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第十五章 分 式
15．3 分式方程
第1课时 分式方程及其解法
学习目标：1．了解分式方程的概念，掌握解分式方程的基本思路．
2．掌握可化为一元一次方程的分式方程的解法．
3．理解分式方程无解的原因，掌握分式方程验根的方法．
重点：掌握解分式方程的基本思路和解法．
难点：理解分式方程无解的原因．
自主学习
一、知识链接
1．下列哪些式子是方程？
（1） （ ） （2） （ ）
（3） （ ） （4）x－12＞ （ ）
（5） （ ） （6） （ ）
（7） （ ） （8） （ ）
2．解一元一次方程的一般需经过哪些步骤呢？结合例题回顾．
解一元一次方
解方程：
程的步骤
①去分母 解：方程两边同乘10，得
②去括号 去括号，得
③移项 移项，得
④合并同类项 合并同类项，得
⑤系数化为1 系数化为1，得
3．找出下列各组分式的最简公分母：
1 1
（1）x+1与x−1的最简公分母是 ；
1 1
（2）a+2 与a2 −4 的最简公分母是 ．
二、新知预习
问题1：什么是分式方程？要点归纳：分母中含有________的方程叫做分式方程．
问题2：解分式方程的一般步骤有哪些？
要点归纳：（1）去分母：在方程的两边同乘___________，化成整式方程；
（2）解这个整式方程：去括号、移项、合并同类项、系数化为1；
（3）检验：把解得的根代入____________，若最简公分母的值不为0，则整式方程的解是
原分式方程的解；否则这个解不是原分式方程的解．
三、自学自测
1.1．下列各式中，不是关于x的分式方程的是 （ ）
A． B． C． D．
2．解分式方程 ＝3时，去分母后变形为 （ ）
A．2＋(x＋2)＝3(x－1) B．2－x＋2＝3(x－1)
C．2－(x＋2)＝3(1－x) D．2－(x＋2)＝3(x－1)
3．解方程：（1）－1＝； （2）－＝1．
四、我的疑惑
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课堂探究
一、要点探究
探究点1：分式方程的概念
问题1：一艘轮船在静水中的最大航速为30千米/时，它沿江以最大航速顺流航行90千米
所用时间，与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等．设江水的流速为x千米/时，根据
题意可列方程： ．
问题2：这个程是我们以前学过的方程吗？它与一元一次方程有什么区别？
要点归纳：此方程的分母中含有未知数x，像这样 的方程叫做分式方程．
判一判：下列方程中，哪些是分式方程？哪些是整式方程？方法总结：判断一个方程是否为分式方程，主要是看分母中是否含有未知数(注意：π不是
未知数)．
探究点2：分式方程的解法
问题1：你能试着解这个分式方程吗？
（1）如何把它转化为整式方程呢？
（2）怎样去分母？
（3）在方程两边同乘什么样的式子才能把每一个分母都约去？
（4）这样做的依据是什么？
解分式方程最关键的问题是什么？
要点归纳：
解分式方程的基本思路：是将分式方程化为整式方程，具体做法是“去分母”，即方程两
边同乘最简公分母．这也是解分式方程的一般方法．
问题2：下面我们再讨论一个分式方程：
想一想：上面两个分式方程中，为什么 ①去分母后所得整式方程的解就是
原分式方程的解，而 ②去分母后所得整式方程的解却不是原分式方程的解
呢？
我们再来观察去分母的过程：
真相揭秘：分式两边同乘了不为0的式子，所得整式方程的解与分式方程的解相同．真相揭秘：分式两边同乘了等于0的式子，所得整式方程的等式必然成立（即整式方程的
解与原分式方程无关），但其解使原分式方程中的分母为 0，故这个整式方程的解就不是
原分式方程的解．
要点归纳：分式方程解的检验------必不可少的步骤：
解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程的分母为0，所以分式方程的
解必须检验．
想一想：这个整式方程的解是不是原分式的解呢？怎样检验？
检验方法：将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的
