文档内容
第 50 讲 直线与平面、平面与平面平行
知识梳理
1. 直线与平面平行
(1)直线与平面平行的定义
直线l与平面α没有公共点，则称直线l与平面α平行．
(2)判定定理与性质定理
文字语言 图形表示 符号表示
判定
平面外一条直线与此平面
定理 内的一条直线平行，则该
直线平行于此平面
a∥b⇒a∥α
性质
一条直线和一个平面平
行，则过这条直线的任一
定理
平面与此平面的交线与该
直线平行
α∩β＝b⇒
a∥b
2. 平面与平面平行
(1)平面与平面平行的定义
没有公共点的两个平面叫做平行平面．
(2)判定定理与性质定理
文字语言 图形表示 符号表示
判定
一个平面内的两条相
交直线与另一个平面
定理
平行，则这两个平面
平行
a∩b＝P，
a∥β，b∥β⇒
α∥β
性质
定理
两个平面平行，则其
中一个平面内的直线
平行于另一个平面
如果两个平行平面同
时和第三个平面相
交，那么它们的交线
平行
3. 与垂直相关的平行的判定(1)a⊥α，b⊥α⇒ ．
(2)a⊥α，a⊥β⇒
1、【2019年新课标2卷理科】设 ， 为两个平面，则 的充要条件是
A． 内有无数条直线与 平行
B． 内有两条相交直线与 平行
C． ， 平行于同一条直线
D． ， 垂直于同一平面
2、【2019年高考北京卷】已知l，m是平面 外的两条不同直线．给出下列三个论断：
①l⊥m； ②m∥ ； ③l⊥ ．
以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：__________．
3、【2022年全国甲卷】小明同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒，包装盒如图所示：底面
ABCD是边长为8（单位：cm）的正方形，△EAB,△FBC,△GCD,△HDA均为正三角形，且它们所
在的平面都与平面ABCD垂直．
(1)证明：EF//平面ABCD；
(2)求该包装盒的容积（不计包装盒材料的厚度）．4、【2022年新高考2卷】如图，PO是三棱锥P−ABC的高，PA=PB，AB⊥AC，E是PB的中点．
(1)证明：OE//平面PAC；
1、（2022·湖北·恩施土家族苗族高中高三期末）在下列命题中，假命题是（ ）
A．若平面α内的一条直线垂直于平面β内的任一直线，则α⊥β
B．若平面α内任一直线平行于平面β，则α∥β
C．若平面α⊥平面β，任取直线l α，则必有l⊥β
D．若平面α∥平面β，任取直线l α，则必有l∥β
2、（2022·江苏海安·高三期末）（多选题）设 ， 为两个平面，下列是“ ”的充分条件是（ ）
A． ， 与平面 都垂直
B． 内有两条相交直线与平面 均无交点
C．异面直线 ， 满足 ，
D． 内有 个点（任意三点不共线）到 的距离相等
3、（2022·江苏如东·高三期末）（多选题）已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则（
）
A．若m//n，nα，则m//α B．若m⊥n，nα，则m⊥αC．若m⊥α，n⊥α，则m//n D．若m//α，m//β，α∩β＝n，则m//n
4、（2023·江苏南京·校考一模）（多选题）对于两条不同直线 和两个不同平面 ，下列选项中正确
的为（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则 或
C．若 ，则 或 D．若 ，则 或
考向一 直线与平面平行的判定与性质
例1、如图，在四棱锥P-ABCD中，AD∥BC，AB＝BC＝AD，E，F，H分别为线段AD，PC，CD的中
点，AC与BE相交于点O，G是线段OF上的一点．求证：
(1) AP∥平面BEF；
(2) GH∥平面PAD.
变式1、如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是平行四边形，E，F分别是BC，PD的中点，求证：
(1)PB∥平面ACF；
(2)EF∥平面PAB.变式2、如图所示，在四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD是平行四边形，M是PC的中点，在DM上取一
点G，过G和PA作平面交BD于点H.
求证：PA∥GH.
