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第 47 讲 数列中的新数列问题（微专题）
题型选讲
题型一 由数列公共项构成新数列
例1、（2023·黑龙江哈尔滨·哈师大附中统考三模）已知数列 的前 项和为 ，满足 ，
等差数列 中 .
(1)求 和 的通项公式；
(2)数列 与 的共同项由小到大排列组成新数列 ，求数列 的前20的积 .
【答案】(1) ， ；
(2) .
【详解】（1） ， ，当 时， ，两式相减得： ，
即 ，而 ，解得 ，因此数列 是首项为3，公比为3的等比数列，
，
在等差数列 中，由 ，得 ，解得 ，
则公差 ， ，
所以 和 的通项公式分别为 ， .
（2）令数列 的第m项与数列 的第k项相同，即 ，
于是 ，
显然 是4的正整数倍，要 成立，
当且仅当 为正偶数，因此数列 与 的共同项为 ，即 ，
所以 .
变式1、（2022·山东日照·高三期末）数列 中，已知 ，数列{bn}满足 ，点
在直线 上.
(1)求数列 的通项公式；
(2)数列 中满足：① ；②存在 使 的项组成新数列{cn}，求数列{cn}所有项的和.【答案】(1) ，
(2)341
【解析】
【分析】
(1) 由 与 的关系式可得 通项公式，再由点 与直线的关系可得 的通项公式；
(2) 找出 满足条件的共同项再求和即可.
(1)
， ， ，
①， ， ，满足①，
所以 是以1为首项2为公比的等比数列，
所以 .
因为点 在直线 上，
所以 ， ， 是首项为1公差为3的等差数列，所以 .
(2)
且满足 的 中项一定是除3余1的数，即形如 的数，
同时 满足，所以 ， ， ， ，
数列{cn}所有项的和为： .
变式2、（2022·山东德州·高三期末）已知等差数列 中， ，首项 ，其前四项中删去某一项后
（按原来的顺序）恰好是等比数列 的前三项.
(1)求 的通项公式；(2)设 中不包含 的项按从小到大的顺序构成新数列 ，记 的前n项和为 ，求 .
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据题意求出 ，从而求出通项公式；（2）先求出 的前25项和，再减去前25项中含有数列
中的项的和，求出答案.
(1)
等差数列 中， ， ，其前四项 ， ， ， 中删去某一项后（按原来的顺序）
恰好是等比数列 的前三项.
根据题意，当删去数列 中第三项 时，
满足 ，解得 ；
删去 时，满足 ，此方程无解，不满足题意，同理可证，删除 与 时，
均不满足题意；
故 ；
所以 ，
(2)
已知等差数列 中， ，
数列 中的项为：4，8，16，32，64，128，256，…，
所以 .故数列 的前25项和为 ，
数列 的前25项中含有数列 中的项的和为 ，
所以 .
题型二 由给定数列的项数构成新数列
例2、（2023·黑龙江·黑龙江实验中学校考一模）已知数列 ，前n项和为 ，且满足 ，
， ， ， ，等比数列 中， ，且 ， 成等差数列．
(1)求数列 和 的通项公式；
(2)记 为区间 中的整数个数，求数列 的前n项和 ．
【答案】(1) ， ；(2)
【分析】（1）根据 ， ， 得到 为等差数列，根据通项公式和求和公式基本量
计算出首项和公差，得到 的通项公式，再利用等比数列通项公式基本量计算出 和公比，求出
的通项公式；
（2）在第一问的基础上得到 ，分组求和，结合等差数列和等比数列求和公式求出答案.
【详解】（1） ， ， ，
即 ， ， ，
故 为等差数列，设公差为 ，
故 ， ，
解得： ， ，
所以 ，设等比数列 的公比为 ， ，
因为 ， 成等差数列，所以 ，
即 ，与 联立得： 或0（舍去），
且 ，故 ，
（2）由题意得： 为 中的整数个数，
故 ，
所以
.
