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第十五章 分 式
教学备注 15．3 分式方程
第1课时 分式方程及其解法
学习目标：1．了解分式方程的概念，掌握解分式方程的基本思路．
2．掌握可化为一元一次方程的分式方程的解法．
3．理解分式方程无解的原因，掌握分式方程验根的方法．
重点：掌握解分式方程的基本思路和解法．
学生在课前
难点：理解分式方程无解的原因．
完成自主学
习部分 自主学习
一、知识链接
1．下列哪些式子是方程？
（1） （ ） （2） （ ）
（3） （ ） （4）x－12＞ （ ）
（5） （ ） （6） （ ）
（7） （ ） （8） （ ）
2．解一元一次方程的一般需经过哪些步骤呢？结合例题回顾．
解一元一次方
解方程：
程的步骤
①去分母 解：方程两边同乘10，得
②去括号 去括号，得
③移项 移项，得
④合并同类项 合并同类项，得
⑤系数化为1 系数化为1，得
3．找出下列各组分式的最简公分母：
1 1
（1）x+1与x−1的最简公分母是 ；
1 1
（2）a+2 与a2 −4 的最简公分母是 ．
二、新知预习
问题1：什么是分式方程？教学备注
配套PPT讲授
要点归纳：分母中含有________的方程叫做分式方程．
1．问题引入
（ 见 幻 灯 片
问题2：解分式方程的一般步骤有哪些？
3）
要点归纳：（1）去分母：在方程的两边同乘___________，化成整式方程；
（2）解这个整式方程：去括号、移项、合并同类项、系数化为1；
（3）检验：把解得的根代入____________，如果最简公分母的值不为0，则整式方
程的解是原分式方程的解；否则这个解不是原分式方程的解．
三、自学自测
1.1．下列各式中，不是关于x的分式方程的是 （ ）
A． B． C． D．
2．解分式方程 ＝3时，去分母后变形为 （ ）
A．2＋(x＋2)＝3(x－1) B．2－x＋2＝3(x－1)
C．2－(x＋2)＝3(1－x) D．2－(x＋2)＝3(x－1)
3．解方程：（1）－1＝； （2）－＝1．
2．探究点 1
新知讲授
（见幻灯片4-
四、我的疑惑
5）
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课堂探究
一、要点探究
探究点1：分式方程的概念
问题1：一艘轮船在静水中的最大航速为30千米/时，它沿江以最大航速顺流航行90
千米所用时间，与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等．设江水的流速为x千
米/时，根据题意可列方程： ．
问题2：这个程是我们以前学过的方程吗？它与一元一次方程有什么区别？
要点归纳：此方程的分母中含有未知数x，像这样 的方程叫做分式方
程．
判一判：下列方程中，哪些是分式方程？哪些是整式方程？教学备注
3．探究点 2
新知讲授
（见幻灯片
6-22）
方法总结：判断一个方程是否为分式方程，主要是看分母中是否含有未知数(注意：π
不是未知数)．
探究点2：分式方程的解法
问题1：你能试着解这个分式方程吗？
（1）如何把它转化为整式方程呢？
（2）怎样去分母？
（3）在方程两边同乘什么样的式子才能把每一个分母都约去？
（4）这样做的依据是什么？
解分式方程最关键的问题是什么？
要点归纳：
解分式方程的基本思路：是将分式方程化为整式方程，具体做法是“去分母”，即方
程两边同乘最简公分母．这也是解分式方程的一般方法．
问题2：下面我们再讨论一个分式方程：
想一想：上面两个分式方程中，为什么 ①去分母后所得整式方程的
解就是原分式方程的解，而 ②去分母后所得整式方程的解却不是原分
式方程的解呢？
我们再来观察去分母的过程：
真相揭秘：分式两边同乘了不为0的式子，所得整式方程的解与分式方程的解相同．真相揭秘：分式两边同乘了等于0的式子，所得整式方程的解使分母为0，这个整式方程
的解就不是原分式方程的解．
要点归纳：分式方程解的检验------必不可少的步骤：
解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程的分母为0，所以分式方程的
解必须检验．
想一想：这个整式方程的解是不是原分式的解呢？怎样检验？
检验方法：将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的
解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解．
要点归纳：“去分母法”解分式方程的步骤：
1．在方程的两边同乘最简公分母，约去分母，化成整式方程．
2．解这个整式方程．
3．把整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分
式方程的解，否则须舍去．
4．写出原方程的解．
