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第 45 讲 数列的综合运用
1、数列与函数综合问题的主要类型及求解策略
(1)已知函数条件，解决数列问题，此类问题一般利用函数的性质、图象研究数列问题．
(2)已知数列条件，解决函数问题，解决此类问题一般要利用数列的通项公式、前 n项和公式、求和方
法等对式子化简变形．
注意数列与函数的不同，数列只能看作是自变量为正整数的一类函数，在解决问题时要注意这一特殊
性．
数列在实际问题中的应用
2、现实生活中涉及银行利率、企业股金、产品利润、人口增长、产品产量等问题，常常考虑用数列的知
识去解决．
1．数列实际应用中的常见模型
(1)等差模型：如果增加(或减少)的量是一个固定的数，则该模型是等差模型，这个固定的数就是公差；
(2)等比模型：如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数，则该模型是等比模型，这个固定的数就
是公比；
(3)递推数列模型：如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定，随项的变化而变化，则应考虑是第
n项a 与第n＋1项a 的递推关系还是前n项和S 与前n＋1项和S 之间的递推关系．
n n＋1 n n＋1
1、（2023•北京）我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就出现了类似于砝码的用来测量物体质量
的“环权”．已知9枚环权的质量（单位：铢）从小到大构成项数为 9的数列 ，该数列的前3项成等
差数列，后7项成等比数列，且 ， ， ，则 ，数列 的所有项
的和为 ．
2、（2023•新高考Ⅱ）已知 为等差数列， ，记 ， 为 ， 的前 项和，
， ．
（1）求 的通项公式；（2）证明：当 时， ．
3、（2022•新高考Ⅰ）记 为数列 的前 项和，已知 ， 是公差为 的等差数列．
（1）求 的通项公式；
（2）证明： ．
4、（2021•乙卷（文））设 是首项为1的等比数列，数列 满足 ，已知 ， ， 成等
差数列．
（1）求 和 的通项公式；
（2）记 和 分别为 和 的前 项和．证明： ．
1、 甲、乙两物体分别从相距70 m的两处同时相向运动，甲第一分钟走2 m，以后每分钟比前1分
钟多走1 m，乙每分钟走5 m．甲、乙开始运动后，相遇的时间为________分钟．A. 3 B. 7 C. 11 D.14
2、（2023·黑龙江大庆·统考三模）定义 ，已知数列 为等比数列，且 ，
，则 （ ）
A．4 B．±4 C．8 D．±8
3、对于每一个正整数n，设曲线y＝xn＋1在点(1，1)处的切线与x轴的交点的横坐标为x ，令a ＝lgx ，则
n n n
a＋a＋…＋a ＝________．
1 2 99
4、(2022·江苏南京市二十九中学高三10月月考)(多选题)南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》
中出现了如图所示的形状，后人称为“三角垛”．“三角垛”的最上层有 个球，第二层有 个球，第三
层有 个球，…，设各层球数构成一个数列 ，则（ ）
A. B. C. D.
考向一 数列在数学文化与实际问题中的应用
例1、（1）（2023·安徽黄山·统考三模）黄山市歙县三阳镇叶村历史民俗“叠罗汉”已被列入省级非物质
文化遗产保护项目，至今已有500多年的历史，表演时由二人以上的人层层叠成各种样式，魅力四射，光
彩夺目，好看又壮观.小明同学在研究数列 时，发现其递推公式 就可以利用“叠
罗汉”的思想来处理，即 ，如果该数列 的前两项分别为 ，其
前 项和记为 ，若 ，则 （ ）A． B． C． D．
（2）（2023·湖南邵阳·统考三模）“埃拉托塞尼筛法”是保证能够挑选全部素数的一种古老的方法.这种方
法是依次写出2和2以上的自然数，留下第一个数2不动，剔除掉所有2的倍数；接着，在剩余的数中2
后面的一个数3不动，剔除掉所有3的倍数；接下来，再在剩余的数中对3后面的一个数5作同样处
理；……，依次进行同样的剔除.剔除到最后，剩下的便全是素数.在利用“埃拉托塞尼筛法”挑选2到20
的全部素数过程中剔除的所有数的和为（ ）
A．130 B．132 C．134 D．141
（3）（2023·吉林·统考三模）大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于
解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量
总和，是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题．其前10项依次是0，2，4，8，12，18，
24，32，40，50，则此数列的第25项与第24项的差为（ ）
A．22 B．24 C．25 D．26
变式1、（1）(2022·青岛期初考试)《算法统宗》是中国古代数学名著，在这部著作中，许多数学问题都是
以歌诀形式呈现的，“九儿问甲歌”就是其中一首：一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，
共年二百又零七，借问长儿多少岁，各儿岁数要详推．在这个问题中，这位公公最年幼的儿子的岁数为
A．8 B．11 C．14 D．16
（1）、(2022·湖北华中师大附中等六校开学考试联考)《周髀算经》是我国古老的天文学和数学著作，其
书中记载：一年有二十四个节气，每个节气晷长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测
影子的长度），夏至、小暑、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降是连续的九个节气，其晷长依
次成等差数列，经记录测算，这九个节气的所有晷长之和为49.5尺，夏至、大暑、处暑三个节气晷长之和
为10.5尺，则立秋的晷长为（ ）
A. 1.5尺 B. 2.5尺 C. 3.5尺 D. 4.5尺
（3）、（2020届山东实验中学高三上期中）古代数学著作《九章算术》有如下的问题:“今有女子善织，日
自倍，五日织五尺，问日织几何?”意思是:“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，己知她5天共
织布5尺，问这女子每天分别织布多少?”根据上述己知条件，若要使织布的总尺数不少于30尺，则至少需
要（ ）A．6天 B．7天 C．8天 D．9天
考向二 数列中的含参问题
例2、（2023·黑龙江·黑龙江实验中学校考一模）已知数列 前 项和 ，数列 满足
为数列 的前 项和．若对任意的 ，不等式 恒成立，
则实数 的取值范围为______．
变式1、（2023·江苏南通·统考模拟预测）已知等差数列 的首项为1，公差 ，其前n项和 满足
.
