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第 02 讲 常用逻辑用语
1、 充分条件与必要条件
（1）充分条件、必要条件与充要条件的概念
若p q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件
p是⇒q的充分不必要条件
p是q的必要不充分条件
p是q的充要条件
p是q的既不充分也不必要条件
（2）从集合的角度：
若条件p，q以集合的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则由A B可得，p是q的充分条件，请
写出集合A，B的其他关系对应的条件p，q的关系． ⊆
提示 若A B，则p是q的充分不必要条件；
若A B，则p是q的必要条件；
若A⊇ B，则p是q的必要不充分条件；
若A＝B，则p是q的充要条件；
若A⊈B且A⊉B，则p是q的既不充分也不必要条件．
2、全称量词与全称命题
(1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫作全称量词．
(2)全称命题：含有全称量词的命题．
(3)全称命题的符号表示：
形如“对M中的任意一个x，有p(x)成立”的命题，用符号简记为∀x∈M，p(x)．
3、存在量词与特称命题
(1)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫作存在量词．
(2)特称命题：含有存在量词的命题．
(3)特称命题的符号表示：
形如“存在M中的元素x，使p(x)成立”的命题，用符号简记为∃x∈M，p(x)．
0 0 0 0
1、【2022年浙江省高考】设 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件2、【2022年新高考北京高考】设 是公差不为0的无穷等差数列，则“ 为递增数列”是“存在正
整数 ，当 时， ”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
3、【2021年乙卷文科】已知命题 ﹔命题 ﹐ ，则下列命题中为真命题的是
（ ）
A． B． C． D．
1、命题“∀x≥0，tanx≥sinx”的否定为( )
A．x≥0，tanx＜sinx B．x＜0，tanx＜sinx
0 0 0 0 0 0
C．∀x≥0，tanx＜sinx D．∀x＜0，tanx＜sinx
2、【2022·广东省深圳市六校上学期第二次联考中学10月月考】
已知条件 ，那么 是 的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
3、（2022·江苏宿迁·高三期末）不等式 成立的一个充分条件是（ ）
A． B． C． D．
4、已知p：|x|≤m(m>0)，q：－1≤x≤4，若p是q的充分条件，则m的最大值为________；若p是q的必
要条件，则m的最小值为________．
考向一 充要条件、必要条件的判断
例1、（1）“ ”是“直线 与直线 平行”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
（2）在 中，“ ”是“ 为钝角三角形”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
（3）“ ”是“复数 为纯虚数”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
变式1、（2022·湖北江岸·高三期末）“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
变式2、（2022·山东济南·高三期末）已知函数 的定义域为 ，则“ 是偶函数”是“ 是偶
函数”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
方法总结：充要条件的三种判断方法
(1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断.
(2)集合法：根据使p，q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断.
(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化为其逆否命题进行判断.这
个方法特别适合以否定形式给出的问题，
考向二 充分、必要条件等条件的应用
例2、（多选题）下列选项中， 是 的必要不充分条件的是
A． ； ：方程 的曲线是椭圆
B． ； ：对 ， 不等式 恒成立
C．设 是首项为正数的等比数列， ：公比小于0； ：对任意的正整数 ，
D．已知空间向量 ，1， ， ，0， ， ； ：向量 与 的夹角是变式1、知集合A＝{x|x2－6x＋8<0}，B＝{x|(x－a)(x－3a)<0}．若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，求实数
a的取值范围．
变式2、已知p：|1－|≤2，q：x2－2x＋1－m2≤0(m＞0)，若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范
围．
变式3、 已知p：|1－|≤2，q：x2－2x＋1－m2≤0，若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围．
方法总结：充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上．解题时需注意：
(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数
的不等式(或不等式组)求解．
考向三 含有量词的否定
例3、（1）写出下列命题的否定，并判断真假．
（1） ，都有 ；
（2） ， ；
（3） 至少有一个二次函数没有零点；
（4） 存在一个角 ，使得 ．
（2）下列四个命题：
① x∈(0，＋∞)， ；
∃
② x∈(0,1)， ；
∃
③ x∈(0，＋∞)，x> ；
∀④ x∈，x< .
其中真命题的序号为________．
∀
变式1、（2022·广东佛山·高三期末）设命题 ，则p的否定为（ ）
A． B． C． D．
变式2、（深圳市南山区期末试题）命题“存在无理数 ，使得 是有理数”的否定为（ ）
A. 任意一个无理数 ， 都不是有理数 B. 存在无理数 ，使得 不是有理数
C. 任意一个无理数 ， 都是有理数 D. 不存在无理数 ，使得 是有理数
方法总结：1、判定全称命题“∀x∈M，p(x)”是真命题，需要对集合M中的每一个元素x，证明p(x)成立；
要判定存在性命题是真命题，只要在限定集合内找到一个x，使p(x)成立．
2、全称(或存在性)命题的否定是将其全称(或存在)量词改为存在量词(或全称量词)，并把结论否定．
考向四 存在性问题与恒成立问题
例4 已知函数f(x)＝x＋，g(x)＝2x＋a.若∀x∈，∃x∈[2，3]，使得f(x)≥g(x)，求实数a的取值范围．
1 2 1 2
变式1、已知函数f(x)＝x＋，g(x)＝2x＋a，若∀x∈[2，3]，∃x∈，使得f(x)≥g(x)，求实数a的取值范
2 1 1 2
围．
变式2、若∀x∈(0，＋∞)，，则实数m的取值范围为 ．
变式3、 若命题“存在x∈R，ax2＋4x＋a≤0”为假命题，则实数a的取值范围是________．
方法总结：应用含有量词的命题求参数的策略：（1）对于全称量词命题 （或 ）为真的问题实质就是不等式恒成立问题，通常转化为求 的最大值（或最小值），即 （或
）．（2）对于存在量词命题 （或 ）为真的问题实质就是不等式能成
立问题，通常转化为求 的最小值（或最大值），即 （或 ）．
1、（2022·河北深州市中学高三期末）已知 ，则“a，b的平均数大于1”是“a，b，c的平均数大于1”
的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2、（2022·山东德州·高三期末）已知向量 ， ，则 是 为钝角的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3、（2022·山东烟台·高三期末）命题“ ， ”的否定为（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
4、（汕头市高三期末试题）已知集合 ，集合 ，则以下命题为真命题的是（
）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
5、（2022·浙江绍兴·模拟预测） 中，“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6、已知p：|1－|≤2，q：x2－2x＋1－m2≤0(m＞0)，若q是p的充分不必要条件，求实数m的取值范围．7、(2022·江苏扬州期中)(本小题满分10分)已知集合，记函数的定义域为集合B．
(1)当a＝1时，求A∪B；
(2)若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
