第83讲变量间的相关关系、统计案例（原卷版）_2.2025数学总复习_2024年新高考资料_1.2024一轮复习_2024年高考数学一轮复习精品导学案（新高考）

第 83 讲 变量间的相关关系、统计案例
1. 变量间的相关关系
(1)常见的两变量之间的关系有两类：一类是函数关系，另一类是相关关系；与函数关系不同，相关关
系是一种非确定性关系．
(2)从散点图上看，点散布在从左下角到右上角的区域内，两个变量的这种相关关系称为正相关；点散
布在左上角到右下角的区域内，两个变量的这种相关关系为负相关．
2. 两个变量的线性相关
(1)从散点图上看，如果这些点从整体上看大致分布在通过散点图中心的一条直线附近，称两个变量之
间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线．
(2)回归方程为 ，其中其中a^，b^是待定参数
(3)相关系数：
当r＞0时，表明两个变量 ；
当r＜0时，表明两个变量 ．
r的绝对值越接近于1，表明两个变量的线性相关性越强．r的绝对值越接近于0，表明两个变量之间
几乎不存在线性相关关系．通常|r|大于0.75时，认为两个变量有很强的线性相关性．
3. 独立性检验
(1)2×2列联表
设X，Y为两个变量，它们的取值分别为{x ， x }和{y ， y }，其样本频数列联表(2×2列联表)如下：
1 2 1 2
y y 总计
1 2
x a b a＋b
1
x c d c＋d
2
总计 a＋c b＋d a＋b＋c＋d
(2)独立性检验
利用随机变量K2(也可表示为χ2)的观测值k＝ (其中n＝a＋b＋
c＋d为样本容量)来判断“两个变量有关系”的方法称为独立性检验．
常用结论
(1)求解回归方程的关键是确定回归系数a^，b^，应充分利用回归直线过样本中心点 ．
(2)根据K2的值可以判断两个分类变量有关的可信程度，若K2越大，则两分类变量有关的把握越大．
(3)根据回归方程计算的b^值，仅是一个预报值，不是真实发生的值．
1、（2023•天津）调查某种花萼长度和花瓣长度，所得数据如图所示，其中相关系数 ，下列说
法正确的是A．花瓣长度和花萼长度没有相关性
B．花瓣长度和花萼长度呈现负相关
C．花瓣长度和花萼长度呈现正相关
D．若从样本中抽取一部分，则这部分的相关系数一定是0.8245
2、（2023•上海）根据所示的散点图，下列说法正确的是
A．身高越大，体重越大 B．身高越大，体重越小
C．身高和体重成正相关 D．身高和体重成负相关
3、【2020年山东卷19】为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查
了100天空气中的PM2.5和SO 浓度（单位：μg/m3），得下表：
2
SO
2
[0,50] (50,150] (150,475]
PM2.5
[0,35] 32 18 4
(35,75] 6 8 12
(75,115] 3 7 10
（1）估计事件“该市一天空气中浓度不超过 ，且 浓度不超过 ”的概率；
（2）根据所给数据，完成下面的 列联表：PM2.5
(75,115]
（3）根据（2）中的列联表，判断是否有99%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与SO 浓度有关？
2
n(ad−bc) 2
附：K2=
，
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
P(K2≥k) 0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
4、【2020年海南卷19】为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查
了100天空气中的PM2.5和SO 浓度（单位：μg/m3），得下表：
2
SO
2
[0,50] (50,150] (150,475]
PM2.5
[0,35] 32 18 4
(35,75] 6 8 12
(75,115] 3 7 10
（1）估计事件“该市一天空气中PM2.5浓度不超过75，且SO 浓度不超过150”的概率；
2
（2）根据所给数据，完成下面的2×2列联表：
SO
2
[0,150] (150,475]
PM2.5
[0,75]
(75,115]（3）根据（2）中的列联表，判断是否有99%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与SO 浓度有关？
2
n(ad−bc) 2
附：K2=
，