(1)求公差d；
(2)是否存在正整数m，k使得 .
变式2、（2023·江苏泰州·泰州中学校考一模）已知数列 是等差数列， ，且 ， ， 成等比
数列．给定 ，记集合 的元素个数为 ．
(1)求 ， 的值；
(2)求最小自然数n的值，使得 ．考向三 数列中的“定义型问题”
例3、（2023·辽宁大连·统考三模）定义：对于各项均为整数的数列 ，如果 ( =1，2，3，…)为完
全平方数，则称数列 具有“ 性质”；不论数列 是否具有“ 性质”，如果存在数列 与
不是同一数列，且 满足下面两个条件：
（1） 是 的一个排列；
（2）数列 具有“ 性质”，则称数列 具有“变换 性质”.给出下面三个数列：
①数列 的前 项和 ；
②数列 ：1，2，3，4，5；
③数列 ：1，2，3，4，5，6.
具有“ 性质”的为________；具有“变换 性质”的为_________.
变式1、(2022·江苏如皋中学高三10月月考)已知数列 满足： ，且 .
（1）求数列 的通项公式；
（2）已知数列 满足： ，定义使 为整数 叫做
“幸福数”，求区间 内所有“幸福数”的和.
变式2、(2022·江苏苏州市八校联盟第一次适应性检测)若数列{a}中不超过f(m)的项数恰为b (m∈N*)，则
n m
称数列{b }是数列{a}的生成数列，称相应的函数f(m)是数列{a}生成{b }的控制函数．已知a ＝2n，且
m n n m nf(m)＝m，数列{b }的前m项和S ，若S ＝30，则m的值为( )
m m m
A．9 B．11 C．12 D．14
考向四 数列与不等式等知识点的结合
例4（2023·安徽马鞍山·统考三模）已知数列 中， ， 是数列 的前 项和，数列 是公
差为1的等差数列．
(1)求数列 的通项公式；
(2)证明： ．
变式1、（2023·江苏苏州·苏州中学校考模拟预测）已知各项为正数的数列 的前 项和为 ，若
.
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，且数列 的前 项和为 ，求证： ．
1、（2023·江苏南通·统考模拟预测）传说国际象棋发明于古印度，为了奖赏发明者，古印度国王让发明者
自己提出要求，发明者希望国王让人在他发明的国际象棋棋盘上放些麦粒，规则为：第一个格子放一粒，第二个格子放两粒，第三个格子放四粒，第四个格子放八粒……依此规律，放满棋盘的64个格子所需小麦
的总重量大约为（ ）吨.（1kg麦子大约20000粒，lg2=0.3）
A．105 B．107 C．1012 D．1015
2、（2023·江苏泰州·泰州中学校考一模）小李在2022年1月1日采用分期付款的方式贷款购买一台价值
元的家电，在购买1个月后的2月1日第一次还款，且以后每月的1日等额还款一次，一年内还清全部贷
款（2022年12月1日最后一次还款），月利率为 ．按复利计算，则小李每个月应还（ ）
A． 元 B． 元
C． 元 D． 元
3、（2023·湖南长沙·长沙市明德中学校考三模）中国古代数学著作《增减算法统宗》中有这样一段记载：
“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，如此六日过其关.” 则此人在第六天行走的路程是
__________里（用数字作答）.
4、（2023·云南玉溪·统考一模）在① ，② 这两个条件中选择一个补充在下面的问题中，然后求
解．设等差数列 的公差为 ，前n项和为 ，等比数列 的公比为q．已知 ， ，
． （说明：只需选择一个条件填入求解，如果两个都选择并求解的，只按选择的第
一种情形评分）
(1)请写出你的选择，并求数列 和 的通项公式；
(2)若数列 满足 ，设 的前n项和为 ，求证： ．5、（2023·云南·统考一模）记数列 的前n项和为 ，且 ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)设m为整数，且对任意 ， ，求m的最小值．
6、（2023·山西·统考一模）从下面的表格中选出3个数字（其中任意两个数字不同行且不同列）作为递增
等差数列 的前三项.
第1列 第2列 第3列
第1行 7 2 3
第2行 1 5 4
第3行 6 9 8
(1)求数列 的通项公式，并求 的前 项和 ；
(2)若 ，记 的前 项和 ，求证 .7、（2023·安徽安庆·校考一模）数列 中， ，且满足
(1)求 ，并求数列 的通项公式；
(2)设 ，求 ；
(3)设 ，是否存在最大的；正整数 ，使得对任意
均有 成立？若存在求出 的值；若不存在，请说明理由.
