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22.3 实际问题与二次函数
考点一．利用二次函数解决利润问题
利润问题主要涉及两个等量关系：
利润=售价-进价；
总利润=单件商品的利润×销售量．
在日常生活中，经常遇到求最大利润、最高产量等问题，在解答此类问题时，应建立函数模型，把它们转化为
求函数的最值问题，然后列出相应的函数解析式，从而解决问题．
建立二次函数模型解决实际问题的一般步骤：
（1）审题；
（2）找出题中的已知量和未知量；
（3）用一个未知量表示题中的其他未知量；
（4）找出等量关系并列出函数解析式；
（5）利用二次函数的图象及性质去分析、解决实际问题．
考点二．利用二次函数求图形面积的最值
（1）二次函数的最值：一般地，当a>0（a<0）时，抛物线y=ax2+bx+c的顶点是最低（最高）点，也就是说，
当x= 时，二次函数y=ax2+bx+c有最小（最大）值，最小（最大）值为 ．
（2）应用二次函数解决实际问题的基本思路：
①理解题意；②分析问题中的变量和常量以及它们之间的关系；③用函数解析式表示它们之间的关系；④用数
学方法求解；⑤检验结果的合理性．
考点三．利用二次函数解决抛物线形问题
在实际生活中，如拱门、桥洞等问题，都可以通过建立二次函数模型来解答．在解答此类问题的过程中，要运
用数形结合思想和函数思想，在图形上先建立合适的平面直角坐标系，再根据题意设出适当的函数解析式，然
后由已知点的坐标，利用待定系数法求出函数解析式，最后根据函数解析式来分析解答问题．题型一：拱桥问题
1．（2023·河北·九年级专题练习）某池塘的截面如图所示，池底呈抛物线形，在图中建立平面直角坐标系，并标
出相关数据（单位：m）．有下列结论：
① ；②池底所在抛物线的解析式为 ；
③池塘最深处到水面CD的距离为1.8m；④若池塘中水面的宽度减少为原来的一半，
则最深处到水面的距离减少为原来的 ．其中结论正确的是（ ）
A．①② B．②④ C．③④ D．①④
2．（2022·江苏·九年级专题练习）如图是拱形大桥的示意图，桥拱与桥面的交点为O，B，以点O为原点，水平直
线OB为x轴，建立平面直角坐标系，桥的拱形可以近似看成抛物线y=-0.01（x-20）2+4，桥拱与桥墩AC的交点C
恰好位于水面，且AC⊥x轴，若OA=5米，则桥面离水面的高度AC为（ ）
A． 米 B． 米 C． 米 D． 米
题型二：图形问题
3．（2022·广东·东莞外国语学校九年级期末）如图，用一段长为30 米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形苗圃园，
墙长为18 米，设这个苗圃园垂直于墙的一边AB的长为x 米．(1)若苗圃园的面积为72 平方米，求AB的长．
(2)当x为何值时，苗圃的面积最大？最大值为多少平方米？
4．（2022·浙江丽水·九年级期中）如图，某中学课外活动小组准备围建一个矩形苗圃园．其中一边靠墙，另外三
边用长为20米的篱笆围成．已知墙长为18米，设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为x米．
(1)若这个苗圃园的面积为S平方米，求出S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
(2)垂直于墙的一边的长为多少米时，这个苗圃园的面积最大，并求出这个最大面积．
题型三：销售问题
5．（2022·安徽淮南·九年级阶段练习）一商店销售某种商品平均每天可售出20件，每件盈利50元，为了扩大销
售，增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降
低一元，平均每天可多售出两件．
(1)若每件商品降价2元，则平均每天可售出 件；
(2)每件商品降价多少元时，该商店每天的销售利润为1600元；
(3)当每件商品降价多少元时，该商店每天的销售利润最大，最大值是多少？
6．（2022·四川·成都外国语学校九年级期中）某乡镇贸易公司开设了一家网店，销售当地某种农产品，已知该农
产品成本为每千克10元，调查发现，每天销售量y（kg）与销售单价x（元）满足如图所示的函数关系（其中
10<x≤30）(1)写出y与x之间的函数关系式及自变量的取值范围；
(2)当销售单价x为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
题型四：投球问题
7．（2022·甘肃兰州·中考真题）掷实心球是兰州市高中阶段学校招生体育考试的选考项目．如图1是一名女生投
掷实心球，实心求行进路线是一条抛物线，行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系如图2所示，抛出
时起点处高度为 ，当水平距离为3m时，实心球行进至最高点3m处．
(1)求y关于x的函数表达式；
(2)根据兰州市高中阶段学校招生体有考试评分标准（女生），投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大
于等于6.70m，此项考试得分为满分10分．该女生在此项考试中是否得满分，请说明理由．
8．（2022·山东青岛·二模）一身高1.8m的篮球运动员在距篮板4m处跳起投篮并命中。若球在运动员头顶上方
0.25m处出手，球在距离篮筐水平距离为1.5m处达到最大高度为3.5m，以水平地面为x轴，球达到最大高度时的
铅直方向为y轴，建立如图所示的直角坐标系．(1)写出球离地面的高度y（m）和水平距离x（m）之间的函数关系式．
(2)球出手时，运动员跳离地面的高度是多少？
(3)在平常训练时，为了提高运动员投篮准确度，在点A和篮筐B之间设立笔直的线绳，以测试抛出篮球的高低，
球在投出和到达篮筐前，与线绳之间的高度差的最大值是多少米？
题型五：喷水问题
9．（2022·陕西·紫阳县师训教研中心九年级期末）“水幕电影”的工作原理是把影像打在抛物线状的水幕上，通
过光学原理折射出图象，水幕是由若干个水嘴喷出的水柱组成的，如图所示，水柱的最高点为M， ，
，水嘴高 ，以A为坐标原点，AB所在的直线为x轴，AD所在的直线为y轴建立平面直角坐标
系，求出图中抛物线的表达式．
10．（2022·江苏·九年级专题练习）小红看到一处喷水景观，喷出的水柱呈抛物线形状，她对此展开研究：测得喷
水头P距地面0.7m，水柱在距喷水头P水平距离5m处达到最高，最高点距地面3.2m；建立如图所示的平面直角
坐标系，并设抛物线的表达式为 ，其中x（m）是水柱距喷水头的水平距离，y（m）是水柱距地面
