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第 67 讲 直线与圆锥曲线的位置关系
1、直线与圆锥曲线的位置关系
判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时，通常将直线l的方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)代入圆
锥曲线C的方程F(x，y)＝0，消去y(或x)得到一个关于变量x(或y)的一元方程．
例：由消去y，得ax2＋bx＋c＝0.
(1)当a≠0时，设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判别式为Δ，则：
Δ>0⇔直线与圆锥曲线C ；
Δ＝0⇔直线与圆锥曲线C ；
Δ<0⇔直线与圆锥曲线C
(2)当a＝0，b≠0时，即得到一个一元一次方程，则直线l与圆锥曲线C相交，且只有一个交点，此时，
若C为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是 ；
若C为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是 ．
2、弦长公式
设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A，B两点，A(x，y)，B(x，y)，则
1 1 2 2
|AB|＝ |x－x|＝
1 2
或|AB|＝
＝
3、中点弦所在直线的斜率
圆锥曲线以P(x ，y)(y≠0)为中点的弦所在直线的斜率为k，其中k＝(x≠x)，(x ，y)，(x ，y)为弦
0 0 0 1 2 1 1 2 2
的端点坐标．
圆锥曲线方程 直线斜率
椭圆：＋＝1(a＞b＞0)
双曲线：－＝1(a＞0，b＞0)
抛物线：y2＝2px(p＞0)
1、（2023•甲卷（文））已知双曲线 的离心率为 ， 的一条渐近线与圆
交于 ， 两点，则A． B． C． D．
2、（2022•乙卷（文））设 为抛物线 的焦点，点 在 上，点 ，若 ，则
A．2 B． C．3 D．
3、（2022•新高考Ⅱ）已知直线 与椭圆 在第一象限交于 ， 两点， 与 轴、 轴分别相交
于 ， 两点，且 ， ，则 的方程为 ．
4、（2022•甲卷（文））记双曲线 的离心率为 ，写出满足条件“直线 与
无公共点”的 的一个值 ．．
5、（多选题）（2023•新高考Ⅱ）设 为坐标原点，直线 过抛物线 的焦点，
且与 交于 ， 两点， 为 的准线，则
A． B．
C．以 为直径的圆与 相切 D． 为等腰三角形
Ⅰ）已知 为坐标原点，点 在抛物线 上，过点
6、（多选题）（2022•新高考
的直线交 于 ， 两点，则
A． 的准线为 B．直线 与 相切
C． D．
7、（多选题）（2022•新高考Ⅱ）已知 为坐标原点，过抛物线 焦点 的直线与 交于
， 两点，其中 在第一象限，点 ．若 ，则A．直线 的斜率为 B．
C． D．
8、（2022•新高考Ⅱ）已知双曲线 的右焦点为 ，渐近线方程为 ．
（1）求 的方程；
（2）过 的直线与 的两条渐近线分别交于 ， 两点，点 ， ， ， 在 上，且
， ．过 且斜率为 的直线与过 且斜率为 的直线交于点 ．从下面①②③中选取
两个作为条件，证明另外一个成立．
① 在 上；② ；③ ．
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．
9、（2023•甲卷（文））已知直线 与抛物线 交于 ， 两点， ．
（1）求 ；
（2）设 为 的焦点， ， 为 上两点，且 ，求 面积的最小值．1、直线y＝kx－k＋1与椭圆＋＝1的位置关系为( )
A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 不确定
2、 过点(0，1)作直线，使它与抛物线y2＝4x仅有一个公共点，这样的直线有( )
A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条
3、 已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)，F(，0)是椭圆C的右焦点，过点F且垂直于x轴的直线与椭圆相交所得
的弦长为2，则椭圆C的方程为________________．
4、 经过椭圆＋y2＝1的一个焦点作倾斜角为45°的直线l，交椭圆于A，B两点．设O为坐标原点，则
OA·OB的值为________．
考向一 直线与圆锥曲线的位置关系
例1 已知直线l：y＝kx＋2，椭圆C：＋y2＝1.试问当k取何值时，直线l与椭圆C：
(1) 有两个不重合的公共点；
(2) 有且只有一个公共点；
(3) 没有公共点．
变式1、若直线l：y＝kx＋2与曲线C：y2＝x恰好有一个公共点，求实数k的取值集合．变式2、若直线y＝kx＋2与双曲线x2－y2＝6的右支交于不同的两点，则实数k的取值范围是__________．
方法总结：直线与圆锥曲线位置关系的判定方法
(1)代数法：即联立直线与圆锥曲线方程可得到一个关于x，y的方程组，消去y(或x)得一元方程，此方
程根的个数即为交点个数，方程组的解即为交点坐标．联立直线与圆锥曲线的方程消元后，要注意讨论二
次项系数是否为零的情况．
(2)几何法：即画出直线与圆锥曲线的图象，根据图象判断公共点个数．
考向二 圆锥曲线的弦长问题
例2、如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，过椭圆右焦点F作两条互相垂直
的弦AB与CD.当直线AB的斜率为0时，AB＝4.
