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第 42 讲 等比数列
1、等比数列的定义
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列就叫
做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母__q__表示．
2、 等比数列的通项公式
一般地，对于等比数列{a }的第n项a ，有公式a ＝aqn－1，这就是等比数列{a }的通项公式，其中a
n n n 1 n 1
为首项，q为公比．第二通项公式为：a＝a qn－m．
n m
3、等比数列的前n项和公式
等比数列{a}的前n项和公式：S＝(q≠1)或S＝(q≠1)．
n n n
注意：(1)当q＝1时，该数列是各项不为零的常数列，S＝na；
n 1
(2)有关等比数列的求和问题，当q不能确定时，应分q＝1，q≠1来讨论．
4、等比数列的性质
(1)若a，G，b成等比数列，则称G为a和b的等比中项，则G2＝ab.
(2)等比数列{a }中，若m＋n＝k＋l(m，n，k，l∈N*)，则有a ·a ＝a·a，特别地，当m＋n＝2p时，
n m n k l
a ·a＝a.
m n
(3)设S 是等比数列{a}的前n项和，则S ，S －S ，S －S 满足关系式(S －S )2＝S ·(S －S )．
m n m 2m m 3m 2m 2m m m 3m 2m
(4)等比数列的单调性，若首项a ＞0，公比q>1或首项a ＜0，公比0<q<1，则数列为递增数列；若首
1 1
项a＞0，公比0<q<1或首项a＜0，公比q＞1，则数列为递减数列；若公比q＝1，则数列为常数列；公比
1 1
q＜0，则数列为摆动数列．
(5)若{a}和{b}均为等比数列，则{λa}(λ≠0)、{|a|}、、{a}、、{ma b}(m≠0)仍为等比数列．
n n n n n n
1、（2022•乙卷（文））已知等比数列 的前3项和为168， ，则
A．14 B．12 C．6 D．3
【答案】
【解析】设等比数列 的公比为 ， ，由题意， ．
前3项和为 ， ，
， ，
则 ，
故选： ．
2、（2021•甲卷（文））记 为等比数列 的前 项和．若 ， ，则
A．7 B．8 C．9 D．10【答案】
【解析】 为等比数列 的前 项和， ， ，
由等比数列的性质，可知 ， ， 成等比数列，
，2， 成等比数列，
，解得 ．
故选： ．
3、（2023•甲卷（文））记 为等比数列 的前 项和．若 ，则 的公比为 ．
【答案】 ．
【解析】等比数列 中， ，
则 ，
所以 ，
解得 ．
故答案为： ．
4、（2021•上海）已知 为无穷等比数列， ， 的各项和为9， ，则数列 的各项和为
．
【答案】 ．
【解析】设 的公比为 ，
由 ， 的各项和为9，可得 ，
解得 ，所以 ，
，
可得数列 是首项为2，公比为 的等比数列，
则数列 的各项和为 ．
故答案为： ．
5、（2023•乙卷（理））已知 为等比数列， ， ，则 ．
【答案】 ．
【解析】 等比数列 ，
，解得 ，
而 ，可得 ，
即 ，
．
故答案为： ．
6、（2021•甲卷（理））等比数列 的公比为 ，前 项和为 ．设甲： ，乙： 是递增数列，
则
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【答案】【解析】若 ， ，则 ，则 是递减数列，不满足充分性；
，
则 ，
，
若 是递增数列，
，
则 ， ，
满足必要性，
故甲是乙的必要条件但不是充分条件，
故选： ．
7、（2023•天津）已知 为等比数列， 为数列 的前 项和， ，则 的值为
A．3 B．18 C．54 D．152
【答案】
【解析】因为 为等比数列， ，
所以 ， ，
由等比数列的性质可得， ，
即 ，
所以 或 （舍 ，
所以 ， ，
则 ．
故选： ．8、（2023•甲卷（理））已知等比数列 中， ， 为 前 项和， ，则
A．7 B．9 C．15 D．30
【答案】
【解析】等比数列 中，设公比为 ，
， 为 前 项和， ，显然 ，
（如果 ，可得 矛盾，如果 ，可得 矛盾），
可得 ，
解得 ，即 或 ，
所以当 时， ．
当 时， ．没有选项．
故选： ．
9、（2022•上海）已知等比数列 的前 项和为 ，前 项积为 ，则下列选项判断正确的是
A．若 ，则数列 是递增数列
B．若 ，则数列 是递增数列
C．若数列 是递增数列，则
D．若数列 是递增数列，则
【答案】
【解析】如果数列 ，公比为 ，满足 ，但是数列 不是递增数列，所以 不正确；
如果数列 ，公比为 ，满足 ，但是数列 不是递增数列，所以 不正确；如果数列 ，公比为 ， ，数列 是递增数列，但是 ，所以 不
正确；
数列 是递增数列，可知 ，可得 ，所以 ，可得 正确，所以 正确；
故选： ．
10、（2023•新高考Ⅱ）记 为等比数列 的前 项和，若 ， ，则
A．120 B．85 C． D．
【答案】
【解析】等比数列 中， ， ，显然公比 ，
设首项为 ，则 ①， ②，
化简②得 ，解得 或 （不合题意，舍去），
代入①得 ，
所以 ．
故选： ．
1、若等比数列{a}的各项均为正数，a＝3,4a＝aa，则a 等于( )
n 2 1 7 5
A. B. C．12 D．24
【答案】： D
【解析】： 数列{a}是等比数列，各项均为正数，
n
4a＝aa＝a，所以q2＝＝4，
1 7
所以q＝2.