变式1、（2023·江苏徐州·徐州市第七中学校考一模）已知等比数列 的前n项和为 （b为
常数）．
(1)求b的值和数列 的通项公式；
(2)记 为 在区间 中的项的个数，求数列 的前n项和 ．
【答案】(1) ； ；(2)
【分析】（1）依题意等比数列 的公比不为1，再根据等比数列前 项和公式得到 ，即
可得到 且 ，从而求出 、 ，即可得解；
（2）首先令 ， ，即可求出 的取值范围，从而求出 ，即可得到 ，
再利用错位相减法求和即可；【详解】（1）解：由题设 ，显然等比数列 的公比不为1，
若 的首项、公比分别为 、 ，则 ，
∴ 且 ，所以 ，
故 的通项公式为 ．
当 时， ；
（2）解：令 ， ，解得 ，所以
数列 在 中的项的个数为 ，则 ，所以 ，
∵ ，①
∵ ②
两式相减得∴ ．
∴
变式2、（2023·江苏泰州·泰州中学校考一模）已知数列 是等差数列， ，且 ， ， 成等比
数列．给定 ，记集合 的元素个数为 ．
(1)求 ， 的值；
(2)求最小自然数n的值，使得 ．
【答案】(1) ， ；；(2)11
【分析】（1）利用等比数列的性质求得 公差，得通项公式 ，写出 时的集合可得元素个数，即 ；
（2）由（1）可得 ，然后分组求和法求得和 ，用估值法得 时和小于2022， 时
和大于2022，由数列的单调性得结论．
【详解】（1）设数列 的公差为 ，由 ， ， 成等比数列，得 ，
，解得 ，所以 ，
时，集合 中元素个数为 ，
时，集合 中元素个数为 ；
（2）由（1）知 ，
，
时， =2001<2022， 时， =4039>2022，
记 ，显然数列 是递增数列，
所以所求 的最小值是11.
题型三 由数列的插入项构成新数列
例3、（2022·山东烟台·一模）己知等差数列 的前n项和为 ， ， ．
(1)求 的通项公式；
(2)保持数列 中各项先后顺序不变，在 与 之间插入 个1，使它们和原数列的项构成
一个新的数列 ，记 的前n项和为 ，求 的值．
【解析】 (1)设 的公差为d，由已知 ， ．
解得 ，d＝2．所以 ；(2)因为 与 之间插入 个1，
所以 在 中对应的项数为
，
当k＝6时， ，当k＝7时， ，
所以 ， ，且 ．
因此
.
变式1、(2022·青岛期初考试)已知等差数列{A}的首项A 为4，公差为6，在{A}中每相邻两项之间都插入
n 1 n
两个数，使它们和原数列的项一起构成一个新的等差数列{a}．
n
(1)求数列{a}的通项公式；
n
(2)若，，…，，…是从{a}中抽取的部分项按原来的顺序排列组成的一个等比数列，，令，求数列{b}的
n n
前n项和T．
n
【解析】
(1)设数列{a}的公差为d，
n
由题意可知，＝A＝4＋6＝10，
2
所以，
解得d＝2，
所以＝2n＋2；
(2)设等比数列，，…，，…的公比为q，
则q＝＝＝＝3，所以＝，
又＝，
所以，
，
因为，
所以4×31，
相减得：变式2、（2022·广东东莞·高三期末）设等差数列 的前 项和为 ，且 ， .
(1)求数列 的通项公式；
(2)在任意相邻两项 和 之间插入 个1，使它们和原数列的项构成一个新的数列 ，
求数列 的前200项的和 .
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）设等差数列 的公差为 ，由 求解；
（2）方法一：由题意得到， 的各项为 ，再确定数
列的项求解；方法二：由在数列 中， 前面（包括 ）共有 项，
令 ，确定数列的项求解.
(1)
解：设等差数列 的公差为 ，
由题得 ，即 ，
整理得 ，解得 .
所以 .
(2)
方法一：由题意可知， 的各项为
即 ，
因为 ，
且 ，
所以 ， ， ， ， ， ， 会出现在数列 的前200项中，
所以 前面（包括 ）共有126+7=133项，所以 后面（不包括 ）还有67个1，
所以 ，
方法二：在数列 中， 前面（包括 ）共有 项，
令 ，则 ，
所以 ， ， ， ， ， ， 会出现在数列 的前200项中，
所以 前面（包括 ）共有126+7=133项，所以 后面（不包括 ）还有67个1，
所以 ，