方法总结：线面平行问题的解题关键
(1)证明直线与平面平行的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，解题的思路是利用
几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质，或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平
行，从而证明直线与平面平行．
(2)应用线面平行性质定理的关键是确定交线的位置，有时需要经过已知直线作辅助平面来确定交线．
考向二 面面平行的判定与性质
例2、如图，四边形ABCD与四边形ADEF都为平行四边形，M，N，G分别是AB，AD，EF的中点．求
证：
(1) BE∥平面DMF；
(2) 平面BDE∥平面MNG.变式1、如图，在三棱柱ABC－ABC 中，E，F，G分别为BC ，AB，AB的中点．
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(1)求证：平面AC G∥平面BEF；
1 1
(2)若平面AC G∩BC＝H，求证：H为BC的中点．
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方法总结：证明面面平行的常用方法
(1)面面平行的定义，即证两个平面没有公共点(不常用)；
(2)面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平
行(主要方法)；
(3)利用垂直于同一条直线的两个平面平行(客观题常用)；
(4)如果两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行(客观题常用)；
(5)利用“线线平行”“线面平行”“面面平行”的相互转化进行证明．
考向三 平行关系的探索性问题
例3、如图，已知在三棱柱ABC-ABC 中，D是棱CC 的中点，试问在棱AB上是否存在一点E，使得
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DE∥平面ABC ？若存在，请确定点E的位置；若不存在，请说明理由．
1 1变式1、如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，F是AB的中点，E是PD的中点．
(1) 求证：PB∥平面AEC；
(2) 在PC上求一点G，使FG∥平面AEC，并证明你的结论．
变式2、如图，在正方体ABCD－ABC D 中，E为DD 的中点．
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(1)求证：BD∥平面AEC；
1
(2)CC 上是否存在一点F，使得平面AEC∥平面BFD ，若存在，请说明理由．
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方法总结：（1）利用线面平行或面面平行的性质，可以实现与线线平行的转化，尤其在截面图的画法中，
常用来确定交线的位置．对于线段长或线段比例问题，常用平行线对应线段成比例或相似三角形来解决．
（2）探索性问题要根据题目确立成立的条件，然后当成已知进行证明。
1、(2022·苏州期初考试)已知m，n为两条不同的直线，α，β，γ为三个不同的平面，则下列命题正确的是A．若m∥α，n∥α，则m∥n
B．若α⊥β，γ⊥β，且α∩γ＝m，则m⊥β
C．若mα，nα，m∥β，n∥β，则α∥β
D．若m⊥α，n∥β，α⊥β，则m⊥n
2、(2022·青岛期初考试)(多选题)在三棱柱ABC－ABC 中，E，F，G，H分别为线段AA ，AC ，C B ，
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BB 的中点，下列说法正确的是
1
A．E，F，G，H四点共面 B．平面EGH∥平面ABC
1
C．直线AA与FH异面 D．直线BC与平面AFH平行
1
3、(2022·南京9月学情【零模】)(多选题)已知m，n是两条不同的直线，β，γ是三个不同的平面．下列说
法中正确的是
A．若m∥α，mβ，α∩β＝n，则m∥n B．若m∥n，m∥α，则n∥α
C．若α∩β＝n，α⊥γ，β⊥γ，则n⊥γ D．若m⊥α，m⊥β，α∥γ，则β∥γ
4、（2022年江苏省高三模拟试卷） 在棱长为2的正方体ABCD－ABC D 中，正方形ABCD的中心为
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E，且圆E是正方形ABCD的内切圆.F为圆E上一点，G为棱BB 上一点（不可与B，B 重合），H为棱
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AB 的中点，则（ ）
1 1
A. |HF|∈[2, ] B. △BEG面积的取值范围为(0, ]
1
C. EH和FG是异面直线 D. EG和FH可能是共面直线
5、（2022年江苏省高三模拟试卷）已知平面α和平面β是空间中距离为2的两平行平面，球面M与平面
α、平面β的交线分别为圆A、圆B．
（1）若平面γ与平面α、平面β的交线分别为 ， ，证明： ；
（2）若球面M的半径为2，求以圆A为上底面，圆B为下底面的几何体AB的体积的最大值．6、（2022 年广州附属中学高三模拟试卷）如图，在多面体 中，四边形 是菱形，
， ， ， 平面 ， ， ， 是 的中点．
（1）求证：平面 平面 ；