的高度．(1)求抛物线的表达式．
(2)爸爸站在水柱正下方，且距喷水头P水平距离3m，身高1.6m的小红在水柱下方走动，当她的头顶恰好接触到
水柱时，求她与爸爸的水平距离．
题型六：增长率问题
11．（2022·江苏·九年级专题练习）据省统计局公布的数据，合肥市2021年一月GDP总值约为6百亿元人民币，
若合肥市三月GDP总值为y百亿元人民币，平均每个月GDP增长的百分率为x，则y关于x的函数表达式是（
）
A．y＝6(1+2x) B．y＝6(1﹣x)2
C．y＝6(1+x)2 D．y＝6+6(1+x)+6(1+x)2
12．（2022·浙江·九年级专题练习）为方便市民进行垃圾分类投放，某环保公司第一个月投放a个垃圾桶，计划第
三个月投放垃圾桶y个，设该公司第二、三两个月投放垃圾桶数量的月平均增长率为x，那么y与x的函数关系是
（ ）
A． B． C． D．
题型七：图形运动问题
13．（2022·全国·九年级专题练习）如图，正方形ABCD的边长为2cm，动点P，Q同时从点A出发，在正方形的
边上，分别按A→D→C，A→B→C的方向，都以1cm/s的速度运动，到达点C运动终止，连接PO，设运动时间为
xs， APQ的面积为ycm2，则下列图像中能大致表示y与x的函数关系的是（ ）
△A． B． C．
14．（2022·辽宁锦州·中考真题）如图，四边形 是边长为 的正方形，点E，点F分别为边 ， 中
点，点O为正方形的中心，连接 ，点P从点E出发沿 运动，同时点Q从点B出发沿 运动，两
点运动速度均为 ，当点P运动到点F时，两点同时停止运动，设运动时间为 ，连接 ， 的面
积为 ，下列图像能正确反映出S与t的函数关系的是（ ）
A． B． C． D．
一、单选题
15．（2022·广东·东莞市光明中学一模）向上发射一枚炮弹，经 秒后的高度为 公尺，且时间 秒 与高度 公尺 的关系为 、 为常数，且 若此炮弹在第 秒与第 秒时的高度相等，则下列哪一个时间的
高度是最高的？（ ）
A．第 秒 B．第 秒 C．第 秒 D．第 秒
16．（2022·全国·九年级专题练习）如图所示，阳光中学教学楼前喷水池喷出的抛物线形水柱，其解析式为y＝﹣
（x﹣2）2+6，则水柱的最大高度是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．2+
17．（2022·福建·福州立志中学九年级阶段练习）如图，在足够大的空地上有一段长为a米的旧墙MN，某人利用
旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD，其中AD≤MN，已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了100米木栏．
(1)设BC长为x米，矩形ABCD的面积为y平方米，求y与x的函数关系式；
(2)若a=40，求矩形菜园ABCD面积的最大值．
18．（2022·浙江温州·九年级期中）某水果批发店推出一款拼盘水果（盒装），经市场调查表明，若售价为45
元/盒，日销售量为110盒，若售价每提高1元/盒，日销售量将减少2盒．设每盒售价为x元（ ，且为整
数）．
(1)若某日销售量为90盒，求该日每盒的售价．
(2)设每日销售额为W元，求W关于x的函数表达式，并求W的最大值．
(3)该水果店每天支付店租m元后（m为正整数），发现最大日收入（日收入＝销售额－店租）不超过4880元，并
有且只有5种不同的单价使日收入不少于4870元，请写出所有符合条件的m的值．一：选择题
19．（2022·四川·渠县崇德实验学校九年级期末）如图，某拱形门建筑的形状时抛物线，拱形门地面上两点的跨度
为192米，高度也为192米，若取拱形门地面上两点的连线作x轴，可用函数 表示，则a的值为
（ ）
A． B． C． D．
20．（2022·全国·九年级专题练习）两个正方形的周长和是10，如果其中一个正方形的边长为 ，则这两个正方形
的面积的和S关于 的函数关系式为（ ）
A． B．
C． D．
21．（2022·江苏·九年级专题）如图，等腰 与矩形DEFG在同一水平线上， ，现将等
腰 沿箭头所指方向水平平移，平移距离x是自点C到达DE之时开始计算，至AB离开GF为止．等腰
与矩形DEFG的重合部分面积记为y，则能大致反映y与x的函数关系的图象为（ ）A． B． C． D．
22．（2022·全国·九年级课时练习）如图，将一个小球从斜坡的点O处抛出，小球的抛出路线可以用二次函数
刻画，斜坡可以用一次函数 刻画．下列结论错误的是（ ）
A．小球落地点距O点水平距离为7米
B．小球距O点水平距离超过4米呈下降趋势
C．当小球抛出高度达到7.5m时，小球距O点水平距离为3m
D．小球距斜坡的最大铅直高度为
23．（2022·江苏·九年级专题练习）从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球运动时间t（单
位：s）之间的函数关系如图所示．则下列结论不正确的是（ ）A．小球在空中经过的路程是40m B．小球运动的时间为6s
C．小球抛出3s时，速度为0 D．当 s时，小球的高度 m
24．（2022·全国·九年级专题练习）如图，小明以抛物线为灵感，在平面直角坐标系中设计了一款高OD为14的
奖杯，杯体轴截面ABC是抛物线 的一部分，则杯口的口径AC为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
25．（2022·全国·九年级专题练习）物理课上我们学习了竖直上抛运动，若从地面竖直向上抛一小球，小球的高度
h（单位：m）与小球运动时间t（单位：s）之间的函数关系如图所示，下列结论：
①小球在空中经过的路程是40m ②小球抛出3s后，速度越来越快
③小球抛出3s时速度为0 ④小球的高度 时，
其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①② C．②③④ D．②③
二、填空题
26．（2022·全国·九年级）有一座抛物线形拱桥，其最大高度为9m，现把它的示意图放在如图所示的平面直角坐
标系中，则此抛物线的函数解析式为__________，其中自变量x的取值范围是______．27．（2022·湖北省咸宁市嘉鱼县城北中学九年级阶段练习）如图用一段长为16m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形
围栏（墙长9m），则这个围栏的最大面积为________ ．
