文档内容
第 02 讲 常用逻辑用语
目录
01 考情透视·目标导航........................................................................................................................2
02 知识导图·思维引航........................................................................................................................3
03 考点突破·题型探究........................................................................................................................4
知识点1：充分条件、必要条件、充要条件.............................................................................................................4
知识点2：全称量词与存在量词..................................................................................................................................4
知识点3：含有一个量词的命题的否定.....................................................................................................................5
解题方法总结.................................................................................................................................................................5
题型一：充分条件与必要条件的判断........................................................................................................................6
题型二：根据充分必要条件求参数的取值范围........................................................................................................8
题型三：全称量词命题与存在量词命题的真假......................................................................................................10
题型四：根据命题的真假求参数的取值范围..........................................................................................................11
题型五：全称量词命题与存在量词命题的否定......................................................................................................13
04 真题练习·命题洞见.......................................................................................................................15
05 课本典例·高考素材.......................................................................................................................17
06易错分析·答题模板........................................................................................................................19
易错点：混淆充分条件与必要条件..........................................................................................................................19
答题模板：充分条件与必要条件的判断..................................................................................................................19考点要求 考题统计 考情分析
从近几年高考命题来看，常用逻辑用
2024年新高考II卷第2题，5
语没有单独命题考查，偶尔以已知条件的
（1）必要条件、充分条 分
形式出现在其他考点的题目中．重点关注
件、充要条件； 2023 年新高考 I 卷第 7 题，5
如下两点：
（2）全称量词与存在量 分
（1）集合与充分必要条件相结合问
词；
2023年天津卷第2题，5分
题的解题方法；
（3）全称量词命题与存在 2023年全国甲卷第7题，5分
（2）全称命题与存在命题的否定和
量词命题的否定． 2022年天津卷第2题，5分
以全称命题与存在命题为条件，求参数的
2021年全国甲卷第7题，5分
范围问题．
复习目标：
1、理解充分条件、必要条件、充要条件的意义；
2、理解判定定理与充分条件的关系、性质定理与必要条件的关系；
3、理解全称量词和存在量词的意义，能正确对两种命题进行否定．知识点1：充分条件、必要条件、充要条件
1、定义
如果命题“若 ，则 ”为真（记作 ），则 是 的充分条件；同时 是 的必要条件．
2、从逻辑推理关系上看
（1）若 且 ，则 是 的充分不必要条件；
（2）若 且 ，则 是 的必要不充分条件；
（3）若 且 ，则 是 的的充要条件（也说 和 等价）；
（4）若 且 ，则 不是 的充分条件，也不是 的必要条件．
对充分和必要条件的理解和判断，要搞清楚其定义的实质： ，则 是 的充分条件，同时 是
的必要条件．所谓“充分”是指只要 成立， 就成立；所谓“必要”是指要使得 成立，必须要 成
立（即如果 不成立，则 肯定不成立）．
【诊断自测】（2024·北京西城·二模）已知 ．则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】当 时，则 ，当且仅当 时取等，所以充分性成立，
取 ，满足 ，但 ，故必要性不成立，
所以“ ”是“ ”的充分不必要条件.
故选：A.
