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第 80 讲 正态分布
正态分布
(1)定义
若随机变量X的概率分布密度函数为f(x)＝·e，x∈R，其中，μ∈R，σ＞0为参数，则称随机变量X服从
，记为X～N(μ，σ2).
(2)正态曲线的特点
①曲线是单峰的，它关于直线 对称.
②曲线在 处达到峰值.
③当|x|无限增大时，曲线无限接近x轴.
(3)3σ原则
①P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7；
②P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5；
③P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3.
(4)正态分布的均值与方差
若X～N(μ，σ2)，则E(X)＝μ，D(X)＝ σ 2 .
1、【2022年新高考2卷】已知随机变量X服从正态分布N(2,σ2)，且P(2<X≤2.5)=0.36，则
P(X>2.5)=____________．
2、（21•新高考Ⅱ）某物理量的测量结果服从正态分布 ，则下列结论中不正确的是
A． 越小，该物理量在一次测量中落在 内的概率越大
B．该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5
C．该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等
D．该物理量在一次测量中结果落在 与落在 的概率相等
1、已知随机变量 服从正态分布 ，若 ，则 （ ）A．0.977 B．0.954 C．0.5 D．0.023
2、某校高三年级有1000人参加期末考试，经统计发现数学成绩近似服从正态分布 ，且成绩不低
于140分的人数为100，则此次考试数学成绩高于100分的人数约为( )
A．700 B．800 C．900 D．950
3、(2022·滨州二模)设随机变量X～N(μ，σ2)，则“μ≥1”是“P(X<2)<”的( )
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分又不必要条件
4、设随机变量X～N(3，σ2)，若P(X>m)＝0.3，则P(X>6－m)＝________．
5、设 ， ，这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中正确的是（ ）
A．
B．
C．对任意正数 ，
D．对任意正数 ，
考向一 利用正态分布求概率
例1、“杂交水稻之父”袁隆平一生致力于杂交水稻技术的研究、应用与推广，发明了“三系法”籼型杂
交水稻，成功研究出“两系法”杂交水稻，创建了超级杂交稻技术体系，为我国粮食安全、农业科学发展
和世界粮食供给做出了杰出贡献；某杂交水稻种植研究所调查某地水稻的株高，得出株高(单位：cm)服从正态分布，其密度曲线函数为 ，则下列说法正确的是（ ）
A．该地水稻的平均株高为100cm
B．该地水稻株高的方差为10
C．随机测量一株水稻，其株高在120cm以上的概率比株高在70cm以下的概率大
D．随机测量一株水稻，其株高在(80，90)和在(100，110)(单位：cm)的概率一样大
变式1、设 ， ，这两个正态分布密度曲线如图所示，下列结论中正确的是
（ ）
A． B．
C． D．
变式2、（2022·江苏如皋·高三期末）已知随机变量X服从正态分布 ，且 ，则
（ ）
A．0.43 B．0.28 C．0.14 D．0.07
变式3、（2022·广东·铁一中学高三期末）已知参加2020年某省夏季高考的53万名考生的成绩 近似地服
从正态分布 ，估计这些考生成绩落在 的人数约为（ ）
(附： ，则 ， )
A．36014 B．72027 C．108041 D．168222
变式4、（1）（2023·浙江·校联考三模）已知随机变量 服从正态分布 ，若
，则 _____________．
（2）（2023·福建泉州·统考三模）设随机变量 ，若 ，则
____________．考向二 正态分布的综合性问题
例2、为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取 16个零件，并测量
其尺寸(单位：cm).根据长期的生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布
N(μ，σ2).
(1) 假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件数，
求P(X≥1)及X的数学期望；
(2) 在一天内抽检的零件中，如果出现了尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件，就认为这条生产线在这
一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．
①试说明上述监控生产过程方法的合理性；
②下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：
9．95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04
10．26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95
经计算，得＝ ＝9.97，s＝ ≈0.212，其中x为抽取
i
的第i个零件的尺寸，i＝1，2，…，16.用样本平均数作为μ的估计值μ^，用样本标准差s作为σ的估计值σ^
，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除(μ^－3σ^，μ^＋3σ^)之外的数据，用剩下的数据估
计μ和σ.(精确到0.01)
附：若随机变量Z服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－3σ<Z<μ＋3σ)＝0.997 4，
0．997 416≈0.959 2，≈0.09.
