，即 ，
则通项为 ，令 ，则 .
故选：C.
4、（2023·黑龙江大庆·统考一模）已知 的展开式中第4项与第5项的二项式系数之比是 ，则
______，展开式的常数项为______．（用数字作答）
【答案】 9；
【解析】由题意得 ，即 ，解得 ．
展开式的通项为 ．
令 ，解得 ，故展开式中的常数项为 ．
故答案为：9；
5、（2023·江苏南通·统考模拟预测） 的展开式中， 的系数为___________.
【答案】
【解析】 ，要找到展开式中含有 的项，需从 中找到含有 的
项，即 ，故 的系数为 .
故答案为： .
6、（2023·江苏南京·校考一模）在二项式 的展开式中，若所有项的系数之和等于64，那么在这个
展开式中， 项的系数是__________．（用数字作答）
【答案】135
【解析】在 中，令 得所有项的系数之和为 ，依题意， ，解得 ，
因此 的展开式的通项为 ，令 得： ，
所以 项的系数是135.
故答案为：135.
7、（2023·江苏徐州·徐州市第七中学校考一模） 的展开式中含 项的系数为___________.
【答案】
【解析】 ，
的展开式中 项为： ，
的展开式中没有 项，
故 的展开式中含 项的系数为 ，
故答案为： .