所以a＝a·q3＝3×23＝24，
5 2
故选D.
2、等比数列{a}的前n项和为S＝32n－1＋r，则r的值为( )
n nA. B．－ C. D．－
【答案】：B
【解析】：当n＝1时，a＝S＝3＋r，
1 1
当n≥2时，a＝S－S ＝32n－1－32n－3
n n n－1
＝32n－3(32－1)＝8·32n－3＝8·32n－2·3－1
＝·9n－1，
所以3＋r＝，即r＝－，故选B.
3、已知递增的等比数列{a}中，a＝6，a＋1，a＋2，a 成等差数列，则该数列的前6项和S 等
n 2 1 2 3 6
于( )
A．93 B．189 C. D．378
【答案】：B
【解析】：设数列{a}的公比为q，由题意可知，q>1，
n
且2(a＋2)＝a＋1＋a，
2 1 3
即2×(6＋2)＝＋1＋6q，
整理可得2q2－5q＋2＝0，
则q＝2，则a＝＝3，
1
∴数列{a}的前6项和S＝＝189.
n 6
4、（2022年广州附属中学高三模拟试卷）已知等比数列 的前n项和为 ，若 ， ，则
______．
【答案】
【解析】设等比数列的公比为 ，因为 ， ，
所以 ，则 ， ，
所以 ，解得 ，所以 ；
故答案为：
5、（2023·云南红河·统考一模）在数列 中， ， ，若 为等比数列，则
____________．
【答案】127【详解】设等比数列 的公比为q，则 ，
所以 ，故 ．
故答案为：127.
考向一 等比数列的基本运算
例1、（1）设正项等比数列{a}的前n项和为S，若S＝3，S＝15，则公比q等于( )
n n 2 4
A．5 B．4 C．3 D．2
（2）已知各项均为正数的等比数列{a}的前4项和为15，且a＝3a＋4a，则a 等于( )
n 5 3 1 3
A．16 B．8 C．4 D．2
（3）（2021·吉林延边朝鲜族自治州·高三月考（文））已知各项均为正数且单调递减的等比数列 满足
、 、 成等差数列.其前 项和为 ，且 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】．（1）D（2）C（3）C
【解析】（1）：因为S＝3，S＝15，S－S＝12，所以
2 4 4 2
两个方程左右两边分别相除，得q2＝4，因为数列是正项等比数列，所以q＝2，故选D.
（2）：设等比数列{a}的公比为q，由a＝3a＋4a 得q4＝3q2＋4，得q2＝4，
n 5 3 1
因为数列{a}的各项均为正数，所以q＝2，又a＋a＋a＋a＝a(1＋q＋q2＋q3)＝a(1＋2＋4＋8)＝15，
n 1 2 3 4 1 1
所以a＝1，所以a＝aq2＝4.
1 3 1
（3）【解析】：由 ， ， 成等差数列，
得： ，
设 的公比为 ，则 ，解得： 或 ，又 单调递减， ，
，
解得： ， 数列 的通项公式为： ，
.
故选：C．
方法总结：(1)等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，等比数列中有五个量a ，n，q，a ，
1 n
S，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)便可迎刃而解；
n
（2）等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论，当q＝1时，{a}的前n项和S＝na；当q≠1时，
n n 1
{a}的前n项和S＝＝。
n n
考向二 等比数列的性质
例2、(1)已知等比数列{a}的各项为正数，且aa＋aa＝18，则log a＋log a＋…＋log a ＝( )
n 5 6 4 7 3 1 3 2 3 10
A．12 B．10
C．8 D．2＋log 5
3
(2)设等比数列{a}中，前n项和为S，已知S＝8，S＝7，则a＋a＋a 等于( )
n n 3 6 7 8 9
A. B．－
C. D.
(3)已知等比数列{a}共有 2n 项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大 80，则公比 q＝
n
________.
【答案】(1)B (2)A (3)2
【解析】(1)由aa＋aa＝18，得aa＝9，
5 6 4 7 5 6
所以log a＋log a＋…＋log a ＝log (aa…a )
3 1 3 2 3 10 3 1 2 10
＝log (aa)5＝5log 9＝10.