变式1、从某企业的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率直
方图：(1) 求这500件产品质量指标值的样本平均数和样本方差s2(同一组数据用该区间的中点值作代表，记
作x，i＝1，2，…，7)；
i
(2) 由频率直方图可以认为，这种产品的质量指标值 X服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ近似为样本平
均数 ，σ2近似为样本方差s2.
①若使84.14%的产品的质量指标值高于企业制定的合格标准，则合格标准的质量指标值大约为多少？
②若该企业又生产了这种产品1 000件，且每件产品相互独立，则这1 000件产品质量指标值不低于
12.14的件数最有可能是多少？
附： (x－)2h＝3.46，3.46≈×2.632；若 X～N(μ，σ2)，则 P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0.682 7；P(μ－
i i
2σ<X≤μ＋2σ)＝0.954 5；P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)＝0.997 3.
变式2、（2022·湖北·恩施土家族苗族高中高三期末）为保障全民阅读权利，培养全民阅读习惯，提高全民
阅读能力，推动文明城市和文化强市建设某高校为了解全校学生的阅读情况，随机调查了200名学生的每
周阅读时间x(单位：小时)并绘制如图所示的频率分布直方图：(1)求这200名学生每周阅读时间的样本平均数 和样本方差 (同一组的数据用该组区间中点值代表)；
(2)由直方图可以看出，目前该校学生每周的阅读时间x大致服从正态分布 ，其中 近似为样本平
均数 ， 近似为样本方差 .
①一般正态分布 的概率都可以转化为标准正态分布 的概率进行计算：若 ，令
，则 ，且 利用直方图得到的正态分布，求 ；
②从该高校的学生中随机抽取20名，记Z表示这20名学生中每周阅读时间超过10小时的人数，求Z的均
值.
参考数据： ，若 ，则 .
方法总结：对于正态分布题型的数据分析，需要结合μ，σ的含义来进行理解，根据题设中如P(μ－σ<X≤μ
＋σ)≥0.682 7；②P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)≥0.954 5；③P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)≥0.997 3来寻找对应条件下的样品数，
计算出概率值，再根据题设进行求解，此类题型对数据分析能力要求较高，在统计数据时必须保证数据的
准确性，特别是统计个数和计算μ－σ，μ＋σ等数据时．1、（2022·江苏海门·高三期末）现实世界中的很多随机变量遵循正态分布．例如反复测量某一个物理量，
其测量误差X通常被认为服从正态分布．若某物理量做n次测量，最后结果的误差，X ~N(0， )，则为
n
使|X |≥ 的概率控制在0.0456以下，至少要测量的次数为（ ）
n
（附）随机变量X~N(μ，σ2)，则P(μ－σ＜X＜μ＋σ)＝0.6826，P(μ－2σ＜X＜μ＋2σ)＝0.9544，P(u－3σ＜X＜
μ＋3σ)＝0.9974．
A．32 B．64 C．128 D．256
2、（多选）（2023·山西运城·统考三模）已知某校高二男生的身高X（单位：cm）服从正态分布N
（175，16），且 ，则（ ）
A．该校高二男生的平均身高是175cm
B．该校高二男生身高的方差为4
C．该校高二男生中身高超过183cm的人数超过总数的3%
D．从该校高二男生中任选一人，身高超过180cm的概率与身高不超过170cm的概率相等
3、（多选）（2023·湖南郴州·统考三模）给出下列命题，其中正确的是（ ）
A．对于独立性检验 的值越大，说明两事件相关程度越大.
