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第 44 讲 数列的求和
1．公式法
(1)等差数列{a}的前n项和S＝＝na＋.
n n 1
推导方法：倒序相加法．
(2)等比数列{a}的前n项和S＝
n n
推导方法：乘公比，错位相减法．
(3)一些常见的数列的前n项和：
①1＋2＋3＋…＋n＝；
②2＋4＋6＋…＋2n＝n(n＋1)；
③1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2.
2．几种数列求和的常用方法
(1)分组转化求和法：一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成的，则求和时可
用分组求和法，分别求和后相加减．
(2)裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得前 n项
和．
(3)错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么求
这个数列的前n项和即可用错位相减法求解．
(4)倒序相加法：如果一个数列{a}与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求
n
这个数列的前n项和即可用倒序相加法求解．
3、常见的裂项技巧
①＝－.
②＝.
③＝.
④＝－.
⑤＝.
1、（2023•甲卷（理））已知等比数列 中， ， 为 前 项和， ，则
A．7 B．9 C．15 D．30
【答案】
【解析】等比数列 中，设公比为 ，， 为 前 项和， ，显然 ，
（如果 ，可得 矛盾，如果 ，可得 矛盾），
可得 ，
解得 ，即 或 ，
所以当 时， ．
当 时， ．没有选项．
故选： ．
2、（2023•新高考Ⅱ）记 为等比数列 的前 项和，若 ， ，则
A．120 B．85 C． D．
【答案】
【解析】等比数列 中， ， ，显然公比 ，
设首项为 ，则 ①， ②，
化简②得 ，解得 或 （不合题意，舍去），
代入①得 ，
所以 ．
故选： ．
3、（2021•甲卷（文））记 为等比数列 的前 项和．若 ， ，则
A．7 B．8 C．9 D．10【答案】
【解析】 为等比数列 的前 项和， ， ，
由等比数列的性质，可知 ， ， 成等比数列，
，2， 成等比数列，
，解得 ．
故选： ．
4、（2021•上海）已知 为无穷等比数列， ， 的各项和为9， ，则数列 的各项和为
．
【答案】 ．
【解析】设 的公比为 ，
由 ， 的各项和为9，可得 ，
解得 ，
所以 ，
，
可得数列 是首项为2，公比为 的等比数列，
则数列 的各项和为 ．
故答案为： ．
5、（2021•新高考Ⅰ）某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折．
规格为 的长方形纸，对折1次共可以得到 ， 两种规格的图形，它们的面积之和 ，对折2次共可以得到 ， ， 三种规格的图形，它
们的面积之和 ，以此类推．则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为 ，如
果对折 次，那么
【答案】5； ．
【解析】易知有 ， ，共5种规格；
由题可知，对折 次共有 种规格，且面积为 ，故 ，
则 ，记 ，则 ，
，
，
．
故答案为：5； ．
6、（2023•甲卷（理））已知数列 中， ，设 为 前 项和， ．
（1）求 的通项公式；
（2）求数列 的前 项和 ．【解析】（1）当 时， ，解得 ，
当 时， ，
， ，
当 时，可得 ，
，
当 或 时， ， 适合上式，
的通项公式为 ；
（2）由（1）可得 ，
， ，
，
．
7、（2021•新高考Ⅰ）已知数列 满足 ，
（1）记 ，写出 ， ，并求数列 的通项公式；
（2）求 的前20项和．
【解析】（1）因为 ， ，
所以 ， ， ，所以 ， ，
， ，
所以数列 是以 为首项，以3为公差的等差数列，
所以 ．
另由题意可得 ， ，
其中 ， ，
于是 ， ．
（2）由（1）可得 ， ，
则 ， ，
当 时， 也适合上式，
所以 ， ，
所以数列 的奇数项和偶数项分别为等差数列，
则 的 前 20 项 和 为
．
8、（2023年全国新高考Ⅱ卷）. 为等差数列， ，记 ， 分别为数列 ，
的前n项和， ， ．
（1）求 的通项公式；
（2）证明：当 时， ．
【解析】（1）设等差数列 的公差为 ，而 ，
则 ，
于是 ，解得 ， ，
所以数列 的通项公式是 .
（2）方法1：由（1）知， ， ，
当 为偶数时， ，
，
当 时， ，因此 ，
当 为奇数时， ，
当 时， ，因此 ，
所以当 时， .