3 5 6 3
(2)因为a＋a＋a＝S－S，且S，S－S，S－S 也成等比数列，即8，－1，S－S 成等比数列，
7 8 9 9 6 3 6 3 9 6 9 6所以8(S－S)＝1，即S－S＝，
9 6 9 6
所以a＋a＋a＝.
7 8 9
(3)由题意，得
解得所以q＝＝＝2.
变式1、 (1) 在等比数列{a}中，若aaaa＝1，a a a a ＝8，则a a a a ＝________；
n 1 2 3 4 13 14 15 16 41 42 43 44
【答案】 1 024
【解析】 由等比数列的性质可知，依次 4项的积为等比数列，设其公比为 q，T ＝aaaa ＝1，T ＝
1 1 2 3 4 4
a a a a ＝8，所以T＝Tq3＝1·q3＝8，即q＝2，所以T ＝a a a a ＝T·q10＝210＝1 024.
13 14 15 16 4 1 11 41 42 43 44 1
(2) 已知数列{a}为等比数列，S 为其前 n项和，n∈N*，若 a ＋a ＋a ＝3，a ＋a ＋a ＝6，则 S ＝
n n 1 2 3 4 5 6 12
________；
【答案】 45
【解析】 设等比数列{a}的公比为q，则＝q3＝＝2.因为S ＝a ＋a ＋a ＋a ＋a ＋a ＝9，S －S ＝a ＋a ＋
n 6 1 2 3 4 5 6 12 6 7 8
a＋a ＋a ＋a ，所以＝＝q6＝4，所以S ＝5S＝45.
9 10 11 12 12 6
(3) 已知{a}是等比数列，a＝2，a＝，则aa＋aa＋…＋aa ＝________．
n 2 5 1 2 2 3 n n＋1
【答案】 (1－4－n)
【解析】 因为a＝2，a＝，所以a＝4，q＝，所以aa＋aa＋…＋aa ＝
2 5 1 1 2 2 3 n n＋1
＝(1－4－n).
方法总结：(1)在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若 m＋n＝p
＋q(m，n，p，q∈N*)，则a ·a＝a·a”，可以减少运算量，提高解题速度．
m n p q
(2)在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形．此外，解题时注意设而
不求思想的运用
考向三 等比数列的判定与证明
例3、（1）设等比数列{a}的公比为q，则下列结论正确的是( )
n
A．数列{aa }是公比为q的等比数列
n n＋1
B．数列{a＋a }是公比为q的等比数列
n n＋1
C．数列{a－a }是公比为q的等比数列
n n＋1
D．数列是公比为的等比数列
【答案】：D
【解析】：对于A，由＝q2(n≥2)知其是公比为q2的等比数列；对于B，若q＝－1，则{a ＋a }项中
n n＋1
有0，不是等比数列；对于C，若q＝1，则数列{a －a }项中有0，不是等比数列；对于D，＝＝，
n n＋1
所以数列是公比为的等比数列，故选D.
（2）（2023·安徽蚌埠·统考三模）（多选）已知等差数列 的前 项和为 ，等比数列 的前 项积
为 ，则下列结论正确的是( )
A．数列 是等差数列 B．数列 是等差数列C．数列 是等比数列 D．数列 是等差数列
【答案】ABC
【详解】设等差数列 的公差为 ，则 ，∴ ．
对于A选项， ，∴ 为等差数列，A正确；
对于B选项，令 ，
∴ ，
故数列 是等差数列，B正确；
设等比数列 的公比为 ，
对于C选项，令 ，则 ，故数列 是等比数列，C正确；
对于D选项，∵ 不一定为常数，故数列 不一定是等差数列，故D错误；
故选：ABC．
变式1、(1) 已知数列{a}的前n项和为S ，且a ＋S ＝n.若数列 {b}满足b ＝a ，b ＝a －a (n≥2)，求
n n n n n 1 1 n n n－1
证：数列{b}是等比数列；
n
(2) 已知数列{a}满足a＝1，a＝2，a ＝，n∈N*.
n 1 2 n＋2
①令b＝a －a，求证：{b}是等比数列；
n n＋1 n n
②求数列{a}的通项公式．
n
【解析】 (1) 因为由例3(2)知a＝1－，
n
所以当n≥2时，b＝a－a ＝1－－＝－＝.
n n n－1
又b＝a＝也符合上式，所以b＝.
