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24.3 正多边形和圆
【基础训练】
一、单选题
1．正十边形的中心角是（ ）
A．18° B．36° C．72° D．144°
2．如图，正五边形 内接于 ，点 为 上一点（点 与点 ，点 不重合），连接 ，
， ，垂足为 ，则 等于（ ）
A．72° B．54° C．36° D．64°
3．如图，四边形 内接于 ，若 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，四边形ABCD内接于⊙O，E在BC延长线上，若∠DCE＝50°，则∠A等于（ ）
A．40° B．50° C．70° D．80°5．如图，四边形 是 的内接四边形， ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，四边形ABCD是园内接四边形，E是BC延长线上一点，若∠BAD=110°，则∠DCE的大小是（
）
A．70° B．105° C．110° D．120°
7．如图， 是正六边形 的外接圆， 是弧 上一点，则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在 中，四边形 测得 ，连接 ，若 的半径为4，则 的长为
（ ）A．2 B． C．4 D．
9．如图，在由边长相同的7个正六边形组成的网格中，点A，B在格点上．再选择一个格点C，使 ABC
是以AB为腰的等腰三角形，符合点C条件的格点个数是( ) △
A．1 B．2 C．3 D．4
10．圆的内接四边形 的四个内角之比 的可能的值是（ ）
x=3
A． B． C． D．
11．在圆内接四边形 中，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
12．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BE平分∠ABC，若∠D＝110°，则∠ABE的度数是
（ ）
A．30° B．35° C．50° D．55°
13．如图，四边形 是圆内接四边形， 是 延长线上一点，若 ，则 的大
小是（ ）A． B． C． D．
14．将正方形纸片按图①方式依次对折得图②的 ，点D是 边上一点，沿线段 剪开，展开
后得到一个正八边形，则点D应满足（ ）
A． B． C． D．
15．如图，正方形 内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正
方形的中心成中心对称，设正方形 的面积为 ，黑色部分面积为 ，则 的比值为（ ）
A． B． C． D．
16．一个适当大的正六边形，它的一个顶点与一个边长为定值的小正六边形 的中心 重合，且
与边 、 相交于 、 （如图）．图中阴影部分的面积记为 ，三条线段 、 、 的长度之和记为 ，在大正六边形绕点 旋转过程中，下列说法正确的是（ ）
A． 变化， 不变 B． 不变， 变化
C． 变化， 变化 D． 与 均不变
17．如图，正五边形 内接于 ，点P为 （点P与点D，点E不重合），连接 ，
DG⊥PC，垂足为G，则 等于（ ）
A． B． C． D．
18．如图①，直六棱柱的底面是正六边形，侧面ABCD中，AB＝10cm，BC＝20cm，现用一块矩形纸板
EFGH制作图①中的直六棱柱，按图②中的方案裁剪，则GF的长是（ ）A．（20+10 ）cm B．（30+10 ）cm C．（20+20 ）cm D．40 cm
19．如图，在一张正六边形纸片中剪下两个全等的直角三角形（阴影部分），拼成一个四边形，若拼成的
四边形的周长为12，则纸片的剩余部分拼成的五边形的面积为（ ）
A．24 B．20 C．8 D．16
20．如图， ， 分别为 的内接正三角形和内接正四边形的一边，若 恰好是同圆的一个内接
正 边形的一边，则 的值为（ ）
A．8 B．10 C．12 D．14
21．如图，螺母的外围可以看作是正六边形ABCDEF，己知这个正六边形的半径是2，则它的周长是（
）
A．6 B．12 C．12 D．24
22．如图，正方形ABCD和正△AEF都内接于⊙O，EF与BC、CD分别相交于点G、H，则 的值是（
）A． B． C． D．2
23．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠BOD＝130°，则∠A的度数为（ ）
A．50° B．65° C．115° D．130°
24．如图，四边形 是 的内接四边形， ，则 的度数为（ ）
A．70° B．90° C．100° D．110°
25．如图，CD是⊙O的弦，O是圆心，把⊙O的劣弧沿着CD对折，A是对折后劣弧上的一点，则∠CAD
与∠B的关系是( )
A．∠CAD=2∠B B．∠CAD+∠B =120°
C．∠CAD+∠B =180° D．无法确定
26．如图，AB是⊙O的直径，O为圆心，C是⊙O上的点，D是 上的点，若∠D＝120°，则∠BOC的大小为（ ）
A．60° B．55° C．58° D．40°
27．如图，五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，则正五边形中心角∠COD的度数是（ ）
A．60° B．36° C．76° D．72°
28．如图，已知点 ， 是以 为直径的半圆上的两个点，且 ，下列结论中不一定成立的是
（ ）
A． B．
C． D．
29．如图，正五边形 内接于 ，则 的度数是（ ）
A．36° B．26° C．30° D．45°30．如图AB是⊙O的直径，点C、D、E在⊙O上，∠AEC＝25°，∠BDC＝（ ）
A．100° B．110° C．120° D．115°
二、填空题
31．如图，将边长相等的正六边形和正五边形拼接在一起，则∠ABC的度数为_____°．
32．六个带 角的直角三角板拼成一个正六边形，直角三角板的最短边为1，求中间正六边形的面积
_________．
33．已知一个正六边形的外接圆半径为2，则这个正六边形的周长为________．
34．如图，四边形 为 的内接正四边形， 为 的内接正三角形，若 恰好是同圆的
一个内接正 边形的一边，则 的值为_________．35．我国魏晋时期的数学家刘徽首创“割圆术”，利用圆的内接正多边形来确定圆周率．若设⊙O的半径为
R，圆内接正n边形的边长、面积分别为a，S，圆内接正2n边形边长、面积分别为a ，S ．刘徽用以下
n n 2n 2n
公式求出a 和S ． ， ．如图，若⊙O的半径为
2n 2n
1，则⊙O的内接正八边形AEBFCGDH的面积为________．
三、解答题
36．如图，已知圆O内接正六边形 的边长为 ，求这个正六边形的边心距n，面积S．37．如图， 是 上的三个点， ，点 在 上运动（不与点 重合），连接
， ， ．
（1）如图1，当点 在 上时，求证： ；
（2）如图2，当点 在 上时，求证： ；
（3）如图2，已知 的半径为 ， ，求 的长．
38．如图， 是 的内接正五边形．求证： .