28．（2022·全国·九年级单元测试）某种商品每件进价为20元，调查表明：在某段时间内若以每件x元
（20≤x≤24，且x为整数）出售，可卖出（30﹣x）件．若利润为y，则y关于x的解析式_______，若利润最大，则
最大利润为______元．
29．（2022·全国·九年级课时练习）如图，点A、B的坐标分别为 和 ，抛物线 的顶点
在线段 上，与 轴交于 ， 两点（ 在 的左侧），点 的横坐标最小值为 ，则点D的横坐标的最大值
为____．
30．（2022·河北唐山·九年级期末）如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，以B为原点、AB所
在水平线为x轴建立坐标系，拱桥对应抛物线的解析式为______．
31．（2022·江苏·九年级专题练习）某食品零售店新上架一款冷饮产品，每个成本为8元，在销售过程中，每天的
销售量y（个）与销售价格x（元/个）的关系如图所示，当 时，其图象是线段AB，则该食品零售店每天
销售这款冷饮产品的最大利润为______________元（利润=总销售额-总成本）．32．（2022·上海市娄山中学九年级期中）如图，在一块等腰直角三角形ABC的铁皮上截取一块矩形铁皮，要求截
得的矩形的边EF在 的边BC上，顶点D、G分别在边AB、AC上．已知 厘米，设DG的长为x厘米，
矩形DEFG的面积为y平方厘米，那么y关于x的函数解析式为__________．（不要求写出定义域）
三、解答题
33．（2022·全国·九年级专题练习）农经公司以 元 千克的价格收购一批农产品进行销售，为了得到日销售量
（千克）与销售价格 （元 千克）之间的关系，经过市场调查获得部分数据如下表：
销售价格 （元 千克）
日销售量 （千克）
(1)请你根据表中的数据，用所学过的一次函数、二次函数、反比例函数的知识确定 与 之间的函数表达式；
(2)农经公司应该如何确定这批农产品的销售价格，才能使日销售利润最大？
34．（2022·湖北武汉·九年级期中）农经公司以30元/千克的价格收购一批农产品进行销售，为了得到日销售量
p(千克)与销售价格x(元/千克)之间的关系，经过市场调查获得部分数据如下表：
销售价格x(元/千克) 30 35 40 45 50
日销售量p(千克) 600 450 300 150 0
(1)请直接写出p与x之间的函数关系式：(2)农经公司应该如何确定这批农产品的销售价格，才能使日销售利润最大？
(3)若农经公司每销售1千克这种农产品需支出a元(a＞0)的相关费用，当40≤x≤45时，农经公司的日获利的最大值
为2430元，求a的值．
35．（2022·河北·顺平县腰山镇第一初级中学一模）新型建材（即新型建筑材料）是区别于传统的砖瓦、灰砂石等
建材的建筑材料新品种，行业内将新型建筑材料的范围作了明确的界定，即新型建筑材料主要包括新型墙体材料、
新型防水保温隔热密封材料和装饰装修材料三大类，某开发商承建一精密实验室，要求全部使用新型建筑材料，
经调查发现：新型建筑材料总成本包括装饰装修材料成本、新型墙体材料成本和新型防水保温隔热密封材料成本，
其中装饰装修材料成本固定不变为100万元，新型墙体材料成本与建筑面积x（m2）成正比，新型防水保温隔热密
封材料成本与建筑面积x（m2）的平方成正比，在建筑过程中，设新型建筑材料总成本为y（万元），获得如下数
据：
x（单位：m2） 20 50
24
y（单位：万元） 600
0
(1)求新型建筑材料总成本为y（万元）与建筑面积x（m2）的函数表达式；
(2)在建筑过型中，开发商测算出此的时每平方米的平均成本为12万元，求此时完成的建筑面积；
(3)设建设该厂房每平方米的毛利润为Q（万元）且有Q＝kx+b（k≠0），已知当x＝50时，Q为12.5万元，且此时
开发商总纯利润W最大，求k、b的值．（纯利润＝毛利润﹣成本）
36．（2022·广西·防城港外国语学校九年级）如图，在一块正方形ABCD木板上要贴三种不同的墙纸，正方形
EFCG部分贴A型墙纸，△ABE部分贴B型墙纸，其余部分贴C型墙纸．A型、B型、C型三种墙纸的单价分别为
每平方60元、80元、40元．
(1)探究1：如果木板边长为2米，FC＝1米，则一块木板用墙纸的费用需_____元；(2)探究2：如果木板边长为1米，当FC的长为多少时，一块木板需用墙纸的费用最省？最省是多少元？
(3)探究3：设木板的边长为a（a为整数），当正方形EFCG的边长为多少时，墙纸费用最省？
37．（2022·全国·九年级）某校为配合疫情防控需要，每星期组织学生进行核酸抽样检测；防疫部门为了解学生错
峰进入操场进行核酸检测情况，调查了某天上午学生进入操场的累计人数y（单位：人）与时间x（单位：分钟）
的变化情况，发现其变化规律符合函数关系式： 数据如下表．
时间x（分钟） 0 1 2 3 … 8
累计人数y（人） 0 150 280 390 … 640 640
(1)求a，b，c的值；
(2)如果学生一进入操场就开始排队进行核酸检测，检测点有4个，每个检测点每分钟检测5人，求排队人数的最
大值（排队人数-累计人数-已检测人数）；
(3)在（2）的条件下，全部学生都完成核酸检测需要多少时间？如果要在不超过20分钟让全部学生完成核酸检测，
从一开始就应该至少增加几个检测点？
38．（2022·全国·九年级单元测试）某广场中心标志性建筑处有高低不同的各种喷泉，其中，水池的正中心有一支
高度为 的喷水管，当喷出的抛物线水柱最大高度为 时，最高处距喷水管水平距离为 ．
(1)求在如图所示的平面直角坐标系中的抛物线水柱的解析式（不要求写出自变量的取值范围）；
(2)求这个 的喷水管的水柱落水处离水池中心的距离是多少？39．（2022·河北沧州·九年级期末）一小球 从斜坡 上的点 处抛出，球的抛出路线是抛物线的一部分，建立
如图所示的平面直角坐标系，斜坡可以用一次函数 刻画．若小球到达最高点的坐标为 ．
(1)求抛物线的函数解析式（不写自变量 的取值范围）；
(2)小球在斜坡上的落点 的垂直高度为________米；
(3)若要在斜坡 上的点 处竖直立一个高4米的广告牌，点 的横坐标为2，请判断小球 能否飞过这个广告牌？
通过计算说明理由；
(4)求小球 在飞行的过程中离斜坡 的最大高度．
40．（2022·河北秦皇岛·九年级期末）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，动点P，Q分别从
点A，B同时开始移动（移动方向如图所示），点P的速度为2cm/s，点Q的速度为1cm/s，点P移动到B点后停
