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第 80 讲 正态分布
正态分布
(1)定义
若随机变量X的概率分布密度函数为f(x)＝·e，x∈R，其中，μ∈R，σ＞0为参数，则称随机变量X服从
，记为X～N(μ，σ2).
(2)正态曲线的特点
①曲线是单峰的，它关于直线 对称.
②曲线在 处达到峰值.
③当|x|无限增大时，曲线无限接近x轴.
(3)3σ原则
①P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7；
②P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5；
③P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3.
(4)正态分布的均值与方差
若X～N(μ，σ2)，则E(X)＝μ，D(X)＝ σ 2 .
1、【2022年新高考2卷】已知随机变量X服从正态分布N(2,σ2)，且P(22.5)=____________．
2、（21•新高考Ⅱ）某物理量的测量结果服从正态分布 ，则下列结论中不正确的是
A． 越小，该物理量在一次测量中落在 内的概率越大
B．该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5
C．该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等
D．该物理量在一次测量中结果落在 与落在 的概率相等
1、已知随机变量 服从正态分布 ，若 ，则 （ ）A．0.977 B．0.954 C．0.5 D．0.023
2、某校高三年级有1000人参加期末考试，经统计发现数学成绩近似服从正态分布 ，且成绩不低
于140分的人数为100，则此次考试数学成绩高于100分的人数约为( )
A．700 B．800 C．900 D．950
3、(2022·滨州二模)设随机变量X～N(μ，σ2)，则“μ≥1”是“P(X<2)<”的( )
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分又不必要条件
4、设随机变量X～N(3，σ2)，若P(X>m)＝0.3，则P(X>6－m)＝________．
5、设 ， ，这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中正确的是（ ）
A．
B．
C．对任意正数 ，
D．对任意正数 ，
考向一 利用正态分布求概率
例1、“杂交水稻之父”袁隆平一生致力于杂交水稻技术的研究、应用与推广，发明了“三系法”籼型杂
交水稻，成功研究出“两系法”杂交水稻，创建了超级杂交稻技术体系，为我国粮食安全、农业科学发展
和世界粮食供给做出了杰出贡献；某杂交水稻种植研究所调查某地水稻的株高，得出株高(单位：cm)服从正态分布，其密度曲线函数为 ，则下列说法正确的是（ ）
A．该地水稻的平均株高为100cm
B．该地水稻株高的方差为10
C．随机测量一株水稻，其株高在120cm以上的概率比株高在70cm以下的概率大
D．随机测量一株水稻，其株高在(80，90)和在(100，110)(单位：cm)的概率一样大
变式1、设 ， ，这两个正态分布密度曲线如图所示，下列结论中正确的是
（ ）
A． B．
C． D．
变式2、（2022·江苏如皋·高三期末）已知随机变量X服从正态分布 ，且 ，则
（ ）
A．0.43 B．0.28 C．0.14 D．0.07
变式3、（2022·广东·铁一中学高三期末）已知参加2020年某省夏季高考的53万名考生的成绩 近似地服
从正态分布 ，估计这些考生成绩落在 的人数约为（ ）
(附： ，则 ， )
A．36014 B．72027 C．108041 D．168222
变式4、（1）（2023·浙江·校联考三模）已知随机变量 服从正态分布 ，若
，则 _____________．
（2）（2023·福建泉州·统考三模）设随机变量 ，若 ，则
____________．考向二 正态分布的综合性问题
例2、为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取 16个零件，并测量
其尺寸(单位：cm).根据长期的生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布
N(μ，σ2).
(1) 假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件数，
求P(X≥1)及X的数学期望；
(2) 在一天内抽检的零件中，如果出现了尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件，就认为这条生产线在这
一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．
①试说明上述监控生产过程方法的合理性；
②下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：
9．95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04
10．26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95
经计算，得＝ ＝9.97，s＝ ≈0.212，其中x为抽取
i
的第i个零件的尺寸，i＝1，2，…，16.用样本平均数作为μ的估计值μ^，用样本标准差s作为σ的估计值σ^
，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除(μ^－3σ^，μ^＋3σ^)之外的数据，用剩下的数据估
计μ和σ.(精确到0.01)
附：若随机变量Z服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－3σ
