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第 48 讲 章末检测七
一、单选题
1、（2023·黑龙江大庆·统考三模）定义 ，已知数列 为等比数列，且 ，
，则 （ ）
A．4 B．±4 C．8 D．±8
【答案】C
【解析】依题意得 ，
又 ，所以 ．
故选：C．
2、（2023·吉林长春·统考三模）已知等比数列 的公比为 （ 且 ），若 ，则
的值为（ ）
A． B． C．2 D．4
【答案】C
【解析】已知等比数列 的公比为 （ 且 ），若 ，
则 ，所以 ，解得 .
故选：C.
3、（2023·江苏南通·统考模拟预测）传说国际象棋发明于古印度，为了奖赏发明者，古印度国王让发明者
自己提出要求，发明者希望国王让人在他发明的国际象棋棋盘上放些麦粒，规则为：第一个格子放一粒，
第二个格子放两粒，第三个格子放四粒，第四个格子放八粒……依此规律，放满棋盘的64个格子所需小麦
的总重量大约为（ ）吨.（1kg麦子大约20000粒，lg2=0.3）
A．105 B．107 C．1012 D．1015
【答案】C
【解析】64个格子放满麦粒共需 ，
麦子大约20000粒，1吨麦子大约 粒，
，故选：C.
4、（2022·广东潮州·高三期末）等差数列 的前n项和 ，若 的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】因为 ，
所以 .
故选：B.
5、(2022·江苏常州期中)已知数列{a}的前n项和为S，，则
n n
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】法一：由题意可知，当n≥2时，，两式相减可得，a ＝S －＝2－2a ，即3a ＝2，所以数列{a}
n n n n n
为等比数列，其公比为，首项为a＝，则a＝a()2＝，故答案选D．
2 4 2
法二：因为，所以S ＝2a ＝a ＝1，所以a ＝，所以S ＝2a ＝1＋＝，所以a ＝，所以S ＝2a ＝1＋＋，所
1 2 1 2 2 3 3 3 4
以a＝，故答案选D
4
6、（2023·湖南郴州·统考三模）已知函数 的图象在点 处的切线的斜率为
，则数列 的前 项和 为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】 ，则 ，
所以 ，
所以 .
故选：C.7、（2023·广东揭阳·校考模拟预测）等差数列 满足： ，且它的前 项和 有最大值，则
（ ）
A． 是 中最大值，且使 的 的最大值为2019
B． 是 中最大值，且使 的 的最大值为2020
C． 是 中最大值，且使 的 的最大值为4039
D． 是 中最大值，且使 的 的最大值为4040
【答案】C
【解析】由 及 有最大值可知， 且 ，∴ 最大；
又 ， ，
∴使 的n的最大值为4039 .
故选：C
8、（2023·辽宁·大连二十四中校联考三模）线性分形又称为自相似分形，其图形的结构在几何变换下具有
不变性，通过不断迭代生成无限精细的结构.一个正六边形的线性分形图如下图所示，若图1中正六边形的
边长为1，图 中正六边形的个数记为 ，所有正六边形的周长之和､面积之和分别记为 ，其中图
中每个正六边形的边长是图 中每个正六边形边长的 ，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C．存在正数 ，使得 恒成立 D．
【答案】D
【解析】A选项，图1中正六边形的个数为1，图2中正六边形的个数为7，由题意得 为公比为7的等比数列，所以 ，故 ，A错误；
B选项，由题意知 ， ， ，B错误；
C选项， 为等比数列，公比为 ，首项为6，故 ，
因为 ，所以 单调递增，不存在正数 ，使得 恒成立，C错误；
D选项，分析可得，图n中的小正六边形的个数为 个，每个小正六边形的边长为 ，故每个小
正六边形的面积为 ，
则 ，D正确.
故选：D
二、多选题
9、(2022·江苏苏州市八校联盟第一次适应性检测)已知公差不为0的等差数列{a}的前n项和为S ，若a ＝
n n 9
S ，下列说法正确的是( )
17
A．a＝0 B．a＝0 C．a＝S D．S＞S
8 9 1 16 8 10
【答案】BC
【解析】由题意可知，在等差数列{a}中，因为a ＝S ，所以a ＝＝＝17a ，则a ＝0，故选项B正确；因
n 9 17 9 9 9
为公差d≠0，所以a≠0，故选项A错误；因为a＝0，所以a＋8d＝0，所以a＝－8d，所以S ＝16a＋d
8 9 1 1 16 1
＝16(a＋d)＝16×(－)d＝－8d＝a，所以选项C正确；因为S －S＝a＋a ＝a ＝a＋9d＝－8d＋9d＝d，
1 1 10 8 9 10 10 1
且d未知正负，所以选项D错误；综上，答案选BC．
10、（2023·安徽蚌埠·统考三模）已知等差数列 的前 项和为 ，等比数列 的前 项积为 ，则下
列结论正确的是( )
A．数列 是等差数列 B．数列 是等差数列
C．数列 是等比数列 D．数列 是等差数列
【答案】ABC
【解析】设等差数列 的公差为 ，则 ，∴ ．对于A选项， ，∴ 为等差数列，A正确；
对于B选项，令 ，
∴ ，
故数列 是等差数列，B正确；
设等比数列 的公比为 ，
对于C选项，令 ，则 ，故数列 是等比数列，C正确；
对于D选项，∵ 不一定为常数，故数列 不一定是等差数列，故D错误；
故选：ABC．
11、（2023·黑龙江·黑龙江实验中学校考一模）已知 是等比数列 的前 项和，且 ，则下
列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AD
【解析】当 时， ，
当 时， .