39．如图，四边形 是圆的内接四边形，延长 、 相交于点 ，已知 ．
（1）求证： ；（2）若 是四边形 外接圆的直径，求证： ．
40．如图，四边形 内接于圆， ， 的延长线交于点 ， 是 延长线上任意一点，
．
（1）求证： 平分 ；
（2）求证： ．
41．如下图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，以DC为直径的⊙O交△ABC的边于G，F，
E点．求证：（1）∠A＝∠GEF；（2）△BDF≌FEC．
42．如图，AB为⊙O的直径，点C、D都在⊙O上，且CD平分∠ACB，交AB于点E．
（1）求证：∠ABD＝∠BCD；
（2）若DE＝13，AE＝17，求⊙O的半径；
（3）DF⊥AC于点F，试探究线段AF、DF、BC之间的数量关系，并说明理由．
43．如图， ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O，AC、BC分别交⊙O于E、D，求证：DC＝DE．
△44．已知在 ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别交AC于点 D，BC于点E，连接ED．求证：ED
＝EC． △
45．如图，AB为⊙O的直径，CF⊥AB于E，交⊙O于D，AF交⊙O于G
求证：∠FGD＝∠ADC．
46．如图，AB是⊙O的直径，D，E为⊙O上位于AB异侧的两点，连接BD并延长至点C，使得CD＝
BD，连接AC交⊙O于点F，连接AE，DE，DF．
（1）证明：∠E＝∠C；
（2）若∠E＝55°，求∠BDF的度数．47．如图，已知在正五边形 中， 是 的中点．求证： .
48．如图, 是 的边 的中点,过 延长线上的点 作 的垂线 , 为垂足, 与 的延
长线相交于点 ,点 在 上, , ∥ ．
（1）证明： ；
（2）证明：点 是 的外接圆的圆心；
49．已知：过⊙O外一点C作⊙O的切线BC，B为切点，AB是直径，AC与⊙O交于D．
（1）若∠AOD=120°，求∠C的度数；
（2）若AD=8，sinC= ，求AB的长．
50．如图所示，四边形ABCD内接于⊙O，延长AD，BC相交于点M，延长AB，DC相交于点N，∠M=40°，∠N=20°，求∠A的度数.
51．如图，点A（0，6），B（2，0）．C（4，8），D（2，4），将线段CD绕点C逆时针旋转90°，得到
线段CE．
（1）画出线段CE，并计算线段CD所扫过的图形面积；
（2）将线段AB平移得到线段CF，使点A与点C重合，写出点F的坐标，并证明CF平分∠DCE．
52．如图，半圆O的直径 ，将半圆O绕点B顺针旋转 得到半圆 ，与AB交于点P．
求AP的长；
求图中阴影部分的面积 结果保留 ．
53．如图，四边形ABCD内接于 O，∠ABC＝135°，AC＝4，求 O的半径长．
⊙ ⊙54．如图 .将圆心角相等的但半径不等的两个扇形 用与 叠合在一起，弧 、 、弧 、
合成了一个曲边梯形，若弧 、弧 的长为 ， ， .
（1）试说明；曲边梯形的面积
（2）某班兴趣小组进行了一次纸杯制作与探究活动.如图 所示，所要制作的纸杯规格要求：杯口直径为
，杯底直径为 ，杯壁母线为 ，并且在制作过程中纸杯的侧面展开图不允许有拼接.请你求侧
面展开图中弧 所在的圆的半径长度；
（3）若用一张矩形纸片，按图 的方式剪裁（2）中纸杯的侧面，求这个矩形纸片的长与宽.
55．如图，AB是 O的直径，AC是 O的弦，∠ACB的平分线交 O于点D，若AB＝10，求BD的长．
⊙ ⊙ ⊙56．在平面直角坐标系xOy中，点A（x，0），B（x，y），若线段AB上存在一点Q满足 ，则称
点Q是线段AB的“倍分点”．
（1）若点A（1，0），AB＝3，点Q是线段AB的“倍分点”．
①求点Q的坐标；
②若点A关于直线y＝x的对称点为A′，当点B在第一象限时，求 ；
（2）⊙T的圆心T（0，t），半径为2，点Q在直线y＝ x上，⊙T上存在点B，使点Q是线段AB的
“倍分点”，直接写出t的取值范围．
57．如图，在圆内接四边形ABCD中，O为圆心，∠BOD=160°，求∠BCD的度数．58．如图，已知 ．
（1）用尺规作正六边形，使得 是这个正六边形的外接圆，并保留作图痕迹；
（2）用两种不同的方法把所做的正六边形分割成六个全等的三角形．
59．如图，正五边形ABCDE的两条对角线AC，BE相交于点F．
（1）求证：AB=EF；
（2）若BF=2，求正五边形ABCDE的边长．
60．如图：已知AB是⊙O的直径，P为AB的延长线上一点.且BP= AB，C、D是半圆AB的两个三等分
点，连接PD．
（1）PD与⊙O有怎样的位置关系？并证明你的结论；
（2）连接PC，若AB=10cm，求由PC，弧CD、PD所围成的图形的面积（结果保留π）．