止，点Q也随之停止运动，设P、Q从点A、B同时出发，运动时间为ts，四边形APQC的面积是S
(1)试写出S与t之间的函数关系式，并确定自变量的取值范围；
(2)若S是21cm2时，确定t值；
(3)t为何值时，S有最大（或最小）值，求出这个最值．1．B
【分析】根据两点距离公式可计算AB长度，由图像可知抛物线的对称轴和点坐标，设出抛物线解析式，将已知点
坐标代入即可得出抛物线方程，进而逐项判断即可．
【详解】①由题可知，AB=15－（﹣15）=30m，则①错误；
②对称轴为y轴，交y轴于点(0，﹣5)，设函数解析式为 ,将点(15,0)代入解析式得 ，解得
，池底所在抛物线解析式为 ，则②正确；
③将 代入解析式得 ，解得 ，则池塘最深处到水面CD的距离为 m,
则③错误；
④设原宽度为 时最深处到水面的距离为 m，宽度减少为原来的一半时距离为
m，故④正确，
所以①、③错误，②、④正确，
选项B正确，符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查了抛物线的图像与性质的实际应用，关键是结合图像设出适当的解析式，利用待定系数法求解．
2．C
【分析】根据OA=5知点C的横坐标为-5，据此求出点C的纵坐标即可得出答案．
【详解】解：∵AC⊥x轴，OA=5米，
∴点C的横坐标为-5，
当x=-5时，y=-0.01（x-20）2+4=y=-0.01（-5-20）2+4=-2.25，
∴C（-5，-2.25），
∴桥面离水面的高度AC为2.25米．
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的应用．解题的关键是明确题意找出所求问题需要的条件．
3．(1)AB的长为12米(2)当 时，苗圃园的面积有最大值，最大值是 平方米
【分析】（1）根据题意列出一元二次方程，然后解方程即可得出答案；
（2）先根据题意求出x的取值范围，然后表示出苗圃园的面积，再利用二次函数的性质求最大值即可．
（1）
解：依题意可列方程 ，
∴ ．
解得 ， ．
当 时， ，故舍去；
当 时， ，
，
∴AB的长为12米；
（2）
解：依题意，得 ，解得 ．
∵面积 ，
∴当 时， 有最大值， ；
答：当 时，苗圃园的面积有最大值，最大值是 平方米．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用和二次函数的应用，一元一次不等式组的应用，掌握一元二次方程的
解法及二次函数的性质是解题的关键．
4．(1)S＝－2x2＋20x(1≤x＜10)
(2)当矩形苗圃园垂直于墙的边长为5米时，这个苗圃园的面积最大，最大面积为50平方米
【分析】（1）先求出矩形的另一边，然后由矩形的面积公式，即可得到答案；
（2）运用二次函数的性质进行解题，即可得到答案．
（1）
解：设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为x米，则另一边为 米，∴ ；
∵ ，
解得： ；
∴S与x之间的函数关系式为：
，（ ）；
（2）
解：由（1）可知， ，
∴ ；
∵ ，
∴当 时， 有最大值，最大值为50；
∴当矩形苗圃园垂直于墙的边长为5米时，这个苗圃园的面积最大，最大面积为50平方米；
【点睛】此题主要考查了二次函数的应用，正确得出函数关系是解题关键．
5．(1)24
(2)当每件商品降价10元时，该商品每天的销售利润为1600元
(3)当每件商品降价20元时，该商店每天的销售利润最大，最大值是1800元
【分析】（1）利用平均每天的销售量＝20+降低的价格×2，即可求出每件商品降价2元时平均每天的销售量；
（2）设每件商品降价x元，则每件盈利（50﹣x）元，平均每天可售出（20+2x）件，利用该商品每天的销售利润
＝每件的销售利润×每天的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合每件盈利不少
于25元，即可确定x的值；
（3）设商店每天的销售利润为y元，利用该商品每天的销售利润＝每件的销售利润×每天的销售量列出函数解析
式，根据函数的性质求函数最值．
（1）
解：20+2×2＝24（件），
故答案为：24；
（2）
设每件商品降价x元，则每件盈利（50﹣x）元，平均每天可售出（20+2x）件，
依题意得：（50﹣x）（20+2x）＝1600，
整理得： ，
解得：x＝10，x＝30，
1 2
当x＝10时，50﹣x＝50﹣10＝40＞25，符合题意；
当x＝30时，50﹣x＝50﹣30＝20＜25，不符合题意，舍去．
答：当每件商品降价10元时，该商品每天的销售利润为1600元；（3）
设商店每天的销售利润为y元，由（2）得：
y＝（50﹣x）（20+2x）
＝ ，
∵﹣2＜0，
∴当x＝20时，y有最大值，最大值为1800，
∴当每件商品降价20元时，该商店每天的销售利润最大，最大值是1800元．
【点睛】本题考查二次函数和一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出二次函数解析式和一元二次方程是
解题的关键．
6．(1)
(2)当销售单价x为28元时，每天的销售利润最大，最大利润是6480元
【分析】（1）由图像可知，当10<x≤14时，y=640；当14<x≤30时，设y=kx+b，将（14，640），（30，320）代
入得到解方程组求解即可；
（2）分10<x≤14和14<x≤30两种情况，分别求出函数最值，然后比较即可解答．
（1）
解：（1）由图像知，当10<x≤14时，y=640；
当14<x≤30时，设y=kx+b，
将（14，640），（30，320）代入得 ，解得 ，
∴y与x之间的函数关系式为y=-20x+920；
综上所述， ；
（2）
解：设每天的销售利润为w元，
当10<x≤14时w=640×（x-10）=640x-6400，
∵k=640>0，
∴w随着x的增大而增大，
∴当x=14时，w=4×640=2560元；
当14<x≤30时，w=（x-10）（-20x+920）=-20（x-28）2+6480，
∵-20<0，14<x≤30，
∴当x=28时，w有最大值，最大值为6480，∵2560<6480，
∴当销售单价x为28元时，每天的销售利润最大，最大利润是6480元．
【点睛】本题主要考查了求一次函数解析式、二次函数的应用等知识点，根据题意得到每天的销售利润的关系式
是解答本题的关键；利用配方法或公式法求得二次函数的最值问题是常用的解题方法．
7．(1)y关于x的函数表达式为 ；
(2)该女生在此项考试中是得满分，理由见解析．
