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第 05 讲 数列求和
（模拟精练+真题演练）
1．（2023·福建宁德·校考二模）已知 是数列 的前 项和， ， ， ，数列
是公差为1的等差数列，则 （ ）
A．366 B．367 C．368 D．369
2．（2023·福建泉州·校联考模拟预测）历史上数列的发展，折射出许多有价值的数学思想方法，对时代的
进步起了重要的作用，比如意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”： ， ， ， ，
， ， ， ， ， ， ， ，即 ，此数列在现代物理、准晶
体结构及化学等领域有着广泛的应用，若此数列被4整除后的余数构成一个新的数列 ，则
的值为（ ）．
A． B． C． D．
3．（2023·贵州·校联考模拟预测）已知等差数列 的前n项和为 ， ， ，则
（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·江西南昌·统考三模）已知 ，将数列 与数列 的公共项从小到大排列得到新
数列 ，则 （ ）
A． B． C． D．
5．（2023·山东淄博·统考三模）如图，阴影正方形的边长为1，以其对角线长为边长，各边均经过阴影正
方形的顶点，作第2个正方形；然后再以第2个正方形的对角线长为边长，各边均经过第2个正方形的顶
点，作第3个正方形；依此方法一直继续下去.若视阴影正方形为第1个正方形，第 个正方形的面积为 ，
则 （ ）
A．1011 B． C．1012 D．6．（2023·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测）等比数列 满足各项均为正数，
，数列 的前 项和为 ，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
7．（2023·四川成都·树德中学校考三模）已知数列 ， ， ， ，
， ， 是数列 的前 项和，则 （ ）
A．656 B．660 C．672 D．674
8．（多选题）（2023·黑龙江牡丹江·牡丹江市第三高级中学校考三模）南宋数学家杨辉所著的《详解九章
算法·商功》中出现了如图所示的形状，后人称为“三角垛”“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个
球，第三层有6个球，…，设各层球数构成一个数列 ，且 ，数列 的前n项和为 ，则正确
的选项是（ ）．
A． B．
C． D．
9．（多选题）（2023·浙江·校联考模拟预测）意大利著名数学家莱昂纳多．斐波那契（ Leonardo
Fibonacci）在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…，该数列的
特点是：前两个数都是1，从第三个数起，每一个数都等于它的前面两个数的和，人们把这样的一列数称
为“斐波那契数列”．同时，随着 趋于无穷大，其前一项与后一项的比值越来越逼近黄金分割
，因此又称“黄金分割数列”，记斐波那契数列为 ，则下列结论正确的有（ ）
A． B．
C． D．
10．（多选题）（2023·湖北武汉·武汉二中校联考模拟预测）在公差不为零的等差数列 中，已知其前
项和为 ，且 等比数列，则下列结论正确的是（ ）A．
B．
C．
D．设数列 的前 项和为 ，则
11．（多选题）（2023·重庆·统考模拟预测）已知数列 满足 ， ， ，
记数列 的前 项和为 ，若存在正整数 ， ，使得 ，则 的值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
12．（2023·河南·校联考模拟预测）已知数列 满足 ， ，则
.
13．（2023·贵州·统考模拟预测）已知数列 满足 ，若数列 的前 项和为 ，
，则 中所有元素的和为 .
14．（2023·甘肃兰州·校考模拟预测）在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和为同一个常数，那么
这个数列称为等和数列，这个常数称为该数列的公和．已知数列 是等和数列，且 ， ，
则这个数列的前2022项的和为 ．
15．（2023·贵州黔东南·凯里一中校考模拟预测）已知数列 满足： ， ，
若 ，则数列 的前50项和为 .
16．（2023·河南·校联考模拟预测）已知数列 的各项均为正数，其前 项和 满足 ，数列
满足 .
(1)求 的通项公式；
(2)设数列 的前 项和为 ，若 对一切 恒成立，求实数 的取值范围.17．（2023·浙江·校联考模拟预测）在公差不为零的等差数列 中， ，且 成等比数列，数
列 的前 项和 满足 .
(1)求数列 和 的通项公式；
(2)设 ，数列 的前 项和 ，若不等式 对任意 恒成立，求实数
的取值范围.
18．（2023·河南·校联考模拟预测）在① ，② ，③ 这三个条件中任选一
个，补充在下面问题中，并解答.
已知公差不为0的等差数列 的前 项和为 是 与 的等比中项，___________.
(1)求 的通项公式；
(2)求数列 的前 项和 .
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
19．（2023·浙江温州·乐清市知临中学校考模拟预测）若分别从下表的第一、二、三列中各取一个数，依
次作为等比数列{ }的 ， ， ；分别从下表的第一、二、三行中各取一个数，依次作为等差数列
的 ， ， ．
第一列 第二列 第三列
第一行 1 4 7
第二行 3 6 9
第三行 2 5 8
(1)请写出数列{ }，{ }的一个通项公式；
(2)若数列{ }单调递增，设 ，数列{ }的前n项和为 ．求证： ．20．（2023·福建宁德·校考二模）已知 为等差数列 的前 项和， ， ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前15项和 ．
21．（2023·天津津南·天津市咸水沽第一中学校考模拟预测）已知 是公比为q的等比数列．对于给定
的 ，设 是首项为 ，公差为 的等差数列 ，记 的第i项为 ．若
，且 ．
(1)求 的通项公式；
(2)求 ；
(3)求 ．
1．（2023•甲卷（理））已知数列 中， ，设 为 前 项和， ．
（1）求 的通项公式；
（2）求数列 的前 项和 ．2．（2023•乙卷（文））记 为等差数列 的前 项和，已知 ， ．
（1）求 的通项公式；
（2）求数列 的前 项和 ．
3．（2023•新高考Ⅱ）已知 为等差数列， ，记 ， 为 ， 的前 项和，
， ．
（1）求 的通项公式；
（2）证明：当 时， ．
4．（2023•天津）已知 是等差数列， ， ．
（Ⅰ）求 的通项公式和 ；
（Ⅱ）已知 为等比数列，对于任意 ，若 ，则 ．
当 时，求证： ；
求 的通项公式及其前 项和．
5．（2023•新高考Ⅰ）设等差数列 的公差为 ，且 ．令 ，记 ， 分别为数列 ，
的前 项和．
（1）若 ， ，求 的通项公式；（2）若 为等差数列，且 ，求 ．
6．（2022•甲卷）记 为数列 的前 项和．已知 ．
（1）证明： 是等差数列；
（2）若 ， ， 成等比数列，求 的最小值．
7．（2022•全国）设 是首项为1，公差不为0的等差数列，且 ， ， 成等比数列．
（1）求 的通项公式；
（2）令 ，求数列 的前 项和 ．
8．（2021•乙卷）设 是首项为1的等比数列，数列 满足 ，已知 ， ， 成等差数列．
（1）求 和 的通项公式；
（2）记 和 分别为 和 的前 项和．证明： ．
9．（2021•新高考Ⅰ）已知数列 满足 ，
（1）记 ，写出 ， ，并求数列 的通项公式；
（2）求 的前20项和．