知识点2：全称量词与存在量词
（1）全称量词与全称量词命题．短语“所有的”、“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用
符号“ ”表示．含有全称量词的命题叫做全称量词命题．全称量词命题“对 中的任意一个 ，有
成立”可用符号简记为“ ”，读作“对任意 属于 ，有 成立”．
（2）存在量词与存在量词命题．短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“ ”表示．含有存在量词的命题叫做存在量词命题．存在量词命题“存在 中的一个 ，使
成立”可用符号简记为“ ”，读作“存在 中元素 ，使 成立”（存在量词命
题也叫存在性命题）．
【诊断自测】下列命题中的假命题是( )
A． R B． R
C． R D． R
【答案】C
【解析】因为 ，所以选项A、B均为真命题，选项C为假命题；
因为 在R上的值域可知 ，所以D为真命题；
故选：C
知识点3：含有一个量词的命题的否定
（1）全称量词命题 的否定 为 ， ．
（2）存在量词命题 的否定 为 ．
【诊断自测】（2024·全国·模拟预测）已知命题 ，则 为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由题意，全称量词命题的否定是存在量词命题，可得：
命题 的否定为： 为 ．
故选：C．
解题方法总结
1、从集合与集合之间的关系上看
设 ．
（1）若 ，则 是 的充分条件（ ）， 是 的必要条件；若 ，则 是 的充分不
必要条件， 是 的必要不充分条件，即 且 ；
简记：“小 大”．
（2）若 ，则 是 的必要条件， 是 的充分条件；
（3）若 ，则 与 互为充要条件．2、常见的一些词语和它的否定词如下表
原词语 等于 大于 小于 是 都是 任意 至多 至多
（所有） 有一个 有一个
否定词语 不等于 小于等于 大于等于 不是 不都是 某个 至少有 一个都
两个 没有
（1）要判定一个全称量词命题是真命题，必须对限定集合 中的每一个元素 证明其成立，要判断
全称量词命题为假命题，只要能举出集合 中的一个 ，使得其不成立即可．
（2）要判断一个存在量词命题为真命题，只要在限定集合 中能找到一个 使之成立即可，否则这
个存在量词命题就是假命题．
题型一：充分条件与必要条件的判断
【典例1-1】（2024·浙江宁波·二模）已知平面 ，则“ ”是“ 且 ”的
（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】由于 ，所以 ，
若 ，则 ， ，故充分性成立，
若 ， ，设 ， ，
则存在直线 使得 ，所以 ，由于 ，故 ，
同理存在直线 使得 ，所以 ，由于 ，故 ，
由于 不平行，所以 是平面 内两条相交直线，所以 ，故必要性成立，
故选：C
【典例1-2】（2024·湖南·二模）已知实数 ，则下列选项可作为 的充分条件的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】取 ， ，满足 ，但是推不出 ，故排除A；
取 ， ，满足 ，但是推不出 ，故排除B；取 ， ，满足 ，但是推不出 ，故排除D；
由 ， ，可推出 ，即 ，即 ，故充分性成立.
故选：C.
【方法技巧】
1、要明确推出的含义，是 成立 一定成立才能叫推出而不是有可能成立．
2、充分必要条件在面对集合问题时，一定是小集合推出大集合，而大集合推不出小集合．
【变式1-1】（2024·辽宁沈阳·二模）已知向量 ，则“ ”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不
必要条件
【答案】A
【解析】当 时， ，即 ，
故 ，解得 .
故“ ”是“ ”的充分不必要条件.
故选：A
【变式1-2】（2024·福建福州·模拟预测）设 ， ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】当 时， 或 ，则 ，即充分性成立；
当 时， ，则 ，即必要性成立；
综上可知，“ ”是“ ”的充要条件.
故选：C.
【变式1-3】（多选题）已知p是r的充分而不必要条件，q是r的充分条件，s是r的必要条件，q是s的
必要条件，下列命题正确的是（ ）
A．r是q的充分条件 B．p是q的充分条件
C．r是q的必要而不充分条件 D．r是s的充分而不必要条件
【答案】AB
【解析】由已知得 ， ， ， ，所以 且 ，故A正确，C不正确； ，B正确； 且 ，D不正确．
故选:AB．
题型二：根据充分必要条件求参数的取值范围
【典例2-1】设 ， ，若“ ”是“ ”的充要条件，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】解不等式 可得 ，由题意可知 ， ，因此， .
故选：C.
【典例2-2】给出如下三个条件：①充要②充分不必要③必要不充分.请从中选择补充到下面横线上.
已知集合 ， ，存在实数 使得“ ”是“ ”的 条件.
【答案】②，③
【解析】①“ ”是“ ”的充要条件，则 ， ，此方程无解，故不存在实数 ，
则不符合题意；
②“ ”是“ ”的充分不必要条件时， ， ， ；解得 ，符合
题意；
③“ ”是“ ”的必要不充分条件时，当 ， ，得 ；
当 ，需满足 ， ， ，解集为 ；
综上所述，实数 的取值范围 .
故答案为：②，③.
【方法技巧】
1、集合中推出一定是小集合推出大集合，注意包含关系．
2、把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参
数的不等式求解.在充分必要条件求解参数取值范围时，要注意端点能否能取到，容易出错．
【变式2-1】已知命题 “方程 至少有一个负实根”，若 为真命题的一个必要不充分条件
为 ，则实数 的取值范围是 ．
【答案】
【解析】若命题 “方程 至少有一个负实根”为真命题，
时， ，符合题意；
当 时， ，且 ，则此时方程 有一个正根和一个负根，符合题意；
当 时，由 ，解得 ，
此时方程为 符合题意；
由 解得 ，此时 ，
则此时方程 有两个负根，符合题意.
