第24讲章末检测四（解析版）_2.2025数学总复习_2024年新高考资料_1.2024一轮复习_2024年高考数学一轮复习精品导学案（新高考）

第 24 讲 章末检测四 一、单选题 1、（2022·广东省阳春市第一中学10月月考）函数f(x)＝ex－ex，x∈ 的单调递增区间是（ ） A. (0，＋∞) B. (－∞，0) C. (－∞，1) D. (1，＋∞) 【答案】D 【解析】由题意知，f′(x)＝ex－e， 令f′(x)>0，解得x>1， 故 的单调增区间为 . 故选：D. 2、（深圳市罗湖区期末试题）已知 为偶函数，当 时， ，则曲线 在点 处的切线方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】设 ，则 ，由 为偶函数，且当 时， ， 可得 ，则 ， 则 ， 则曲线 在点 处的切线方程是 ，即 故选：C 3、（2022·江苏如皋·高三期末）已知函数f(x)＝x3＋ax2－x的图象在点A(1，f(1))处的切线方程为y＝4x－ 3，则函数y＝f(x)的极大值为（ ）A．1 B． C． D．－1 【答案】A 【解析】由由题意得 , 故 ，则 ， 所以 ，令 ， 则 ， ， 当 或 时， ；当 时， ， 故函数 在 时取得极大值为 ， 故选：A. 4、（东莞市高三期末试题） 如图，某公园需要修建一段围绕绿地的弯曲绿道（图中虚线）与两条直道 （图中实线）平滑连续（相切），已知环绕绿地的弯曲绿道为某三次函数图象的一部分，则该函数的解析 式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由题意设三次函数的解析式为 ，即 ， ， ∴ ，解得 ，∴ ， 故选：A． 5、(2022·江苏淮安协作体期中)已知函数f(x)的导函数的图象如右图所示，则下列结论正确的是( ) A．－3是f(x)的极小值点 B．－1是f(x)的极小值点 C．f(x)在区间(－∞，3)上单调递减 D．曲线y＝f(x)在x＝2处的切线斜率小于零 【答案】D 【解析】由图象可知，函数f(x)在(－，－3)上单调 递增，在 (－3，3)上单调递减，在(3，＋)上单调递增，所以函数f(x)的极大值点为－3，极小值点为3，故选项A、 B、C错误；又f′(2)＜0，所以曲线y＝f(x)在x＝2处的切线斜率小于零，故选项D错误；综上，答案选D． 6、、(2022·湖北华中师大附中等六校开学考试联考)若函数 在区间[2，3]上不是单 调函数，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】因为函数 ， 所以 ， 若 在区间 上不是单调函数，则 在区间 上有解， 即 在区间 上有解， 即 设 ，则 ， ，所以 ，实数 的取值范围是 ， 故选：B. 7、（2023·广东揭阳·校考模拟预测）已知函数 ， ，若存在 ，（ ），使 得 ，（ ），则实数 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 ，得 ，由题意得该方程在 上有两解， 令 ，令 ，得 ， 当 时， ， 单调递增， 当 时， ， 单调递减， 而 ， ， ，则实数 的取值范围是 故选：D 8、（2023·江苏徐州·徐州市第七中学校考一模）已知 ， ， （其中 为自然常 数），则 、 、 的大小关系为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 ， ， ， 设 ，则 ，令 ，得 ，令 ，得 ， 所以 在 上为减函数，在 上为增函数， 因为 ，所以 ，即 ， 因为 ，所以 ，所以 ，所以 ， 所以 ，即 ， 因为 ，所以 ， 综上所述： . 故选：D. 二、多选题 9、（2023·广东东莞·校考模拟预测）若直线 是曲线 的切线，则曲线 的方 程可以是（ ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】因为直线 是曲线 的切线，所以 在某点处的导数值为 ． 对于A，由 ，可得 ， 令 ，即 ， 因为 ，所以 有解，故A正确． 