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22.3 实际问题与二次函数
考点一．利用二次函数解决利润问题
利润问题主要涉及两个等量关系：
利润=售价-进价；
总利润=单件商品的利润×销售量．
在日常生活中，经常遇到求最大利润、最高产量等问题，在解答此类问题时，应建立函数模型，把它们转化为
求函数的最值问题，然后列出相应的函数解析式，从而解决问题．
建立二次函数模型解决实际问题的一般步骤：
（1）审题；
（2）找出题中的已知量和未知量；
（3）用一个未知量表示题中的其他未知量；
（4）找出等量关系并列出函数解析式；
（5）利用二次函数的图象及性质去分析、解决实际问题．
考点二．利用二次函数求图形面积的最值
（1）二次函数的最值：一般地，当a>0（a<0）时，抛物线y=ax2+bx+c的顶点是最低（最高）点，也就是说，
当x= 时，二次函数y=ax2+bx+c有最小（最大）值，最小（最大）值为 ．
（2）应用二次函数解决实际问题的基本思路：
①理解题意；②分析问题中的变量和常量以及它们之间的关系；③用函数解析式表示它们之间的关系；④用数
学方法求解；⑤检验结果的合理性．
考点三．利用二次函数解决抛物线形问题
在实际生活中，如拱门、桥洞等问题，都可以通过建立二次函数模型来解答．在解答此类问题的过程中，要运
用数形结合思想和函数思想，在图形上先建立合适的平面直角坐标系，再根据题意设出适当的函数解析式，然
后由已知点的坐标，利用待定系数法求出函数解析式，最后根据函数解析式来分析解答问题．题型一：拱桥问题
1．（2023·河北·九年级专题练习）某池塘的截面如图所示，池底呈抛物线形，在图中建立平面直角坐标系，并标
出相关数据（单位：m）．有下列结论：
① ；②池底所在抛物线的解析式为 ；
③池塘最深处到水面CD的距离为1.8m；④若池塘中水面的宽度减少为原来的一半，
则最深处到水面的距离减少为原来的 ．其中结论正确的是（ ）
A．①② B．②④ C．③④ D．①④
2．（2022·江苏·九年级专题练习）如图是拱形大桥的示意图，桥拱与桥面的交点为O，B，以点O为原点，水平直
线OB为x轴，建立平面直角坐标系，桥的拱形可以近似看成抛物线y=-0.01（x-20）2+4，桥拱与桥墩AC的交点C
恰好位于水面，且AC⊥x轴，若OA=5米，则桥面离水面的高度AC为（ ）
A． 米 B． 米 C． 米 D． 米
题型二：图形问题
3．（2022·广东·东莞外国语学校九年级期末）如图，用一段长为30 米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形苗圃园，
墙长为18 米，设这个苗圃园垂直于墙的一边AB的长为x 米．(1)若苗圃园的面积为72 平方米，求AB的长．
(2)当x为何值时，苗圃的面积最大？最大值为多少平方米？
4．（2022·浙江丽水·九年级期中）如图，某中学课外活动小组准备围建一个矩形苗圃园．其中一边靠墙，另外三
边用长为20米的篱笆围成．已知墙长为18米，设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为x米．
(1)若这个苗圃园的面积为S平方米，求出S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
(2)垂直于墙的一边的长为多少米时，这个苗圃园的面积最大，并求出这个最大面积．
题型三：销售问题
5．（2022·安徽淮南·九年级阶段练习）一商店销售某种商品平均每天可售出20件，每件盈利50元，为了扩大销
售，增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降
低一元，平均每天可多售出两件．
(1)若每件商品降价2元，则平均每天可售出 件；
(2)每件商品降价多少元时，该商店每天的销售利润为1600元；
(3)当每件商品降价多少元时，该商店每天的销售利润最大，最大值是多少？
6．（2022·四川·成都外国语学校九年级期中）某乡镇贸易公司开设了一家网店，销售当地某种农产品，已知该农
产品成本为每千克10元，调查发现，每天销售量y（kg）与销售单价x（元）满足如图所示的函数关系（其中
100，
∴w随着x的增大而增大，
∴当x=14时，w=4×640=2560元；
当146.70，
∴该女生在此项考试中是得满分．
【点睛】本题考查二次函数的应用和一元二次方程的解法，利用待定系数法求出二次函数的解析是是解题的关键．