综上所述， 为真命题时， 的取值范围是 .
若 为真命题的一个必要不充分条件为 ，
则 .
故答案为：
【变式2-2】已知集合 ， ，若“ ”是“ ”的必要非
充分条件，则实数a的取值范围是 ．
【答案】
【解析】由题意可得 ， ，
若“ ”是“ ”的必要非充分条件，则集合B是集合A的真子集，
则 ，且等号不能同时成立，解得 ，
所以实数a的取值范围是 .
故答案为： .
【变式2-3】已知命题 ，若 是 的充要条件，则 ．
【答案】-1
【解析】由题意得， ，得 ，
设 ， ，由 是 的充要条件，得 ，
即 ，得 ．
故答案为：-1
题型三：全称量词命题与存在量词命题的真假
【典例3-1】下列正确命题的个数为（ ）
① ， ；② ；③ ；④ ．
A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B
【解析】 ， ，①正确；当 时， ，②错误；
当 时， ，③正确；由于 ，而 都是无理数，④错误，
所以正确命题的个数为2.
故选：B
【典例3-2】（2024·高三·北京通州·期中）下列命题中的假命题是（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】C
【解析】对于A，因为指数函数的值域为 ，所以 ， ，A对；
对于B，当 时， ，B对；
对于C，当 时， ，C错；
对于D，当 时， ，D对.
故选：C.
【方法技巧】
1、全称量词命题与存在量词命题的真假判断既要理解汉字意思，又要使用数学结论．
2、全称量词命题和存在量词命题的真假性判断相对简单，注重细节即可．
【变式3-1】下列命题中，既是存在量词命题又是真命题的是（ ）
A．
B．每个等腰三角形都有内切圆
C．
D．存在一个正整数，它既是偶数又是质数
【答案】D
【解析】B与C均为全称量词命题，A与D均为存在量词命题，BC错误；
因为 ，则“ ”是假命题，A错误；
正整数2既是偶数又是质数，则“存在一个正整数，它既是偶数又是质数”是真命题，D正确.
故选：D
【变式3-2】（2024·广东东莞·三模）已知全集 和它的两个非空子集 ， 的关系如图所示，则下列命题
正确的是（ ）A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】B
【解析】由图可知 ，且 ， 非空，
则根据子集的定义可得：
对于 ， ， 不正确，
对于 ， ， 正确，
对于 ， ， 不正确，
对于 ， ， 不正确，
故选： ．
【变式3-3】（2024·福建厦门·模拟预测）已知集合M，N满足 ，则（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】C
【解析】对于A，取 ，满足 ，而 ，A错误；
对于B，取 ，满足 ，而 ，B错误；
对于C，根据集合交集的定义可知 ， ，故C正确，
对于D，取 ，满足 ，但 ， 不成立，D错误，
故选：C
题型四：根据命题的真假求参数的取值范围
【典例4-1】（2024·全国·模拟预测）已知命题“对于 ， ”为真命题，写出符合条件
的 的一个值： ．
【答案】 （答案不唯一）
【解析】对于 ， ，
当 时，对于 ， ，则 可取任意负数，如 ；
故答案为： .
【典例4-2】（2024·高三·湖北武汉·期末）若命题“ ， ”是假命题，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【解析】若命题“ ， ”是真命题，可得 即可；
易知 在 上单调递增，
所以 ，可得 ；
又因为该命题是假命题，所以可得 ，
即实数 的取值范围是 .
故答案为：
【方法技巧】
1、在解决求参数的取值范围问题上，可以先令两个命题都为真命题，若哪个是假命题，去求真命题
的补集即可．
2、全称量词命题和存在量词命题的求参数问题，要注意端点是否可以取到．
【变式4-1】若命题“ ， ”是真命题，则实数a的取值范围为 ．
【答案】
【解析】因为命题“ ， ”是真命题，
当 ，即 时，不等式为 ，显然不满足题意，；
当 ，即 时，所以 ，解得 ．
故答案为： ．
【变式4-2】（2024·辽宁·三模）若“ ，使 ”是假命题，则实数 的取值范围为
.