【分析】（1）根据题意设出y关于x的函数表达式，再用待定系数法求函数解析式即可；
（2）根据该同学此次投掷实心球的成绩就是实心球落地时的水平距离，令y=0，解方程即可求解．
（1）
解∶∵当水平距离为3m时，实心球行进至最高点3m处，
∴设 ，
∵ 经过点(0， )，
∴
解得∶
∴ ，
∴y关于x的函数表达式为 ；
（2）
解：该女生在此项考试中是得满分，理由如下∶
∵对于二次函数 ，当y=0时，有
∴ ，
解得∶ ， (舍去)，
∵ >6.70，
∴该女生在此项考试中是得满分．
【点睛】本题考查二次函数的应用和一元二次方程的解法，利用待定系数法求出二次函数的解析是是解题的关键．
8．(1)(2)球出手时，运动员跳离地面的高度是0.2m
(3)球在投出和到达篮筐前，与线绳之间的高度差的最大值是0.8m
【分析】（1）根据抛物线的顶点坐标设出抛物线的解析式为 ，把点B（1.5，3.05）代入求出a的值，
即可得出抛物线的解析式；
（2）把 代入 得出y的值，再根据运动员的身高和出手处到头顶的距离，即可得出结果；
（3）连接AB，在AB上方抛物线任意找一点C，过点C作 轴，交AB于点D，先求出直线AB的解析式，
然后设C的坐标为 ，则点D的坐标为 ，表示出CD的长度，求出最大值即可．
(1)
解：∵抛物线的顶点坐标为： ，
∴设抛物线的函数解析式为： ，
把点B（1.5，3.05）代入得： ，
解得： ，
∴抛物线的解析式为： ．
(2)
∵点A的横坐标为： ，
∴把 代入 得： ，
球出手时，运动员跳离地面的高度为： （m）．
(3)
连接AB，在AB上方抛物线任意找一点C，过点C作 轴，交AB于点D，如图所示：设直线AB的解析式为： ，把A（-2.5，2.25），B（1.5，3.05）代入得：
，解得： ，
∴直线AB的解析式为： ，
设点C的坐标为 ，则点D的坐标为 ，
∴
当 时，CD有最大值，且最大值为0.8，
故球在投出和到达篮筐前，与线绳之间的高度差的最大值为0.8m．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，设出抛物线解析式，根据篮筐的坐标确定抛物线解析式是解答本题的关键，
有一定难度，注意数学模型的建立．
9．
【分析】根据题意设抛物线表达式为顶点式： ，代入定点坐标M（2，10），把与y轴交点坐标代
入即可求出抛物线表达式．
【详解】解：设抛物线的表达式为 ．
由题意知，顶点M（2，10），
∴ ，
把 代入 ，得 ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】此题考查了求二次函数表达式，解题的关键是找出坐标代入求解．
10．(1)
(2)2或6m【分析】（1）根据顶点 ，设抛物线的表达式为 ，将点 ，代入即可求解；
（2）将 代入（1）的解析式，求得 的值，进而求与点 的距离即可求解．
（1）
解：根据题意可知抛物线的顶点为 ，
设抛物线的解析式为 ，
将点 代入，得 ，
解得 ，
抛物线的解析式为 ，
（2）
由 ，令 ，
得 ，
解得 ，
爸爸站在水柱正下方，且距喷水头P水平距离3m，
当她的头顶恰好接触到水柱时，她与爸爸的水平距离为 (m)，或 (m)．
【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，掌握顶点式求二次函数解析式是解题的关键．
11．C
【分析】根据平均每个月GDP增长的百分率为x，可得二月GDP总值为6（1+x），三月GDP总值为6（1+x）2，
即可解答．
【详解】解：设平均每个月GDP增长的百分率为x，
由题意可得：
y关于x的函数表达式是：y=6（1+x）2，
故选：C．
【点睛】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，正确理解增长率问题是解题的关键．
12．A
【分析】根据增长率的问题可直接进行求解．
【详解】解：由题意得： ，故A正确．
故选：Ａ．【点睛】本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数的应用是解题的关键．
13．A
【分析】根据题意结合图形，分情况讨论：
①0≤x≤2时，根据S APQ＝ AQ•AP，列出函数关系式，从而得到函数图像；
△
②2≤x≤4时，根据 列出函数关系式，从而得到函数图像，再结合四个选项即可
得解．
【详解】解：①当0≤x≤2时，
∵正方形的边长为2cm，
∴y＝S APQ＝ AQ•AP＝ x2；
△
②当2＜x≤4时，
y＝S APQ
△
＝ ，
＝2×2﹣ （4﹣x）2﹣ ×2×（x﹣2）﹣ ×2×（x﹣2）
＝﹣ x2+2x，
y与x之间的函数关系可以用两段二次函数图像表示，根据各选项，只有A选项图像符合．
故选：A．
【点睛】本题考查了动点问题的函数图像，根据题意，分别求出两个时间段的函数关系式是解题的关键．
14．D
【分析】分0≤t≤1和1＜t≤2两种情形，确定解析式，判断即可．
【详解】当0≤t≤1时，∵正方形ABCD 的边长为2，点O为正方形的中心，
∴直线EO垂直BC，
∴点P到直线BC的距离为2-t，BQ=t，
∴S= ；
当1＜t≤2时，∵正方形ABCD 的边长为2，点F分别为边 ， 中点，点O为正方形的中心，∴直线OF∥BC，
∴点P到直线BC的距离为1，BQ=t，
∴S= ；
故选D．
【点睛】本题考查了正方形的性质，二次函数的解析式，一次函数解析式，正确确定面积，从而确定解析式是解
题的关键．
15．B
【分析】根据题意求出抛物线的对称轴，即可得出顶点的横坐标，炮弹所在高度越高 的值越接近顶点的横坐标．
【详解】解： 此炮弹在第 秒与第 秒时的高度相等，
抛物线的对称轴是： ，
炮弹所在高度最高时：
时间是第8.5秒，
最接近 ，
故选B．
【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，在解题时要能根据题意求出抛物线的对称轴得出答案是本题的关键．
16．C
【分析】根据二次函数的性质，在顶点处取最值即可．
【详解】解：∵抛物线形水柱，其解析式为y＝﹣（x﹣2）2+6，
∵a=-1＜0
∴当x=2时，水柱的最大高度是：6．
故选C．
【点睛】本题考查二次函数的实际应用—喷水问题．根据二次函数的解析式得到抛物线顶点坐标是解决此类问题
的关键．
17．(1)
(2)1200平方米
【分析】（1）由矩形的面积公式写出函数解析式即可；
（2）利用第（1）问的函数解析式，由二次函数的性质即可解决问题．
（1）