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
P(K2≥k) 0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
1、(2022·济宁二模)为研究变量x，y的相关关系，收集得到下面五个样本点(x，y)：
x 5 6.5 7 8 8.5
y 9 8 6 4 3
¿ ¿
y a
若由最小二乘法求得y关于x的回归直线方程为 ＝－1.8x＋ ，则据此计算残差为0的样本点是(
)
A. (5，9) B. (6.5，8)
C. (7，6) D. (8，4)
2、(2022·聊城一模)根据分类变量x与y的成对样本数据，计算得到χ2＝6.147.依据α＝0.01的独立性检验
(P(χ2)≥6.635＝0.01)，结论为( )
A. 变量x与y不独立
B. 变量x与y不独立，这个结论犯错误的概率不超过0.01
C. 变量x与y独立
D. 变量x与y独立，这个结论犯错误的概率不超过0.01
3、某种产品的广告费支出x与销售额y(单位：万元)之间的关系如表：
x 2 4 5 6 8
y 30 40 60 50 70
y与x的线性回归方程为y＝6.5x＋17.5，当广告支出6万元时，随机误差的残差为( )
A．－5 B．－5.5 C．－6 D．－6.5
4、为了判断高中三年级学生是否选修文科与性别的关系，现随机抽取50名学生，得到如下2×2列联表：理科 文科
男 13 10
女 7 20
已知P（K2≥3.841）≈0.05，P（K2≥5.024）≈0.025. 根据表中数据，得到K2的观测值k＝≈4.844，则认
为选修文科与性别有关系出错的可能性为
考向一 相关关系的判断
例1、两个变量的相关关系有①正相关；②负相关；③不相关，则下列散点图从左到右分别反映的变量间
的相关关系是( )
A. ①②③ B. ②③①
C. ②①③ D. ①③②
变式1、 (1) 已知变量x和y满足关系y＝－0.1x＋1，变量y与z正相关，则下列结论中正确的是( )
A. x与y正相关，x与z负相关
B. x与y正相关，x与z正相关
C. x与y负相关，x与z负相关
D. x与y负相关，x与z正相关
(2) 对四组数据进行统计，获得如图所示的散点图，关于其相关系数的比较，正确的是( )
① ②
③ ④
A. r<r<0<r<r
2 4 3 1
B. r<r<0<r<r
4 2 1 3
C. r<r<0<r<r
4 2 3 1
D. r<r<0<r<r
2 4 1 3
方法总结： (1)根据散点图确定．(2)用相关系数判断线性相关性的强弱;用残差平方和与相关指数判断拟合效果
方法总结： (1)根据散点图确定．(2)用相关系数判断线性相关性的强弱;用残差平方和与相关指数判断拟合
效果
考向二 线性回归方程
例2、某地随着经济的发展，居民收入逐年增长，下表是该地某银行连续五年的储蓄存款(年底余额)，如下
表1：
表1
年份x 2013 2014 2015 2016 2017
储蓄存款
5 6 7 8 10
y(千亿元)
为了研究计算的方便，工作人员将上表的数据进行了处理，t＝x－2 012，z＝y－5得到下表2：
表2
时间代号t 1 2 3 4 5
z 0 1 2 3 5
(1) 求z关于t的线性回归方程；
(2) 通过(1)中的方程，求出y关于x的回归方程；
(3) 用所求回归方程预测到2023年年底，该地储蓄存款额可达多少？
¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿
y b a b a b
附：对于线性回归方程 ＝ x＋ ，其中 ＝ ， ＝－ .
x
变式1、（2022江苏常州市·高三期末）某公司在市场调查中，发现某产品的单位定价 (单位：万元/吨)对
y x y i 1,2,...8
月销售量 (单位：吨)有影响.对不同定价 i和月销售量 i 数据作了初步处理，
8 8 8 8
x y z x2 z2 x y z y
i i i i i i
i1 i1 i1 i1
0.24 43 9 0.164 820 68 39561 b
z  y a
表中 x .经过分析发现可以用 x 来拟合 y 与x的关系.
^
（1）求y关于x的回归方程；
1 1.6
（2）若生产 吨产品的成本为 万元，那么预计价格定位多少时，该产品的月利润取最大值，求此时的
月利润.
(,v ) (,) (,V ) vˆˆ  ˆ 
附：对于一组数据 1 1 ， 2 2 ，…， n n ，其回归直线线 的的斜率和截距的最小二
n n
()(v v) v nv
^ i i i i
 i1  i1
乘估计分别为： n n ， .