1 1 n
因为＝，所以数列{b}是等比数列．
n
(2) ①由题意，得b＝a－a＝1.
1 2 1
当n≥2时，b＝a －a＝－a＝－(a－a )＝－b ，则＝－.
n n＋1 n n n n－1 n－1
故{b}是以1为首项，－为公比的等比数列．
n
②由①知b＝a －a＝，
n n＋1 n
当n≥2时，a＝a＋(a－a)＋(a－a)＋…＋(a－a )＝1＋1＋＋…＋＝1＋＝1＋[1－]＝－.
n 1 2 1 3 2 n n－1
当n＝1时，－×＝1＝a，
1
故a＝－(n∈N*).
n
变式2、（2022年河北省高三大联考模拟试卷）已知数列 ， 满足 ，，且 ，
（1）求 ， 的值，并证明数列 是等比数列；
（2）求数列 ， 的通项公式．
【解析】
（1）∵
∴ ， .
∵ ，∴ ＝
∴
∴ 是 为首项， 为公比的等比数列
（2）由（1）知 是 为首项， 为公比的等比数列.
∴ ，∴
∵ ，∴
∴当 时，
.
当 时， 也适合上式所以数列 的通项公式为
数列 的通项公式为 .
方法总结：证明一个数列为等差数列或者等比数列常用定义法与等差、等比中项法，其他方法只用于选择、
填空题中的判定；若证明某数列不是等差或等比数列，则只要证明存在连续三项不成等差或等比数列即可．
而研究数列中的取值范围问题，一般都是通过研究数列的单调性来进行求解
1、（2022年河北省张家口高三模拟试卷）已知等比数列 各项均为正数，且 ，则 （
）
A. B. C. D. 或
【答案】A
【解析】
【详解】根据等比数列的通项公式可知 ， ，
所以 ，解得： 或 （舍），
故选：A
2、（2022年河北省衡水中学高三模拟试卷）等比数列{a}中，每项均为正数，且aa＝81，则log a＋
n 3 8 3 1
log a＋…＋log a 等于（ ）
3 2 3 10
A. 5 B. 10 C. 20 D. 40
【答案】C
【解析】
【详解】 是等比数列，则 ，
所以log a＋log a＋…＋log a ．
3 1 3 2 3 10
故选：C．3、（2023·吉林长春·统考三模）已知等比数列 的公比为 （ 且 ），若 ，则
的值为（ ）
A． B． C．2 D．4
【答案】C
【详解】已知等比数列 的公比为 （ 且 ），若 ，
则 ，所以 ，解得 .
故选：C.
4、（2023·黑龙江·黑龙江实验中学校考一模）（多选题）已知 是等比数列 的前 项和，且
，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AD
【分析】根据 与 的关系以及 是等比数列，可求得 ， .进而判断数列 是以8为
首项，4为公比的等比数列，根据等比数列前 项和公式即可判断C、D项.
【详解】当 时， ，
当 时， .
因为 是等比数列，所以需满足 ，所以 ， .
所以，A项正确，B项错误；
因为 ， ，所以数列 是以8为首项，4为公比的等比数列.
所以 ，所以C项错误，D项正确.
故选：AD.
5、（2023·湖南永州·统考三模）已知等比数列 ，其前 项和为 ，若 ， ，则
________.
【答案】4或16
【详解】设等比数列的首项为 ，公比为 ，由题意可知，
，解得： 或 ，
所以 或
故答案为：4或16
6、（2023·江苏南通·统考一模）写出一个同时满足下列条件①②的等比数列 的通项公式
__________.
① ；②
【答案】 （答案不唯一）
【分析】可构造等比数列，设公比为 ，由条件，可知公比 为负数且 ，再取符合的值即可得解.
【详解】可构造等比数列，设公比为 ，
由 ，可知公比 为负数，
因为 ，所以 ，
所以 可取 设 ，
则 .
故答案为： .7、（2023·江苏泰州·统考一模）写出一个同时满足下列条件①②的等比数列{ }的通项公式 ＝___．
① ；②
【答案】 （答案不唯一）
【分析】根据题目所给条件以及等比数列的知识求得正确答案.
【详解】依题意， 是等比数列，设其公比为 ，
由于① ，所以 ，
由于② ，所以 ，
所以 符合题意.
故答案为： （答案不唯一）