解：∵BC长为x米，∴AB=CD= ，
∴由矩形的面积公式得： ，∴y与x的函数关系式为 ；
（2）
解：由（1）得； ，
∵﹣ ＜0，抛物线开口向下，对称轴为直线x=50，
∴当x＜50时，y随x的增大而增大，
∵AD≤MN，
∴x≤a=40，
∴当x=40时，y有最大值，最大值为1200，
∴若a=40矩形菜园ABCD面积的最大值为1200平方米．
【点睛】本题考查二次函数的应用，关键是根据数量关系写出函数解析式．
18．(1)55元
(2) ，最大值是5000
(3)120或121或122
【分析】（1）售价每提高1元/盒，日销售量将减少2盒，某日销售量为90盒，销售量减少则销售价提高了，根
据题意可以求出每盒提高多少元，再加上原售价，就可求出该日的售价；
（2）根据销售额等于销售价乘以销售量，列出函数关系式，根据二次函数的性质即可求出销售额的最大值；
（3）根据销售额与销售量的函数关系，以及支付租金等关系，列出关于租金的不等式关系，根据题意，即可求出
符合条件的 值．
（1）
解： ，该日每盒的售价是55元．
（2）
解： ，
当 时，W取到最大值是5000．
（3）
解：支付店租m元后的收入是 ，
∵最大日收入不超过4880元，
∴ 解得： ，
∵只有5种不同的单价使日收入不少于4870元，∴ 解得 ，
∴故符合条件的m的值是120或121或122．
【点睛】本题主要考查二次函数在销售问题中的运用．根据题意找出题意中的数量关系，列出方程或二次函数，
再根据二次函数的性质即可求出答案．掌握销售问题中的数量关系，以及二次函数的性质是解题的关键．
19．D
【分析】如图，若取拱形门地面上两点的连线作x轴，两点的中点为坐标原点建立平面直角坐标系，则A（96，
0），可设抛物线的解析式为 ，将点A坐标代入求解即可．
【详解】解：如图，若取拱形门地面上两点的连线作x轴，两点的中点为坐标原点建立平面直角坐标系，则A
（96，0），
可设抛物线的解析式为 ，
将A（96，0）代入，得： ，
解得： ，
所以，该抛物线的解析式为 ，
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数的实际应用，涉及求抛物线的解析式，理解题意，建立适当平面直角坐标系，将实际
问题转化为数学知识求解是解答的关键．
20．D
【分析】依据正方形的面积公式即可求解．
【详解】∵两个正方形的周长和是10，如果其中一个正方形的边长为 ，
∴另一个正方形的边长为 ，
∴这两个正方形的面积的和S关于 的函数关系式为 ，
故选：D．
【点睛】此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，解决本题的难点是求得另一正方形的边长，根据题意，
找到所求量的等量关系是解决问题的关键．
21．B【分析】根据平移过程，可分三种情况，当 时，当 时，当 时，利用直角三角形的性质及
面积公式分别写出各种情况下y与x的函数关系式，再结合函数图象即可求解．
【详解】过点C作CM⊥AB于N， ，
在等腰 中， ，
，
①当 时，如图， ，
，
，
∴ ，y随x的增大而增大；
②当 时，如图，
，
∴当 时，y是一个定值为1；
③当 时，如图， ，
，
,
当x=3，y=1，当3<x<4，y随x的增大而减小，当x=4，y=0，结合ABCD选项的图象，
故选：B．
【点睛】本题考查了动点函数问题，涉及二次函数的图象及性质，能够准确理解题意并分情况讨论是解题的关键．
22．C
【分析】联立两函数解析式，求出交点坐标即可判定A；将解析式化成顶点式，求出对称轴，根据二次函数性质
判断B；求出当y=7.5时，x的值，判定C；设抛物线上一点A(x, 4x- x2)，过点A作AB⊥x轴于C，交直线y= x
于B，求得AB=4x- x2- =- x2- x=- (x- )2+ ，根据二次函数的性质可判断D．
【详解】解：联立两函数解析式，得
，解得： 或 ，
则小球落地点距O点水平距离为7米，
故A选项不符合题意；
∵ ，
则抛物线的对称轴为x=4，
∵ <0，
∴当x＞4时，y随x的增大而减小，
即小球距O点水平距离超过4米呈下降趋势，
故B选项不符合题意；
当y=7.5时，7.5=4x- x2，
整理得x2-8x+15=0，
解得，x=3，x=5，
1 2
∴当小球抛出高度达到7.5m时，小球水平距O点水平距离为3m或5m，故此选项符合题意；
如图，设抛物线上一点A(x, 4x- x2)，过点A作AB⊥x轴于C，交直线y= x于B，∴B(x, )，
∴AB=4x- x2- =- x2 x=- (x- )2+ ，
∵ <0，
∴当x= 时，AB有最大值，最大值= ，
即小球距斜坡的最大铅直高度为 ，
故D选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查的是二次函数的应用和直线与抛物线的交点，掌握二次函数的性质是解题的关键．
23．A
【分析】选项A、B、C可直接由函数图象中的信息分析得出答案；选项D可由待定系数法求得函数解析式，再将
t＝1.5s代入计算，即可作出判断．
【详解】解：A、由图象可知，小球在空中达到的最大高度为40m，则小球在空中经过的路程一定大于40m，故选
项A错误；
B、由图象可知，小球6s时落地，故小球运动的时间为6s，故选项B正确；
C、小球抛出3秒时达到最高点，即速度为0，故选项C正确；
D、设函数解析式为 ，将（0，0）代入得：
，
解得 ，
∴函数解析式为 ，
∴当t＝1.5s时， ，∴选项D正确．
故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数在物体运动中的应用，会用待定系数法求函数解析式并数形结合进行分析是解题的
关键．
24．C
【分析】利用待定系数法求出A、C的坐标，可求答案．
【详解】解：当y=14时， ，
解得 ， ，
∴A（ ，14），C（ ，14），
∴AC= ．
故选：C．
【点睛】本题是关于二次函数应用题，主要考查了二次函数图象和性质，待定系数法，熟练掌握用待定系数法求
点的坐标是解题的关键
25．D
【分析】根据函数的图象中的信息判断即可．
【详解】①由图象知小球在空中达到的最大高度是 ；故①错误；
②小球抛出3秒后，速度越来越快；故②正确；
③小球抛出3秒时达到最高点即速度为0；故③正确；
④设函数解析式为： ，
把 代入得 ，解得 ，
∴函数解析式为 ，
把 代入解析式得， ，
解得： 或 ，
∴小球的高度 时， 或 ，故④错误；
故选D．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，解此题的关键是正确的理解题意