【答案】
【解析】因为“ ，使 ”是假命题，
所以“ ， ”为真命题，
其等价于 在 上恒成立，
又因为对勾函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ，所以 ，即实数 的取值范围为 .
故答案为： .
【变式4-3】（2024·辽宁·模拟预测）命题 ：存在 ，使得函数 在区间 内
单调，若 的否定为真命题，则 的取值范围是 .
【答案】
【解析】命题p的否定为：任意 ，使得函数 在区间 内不单调，
由函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
则 ，而 ，
得 ，
故答案为：
题型五：全称量词命题与存在量词命题的否定
【典例5-1】（2024·内蒙古赤峰·一模）命题“ ， ， ”的否定形式是（ ）
A． ， ， B． ， ，
C． ， ， D． ， ，
【答案】C
【解析】由全称量词命题与存在量词命题的否定可知：命题“ ， ， ”的否定形式是“
， ， ”.
故选：C
【典例5-2】（2024·陕西商洛·三模）命题“对任意的 ”的否定是（ ）
A．不存在 B．存在
C．存在 D．对任意的
【答案】C
【解析】“对任意的 ”的否定是：存在 .
故选：C．
【方法技巧】
含量词命题的否定，一是改写量词，二是否定结论.
【变式5-1】（2024·四川成都·模拟预测）命题 的否定是（ ）
A．B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因为命题 ，
则其否定为 .
故选:B
【变式5-2】已知命题 ， 则（ ）
A． ， ，且 是真命题
B． ， ，且 是假命题
C． ， ，且 是假命题
D． ， ，且 是真命题
【答案】D
【解析】由 ， ，
则 ， ，
由 ，则有 ，
等价于
等价于 ，
令 ，则 ，
则 时， 恒成立，
故 在 上单调递增，
又 ，
故 ，即 ，
故原命题错误，则 是真命题.
故选：D.
【变式5-3】（2024·贵州遵义·一模）已知命题 ， ，则 为（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】D
【解析】由命题 ， 可知，
为 ， ，故D正确；ABC错误；
故选：D
1．（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）已知向量 ，则（ ）
A．“ ”是“ ”的必要条件 B．“ ”是“ ”的必要条件
C．“ ”是“ ”的充分条件 D．“ ”是“ ”的充分条件
【答案】C
【解析】对A，当 时，则 ，
所以 ，解得 或 ，即必要性不成立，故A错误；
对C，当 时， ，故 ，
所以 ，即充分性成立，故C正确；
对B，当 时，则 ，解得 ，即必要性不成立，故B错误；
对D，当 时，不满足 ，所以 不成立，即充分性不立，故D错误.
故选：C.
2．（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知命题p： ， ；命题q： ， ，则
（ ）A．p和q都是真命题 B． 和q都是真命题
C．p和 都是真命题 D． 和 都是真命题
【答案】B
【解析】对于 而言，取 ，则有 ，故 是假命题， 是真命题，
对于 而言，取 ，则有 ，故 是真命题， 是假命题，
综上， 和 都是真命题.
故选：B.
3．（2022年新高考天津数学高考真题）“ 为整数”是“ 为整数”的（ ）条件
A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要
【答案】A
【解析】由 为整数能推出 为整数，故“ 为整数”是“ 为整数”的充分条件，
由 , 为整数不能推出 为整数，故“ 为整数”是“ 为整数”的不必要条件，
综上所述，“ 为整数”是“ 为整数”的充分不必要条件，
故选：A.
4．（2022年新高考浙江数学高考真题）设 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不
必要条件
【答案】A
【解析】因为 可得：
当 时， ，充分性成立；
当 时， ，必要性不成立；
所以当 ， 是 的充分不必要条件.
故选：A.
1．设集合 满足条件p ， 满足条件q .
（1）如果 ，那么p是q的什么条件？
（2）如果 ，那么p是q的什么条件？
（3）如果 ，那么p是q的什么条件？
试举例说明.【解析】（1）若 ，则有 ，即每个使p成立的元素也使q成立，
即 ，所以p是q的充分条件.如 ， ，
， 是 的充分条件.
（2）若 ，则有 ，即每个使q成立的元素也使p成立，
即 ，所以p是q的必要条件.如 ， ，则 ，
是 的必要条件.