B．若随机变量 ，则
C．若 ，则
D．已知样本点 组成一个样本，得到回归直线方程 ，且 ，剔除两个样
本点 和 得到新的回归直线的斜率为 ，则新的回归方程为
4、（多选）（2023·辽宁沈阳·统考三模）下列命题中正确的是（ ）
A．已知一组数据6，6，7，8，10，12，则这组数据的50%分位数是7.5
B．已知随机变量 ，且 ，则
C．已知随机变量 ，则
D．已知经验回归方程 ，则y与x具有负线性相关关系
5、（2023·重庆·统考三模）已知随机变量 ，若 ，则 ______．
6、（2022·山东青岛·高三期末）习近平总书记在党的十九大报告中指出，保障和改善人民最关心最直接最
现实的利益问题要从“让人民群众满意的事情”做起.2021年底某市城市公园建设基本完成，为了解市民
对该项目的满意度，从该市随机抽取若干市民对该项目进行评分(满分100分)，绘制成如图所示的频率分布直方图，并将分数从低到高分为四个等级：
满意度评分 低于60分 60分到79分 80分到89分 不低于90分
满意度等级 不满意 基本满意 满意 非常满意
(1)若市民的满意度评分相互独立，以满意度样本估计全市民满意度，现从全市民中随机抽取5人，求至少
2人非常满意的概率；
(2)相关部门对该项目进行验收，验收的硬性指标是：全民对该项目的满意指数不低于0.8，否则该项目需
要进行整改，根据你所学的统计知识，判断该项目能否通过验收，并说明理由；(注：满意指数=
)
(3)在等级为不满意的市民中，老人占 ，现从该等级市民中按年龄分层抽取9人了解不满意的原因，并从
中选取3人担任督导员.记X为老年督导员的人数，求X的分布列及数学期望E(X).7、（2022·湖北江岸·高三期末）5G网络是第五代移动通信网络的简称，是新一轮科技革命最具代表性的技
术之一.2020年初以来，我国5G网络正在大面积铺开.A市某调查机构为了解市民对该市5G网络服务质量
的满意程度，从使用了5G手机的市民中随机选取了200人进行问卷调查，并将这200人根据其满意度得分
分成以下6组： ､ ､ ､…， ，统计结果如图所示：
(1)由直方图可认为A市市民对5G网络满意度得分Z（单位：分）近似地服从正态分布 ，其中 近
似为样本平均数 ， 近似为样本的标准差s，并已求得 .若A市恰有2万名5G手机用户，试估计
这些5G手机用户中满意度得分位于区间 的人数（每组数据以区间的中点值为代表）；
(2)该调查机构为参与本次调查的5G手机用户举行了抽奖活动，每人最多有3轮抽奖活动，每一轮抽奖相
互独立，中奖率均为 .每一轮抽奖，奖金为100元话费且继续参加下一轮抽奖；若未中奖，则抽奖活动结
束.现小王参与了此次抽奖活动，求小王所获话费总额X的数学期望.
参考数据：若随机变量Z服从正态分布 ，即 ，则 ，
.8、（2022·山东青岛·高三期末）法国数学家庞加莱是个喜欢吃面包的人，他每天都会到同一家面包店购买
一个面包.该面包店的面包师声称自己所出售的面包的平均质量是1000 ，上下浮动不超过50 .这句话用
数学语言来表达就是：每个面包的质量服从期望为1000 ，标准差为50 的正态分布.
(1)已知如下结论：若 ，从 的取值中随机抽取 个数据，记这 个数据的平均
值为 ，则随机变量 .利用该结论解决下面问题.
（i）假设面包师的说法是真实的，随机购买25个面包，记随机购买25个面包的平均值为 ，求
；
（ii）庞加莱每天都会将买来的面包称重并记录，25天后，得到的数据都落在 上，并经计算25
个面包质量的平均值为 .庞加莱通过分析举报了该面包师，从概率角度说明庞加莱举报该面包师的
理由；
(2)假设有两箱面包（面包除颜色外，其他都一样），已知第一箱中共装有6个面包，其中黑色面包有2个；
第二箱中共装有8个面包，其中黑色面包有3个.现随机挑选一箱，然后从该箱中随机取出2个面包.求取出
黑色面包个数的分布列及数学期望.
附：
①随机变量 服从正态分布 ，则 ，；
②通常把发生概率小于 的事件称为小概率事件，小概率事件基本不会发生.