(1) 求椭圆的方程；
(2) 若AB＋CD＝，求直线AB的方程．变式1、已知抛物线C：y2＝3x的焦点为F，斜率为的直线l与抛物线C的交点为A，B，与x轴的交点为P.
(1) 若AF＋BF＝4，求直线l的方程；
(2) 若AP＝3PB，求AB的长．
方法总结;(1)涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数的关系、设而不求法计算弦长．
(2)涉及垂直关系时也往往利用根与系数的关系、设而不求法简化运算．
(3)涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解．
考向三 求圆锥曲线的中点弦
例3、(1) 已知P(1，1)为椭圆＋＝1内的一点，经过点P引一条弦交椭圆于A，B两点，且此弦被点P平
分，则此弦所在直线的方程为________；
(2) 已知抛物线x2＝ay与直线y＝2x－2相交于M，N两点，若MN中点的横坐标为3，则此抛物线的方程
为________．
变式1、以A(2，1)为中点的双曲线C：2x2－y2＝2的弦所在直线的方程为________.
方法总结：(1)处理有关中点弦及对应直线斜率关系的问题时，常用“点差法”，步骤如下：
①设点：设出弦的两端点坐标；②代入：代入圆锥曲线方程；③作差：两式相减，再用平方差公式把
上式展开；④整理：转化为斜率与中点坐标的关系式，然后求解．
(2)“点差法”的常见题型有：求中点弦方程、求(过定点、平行弦)弦中点轨迹、垂直平分线问题．由于“点
差法”具有不等价性，所以在使用时要考虑判别式Δ是否为正数
考向四 圆锥曲线中的综合性问题例4、如图，在平面直角坐标系xOy中，焦点在 x轴上的椭圆C：＋＝1经过点(b，2e)，其中e为椭圆C的
离心率．过点T(2，0)作斜率为k(k＞0)的直线l交椭圆C于A，B两点(点A在 x轴的下方).
(1) 求椭圆C的标准方程；
(2) 若AT＝2TB，求直线l的斜率k.
变式1、 如图，已知椭圆C：＋＝1.过点T(1，0)作斜率为k(k＞0)的直线l交椭圆C于A，B两点(点A在x
轴的下方).若 AT＝2TB，求直线l的斜率k.
1、 （2022年江苏省高三模拟试卷）已知抛物线 在点 处的切线与双曲线的一条渐近线平行，则C的离心率为（ ）
A. B. 2 C. D.
2、 （2022年湖南省长沙市第一中学高三模拟试卷）（多选题）已知抛物线 ： 的焦点为 ，
为 上一点，下列说法正确的是（ ）
A. 的准线方程为
B. 直线 与 相切
C. 若 ，则 的最小值为
D. 若 ，则 的周长的最小值为11
3、（2022年江苏省泰州市高三模拟试卷）（多选题）已知双曲线 ，过其右焦点F的直线l与
双曲线交于A，B两个不同的点，则下列判断正确的为（ ）
A. 的最小值为
B. 以F为焦点的抛物线的标准方程为
C. 满足 的直线有3条
D. 若A，B同在双曲线的右支上，则直线l的斜率
答案：BD
4、(2022·南京9月学情【零模】)在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：(a＞b＞0)的左，右顶点分别为A，
B．F是椭圆的右焦点，＝3，·＝3．
(1)求椭圆C的方程；
(2)不过点A的直线l交椭圆C于M，N两点，记直线l，AM，AN的斜率分别为k，k ，k ．若k(k ＋k)＝
1 2 1 21，证明直线l过定点，并求出定点的坐标．