方法2：由（1）知， ， ，
当 为偶数时，
，当 时， ，因此 ，
当 为奇数时，若 ，则
，显然 满足上式，因此当 为奇数时， ，
当 时， ，因此 ，
所以当 时，
9、（2022•甲卷（文））记 为数列 的前 项和．已知 ．
（1）证明： 是等差数列；
（2）若 ， ， 成等比数列，求 的最小值．
【解析】（1）证明：由已知有： ①，
把 换成 ， ②，
② ①可得： ，
整理得： ，
由等差数列定义有 为等差数列；
（2）由已知有 ，设等差数列 的首项为 ，由（1）有其公差为1，
故 ，解得 ，故 ，
所以 ，故可得： ， ， ，
故 在 或者 时取最小值， ，
故 的最小值为 ．
1、数列{a}的通项公式是a＝(－1)n(2n－1)，则该数列的前100项之和为( )
n n
A．－200 B．－100
C．200 D．100
【答案】 D
【解析】 S ＝(－1＋3)＋(－5＋7)＋…＋(－197＋199)＝2×50＝100.
100
2、数列 的前 项和为 ，若 ，则 等于（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】：B
【解析】：因为 ，
所以 ，故选B．
3、设 ，则 ( )
A． B． C． D．
【答案】：A
【解析】：由 ，得 ，
，故选：A4、已知数列{a}的通项公式为a＝，若前n项和为10，则项数n为________．
n n
【答案】 120
【解析】 因为a＝＝－，所以S＝a＋a＋…＋a＝(－1)＋(－)＋…＋(－)＝－1.令－1＝10，解得 n＝120.
n n 1 2 n
5、 已知数列{a}的前n项和为S，且a＝n·2n，则S＝____________．
n n n n
【答案】 (n－1)·2n+1＋2
【解析】 因为a ＝n·2n，所以S ＝1×21＋2×22＋3×23＋…＋n×2n①，所以2S ＝1×22＋2×23＋…＋(n－
n n n
1)×2n＋n×2n+1②.由①－②，得－S ＝2＋22＋23＋…＋2n－n·2n+1＝－n·2n+1＝2n+1－2－n·2n+1＝(1－n)·2n+1－
n
2，所以S＝(n－1)·2n+1＋2.
n
考向一 公式法
例1、（山东师范大学附中高三月考）设等差数列 前n项和为 ．若 ， ，则
________， 的最大值为________．
【答案】4 42
【解析】∵数列 是等差数列，∵ ，∴ ， ，
又 ， ， ，
，
,
∴当 或 时， 有最大值42.
故答案为：（1）4；（2）42.
变式1、（2023·河北唐山·统考三模）设 为等比数列 的前 项和， ， ，则
__________.
【答案】 /0.875
【详解】设等比数列 的公比为 ，由 ，得 ，则 ，
由等比数列求和公式可知 ．
故答案为： ．
变式2、（2023·安徽合肥·校联考三模） 是公差不为零的等差数列，前 项和为 ，若 ， ，
， 成等比数列，则 ________．
【答案】1012
【详解】设等差数列 的首项为 ，公差为 ，则
因为 ，
所以 ，即 ，解得 .
因为 ， ， 成等比数列，
所以 ，即 ，解得 或 （舍），
所以 ，解得 ，
所以 ，
所以 .
故答案为：
方法总结：若一个数列为等差数列或者等比数列则运用求和公式：①等差数列的前n项和公式：S ＝＝na
n 1
＋d.②等比数列的前n项和公式(Ⅰ)当q＝1时，S＝na；(Ⅱ)当q≠1时，S＝＝.
n 1 n
考向二 利用“分组求和法”求和
例2、已知数列{a}的前n项和S＝，n∈N*.
n n
(1) 求数列{a}的通项公式；
n
(2) 设b＝2a＋(－1)na，求数列{b}的前2n项和．
n n n n
【解析】 (1) 当n＝1时，a＝S＝1；
1 1
当n≥2时，a＝S－S ＝－＝n.
n n n－1
当n＝1时也满足上式，
故数列{a}的通项公式为a＝n.
n n(2) 由(1)知a＝n，故b＝2n＋(－1)nn.
n n
记数列{b}的前2n项和为T ，
n 2n
则T ＝(21＋22＋…＋22n)＋(－1＋2－3＋4－…＋2n).
2n
记A＝21＋22＋…＋22n，B＝－1＋2－3＋4－…＋2n，
则A＝＝22n+1－2，
B＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋…＋[－(2n－1)＋2n]＝n.