26．
【分析】先根据图像确定顶点坐标是（15，9），然后再利用顶点式求解析式，最后根据图像确定x的取值范围即可．
【详解】解：由函数图像可得该抛物线的顶点坐标是（15，9）
设解析式是：y＝a（x﹣15）2+9，
根据题意得：225a+9＝0，解得a＝﹣ ．
∴函数关系式y＝﹣ （x﹣15）2+9，
由图像可以看出0≤x≤30．
故答案为：y＝﹣ （x﹣15）2+9，0≤x≤30．
【点睛】本题主要考查了二次函数的应用、利用待定系数法求二次函数解析式等知识点，如果已知三点坐标可以
利用一股式求解，若已知对称轴或顶点坐标利用顶点式求解．
27．32
【分析】设与墙垂直的一边长为xm，然后根据矩形面积列出函数关系式，从而利用二次函数的性质分析其最值．
【详解】解：设与墙垂直的一边长为xm，则与墙平行的一边长为（16-2x）m，
∴矩形围栏的面积为
∵ 墙长9m
∴16-2x≤9 即 x≥
∴当x=4时，矩形有最大面积为 ，
故答案为：32．
【点睛】本题考查二次函数的应用，准确识图，理解二次函数的性质是解题关键．
28． y＝﹣（x﹣25）2+25 24
【分析】本题是营销问题，基本等量关系：利润 每件利润 销售量，每件利润 每件售价 每件进价．再根据所
列二次函数求最大值．
【详解】解：设最大利润为 元，
则 ，
，
当 时，二次函数有最大值24，
故答案是： ；24．
【点睛】本题考查了把实际问题转化为二次函数，解题的关键是利用二次函数的性质进行实际应用．
29．8
【分析】当C点横坐标最小时，抛物线顶点必为A（1，4），根据此时抛物线的对称轴和对称性，可判断出CD间的距离；当D点横坐标最大时，抛物线顶点为B（4，4），再根据此时抛物线的对称轴及CD的长，可判断出D点
横坐标最大值．
【详解】解：当点C横坐标为−3时，抛物线顶点为A（1，4），对称轴为x=1，
此时D点横坐标为5，则CD=8，
当抛物线顶点为B（4，4）时，抛物线对称轴为x=4，
故C（0，0），D（8，0），
此时D点横坐标最大，故点D的横坐标最大值为8．
故答案为：8．
【点睛】本题主要考查二次函数的平移及性质，熟练掌握二次函数的性质并明确CD的长度固定是解此题的关键．
30． （或 ）
【分析】根据题意以B为原点、AB所在水平线为x轴建立坐标系，即可求出解析式．
【详解】解：以B为原点、AB所在水平线为x轴建立坐标系，
由题意得A（-4，0），顶点（-2，2），
设抛物线的解析式为：
把A（-4，0）代入，得
4a＝﹣2，解得a ，
所以抛物线解析式为 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，解决本题的关键是根据题意建立平面直角坐标系．
31．121
【分析】利用待定系数法求一次函数解析式，然后根据“利润=单价商品利润×销售量”列出二次函数关系式，从
而根据二次函数的性质分析其最值．
【详解】解：当 时，设 ，把（10，20），（20，10）代入可得：
，
解得 ，
∴每天的销售量y（个）与销售价格x（元/个）的函数解析式为 ，
设该食品零售店每天销售这款冷饮产品的利润为w元，，
∵ 1<0，
∴当 时，w有最大值为121，
故答案为：121．
【点睛】本题考查二次函数的应用，理解题意，掌握“利润=单价商品利润×销售量”的等量关系及二次函数的性
质是解题关键．
32．
【分析】根据题意，列出y关于x的函数解析式即可；
【详解】解：∵ 是等腰直角三角形，
∴∠B=45°，
∵四边形DEFG是矩形，
∴BE⊥DE，
∴BE=DE，
∴
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查二次函数的应用，关键在于根据题意列出二次函数关系式．
33．(1)
(2)销售价格定为40元，日销售利润最大
【分析】（1）根据表中销售价格每增加 元 千克，日销售量就减少 千克，由此即可求出答案；
（2）因为每增加5元 千克，日销售量就减少，利用函数解析式，即可求出最大值．
（1）
解：假设 与 成一次函数关系，设函数关系式为 ，
∴ ，解得： ， ，
∴ ，
检验：当 ， ；当 ， ；当 ， ，符合一次函数解析式，
故函数关系为 ；
（2）
解：设日销售利润 ，
即 ，∴当 时， 有最大值，最大值为 ，
故这批农产品的销售价格定为 元，才能使日销售利润最大．
【点睛】本题主要考查一次函数的实际运用，理解题目表格中的数据之间的关系并找出数据之间的规律是解题的
关键．
34．(1)
(2)这批农产品的销售价格定为40元，才能使日销售利润最大
(3)a的值为2．
【分析】（1）首先根据表中的数据，可猜想y与x是一次函数关系，任选两点求表达式，再验证猜想的正确性；
（2）根据题意列出日销售利润w与销售价格x之间的函数关系式，根据二次函数的性质确定最大值即可；
（3）根据题意列出日销售利润 与销售价格x之间的函数关系式，并求得抛物线的对称轴，再分两种情况进行讨
论，依据二次函数的性质求得a的值．
（1）
解：由表格的数据可知：p与x成一次函数关系，设函数关系式为p=kx+b，
则 ，
解得：k=-30，b=1500，
∴p=-30x+1500，
∴所求的函数关系为p=-30x+1500；
（2）
解：设日销售利润w=p（x-30）=（-30x+1500）（x-30），
即 ，
∵-30<0，
∴当x=40时，w有最大值3000元，
故这批农产品的销售价格定为40元，才能使日销售利润最大；
（3）
解：日获利 =p（x-30-a）=（-30x+1500）（x-30-a），
即 ，
对称轴为 ，
①若a＞10，则当x=45时， 有最大值，
即 =2250-150a＜2430（不合题意）；
②若0＜a≤10，则当x=40+ a时， 有最大值，将x=40+ a代入，可得 ，
当 =2430时， ，
解得 =2， =38（舍去），
综上所述，a的值为2．
【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，解题时要利用图表中的信息，学会用待定系数法求解函数解析式，
并将实际问题转化为求函数最值问题，从而来解决实际问题．
35．(1)
(2)此时完成的建筑面积为20 或50 ；
(3)
【分析】（1）根据题意得出 ，然后利用待定系数法求解即可；
（2）根据每平方米的平均成本为12万元可知总成本为12x万元，然后列方程求解即可；
（3）求出纯利润为 ，然后根据二次函数的最值问题结合题意列方程组解答即可．
（1）
解：∵新型墙体材料成本与建筑面积x（m2）成正比，新型防水保温隔热密封材料成本与建筑面积x（m2）的平方