对于B，由 ，可得 ， 令 ，可得 ，无解，故B不正确．对于C， ，故 有解，故C正确． 对于D， 的定义域为 ， 令 ，可得 ，不符合 ， 所以 无解，故D不正确． 故选：AC 10、（江门市高三期末试卷）已知 ，下列说法正确的是（ ） A． 在 处的切线方程为 B．单调递增区间为 C． 的极大值为 D．方程 有两个不同的解 【答案】AC lnx 【解析】：因为 f x ，所以函数的定义域为0, x 1lnx 所以 fx x2 ， f11， f 10， f x 1,0 y0 f1x1 ∴ 的图象在点 处的切线方程为 ， y1x1x1 0,e f�( x) >0 f x 即 ，故A正确；在 上， ， 单调递增， e, fx0 f x 在 上， ， 单调递减，故B错误， lne 1 f x的极大值也是最大值为 f e  ，故C正确； e e lnx 方程 f x 1的解的个数，即为 的解的个数， x lnxx 即为函数ylnx与 yx 图象交点的个数， 作出函数ylnx与 yx 图象如图所示：f x1 由图象可知方程 只有一个解，故D错误.故选：AC. 11、（2023·江苏泰州·泰州中学校考一模）已知函数 的导函数 ，且 ， ，则（ ） A． 是函数 的一个极大值点 B． C．函数 在 处切线的斜率小于零 D． 【答案】AB 【解析】令 ，解得 ，则 在 上单调递增， 令 ，解得 或 ，则 在 上单调递减， 故 是函数 的一个极大值点， ，A、B正确； ∵ ，则 ，故函数 在 处切线的斜率大于零，C错误； 又∵ ，则 ，但无法确定函数值的正负，D错误； 故选：AB. 12、（2023·江苏南京·校考一模）定义在 上的函数 满足 ， ，则下列说法正确的是（ ） A． 在 处取得极大值，极大值为 B． 有两个零点 C．若 在 上恒成立，则 D． 【答案】ACD 【解析】 ，由 得： ，即 ， 令 ，而 ，则 ，即有 ， ， 当 时， ，当 时， ，即函数 在 上单调递增，在 上单 调递减， 于是得 在 处取得极大值 ，A正确； 显然 ，即函数 在 上有1个零点，而 时， 恒成立， 即函数 在 无零点，因此，函数 在定义域上只有1个零点，B不正确； ， ，令 ， ， 当 时， ，当 时， ，即函数 在 上递增，在 上递减， 因此，当 时， ，所以 ，C正确； 因函数 在 上单调递增，而 ，则 ， 又 ，则 ，即 ，D 正确. 故选：ACD.三、填空题 13、（2023·江苏南京·校考一模）若直线 与曲线 相切，则 _________． 【答案】 【解析】设直线 与曲线 相切于点 ， 由 得： ， ， ， 又 ， ，解得： ， . 故答案为： . 14、（2023·黑龙江大庆·统考一模）函数 的图象在点 处的切线方程为______． 【答案】 【解析】因为 ，所以 ．因为 ， ，所以所求切线方程 为 ，即 . 故答案为： . 15、（2023·广东广州·统考一模）已知函数 的定义域为 ，其导函数为 ，若 . ，则关于x的不等式 的解集为__________. 【答案】 【解析】令函数 ，则 ，因此函数 在 上单 调递减， ，因此 ，即 ，解得 ， 所以不等式 的解集为 . 故答案为：16、（2023·广东湛江·统考一模）若函数 存在两个极值点 ，且 ，则 ______． 【答案】 【解析】 ，定义域为 ，所以 ， 故 ， ；又 ，所以 ． 又 ，故 ，所以 ，所以 ． 故答案为： 四、解答题 17、(2022·泰州中学期初考试)(12分)已知函数 ． (1)求曲线 在点 处的切线方程； (2)求函数 在区间 上的最大值和最小值． 【解析】(1)因为 ，所以 . 又因为 ，所以曲线 在点 处的切线方程为 . (2)设 ，则 . 当 时， ，所以 在区间 上单调递减. 所以对任意 有 ，即 . 所以函数 在区间 上单调递减.因此 在区间 上的最大值为 ，最小值为 . 1 f x mx2 2axlnxm,aR 18、（2022·山东烟台市·高三二模）已知函数 2 在x1处的切线斜率 f x 22a m 为 ．