()2 2 n 2 ^ ^
i i v
i1 i1
变式2、（2022·肇庆市第一中学高三月考）大学生赵敏利用寒假参加社会实践，对机械销售公司7月份至
12月份销售某种机械配件的销售量及销售单价进行了调查，销售单价x和销售量y之间的一组数据如表所
示：
月份i 7 8 9 10 11 12
销售单价x（元） 9 9.5 10 10.5 11 8
i
销售量y（件） 11 10 8 6 5 14
i（1）根据7至11月份的数据，求出y关于x的回归直线方程；
（2）若由回归直线方程得到的估计数据与剩下的检验数据的误差不超过0.5元，则认为所得到的回归直线
方程是理想的，试问（1）中所得到的回归直线方程是否理想？
（3）预计在今后的销售中，销售量与销售单价仍然服从（1）中的关系，若该种机器配件的成本是2.5
元/件，那么该配件的销售单价应定为多少元才能获得最大利润？（注：利润=销售收入-成本）．
参考公式：回归直线方程 ，其中 ，参考数据： ．
方法总结：数据处理，要求结合散点图，初步建立线性回归的直观感知；
(1)依托数据，结合公式准确计算线性回归方程的相关系数值；
(2)根据线性回归方程，正确使用回归方程进行估计．
考向三 独立性检验
例3、在对人们休闲方式的一次调查中，根据数据建立如下的 列联表：
看书 运动 合计
男 8 20 28
女 16 12 28
合计 24 32 56
根据表中数据，得到 ，所以我们至少有（ ）的把握判定休闲方
式与性别有关系.（参考数据： ， ）
A．99% B．95% C．1% D．5%
变式1、某研究性学习小组调查研究学生使用智能手机对学习的影响，部分统计数据如表（参考公式： ，其中 .）
附表：
0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
则下列选项正确的是（ ）
A.有 的把握认为使用智能手机对学习有影响
B.有 的把握认为使用智能手机对学习无影响
C.有 的把握认为使用智能手机对学习有影响
D.有 的把握认为使用智能手机对学习无影响
变式2、（2022年江苏省连云港市高三模拟试卷）在200人身上试验某种血清预防感冒的作用，把他们1
年中的感冒记录与另外200名未用血清的人的感冒记录进行比较，结果如下表所示．问：是否有90%的把
握认为该种血清对预防感冒有作用？
未感冒 感冒
使用血清 130 70
未使用血清 110 90
附： ，
0.10 0.010 0.001
k 2.706 6.635 10.828
方法总结：(1)根据题意完善2×2列联表，再计算观测值K2，对照临界值表即可得出结论；
(2)理解K2的运算过程以及在实际问题中的统计学意义．考向四 统计案例与线性回归分析的综合
例4、（2022年广东省深圳市莆田区高三模拟试卷） 为了了解一个智力游戏是否与性别有关，从某地区抽
取男女游戏玩家各 名，其中游戏水平分为高级和非高级两种．
（1）根据题意完善下列 列联表，依据小概率值α=0.01的独立性检验，能否认为智力游戏水平高低与
性别有关联
高级 非高级 合计
女
男
合计
（2）按照性别用分层抽样的方法从这些人中抽取 人，从这 人中抽取 人作为游戏参赛选手；
(ⅰ)若甲入选了 人名单，求甲成为参赛选手的概率；
(ⅱ)设抽取的 名选手中女生的人数为 ，求 的分布列和期望．
附： ， ．
0.10 0.05 0.010 0.005 0.001
.
2.706 3.841 6635 7.879 10.828
变式1、（2023·安徽·校联考三模）2022年卡塔尔世界杯是第二十二届世界杯足球赛，是历史上首次在卡塔尔和中东国家境内举行、也是第二次在亚洲举行的世界杯足球赛．卡塔尔世界杯后，某校为了激发学生
对足球的兴趣，组建了足球社团．足球社团为了解学生喜欢足球是否与性别有关，随机抽取了男、女同学
各100名进行调查，统计得出的数据如下表：
喜欢足
不喜欢足球 合计
球
男生 50
女生 25
合计
(1)根据所给数据完成上表，试根据小概率值 的独立性检验，分析该校学生喜欢足球与性别是否有
关．
(2)社团指导老师从喜欢足球的学生中抽取了2名男生和1名女生示范点球，已知男生进球的概率为 ，女
生进球的概率为 ，每人踢球一次，假设各人踢球相互独立，求3人进球总次数的分布列和数学期望．
附： ， ．
0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
变式2、（2023·安徽马鞍山·统考三模）强基计划主要选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质或
基础学科拔尖的学生，聚焦高端芯片与软件、智能科技、新材料、先进制造和国家安全等关键领域，由有关高校结合自身办学特色，合理安排招生．强基计划的校考由试点高校自主命题，校考过程中通过笔试才
能进入面试环节．
(1)某研究机构为了更好地服务于高三学生，随机抽取了某校5名高三学生，对其记忆力测试指标 和分析
判断力测试指标 进行统计分析，得到下表数据：
