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第 22 讲 导数的综合应用
1. 利用导数证明不等式
(1) 构造法：证明f(x)0且a≠1）的极小值点和极大
1 2
值点．若x 0时，f(x)<−1，求a的取值范围；
1 1 1
(3)设n∈N∗，证明： + +⋯+ >ln(n+1)．
√12+1 √22+2 √n2+n
4、【2021年甲卷理科】已知 且 ，函数 ．
（1）当 时，求 的单调区间；
（2）若曲线 与直线 有且仅有两个交点，求a的取值范围．
5、【2021年新高考1卷】已知函数 .
（1）讨论 的单调性；
（2）设 ， 为两个不相等的正数，且 ，证明： .1、若函数y＝(x＋1)ex－a有两个零点，则实数a的取值范围为( A )
A. B.
C. D.
2、当 时，不等式 恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3、已知 ，若函数 恰有4个不同的零点，
则实数 的取值范围为
考向一 利用导数证明不等式关系
lnx
f x
例1、例1、（2021·山东德州市·高三二模）（多选题）已知函数 x ，则（ ）．
f 2 f 5 f xm x x x x e2
A． B．若 有两个不相等的实根 1、 2，则 1 2
2
ln2
C． e D．若 2x 3y，x，y均为正数，则2x3y
变式1、(2022·江苏第一次百校联考)(本题满分12分)已知函数f(x)＝lnx＋(a∈R)有两个零点．
(1)证明：0＜a＜．
(2)若f(x)的两个零点为x，x，且x＜x，证明：2a＜x＋x＜1．
1 2 1 2 1 2变式2、(2022·苏州期初考试)(本小题满分12分)已知函数，a∈R．
(1)若函数y＝f(x)在x＝x 处取得极值1，其中ln2＜x＜ln3．
0 0
证明：2－＜a＜3－；
(2)若f(x)≤x－恒成立，求实数a的取值范围．
方法总结：：构造法证明不等式是指在证明与函数有关的不等式时，根据所要证明的不等式，构造与之相
关的函数，利用函数单调性、极值、最值加以证明．常见的构造方法有：(1)直接构造法：证明不等式f(x)
＞g(x)(f(x)＜g(x))转化为证明f(x)－g(x)＞0(f(x)－g(x)＜0)，进而构造辅助函数h(x)＝f(x)－g(x)；(2)适当放缩
构造法：一是根据已知条件适当放缩，二是利用常见的放缩结论，如 ln x≤x－1，ex≥x＋1，ln x＜x＜ex(x＞
0)，≤ln(x＋1)≤x(x＞－1)；(3)构造“形似”函数：稍作变形再构造，对原不等式同解变形，如移项、通分、
取对数，把不等式转化为左、右两边是相同结构的式子的形式，根据“相同结构”构造辅助函数；(4)构造
双函数：若直接构造函数求导难以判断符号，导函数零点也不易求得，因此函数单调性与极值点都不易获
得，则可构造函数f(x)和g(x)，利用其最值求解．
考向二 利用图象研究函数零点与极值点
例2、(2022·湖北省新高考联考协作体高三起点考试)(多选题)设函数 ，
则（ ）
A. 当 时，
B. 当 时， 有两个极值点
C. 当 时， 任 上不单调
D. 当 时，存在唯一实数m使得函数 恰有两个零点
变式1、已知函数f(x)＝xlnx，g(x)＝－x2＋ax－3(a为实数)，若方程g(x)＝2f(x)在区间上有两个不相
等的实数根，求实数a的取值范围．
.
方法总结：利用图象研究函数零点个数时的注意点：1、对于（选择题、填空题中的）零点个数问题，我们的处理思路是：将函数零点个数转化为图象交点个
数。那么正确画出草图就是前提。画草图时，要注意（1）通常先要用导数研究单调性、极值。（2）渐近
线（实际上是极限问题），有渐近线的常见函数例如：反比例函数、指数函数、对数函数等
2、对于（选择题、填空题中的）零点个数问题，我们的处理思路是：将函数零点个数转化为图象交点个
数，那么研究哪两个函数呢？
（1）尽量转化为我们熟悉的基本函数（已经知道图象）
（2）能分参的通过分参让其中的一个函数是常数函数
（3）不方便分参的,尽量将参数放在熟悉的基本函数上
考向三 利用导数研究恒成立问题
例3、若对任意x∈(0，＋∞)，不等式2x＋lnx≤a(x2＋x)恒成立，求实数a的取值范围．
变式1、已知函数f(x)＝x－1－alnx(a∈R)，若a<0，且对任意x ，x∈(0,1]，都有|f(x)－f(x)|≤4，求实数a
1 2 1 2
的取值范围．
变式2、(2022·湖北省新高考联考协作体高三起点考试)已知函数 ，
（1）讨论函数 的导数 的单调性
（2）当 时，不等式 对 恒成立，求实数m的取值范围．
方法总结：分离参数法解含参不等式恒成立问题的思路与关键
(1)分离参数法解含参不等式恒成立问题的思路用分离参数法解含参不等式恒成立问题是指在能够判断出参数的系数的正负的情况下，可以根据不等
式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式，只要研究变量表达式的
最值就可以解决问题．
(2)求解含参不等式恒成立问题的关键是过好“双关”
1、(2022·青岛期初考试)设函数f(x)是定义在实数集R上的偶函数，且f(x)＝f(2－x)，当x∈[0，1]时，f(x)＝
x3，则函数g(x)＝|cosπx|－f(x)在上所有零点之和为________．
2、(2022·沭阳如东中学期初考试)(12分)已知函数f(x)＝(x2－ax)lnx－x2＋ax．
(1)讨论函数f(x)的极值点；
(2)若f(x)极大值大于1，求a的取值范围．
3、(2022·泰州中学期初考试)(12分)已知函数 ．
(1)当 时，求曲线 在 处的切线方程；
(2)已知 时，不等式 恒成立，求实数 的取值范围．
4、(2022·泰州中学期初考试)(12分)已知函数
(1)求函数y＝f(x)的最大值；
(2)令 ，若g(x)既有极大值，又有极小值，求实数a的范围；(3)求证：当 时， .