确定 的值，并讨论函数 的单调性； 【解析】 1 f x (0,+� ) fxmx2a （1） 的定义域为 且 x ， 1 x2 2ax1 f1m2a122a fx x2a  ∴ ，解得m1，则 x x ， hx x2 2ax1  4a2 4 令 ， ， hx0 f�( x) �0 f x (0,+� ) 0 1a1 ①当 ，即 时， ， ， 在 上单调递增； 0 a1 a1 ②当 ，即 或 ， hx0 f�( x) >0 f x (0,+� ) 当a1时，由 x0 有 2ax0 ， ，即 ， 在 上单调递增； x a a2 10 x a a2 10 当a1时， 1 ， 2 ，   x 0,a a2 1 ， f�( x) >0， f x单调递增，   x a a2 1,a a2 1 ， f�( x) <0， f x单调递减．   x a a2 1, ， f�( x) >0， f x单调递增．   综上，当 时， f x在(0,+� ) 上单调递增；当 时， f x在 0,a a2 1 和 a1 a1     a a2 1, a a2 1,a a2 1 上单调递增，在 上单调递减．19、（2023·江苏连云港·统考模拟预测）已知函数 ． (1)求函数 在区间 上的最大值； (2)若关于 的方程 有两个不相等的实数根，求实数 的取值范围． 【解析】（1）解：当 时， ，则 ， 所以，函数 在 上单调递增，所以， . （2）解：函数 的定义域为 ，由 可得 ， 令 ，其中 ，则 ， 令 ，其中 ，则 ， 所以，函数 在 上为减函数，且 ， 当 时， ，则 ，所以，函数 在 上单调递增， 当 时， ，则 ，所以，函数 在 上单调递减， 所以， ， 令 ，其中 ，则 ，则函数 在 上为增函数， 因为 ， ，则存在 ，使得 ， 当 时， ；当 时， . 由题意可知，直线 与函数 的图象有两个交点，如下图所示：由图可知，当 时，直线 与函数 的图象有两个交点， 故实数 的取值范围是 . 20、（2023·江苏泰州·泰州中学校考一模）已知函数 （ 为自然对数的底数）. (1)若不等式 恒成立，求实数 的取值范围； (2)若不等式 在 上恒成立，求实数 的取值范围. 【解析】（1）解： ，由复合函数的单调性原理得 在 上单调递增，由 得 ，即 . （2）解： 对 恒成立 令 ， ， ， 在 上单调递减， ，若 ，即 时， 在 上恒成立，则 在 上单调递减， 符合题意. 若 ，即 时， （i）若 ，则 ， 在 上单调递增， 这与题设矛盾，舍去. （ii）若 ，则存在 使 ，且当 时， 单调递增，此时 这与题设也矛盾，舍去. 综上：实数 的取值范围为 21、（2022·河北保定·高三期末）已知函数 . (1)若 ，讨论 在 上的单调性； (2)若函数 在 上的最大值小于 ，求 的取值范围. 【解析】(1) . 令 ，得 ；令 ，得 . 当 时， 在 上单调递减； 当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增. (2)由题意得 . 若 ， ，则 在 上单调递增， ，不合题意.若 ，则 在 上单调递增， ，不合题意. 若 ，则 在 上单调递减，在 上单调递增， 或 . 当 时， ； 当 时， ，则 . 若 ，则 在 上单调递减， . 综上， 的取值范围是 . 22、（2023·江苏南京·南京市秦淮中学校考模拟预测）已知函数 ． (1)当 时，讨论 的单调性； (2)当 时， ，求a的取值范围； (3)设 ，证明： ． 【解析】（1）当 时， ，则 ， 当 时， ，当 时， ， 故 的减区间为 ，增区间为 . （2）设 ，则 ， 又 ，设 ， 则 ， 若 ，则 ，因为 为连续不间断函数， 故存在 ，使得 ，总有 ， 故 在 为增函数，故 ， 故 在 为增函数，故 ，与题设矛盾. 若 ，则 ， 下证：对任意 ，总有 成立， 证明：设 ，故 ， 故 在 上为减函数，故 即 成立. 由上述不等式有 ， 故 总成立，即 在 上为减函数， 所以 . 当 时，有 ， 所以 在 上为减函数，所以 . 综上， . （3）取 ，则 ，总有 成立， 令 ，则 ， 故 即 对任意的 恒成立. 所以对任意的 ，有 ，整理得到： ， 故 ， 故不等式成立.