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第 36 讲 平面向量的数量积
1、向量的夹角
(1)定义：已知两个非零向量a和b，如图所示，作OA＝a，OB＝b，则
∠AOB＝θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a与b的夹角，记作〈a，b〉．
(2)范围：夹角θ的范围是[0，π]．
当θ＝0时，两向量a，b共线且同向；
当θ＝时，两向量a，b相互垂直，记作a⊥b；
当θ＝π时，两向量a，b共线但反向．
2、平面向量数量积的定义
已知两个非零向量a与b，我们把数量|a||b|cos θ叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|
a||b|·cos θ，其中θ是a与b的夹角．
规定：零向量与任一向量的数量积为零．
3、平面向量数量积的几何意义
(1)一个向量在另一个向量方向上的投影
设θ是a，b的夹角，则|b|cos θ叫做向量b在向量a的方向上的投影，|a|cos θ叫做向量a在向量b
的方向上的投影．
(2)a·b的几何意义
数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积．
4、向量数量积的运算律
(1)交换律：a·b＝b·a.
(2)数乘结合律：(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．
(3)分配律：(a＋b)·c＝a·c＋b·c.向量数量积的运算不满足乘法结合律，即(a·b)·c不一定等于
a·(b·c)，这是由于(a·b)·c表示一个与c共线的向量，a·(b·c)表示一个与a共线的向量，而c与a不一定
共线．
5、平面向量数量积的性质
设a，b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量，θ是a与e的夹角，则
(1)e·a＝a·e＝|a|cos θ.
(2)a⊥b⇔a·b＝0.
(3)当a与b同向时，a·b＝|a||b|；当a与b反向时，a·b＝－|a||b|.
特别地，a·a＝|a|2或|a|＝.
(4)cos θ＝.(5)|a·b|≤|a||b|.
6、平面向量数量积的坐标表示
已知两个非零向量a＝(x，y)，b＝(x，y)，θ为a与b的夹角，则
1 1 2 2
(1)|a|＝； (2)a·b＝xx＋yy；
1 2 1 2
(3)a⊥b⇔xx＋yy＝0;_ (4)cos θ＝.
1 2 1 2
1、（2023年高考数学真题完全解读（新高考I卷））已知向量 ，若 ，
则（ ）
A． B．
C． D．
2、（2023 年普通高等学校招生全国统一考试（全国甲卷）） 已知向量 ，则
（ ）
A. B. C. D.
3、（2023年普通高等学校招生全国统一考试（全国乙卷）） 正方形 的边长是2， 是 的中
点，则 （ ）
A. B. 3 C. D. 5
4、（2023年全国新高考Ⅱ卷） 已知向量 ， 满足 ， ，则 ______．
5、22年全国乙卷】已知向量⃑a,⃑b满足|⃑a|=1,|⃑b|=√3,|⃑a−2⃑b|=3，则⃑a⋅⃑b=（ ）
A．−2 B．−1 C．1 D．2
6、【2020年新课标2卷文科】已知单位向量 ， 的夹角为60°，则在下列向量中，与 垂直的是
（ ）
A． B． C． D．7、【2020年新课标3卷理科】已知向量 ， 满足 ， ， ，则
（ ）
A． B． C． D．
1、已知a·b＝－12，|a|＝4，a和b的夹角为135°，则|b|的值为( )
A. 12 B. 6 C. 3 D. 3
2、（多选）（2022·广州三模）已知向量a＝(3，－1)，b＝(1，－2)，则下列结论中正确的是( )
A. a·b＝5 B. |a－b|＝
C. 〈a，b〉＝ D. a∥b
3、（2022·广州三模）已知a，b为单位向量，若 |a－2b|＝，则|a＋2b|＝ ．
4、已知a＝(－2,1)，b＝(k，－3)，c＝(1,2)，若(a－2b)⊥c，则与b共线的单位向量为( )
A.或
B.或
C.
D.
考向一 平面向量的夹角及模的问题
例1、（1）（届山东省德州市高三上期末）已知向量 ， 满足 ， ， ，
则 与 的夹角为（ ）
A． B． C． D．
a 2, b 4 b 4ab
（2）（2021·山东日照市·高三二模）已知 ，当 时，向量a与b的夹角为（
）
2 3
A．6 B． 4 C． 3 D． 4
（3）（2022·河北深州市中学高三期末）若向量 ， 满足 ，且 ，则 ______．
变式1、已知|a|＝1，|b|＝2，a＋b＝（1，），则向量a，b的夹角为 ．变式2、 若非零向量a，b满足|a|＝|b|，且(a－b)⊥(3a＋2b)，则a与b的夹角为 .