8．(1)(2)球出手时，运动员跳离地面的高度是0.2m
(3)球在投出和到达篮筐前，与线绳之间的高度差的最大值是0.8m
【分析】（1）根据抛物线的顶点坐标设出抛物线的解析式为 ，把点B（1.5，3.05）代入求出a的值，
即可得出抛物线的解析式；
（2）把 代入 得出y的值，再根据运动员的身高和出手处到头顶的距离，即可得出结果；
（3）连接AB，在AB上方抛物线任意找一点C，过点C作 轴，交AB于点D，先求出直线AB的解析式，
然后设C的坐标为 ，则点D的坐标为 ，表示出CD的长度，求出最大值即可．
(1)
解：∵抛物线的顶点坐标为： ，
∴设抛物线的函数解析式为： ，
把点B（1.5，3.05）代入得： ，
解得： ，
∴抛物线的解析式为： ．
(2)
∵点A的横坐标为： ，
∴把 代入 得： ，
球出手时，运动员跳离地面的高度为： （m）．
(3)
连接AB，在AB上方抛物线任意找一点C，过点C作 轴，交AB于点D，如图所示：设直线AB的解析式为： ，把A（-2.5，2.25），B（1.5，3.05）代入得：
，解得： ，
∴直线AB的解析式为： ，
设点C的坐标为 ，则点D的坐标为 ，
∴
当 时，CD有最大值，且最大值为0.8，
故球在投出和到达篮筐前，与线绳之间的高度差的最大值为0.8m．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，设出抛物线解析式，根据篮筐的坐标确定抛物线解析式是解答本题的关键，
有一定难度，注意数学模型的建立．
9．
【分析】根据题意设抛物线表达式为顶点式： ，代入定点坐标M（2，10），把与y轴交点坐标代
入即可求出抛物线表达式．
【详解】解：设抛物线的表达式为 ．
由题意知，顶点M（2，10），
∴ ，
把 代入 ，得 ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】此题考查了求二次函数表达式，解题的关键是找出坐标代入求解．
10．(1)
(2)2或6m【分析】（1）根据顶点 ，设抛物线的表达式为 ，将点 ，代入即可求解；
（2）将 代入（1）的解析式，求得 的值，进而求与点 的距离即可求解．
（1）
解：根据题意可知抛物线的顶点为 ，
设抛物线的解析式为 ，
将点 代入，得 ，
解得 ，
抛物线的解析式为 ，
（2）
由 ，令 ，
得 ，
解得 ，
爸爸站在水柱正下方，且距喷水头P水平距离3m，
当她的头顶恰好接触到水柱时，她与爸爸的水平距离为 (m)，或 (m)．
【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，掌握顶点式求二次函数解析式是解题的关键．
11．C
【分析】根据平均每个月GDP增长的百分率为x，可得二月GDP总值为6（1+x），三月GDP总值为6（1+x）2，
即可解答．
【详解】解：设平均每个月GDP增长的百分率为x，
由题意可得：
y关于x的函数表达式是：y=6（1+x）2，
故选：C．
【点睛】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，正确理解增长率问题是解题的关键．
12．A
【分析】根据增长率的问题可直接进行求解．
【详解】解：由题意得： ，故A正确．
故选：Ａ．【点睛】本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数的应用是解题的关键．
13．A
【分析】根据题意结合图形，分情况讨论：
①0≤x≤2时，根据S APQ＝ AQ•AP，列出函数关系式，从而得到函数图像；
△
②2≤x≤4时，根据 列出函数关系式，从而得到函数图像，再结合四个选项即可
得解．
【详解】解：①当0≤x≤2时，
∵正方形的边长为2cm，
∴y＝S APQ＝ AQ•AP＝ x2；
△
②当2＜x≤4时，
y＝S APQ
△
＝ ，
＝2×2﹣ （4﹣x）2﹣ ×2×（x﹣2）﹣ ×2×（x﹣2）
＝﹣ x2+2x，
y与x之间的函数关系可以用两段二次函数图像表示，根据各选项，只有A选项图像符合．
故选：A．
【点睛】本题考查了动点问题的函数图像，根据题意，分别求出两个时间段的函数关系式是解题的关键．
14．D
【分析】分0≤t≤1和1＜t≤2两种情形，确定解析式，判断即可．
【详解】当0≤t≤1时，∵正方形ABCD 的边长为2，点O为正方形的中心，
∴直线EO垂直BC，
∴点P到直线BC的距离为2-t，BQ=t，
∴S= ；
当1＜t≤2时，∵正方形ABCD 的边长为2，点F分别为边 ， 中点，点O为正方形的中心，∴直线OF∥BC，