简记为：“一化二解三检验”．
典例精析
例1：解方程：
例2：解方程：
要点归纳：用框图的方式总结为：教学备注
配套PPT讲授
例3：关于x的方程＝1的解是正数，则a的取值范围是____________．
方法总结：求出方程的解(用未知字母表示)，然后根据解的正负性，列关于未知字母
的不等式求解，特别注意分母不能为0．
例4：若关于x的分式方程＋＝无解，求m的值．
方法总结：分式方程无解与分式方程有增根所表达的意义是不一样的．
分式方程有增根仅包括分式方程化为整式方程后，整式方程有解但使最简公分母为0
的情况；分式方程无解不但包括分式方程有增根，而且包括使整式方程无解的情况．
二、课堂小结
内容 易错提醒
分母中含有________的方程叫做分式方 （1）用分式方程中的
分式方程的 程．使得分式方程等号两端相等的未知 最简公分母同乘方程
相关概念 数的值叫做分式方程的解（也叫做分式 两边，注意不要漏乘
方程的根）． 没有分母的项，另外
(1)去分母：在方程的两边同乘 得出解后，要注意检
___________，化成整式方程； 验；
(2)解这个整式方程：去括号、移项、合 （2）分式方程无解的
并同类项、系数化为1； 两种情况：①将分式
分式方程的
方程通过“去分母”
(3)检验：把解得的根代入
解法
变成整式方程后，整
______________，如果最简公分母的值
式方程是类似“0x＝1”
不为0，则整式方程的解是原分式方程
的形式，即整式方程
的解；否则这个解不是原分式方程的
无解；②整式方程求
解．
得的根使得原分式方
解得的根使得最简公分母的值为0，分
分式方程的 程的最简公分母等于
式方程______，我们把这样的根叫做分
增根 0．
式方程的增根．
当堂检测教学备注
1．下列关于x的方程中，是分式方程的是( ) 教学备注
配套PPT讲授
A．＝ B．＝
C．＋1＝ D．＝1－
4．课堂小结
（ 见 幻 灯 片
26） 2．要把方程 化为整式方程，方程两边可以同乘（ ）
A．3y-6 B．3y
C．3(3y-6) D．3y (y-2)
3．解分式方程 时，去分母后得到的整式方程是
（ ）
A．2(x-8)+5x=16(x-7) B．2(x-8)+5x=8
C．2(x-8)-5x=16(x-7) D．2(x-8)-5x=8
4．若关于x的分式方程 无解，则m的值为 ( )
A．－1， B．1 C．－1.5或2 D．－0.5或－1.5
5．当堂检测
（ 见 幻 灯 片 5．解方程：
23-25）参考答案
自主学习
一、知识链接
1．√ × × × √ √ √ √
2．2x-5(3-2x)=10x 2x-15+10x=10x 2x+10x-10x=15 2x=15
3．（1）x2-1 （2）a2-4
二、新知预习
问题1 未知数
问题2 公分母 公分母
三、自学自测
1．D 2．D
3．解：（1） ；（2）x=-3．
四、我的疑惑
课堂探究
二、要点探究
探究点1：分式方程的概念
问题1
问题2 分母中含未知数
判一判
分 式 方 程 ： ， ， ， ， ，
整式方程： ，
探究点2：分式方程的解法
问题1 解：方程①两边同乘（30+x)(30-x)，得90(30-x)=60(30+x)，解得x=6．
检验：将x=6代入原分式方程中，左边= =右边，
因此x=6是原分式方程的解．
问题2 下面我们再讨论一个分式方程：
解：方程两边同乘(x+5)(x-5)，得x+5=10，解得x=5．
检验：将x=5代入原方程中，分母x-5和x2-25的值都为0，相应的分式无意义．因此x=5虽是整式方程x+5=10的解，但不是原分式方程 的解，实际上，这个分式
方程无解．
典例精析
例1 解： 方程两边同乘x(x-3)，得2x=3x-9．解得x=9．
检验：当x=9时，x(x-3) ≠0，所以，原分式方程的解为x=9．
例2 解： 方程两边同乘(x-1)(x+2)，得x(x+2)-(x-1)(x+2)=3．解得x=1．
检验：当x=1时， (x-1)(x+2) =0， 因此x=1不是原分式方程的解．所以，原分式方程无
解．
例3 a＜－1且a≠－2 解析：去分母得2x＋a＝x－1，解得x＝－a－1． ∵关于x的方程
＝1的解是正数，∴x＞0且x≠1．∴－a－1＞0且－a－1≠1，解得a＜－1且a≠－2．∴a
的取值范围是a＜－1且a≠－2．
例4：解：方程两边同乘(x＋2)(x－2)，得2(x＋2)＋mx＝3(x－2)，即(m－1)x＝－10．
①当m－1＝0时，此方程无解，此时m＝1；
②方程有增根，则x＝2或x＝－2．
当x＝2时，代入(m－1)x＝－10，得2(m－1)＝－10，m＝－4；
当x＝－2时，代入(m－1)x＝－10，得－2(m－1)＝－10，解得m＝6．
综上所述，m的值是1，－4或6．
当堂检测
1．D 2．D 3．D 4．D
5．解：去分母，得 解得
检验：把 代入 所以原方程的解为