故数列{b}的前2n项和T ＝A＋B＝22n+1＋n－2.
n 2n
变式1、（2023·黑龙江·黑龙江实验中学校考一模）已知数列 ，前n项和为 ，且满足 ，
， ， ， ，等比数列 中， ，且 ， 成等差数列．
(1)求数列 和 的通项公式；
(2)记 为区间 中的整数个数，求数列 的前n项和 ．
【解析】（1） ， ， ，
即 ， ， ，
故 为等差数列，设公差为 ，
故 ， ，
解得： ， ，
所以 ，
设等比数列 的公比为 ， ，
因为 ， 成等差数列，所以 ，
即 ，与 联立得： 或0（舍去），
且 ，故 ，（2）由题意得： 为 中的整数个数，
故 ，
所以
.
变式2、（2023·重庆·统考三模）已知数列 的前n项和为 ， ， ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前n项和．
【详解】（1）因为 ，所以 ，又 ，
所以数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，
所以 ，即 ，
当 时， ，所以 ，
当 时， 也适合，
故 .
（2） ，
所以数列 的前n项和为
.
变式3、（2023·黑龙江大庆·统考三模）已知数列 满足 ．
(1)证明： 是一个等差数列；
(2)已知 ，求数列 的前 项和 ．
【解析】（1）当 时，可得 ，当 时，由 ，
则 ，
上述两式作差可得 ，
因为 满足 ，所以 的通项公式为 ，所以 ，
因为 （常数），
所以 是一个等差数列．
（2） ，
所以 ，
所以数列 的前 项和
方法总结：数列求和应从通项入手，若无通项，则先求通项，然后通过对通项变形，转化为等差数列或等
比数列或可求前n项和的数列求和．
考向三 裂项相消法求和
例3、（2023·黑龙江大庆·统考一模）设 是公差不为0的等差数列， ， 是 ， 的等比中项.
(1)求 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前n项和 .
【解析】（1）设 的公差为 ，因为 ， 是 ， 的等比中项，
所以 ，所以 .
因为 ，所以 ，故 .（2）因为 ，
所以 .
变式1、设数列{a}的前n项和为S，已知 a＝1，S＝na－n(n－1)(n＝1，2，3，…).
n n 1 n n
(1) 求证：数列{a}为等差数列，并写出a 关于n的表达式；
n n
(2) 若数列的前n项和为T，求满足T>的最小正整数n的值．
n n
【解析】 (1) 当n≥2时，a＝S－S ＝na－(n－1)·a －2(n－1)，
n n n－1 n n－1
化简，得a－a ＝2，
n n－1
所以数列{a}是以1为首项，2为公差的等差数列，
n
所以a＝2n－1.
n
(2) T＝＋＋…＋＋＝＋＋…＋
n
＝[(－)＋(－)＋…＋(－)]
＝＝.
由T＝>，得n>，
n
所以满足T>的最小正整数n为12.
n
变式2、（2023·江苏泰州·统考一模）在① 成等比数列，② ，③ 这三个
条件中任选两个，补充在下面问题中，并完成解答.
已知数列 是公差不为0的等差数列，其前 项和为 ，且满足__________，__________.
(1)求 的通项公式；
(2)求 .
注：如果选择多个方案分别解答，按第一个方案计分.
【解析】（1）若选①②，设 公差为 ，
则 ，
解得： ，；
选①③，设 公差为 ，
，
解得： ，
；
选②③，设 公差为 ，
，
解得： ，
；
（2） ，
.
变式3、（2023·江苏南京·校考一模）已知等比数列 的前 项和为 , , .
(1)求数列 的通项公式.
(2)令 ,求数列 的前 项和 .
【解析】（1）当 时,即 ,又 是等比数列, ;
数列 的通项公式为: .
（2）由（1）知, ,
,
即
方法总结：常见题型有（1）数列的通项公式形如a＝时，可转化为a＝，此类数列适合使用裂项相消法
n n
求和．
（2）数列的通项公式形如a＝时，可转化为a＝(－)，此类数列适合使用裂项相消法求和．
n n
考向四 错位相减法求和
例4、（2023·江苏南京·南京市第一中学校考模拟预测）已知等差数列 的前 项和为 ， ，
．正项等比数列 中， ， ．
(1)求 与 的通项公式；
(2)求数列 的前 项和 ．
【解析】（1）等差数列 的前 项和为 ， ， ，设公差为
所以 ，解得
所以
正项等比数列 中， ， ，设公比为
所以 ，所以解得 ，或 （舍去）
所以
（2）由（1）知：
所以
两式相减得：
.