∴点P到直线BC的距离为1，BQ=t，
∴S= ；
故选D．
【点睛】本题考查了正方形的性质，二次函数的解析式，一次函数解析式，正确确定面积，从而确定解析式是解
题的关键．
15．B
【分析】根据题意求出抛物线的对称轴，即可得出顶点的横坐标，炮弹所在高度越高 的值越接近顶点的横坐标．
【详解】解： 此炮弹在第 秒与第 秒时的高度相等，
抛物线的对称轴是： ，
炮弹所在高度最高时：
时间是第8.5秒，
最接近 ，
故选B．
【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，在解题时要能根据题意求出抛物线的对称轴得出答案是本题的关键．
16．C
【分析】根据二次函数的性质，在顶点处取最值即可．
【详解】解：∵抛物线形水柱，其解析式为y＝﹣（x﹣2）2+6，
∵a=-1＜0
∴当x=2时，水柱的最大高度是：6．
故选C．
【点睛】本题考查二次函数的实际应用—喷水问题．根据二次函数的解析式得到抛物线顶点坐标是解决此类问题
的关键．
17．(1)
(2)1200平方米
【分析】（1）由矩形的面积公式写出函数解析式即可；
（2）利用第（1）问的函数解析式，由二次函数的性质即可解决问题．
（1）
解：∵BC长为x米，∴AB=CD= ，
∴由矩形的面积公式得： ，∴y与x的函数关系式为 ；
（2）
解：由（1）得； ，
∵﹣ ＜0，抛物线开口向下，对称轴为直线x=50，
∴当x＜50时，y随x的增大而增大，
∵AD≤MN，
∴x≤a=40，
∴当x=40时，y有最大值，最大值为1200，
∴若a=40矩形菜园ABCD面积的最大值为1200平方米．
【点睛】本题考查二次函数的应用，关键是根据数量关系写出函数解析式．
18．(1)55元
(2) ，最大值是5000
(3)120或121或122
【分析】（1）售价每提高1元/盒，日销售量将减少2盒，某日销售量为90盒，销售量减少则销售价提高了，根
据题意可以求出每盒提高多少元，再加上原售价，就可求出该日的售价；
（2）根据销售额等于销售价乘以销售量，列出函数关系式，根据二次函数的性质即可求出销售额的最大值；
（3）根据销售额与销售量的函数关系，以及支付租金等关系，列出关于租金的不等式关系，根据题意，即可求出
符合条件的 值．
（1）
解： ，该日每盒的售价是55元．
（2）
解： ，
当 时，W取到最大值是5000．
（3）
解：支付店租m元后的收入是 ，
∵最大日收入不超过4880元，
∴ 解得： ，
∵只有5种不同的单价使日收入不少于4870元，∴ 解得 ，
∴故符合条件的m的值是120或121或122．
【点睛】本题主要考查二次函数在销售问题中的运用．根据题意找出题意中的数量关系，列出方程或二次函数，
再根据二次函数的性质即可求出答案．掌握销售问题中的数量关系，以及二次函数的性质是解题的关键．
19．D
【分析】如图，若取拱形门地面上两点的连线作x轴，两点的中点为坐标原点建立平面直角坐标系，则A（96，
0），可设抛物线的解析式为 ，将点A坐标代入求解即可．
【详解】解：如图，若取拱形门地面上两点的连线作x轴，两点的中点为坐标原点建立平面直角坐标系，则A
（96，0），
可设抛物线的解析式为 ，
将A（96，0）代入，得： ，
解得： ，
所以，该抛物线的解析式为 ，
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数的实际应用，涉及求抛物线的解析式，理解题意，建立适当平面直角坐标系，将实际
问题转化为数学知识求解是解答的关键．
20．D
【分析】依据正方形的面积公式即可求解．
【详解】∵两个正方形的周长和是10，如果其中一个正方形的边长为 ，
∴另一个正方形的边长为 ，
∴这两个正方形的面积的和S关于 的函数关系式为 ，
故选：D．
【点睛】此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，解决本题的难点是求得另一正方形的边长，根据题意，
找到所求量的等量关系是解决问题的关键．
21．B【分析】根据平移过程，可分三种情况，当 时，当 时，当 时，利用直角三角形的性质及
面积公式分别写出各种情况下y与x的函数关系式，再结合函数图象即可求解．
【详解】过点C作CM⊥AB于N， ，
在等腰 中， ，
，
①当 时，如图， ，
，
，
∴ ，y随x的增大而增大；
②当 时，如图，
，
∴当 时，y是一个定值为1；
③当 时，如图， ，
，
,
当x=3，y=1，当3