因为 是等比数列，所以需满足 ，所以 ， .
所以，A项正确，B项错误；
因为 ， ，
所以数列 是以8为首项，4为公比的等比数列.所以 ，所以C项错误，D项正确.
故选：AD.
12、（2023·黑龙江牡丹江·牡丹江市第三高级中学校考三模）南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商
功》中出现了如图所示的形状，后人称为“三角垛”“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第
三层有6个球，…，设各层球数构成一个数列 ，且 ，数列 的前n项和为 ，则正确的选项
是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】BC
【解析】由题意可知： ，于是有 ，
显然可得： ， ，因此选项A不正确，选项B正确；
当 时， ，
显然 适合上式， ，因此选项D不正确；
，
，因此选项C正确，
故选：BC
三、填空题
13、（2023·湖南长沙·长沙市明德中学校考三模）中国古代数学著作《增减算法统宗》中有这样一段记
载：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，如此六日过其关.” 则此人在第六天行走的路
程是__________里（用数字作答）.
【答案】6
【解析】将这个人行走的路程依次排成一列得等比数列 ，，其公比 ，令数列 的前n项和为 ，
则 ，而 ，
因此 ，解得 ，
所以此人在第六天行走的路程 （里）.
故答案为：6
14、（2023·江苏徐州·徐州市第七中学校考一模）已知正项等差数列 满足 ，且 是 与
的等比中项，则 的前 项和 ___________.
【答案】
【解析】设等差数列 的公差为 ， ，
所以
又因为 即
可得 ，又由 即
即 即 且正项等差数列 ，即
解得 ，所以
故答案为： .
15、（2022·江苏苏州·高三期末）记数列 的前 项积为 ，写出一个同时满足①②的数列 的通项公
式： __________．
① 是递增的等比数列；② ．【答案】 (答案不唯一)
【解析】 ， ， ．
不妨设 ，则 ， ．
故答案为： (答案不唯一)
16、（2022·山东临沂·高三期末）设数列 满足 且 ，则 ______，
数列 的通项 ______．
【答案】
【解析】由题意，数列 满足 ，
设 ，则 ，且 ，所以数列 是等差数列，
所以 ，即 ，
所以 ，
当 时，
可得 ，
其中 也满足 ，
所以数列 的通项公式为 .
故答案为： ； .
四、解答题
17、（2023·江苏泰州·统考一模）在① 成等比数列，② ，③ 这三个条件
中任选两个，补充在下面问题中，并完成解答.
已知数列 是公差不为0的等差数列，其前 项和为 ，且满足__________，__________.(1)求 的通项公式；
(2)求 .
注：如果选择多个方案分别解答，按第一个方案计分.
【解析】（1）若选①②，设 公差为 ，
则 ，
解得： ，
；
选①③，设 公差为 ，
，
解得： ，
；
选②③，设 公差为 ，
，
解得： ，
；
（2） ，.
18、（2023·江苏连云港·统考模拟预测）已知数列 的前n项和为 ，且 ．
(1)证明：数列 是等差数列；
(2)设数列 的前n项积为 ，若 ，求数列 的通项公式．
【解析】（1）当 时，
当n≥2时， ，所以 ，
所以 （常数），
故数列 是以 为首项，2为公差的等差数列．
（2）由（1）知， ，得 ，
当n≥2时， ，
当 时， ，不符合上式，
故
19、（2023·广东惠州·统考模拟预测）数列 中， ， ．
(1)求证：数列 是等比数列；
(2)若 ，求数列 的前 项和 ．【解析】（1）因为 ，所以 ，
因为 ，则 ， ， ，
以此类推可知，对任意的 ， ，所以， ，
又 ，所以数列 是以 为首项， 为公比的等比数列.
（2）由（1）可知 ， ，所以 ，
又由题知
.
20、（2023·江苏南京·南京市第一中学校考模拟预测）已知等差数列 的前 项和为 ， ， ．
正项等比数列 中， ， ．
(1)求 与 的通项公式；
(2)求数列 的前 项和 ．
【解析】（1）等差数列 的前 项和为 ， ， ，设公差为
所以 ，解得
所以
正项等比数列 中， ， ，设公比为
所以 ，所以
解得 ，或 （舍去）所以
（2）由（1）知：
所以
两式相减得：
.
21、(2022·江苏南京市金陵中学高三10月月考)已知等差数列 前 项和为 ( )，数列 是等
比数列， ， ， ， .
（1）求数列 和 的通项公式；
（2）若 ，设数列 的前 项和为 ，求 .
【解析】（1）设等差数列 的公差为 ，等比数列 的公比为 ( )，
∵ ， ， ， ，
∴ ，
∴ ， ，∴ ， ；
（2）由（1）知， ，∴ ，
∴
.
22、（2023·广东揭阳·校考模拟预测）已知数列 、 满足 ， ， ，
﹒
(1)求证： 为等差数列，并求 通项公式；
(2)若 ，记 前n项和为 ，对任意的正自然数n，不等式 恒成立，求实数 的范围．
【解析】（1）∵ ， ，两边同除以 得：
，从而 ， ，
是首项为1，公差为1的等差数列， ，
∴ ；
（2）由 ， ，
∴ ，∴ ，∴ ，
∴ ，
，
两式相减得， ，
∴
＝ ，
中每一项 ， 为递增数列，∴ ，
∵ ，∴ ，
，
.