变式1、已知{a}是等差数列，其前n项和为S，{b}是等比数列，且a＝b＝2，a＋b＝27，S－b＝10.
n n n 1 1 4 4 4 4
(1) 求数列{a}与{b}的通项公式；
n n
(2) 求T＝ab＋ab＋…＋ab，n∈N*.
n 1 1 2 2 n n
【解析】 (1) 设等差数列{a}的公差为d，等比数列{b}的公比为q.
n n
由a＝b＝2，得a＝2＋3d，b＝2q3，
1 1 4 4
S＝8＋6d，
4
则解得
所以a＝3n－1，b＝2n，n∈N*.
n n
(2) 由(1)，得T＝2×2＋5×22＋8×23
n
＋…＋(3n－1)×2n，①
则2T＝2×22＋5×23＋…＋(3n－4)×2n＋(3n－1)×2n+1.②
n
由①－②，得－T＝2×2＋3×22＋3×23＋…＋3×2n－(3n－1)×2n+1
n
＝－(3n－1)×2n+1－2＝－(3n－4)×2n+1－8，
即T＝8＋(3n－4)×2n+1.
n
变式2、（2023·湖南长沙·长沙市明德中学校考三模）已知等差数列 前 项和为 ， ，
.
(1)求 的通项公式；
(2)若数列 满足 ，求和： .
【解析】（1）因为等差数列 前 项和为 ，所以 ，
又 ，所以 ，
又 ，所以 是首项为1，公差为2的等差数列，
所以 的通项公式为 .
（2）因为 ，
所以 ，
两式相减得： ，
又 满足上式，所以 ，
又 ，所以 .
所以 ，
，
两式相减得：
.
方法总结：主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和，即等比数列求和公式的
推导过程的推广.。特别注意错位相减法的步骤。
1、（2023·湖南·铅山县第一中学校联考三模）从午夜零时算起，在钟表盘面上分针与时针第 次 重
合时，分针走了 ，则24小时内（包括第24时）所有这样的 之和 （ ）
A．24 B．300 C．16560 D．18000
【答案】C
【解析】在钟表盘面上，分针每分钟转 ，时针每分钟转 ，
即 ,得 ，
则数列 是以 为首项，公差为 的等差数列.
由 ，得 ，解得 ，
所以24小时内分针与时针重合22次，.
故选：C.
2、（2023·湖南郴州·统考三模）已知函数 的图象在点 处的切线的斜率为
，则数列 的前 项和 为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】 ，则 ，
所以 ，
所以 .
故选：C.
3、（2023·安徽宿州·统考一模）已知数列 的前n项和为 ，且 ，则数列
的前n项和 ______.
【答案】
【解析】数列 的前n项和为 ， ， ，当 时， ，
两式相减得： ，即 ，而 ，解得 ，
因此数列 是首项为2，公比为2的等比数列， ，
，所以 .
故答案为： .
4、（2023·江苏南京·南京市秦淮中学校考模拟预测）在① ，② ，③ 这三个条件
中任选一个，补充在下面问题中，并解答.
已知等差数列 的公差为 ，等差数列 的公差为 .设 分别是数列 的前 项和，
且 ， ，
（1）求数列 的通项公式；
（2）设 ，求数列 的前 项和 .
【解析】解：方案一：
（1）∵数列 都是等差数列，且 ，
，解得
，
综上
（2）由（1）得：方案二：
（1）∵数列 都是等差数列，且 ，
解得
，
.
综上，
（2）同方案一
方案三：
（1）∵数列 都是等差数列，且 .
，解得 ，
，
.
综上，
（2）同方案一
5、（2023·辽宁·大连二十四中校联考三模）已知数列 的前 项的积
(1)求数列 的通项公式；
(2)数列 满足 ，求 .
【解析】（1） ，当 时， .
当 时， ，满足上式，
.
（2）
.
6、（2023·黑龙江牡丹江·牡丹江市第三高级中学校考三模）已知数列 各项都不为 ，前 项和为 ，
且 ，数列 满足 ， ．
(1)求数列 和 的通项公式；
(2)令 ，求数列 的前 项和为
【解析】（1）由 ，可得 ，两式相减得 ，整理得
，因为数列 各项都不为 ，所以数列 是以 为公比的等比数列．令 ，则
，解得 ，故 ．
由题知 ，
所以
（2）由（1）得 ，所以 ，
，
两式相减得 ，
所以 ．
7、（2023·安徽·校联考三模）在数列 中， ，且对任意的 ，都有 ．在等差数列中，前n项和为 ， ， ．
(1)求数列 和 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前n项和 ．
【解析】（1）由 得 时， ．
又 ，满足 ，所以 ．
设等差数列 的公差为d，则 ，解得 ，
所以 ；
（2） ， ①， ②
①-②得
所以 ．