7 9 10 11 13
3 4 5 6 7
请用线性相关系数判断该组数据中 与 之间的关系是否可用线性回归模型进行拟合；（精确到 ）
(2)现有甲、乙两所高校的笔试环节都设有三门考试科目，某考生参加每门科目考试是否通过相互独立．若
该考生报考甲高校，每门笔试科目通过的概率均为 ；该考生报考乙高校，每门笔试科目通过的概率依次
为 ，其中 ．若该考生只能报考甲、乙两所高校中的一所，以笔试中通过的科目数的数学期
望为依据作出决策，得知该考生更有希望通过乙大学的笔试，求 的取值范围．
参考数据： ， ， ；
参考公式：线性相关系数： ．一般地， 时，认为两个变量之间存在较强的线
性相关关系．
方法总结：统计案例与线性回归分析的综合往往涉及到直方图、概率等综合性问题，对于此类问题可以从
以下两个方面入手：1、理解直方图具体时间频率与概率的对应关系，独立事件的概率计算过程；理解列
联表的数据生成，以及使用公式进行基本运算，学会利用运算结果进行简单的数据分析；2、数学期望是
离散型随机变量中重要的数学概念，反映随机变量取值的平均水平．求解离散型随机变量的分布列、数学
期望时，首先要分清事件的构成与性质，确定离散型随机变量的所有取值，然后根据概率类型选择公式，
计算每个变量取每个值的概率，列出对应的分布列，最后求出数学期望．正态分布是一种重要的分布，之
前考过一次，尤其是正态分布的3σ原则．1、（2022年湖南省长沙市高三模拟试卷）蟋蟀鸣叫可以说是大自然优美、和谐的音乐，殊不知蟋蟀鸣叫
的频率 （每分钟鸣叫的次数）与气温 （单位：℃）存在着较强的线性相关关系.某地观测人员根据如表
的观测数据，建立了 关于 的线性回归方程 ，则下列说法不正确的是（ ）
（次数/分钟） 20 30 40 50 60
（℃） 25 27.5 29 32.5 36
A. 的值是20
B. 变量 ， 呈正相关关系
C. 若 的值增加1，则 的值约增加0.25
D. 当蟋蟀52次/分鸣叫时，该地当时的气温预报值为33.5℃
2、（2022年福建省福州第十一中学高三模拟试卷）（多选题）尽管2022年上半年新能源汽车产销受疫情
影响，但各企业高度重视新能源汽车产品，供应链资源优先向新能源汽车集中，从目前态势来看，整体产
销量完成情况超出预期.下表是2022年我国某地新能源汽车前 个月的销量 和月份 的统计表，根据表中
的数据可得经验回归方程为 ，则（ ）
月份
销量 （万辆）
A. 变量 与 正相关 B. 与 的样本相关系数
C. D. 2022年 月该地新能源汽车的销量一定是 万辆
3、（2022年重庆市第八中学高三模拟试卷）（多选题）研究变量 得到一组样本数据，进行回归分析，
以下说法正确的是（ ）
A. 残差平方和越大的模型，拟合的效果越好
B. 用决定系数 来刻画回归效果， 越大说明拟合效果越好C. 在经验回归方程 中，当解释变量 每增加1个单位时，相应观测值 增加0.2个单位
D. 经验回归直线一定经过样本中心点
4、（2022年江苏省连云港市高三模拟试卷）在200人身上试验某种血清预防感冒的作用，把他们1年中
的感冒记录与另外200名未用血清的人的感冒记录进行比较，结果如下表所示．问：是否有90%的把握认
为该种血清对预防感冒有作用？
未感冒 感冒
使用血清 130 70
未使用血清 110 90
附： ，
0.10 0.010 0.001
k 2.706 6.635 10.828
5、（2022年重庆市高三模拟试卷） 现在养宠物已经成为一件再正常不过的事情了，尤其是对某些人来说，
养宠物是他们生活中非常重要的一件事情，他们还将自己的宠物当成是家人．某机构随机抽取了 100名养
宠物的人，对他们养宠物的原因进行了调查，根据调查结果，得到如下表数据：
喜欢 其他 合计
男 10 20 30
女 40 30 70合计 50 50 100
（1）根据表中调查数据，并依据 的独立性检验，能否认为是否是因为喜欢宠物而养宠物与性别
有关？
（2）若从这100人中，按性别采用分层抽样的方法抽取10人，再从这10人中随机抽取4人，记抽到的男
性人数为 ，求 的分布列与期望．
参考公式： ，其中 ．
参考数据：
0.10 0.05 0.010 0.001
2.706 3.841 6.635 10.8286、（2022年江苏省高三模拟试卷）某网络电视剧已开播一段时间，其每日播放量有如下统计表：
开播天数x
1 2 3 4 5
（单位：天）
当天播放量y
3 3 5 9 10
（单位：百万
次）
（1）请用线性回归模型拟合y与x的关系，并用相关系数加以说明；
（2）假设开播后的两周内（除前5天），当天播放量y与开播天数x服从（1）中的线性关系.若每百万播
放量可为制作方带来0.7万元的收益，且每开播一天需支出1万元的广告费，估计制作方在该剧开播两周
内获得的利润.
参考公式： ， ， .
参考数据： xy＝110， ＝55， ＝224， ≈10.5.
i i
注：①一般地，相关系数r的绝对值在0.95以上（含0.95）认为线性相关性较强；否则，线性相关性较弱.
②利润＝收益－广告费.