变式3、已知向量a＝(k，3)，b＝(1，4)，c＝(2，1)，若2a－3b与c的夹角为钝角，则k的取值范围是
．
.
变式4、（2019春•泉州期末）（多选题） 中， ， ， ，在下列命题中，是真命
题的有
A．若 ，则 为锐角三角形
B．若 ．则 为直角三角形
C．若 ，则 为等腰三角形
D．若 ，则 为直角三角形
方法总结：求向量的夹角，有两种方法：
(1)定义法：当a，b是非坐标形式时，求a与b的夹角θ，需求出a·b及|a|，|b|或得出它们之间的关
系，由cos θ＝求得．
(2)公式法：若已知a＝(x ，y )与b＝(x ，y )，则cos〈a，b〉＝，〈a，b〉∈[0，π]．
1 1 2 2
考向二 平面向量中的垂直
r
a (2,1) b =(0,m) c (2,4) (a b)c
例2、（2021·山东日照市·高三其他模拟）已知向量 ， ， ，且 ，
m
则实数 的值为（ ）
4 3 2 1
A． B． C． D．
变式1、(2021·宜昌二模)已知△ABC中，∠A＝120°，且AB＝3，AC＝4，若AP＝λAB＋AC，且AP⊥BC，
则实数λ的值为( )
A. B. C.6 D.
变式2、已知平面向量a＝(1，x)，b＝(2x＋3，－x)，x∈R.
(1) 若a⊥b，求x的值；
(2) 若a∥b，求|a－b|的值．方法总结：平面向量的垂直问题，有两个类型：
(1)利用坐标运算证明两个向量的垂直问题
若证明两个向量垂直，先根据共线、夹角等条件计算出这两个向量的坐标；然后根据数量积的坐标运
算公式，计算出这两个向量的数量积为0即可。
(2)已知两个向量的垂直关系，求解相关参数的值。
考向三 平面向量的数量积的运算
例3、（2022·湖北襄阳·高三期末）在 中， ， ，其中 ， ，
， ， ，则（ ）
A．当 时， B．当 时，
C．当 时， D．当 时，
变式1、（2022·湖北·高三期末）在 中， ，点E满足 ，则 （
）
A． B． C．3 D．6
变式2、如图，在△ABC中，AD⊥AB， BC＝BD，|AD|＝1，则AC·AD＝ ．
变式3、 在△ABC中，∠BAD＝60°，BC＝BD，|AD|＝1，AC·AD＝1，则|AB|＝ ．
方法总结：1.求向量的模的方法：(1)公式法，利用|a|＝及(a±b)2＝|a|2±2a·b＋|b|2，把向量的模的运算转
化为数量积运算；(2)几何法，利用向量的几何意义.
2.求向量模的最值(范围)的方法：(1)代数法，把所求的模表示成某个变量的函数，再用求最值的方法
求解；(2)几何法(数形结合法)，弄清所求的模表示的几何意义，结合动点表示的图形求解.
1、（2022·湖北·黄石市有色第一中学高三期末）已知 ， 为单位向量，且 ，则 ， 的夹角为（ ）
A． B． C． D．
2、（2022·山东淄博·高三期末）已知向量 、 满足 ，且 在 上的投影的数量为 ，则
（ ）
A． B． C． D．
3、（2022·山东青岛·高三期末）已知非零向量 满足： ，则 夹角 的值为（
）
A． B． C． D．
4、（2022·山东日照·高三期末）已知△ 是边长为1的等边三角形，点 分别是边 的中点，
且 ，则 的值为（ ）
A． B． C．1 D．
5、（2022·山东济南·高三期末）（多选题）已知平面向量 ， ，则下列说法正确的是（
）
A． B．
C．向量 与 的夹角为30° D．向量 在 上的投影向量为
6、（2022·湖北江岸·高三期末）（多选题）若 是 所在的平面内的点，且
下面给出的四个命题中，其中正确的是（ ）
A． B．C．点 ､ ､ … 一定在一条直线上 D． ､ 在向量 方向上的投影一定相等
