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第 56 讲 立体几何中的切接问题（微专题）
题型一 、几何体的外接球
解决多面体的外接球问题，关键是确定球心的位置，方法是先选择多面体中的一面，确定此面外接圆
的圆心，再过圆心作垂直此面的垂线，则球心一定在此垂线上，最后根据其他顶点确定球心的准确位置．
对于特殊的多面体还可采用补成正方体或长方体的方法找到球心位置．
例1、（2023·安徽·统考一模）在三棱锥 中， 底面 ，则三
棱锥 外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
变式1、（2022·江苏海门·高三期末）已知正四棱锥 的底面边长为 ，侧棱PA与底面ABCD所
成的角为45°，顶点P，A，B，C，D在球O的球面上，则球O的体积是（ ）
A．16π B． C．8π D．
变式2、（2023·山西临汾·统考一模）《九章算术·商功》提及一种称之为“羡除”的几何体，刘徽对此几
何体作注：“羡除，隧道也其所穿地，上平下邪.似两鳖臑夹一堑堵，即羡除之形.”羡除即为：三个面为梯
形或平行四边形（至多一个侧面是平行四边形），其余两个面为三角形的五面几何体.现有羡除
如图所示，底面 为正方形， ，其余棱长为2，则羡除外接球体积与羡除体积之比为
（ ）
A． B． C． D．
变式3、（2022·广东罗湖·高三期末）在 中， ，且 ， ，若将 沿AC边上
的中线BD折起，使得平面 平面BCD．点E在由此得到的四面体ABCD的棱AC上运动，则下列结论
正确的为（ ）
A． B．四面体ABCD的体积为
C．存在点E使得 的面积为 D．四面体ABCD的外接球表面积为变式4、（2022·河北张家口·高三期末）在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑
（biēnào）.如图，三棱锥 为一个鳖臑，其中 平面 ， ， ，
， 为垂足，则（ ）
A． 平面
B． 为三棱锥 的外接球的直径
C．三棱锥 的外接球体积为
D．三棱锥 的外接球体积与三棱锥 的外接球体积相等
变式5、（2022·江苏如皋·高三期末）已知三棱锥D－ABC中，AB＝AC＝AD＝1，∠DAB＝∠DAC＝ ，
∠BAC＝ ，则点A到平面BCD的距离为_________，该三棱锥的外接球的体积为_________.
变式6、（2022·广东潮州·高三期末）在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，在
鳖臑A-BCD中，AB 平面BCD，CD AD，AB=BD= ，已知动点E从C点出发，沿外表面经过棱AD上一
点到点B的最短距离为 ，则该棱锥的外接球的表面积为_________．
变式7、（2022·广东·铁一中学高三期末）已知四面体 中， ， ，，则其外接球的体积为______.
变式8、（2022·河北保定·高三期末）如图， 是边长为4的等边三角形 的中位线，将 沿
折起，使得点 与 重合，平面 平面 ，则四棱雉 外接球的表面积是___________.
题型二、几何体的内切球
求解多面体的内切球的问题，一般是将多面体分割为以球心为顶点，多面体的各面为底面的棱锥，利
用多面体的体积等于各棱锥的体积之和求内切球的半径．
例2、（2021·山东高三其他模拟）如图所示的由4个直角三角形组成的各边长均为1的六边形是某棱锥的
侧面展开图，则该棱锥的内切球半径为_________．
变式 1、【2022·广东省珠海市第二中学 10 月月考】已知三棱锥 的所有棱长都相等，现沿
三条侧棱剪开，将其表面展开成一个平面图形，若这个平面图形外接圆的半径为 ，则
三棱锥 的内切球的体积为_______
变式 2、【2022·广东省珠海市第二中学 10 月月考】已知三棱锥 的所有棱长都相等，现沿
三条侧棱剪开，将其表面展开成一个平面图形，若这个平面图形外接圆的半径为 ，则三棱锥 的内切球的体积为_______
变式3、（2023·江苏连云港·统考模拟预测）已知圆锥内切球（与圆锥侧面、底面均相切的球）的半径为
2，当该圆锥的表面积最小时，其外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
变式4、（2022·湖北武昌·高三期末）已知四面体ABCD的一个平面展开图如图所示，其中四边形AEFD是边
长为 的菱形，B，C分别为AE，FD的中点， ，则在该四面体中（ ）
A．
B．BE与平面DCE所成角的余弦值为
C．四面体ABCD的内切球半径为
D．四面体ABCD的外接球表面积为
变式5、（2022·江苏通州·高三期末）将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A′－BD－C，设三棱锥A′－
BDC的外接球和内切球的半径分别为r ，r ，球心分别为O ，O .若正方形ABCD的边长为1，则
1 2 1 2
________；O O ＝__________.
1 2