（3）若 ，则 ， ，所以p是q的充要条件.如 ，
是 的充要条件.
2．在下列各题中,判断p是q的什么条件(请用“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既
不充分又不必要条件”回答):
(1)p:三角形是等腰三角形,q:三角形是等边三角形;
(2)在一元二次方程中， 有实数根， ;
(3) ;
(4) ;
(5) .
【解析】(1)因为等腰三角形是特殊的等边三角形,
故p是q的必要不充分条件.
(2) 一元二次方程 有实数根则判别式 .
故p是q的充要条件.
(3)因为 ,故 且 ；当 时 不一定成立.
故p是q的充分不必要条件.
(4) 因为 ,故 或 ,所以 不一定成立；
当 时 一定成立.
故p是q的必要不充分条件.
(5) 当 时,满足 但 不成立.
当 时,满足 但 不成立.
故p是q的既不充分又不必要条件.
3．设a,b,c分别是 的三条边,且 .我们知道,如果 为直角三角形,那么 (勾股定理).
反过来,如果 ,那么 为直角三角形(勾股定理的逆定理).由此可知, 为直角三角形的充要
条件是 .请利用边长a,b,c分别给出 为锐角三角形和钝角三角形的一个充要条件,并证明.
【解析】解:(1)设a,b,c分别是 的三条边,且 , 为锐角三角形的充要条件是 .
证明如下:必要性:在 中, 是锐角,作 ,D为垂足,如图(1).显然
,即 .
充分性:在 中, , 不是直角.
假设 为钝角,如图(2).作 ,交BC延长线于点D.
则
.
即 ,与“ ”矛盾.
故 为锐角,即 为锐角三角形.
(2)设a,b,c分别是 的三条边,且 , 为钝角三角形的充要条件是 .
证明如下:必要性:在 中, 为钝角,如图(2),显然:
.即 .
充分性:在 中, ,
不是直角,假设 为锐角,如图(1),
则
.即 ,这与“ ”
矛盾,从而 必为钝角,即 为钝角三角形.
4．写出下列命题的否定,并判断它们的真假：
(1) ，一元二次方程 有实根；
(2)每个正方形都是平行四边形；
(3) ；
(4)存在一个四边形ABCD，其内角和不等于 .
【解析】(1) ,一元二次方程 没有实根,假命题，因为 ，方程恒有根；
(2)存在一个正方形不是平行四边形,假命题，因为任何正方形都是平行四边形；
(3) ，假命题，因为 时， ；
(4)任意四边形ABCD,其内角和等于 ,真命题.易错点：混淆充分条件与必要条件
易错分析： 对于条件p，q，如果 ，则 是 的充分条件， 是 的必要条件，如果 ，
则 是 的充要条件．解题时最容易出错的就是混淆充分性与必要性，因此在解决这类问题时，一定要分
清条件和结论，根据充分必要条件的定义，选择合适的方法作出准确的判断，常借助反例说明．
答题模板：充分条件与必要条件的判断
1、模板解决思路
解决充分与必要条件问题时，首先是确定条件和结论，然后通过条件和结论的互推确定它们之间的关
系．
2、模板解决步骤
第一步：确定题中的条件 和结论 ．
第二步：判断“ ”的真假．
第三步：判断“ ”的真假．
第四步：得出结论．
【易错题1】（2024·江西·模拟预测）“ ， ”是“方程 表示的曲线为椭圆”
的（ ）
A．充要条件 B．必要不充分条件
C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】
[解法一]
方程 即方程 ，表示椭圆的充分必要条件是 ,
显然“ ， ”是“ ”既不充分也不必要条件，
故“ ， ”是“方程 表示的曲线为椭圆”的既不充分也不必要条件，
[解法二]
当 时，满足“ ， ”，此时题中方程可化为： ,表示的曲线是圆而不是椭圆，当 时，不满足“ ， ”，只是题中方程可化为： ,表示中心在
原点，半长轴为1，半短轴为 的椭圆，
故：“ ， ”是“方程 表示的曲线为椭圆”的既不充分也不必要条件，
故选：
【易错题2】（2024·高三·贵州贵阳·阶段练习）二次函数 在区间 上单调递增的
一个充分不必要条件为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为二次函数 在区间 上单调递增，
所以 解得 ．因为只有C是其真子集，
故选：C