成正比，
∴设新型墙体材料成本 ，新型防水保温隔热密封材料成本 ，
∴ ，
把x＝20，y＝240；x＝50，y＝600代入得： ，
解得： ，
∴新型建筑材料总成本y与建筑面积x的函数表达式为： ；
（2）由题意得： ，
解得： ， ，
答：每平方米的平均成本为12万元，此时完成的建筑面积为20 或50 ；
（3）
∵每平方米的毛利润为Q（万元）且有Q＝kx+b（k≠0），
∴总的毛利润为 ，
总的纯利润为： ，
∵当x＝50时，Q为12.5万元，且此时开发商总纯利润W最大，
∴ ，
解得： ．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，一元二次方程的应用，二次函数的最值问题等知识，正确理
解题意，列出函数关系式及一元二次方程是解答本题的关键．
36．(1)220；
(2)当FC的长为 m时，一块木板需用墙纸的费用最省，最省是55元；
(3)当正方形EFCG的边长为 时，墙纸费用最省．
【分析】（1）由CF＝1，BC＝2，得到BF＝1，然后分别计算出 ， ， ，再乘以它们的单价即可
得到一块木板用墙纸的费用；
（2）设FC＝xm，则BF＝（1−x）m，总费用为y元，然后分别计算出 ， ， ，再乘以它们的单
价即可得到y关于x的二次函数解析式，再根据二次函数的最值问题求解即可．
（3）设FC＝xm，则BF＝（a−x）m，总费用为y元，同（2）求出 ，再根据二次函数的最值
问题求解即可．
（1）解：∵CF＝1m，BC＝2m，
∴BF＝1m，
∴ ， ＝1 ， ＝4−1−1＝2 ，
∴一块木板用墙纸的费用为：1×60＋1×80＋2×40＝220（元），
故答案为：220；
（2）
设FC＝xm，则BF＝（1−x）m，总费用为y元，
∴ ， ， ＝ ，
∴ ，
∴当x＝ 时， ＝55元，
答：当FC的长为 m时，一块木板需用墙纸的费用最省，最省是55元；
（3）
设FC＝xm，则BF＝（a−x）m，总费用为y元，
∴ ， ， ＝ ，
∴ ，
∴当x＝ 时，y有最小值，即墙纸费用最省，
答：当正方形EFCG的边长为 时，墙纸费用最省．
【点睛】本题考查了三角形的面积公式的运用，正方形的面积公式的运用，二次函数的实际应用，掌握总价＝单
价×数量，并能正确列出二次函数的解析式是解题关键．
37．(1) ， ，
(2)490人
(3)从一开始应该至少增加3个检测点
【分析】（1）根据题意列方程，待定系数法求解析式即可求解；
（2）根据排队人数=累计人数-已检测人数，首先找到排队人数和时间的关系，再根据二次函数和一次函数的性质，
找到排队人数最多时有多少人；8分钟后入校园人数不再增加，检测完所有排队同学即完成所有同学体温检测；
（3）设从一开始就应该增加m个检测点，根据不等关系“要在20分钟内让全部学生完成体温检测”，建立关于m的一元一次不等式，结合m为整数可得到结果．
（1）
（1）将 ， ， 代入 ，
得 ，
解之得 ， ， ；
（2）
设排队人数为w，由（1）知 ，
由题意可知， ，
当 时， ，
∴ 时，排队人数 的最大值是490人，
当 时， ， ，
∵ 随自变量 的增大而减小，
∴ ，
由 得，排队人数最大值是490人；
（3）
在（2）的条件下，全部学生完成核酸检测时间 （分钟）
设从一开始增加n个检测点，则 ，解得 ，n为整数，
∴从一开始应该至少增加3个检测点．
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的应用，二次函数的性质，一次函数的性质，一元一次不等式
的应用，理解题意，求出y与x之间的函数关系式是本题的关键
38．(1)
(2) 米
【分析】（1）利用解析式经过顶点坐标以及图象上(0,1)，求出抛物线的解析式，进而即可求解抛物线水柱的解析
式；（2）求出解析式与x轴交点坐标，即可得出答案．
（1）
解：根据抛物线经过 ，
设 ，
又∵抛物线经过 ，
将 代入 得，
，
解得 ，
∴抛物线水柱的解析式为 ；
（2）
根据题意，当 时，解得 ， （不合题意，舍去），
答：水柱落水处离水池中心的距离为 米．
【点睛】此题主要考查了二次函数的应用，根据已知得出抛物线解析式是解题关键．
39．(1)抛物线的解析式为 （或 ）
(2)
(3)能，理由见解析
(4)
【分析】（1）根据顶点坐标可设抛物线的解析式为 ，再将点 代入即可得；
（2）设点 的坐标为 ，将其代入抛物线的解析式求出 的值即可；
（3）先根据一次函数的解析式求出点 的坐标，再求出当 时，抛物线的函数值，由此即可得出答案；
（4）设小球 在飞行的过程中离斜坡 的高度为 米，先根据抛物线和一次函数的解析式可得出 关于 的函数关系式，再利用二次函数的性质求解即可得．
（1）解：由题意，设抛物线的解析式为 ，将点 代入得： ，解得 ，则抛物线
的解析式为 （或 ）．
（2）解： 点 在一次函数 上， 设点 的坐标为 ，将点 代入 得：
，解得 或 （不符题意，舍去），即小球在斜坡上的落点 的垂直高度为 米，故
答案为： ．
（3）解：能，理由如下：对于一次函数 ，当 时， ，即 ，对于抛物线
，当 时， ，因为 ，所以小球 能飞过这个广告牌．
（4）解：设小球 在飞行的过程中离斜坡 的高度为 米，则 ，整理得：
，由二次函数的性质可知，当 时， 取得最大值，最大值为 ，答：小球 在飞行的过
程中离斜坡 的最大高度为 ．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质、求二次函数的解析式，熟练掌握待定系数法是解题关键．
40．(1)S=t2－4t+24（0≤t≤4）
(2)t=1或t=3
(3)t=2时，S有最小值20
【分析】（1）根据S=S ABC－S PBQ列式求解即可；
（2）把S=21代入函数关△系式得一△元二次方程，求解方程即可；
（3）把二次函数关系式代成顶点式即可得到答案．
（1）∵在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，∴运动ts时，AP=2t，BP=8－2t，BQ=t∴S=S ABC－
△
S PBQ= ×AB×CB－ ×PB×QB= ×8×6－ ×（8－2t）×t=t2－4t+24（0≤t≤4）
△
（2）当S=21时，则t2－4t+24=21，解得t=1或t=3
（3）∵S= t2－4t+24=(t-2)2+20，∴当t=2时，S有最小值20
【点睛】本题主要考查了图形中的二次函数问题，以及解一元二次方程，正确掌握树敌太多一口价解答本题的关键．