解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解．
要点归纳：“去分母法”解分式方程的步骤：
1．在方程的两边同乘最简公分母，约去分母，化成整式方程．
2．解这个整式方程．
3．把整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分
式方程的解，否则须舍去．
4．写出原方程的解．
简记为：“一化二解三检验”．
典例精析
例1：解方程：
例2：解方程：
要点归纳：用框图的方式总结为：例3：关于x的方程＝1的解是正数，则a的取值范围是____________．
方法总结：求出方程的解(用未知字母表示)，然后根据解的正负性，列关于未知字母的不
等式求解，特别注意分母不能为0．
例4：若关于x的分式方程＋＝无解，求m的值．
方法总结：分式方程无解，不但包括分式方程化为整式方程后，所得整式方程无解的情
况，还包括整式方程有解但其解使最简公分母为 0 的情况．
二、课堂小结
内容 易错提醒
分母中含有________的方程叫做分式方程． （1）用分式方程中的最简
使得分式方程等号两端相等的未知数的值叫 公分母同乘方程两边，注意
分式方程的
做分式方程的解（也叫做分式方程的根）． 不要漏乘没有分母的项；
相关概念
（2）分式方程无解的两种
情况：①将分式方程通过
(1)去分母：在方程的两边同乘 “去分母”变成整式方程
___________，化成整式方程； 后，整式方程是类似“0x＝
(2)解这个整式方程：去括号、移项、合并同 1”的形式，即整式方程无
类项、系数化为1； 解；②整式方程求得的根使
分式方程的 (3)检验：把解得的根代入______________， 得原分式方程的最简公分母
解法 如果最简公分母的值不为0，则整式方程的 等于0；
（3）忘记检验．
解是原分式方程的解；否则这个解不是原分
式方程的解．
当堂检测
1．下列关于x的方程中，是分式方程的是( )
A．＝ B．＝
C．＋1＝ D．＝1－
2．要把方程 化为整式方程，方程两边可以同乘（ ）
A．3y－6 B．3y C．3(3y－6) D．3y (y－2)
3．解分式方程 时，去分母后得到的整式方程是（ ）
A．2(x﹣8)+5x=16(x﹣7) B．2(x﹣8)+5x=8
C．2(x﹣8)﹣5x=16(x﹣7) D．2(x﹣8)﹣5x=8
4．若关于x的分式方程 无解，则m的值为 ( )
A．－1，5 B．1 C．－1.5或2 D．－0.5或－1.55．解方程：参考答案
自主学习
一、知识链接
1．√ × × × √ √ √ √
2．2x－5(3－2x)=10x 2x－15+10x=10x 2x+10x－10x=15 2x=15
3．（1）x2－1 （2）a2－4
二、新知预习
问题1 未知数
问题2 公分母 公分母
三、自学自测
1．D 2．D
3．解：（1） ；（2）x=-3．
四、我的疑惑
课堂探究
二、要点探究
探究点1：分式方程的概念
问题1
问题2 分母中含未知数
判一判
分 式 方 程 ： ， ， ， ， ，
整式方程： ，
探究点2：分式方程的解法
问题1 解：方程①两边同乘（30+x)(30－x)，得90(30－x)=60(30+x)，解得x=6．
检验：将x=6代入原分式方程中，左边= =右边，
因此x=6是原分式方程的解．
问题2 下面我们再讨论一个分式方程：
解：方程两边同乘(x+5)(x－5)，得x+5=10，解得x=5．
检验：将x=5代入原方程中，分母x－5和x2－25的值都为0，相应的分式无意义．因此x=5虽是整式方程x+5=10的解，但不是原分式方程 的解，实际上，这个分
式方程无解．
典例精析
例1 解： 方程两边同乘x(x－3)，得2x=3x－9．解得x=9．
检验：当x=9时，x(x－3) ≠0，所以，原分式方程的解为x=9．
例2 解： 方程两边同乘(x－1)(x+2)，得x(x+2)－(x－1)(x+2)=3．解得x=1．
检验：当x=1时， (x－1)(x+2) =0，因此x=1不是原分式方程的解．所以，原分式方程无
解．
例3 a＜－1且a≠－2 解析：去分母得2x＋a＝x－1，解得x＝－a－1． ∵关于x的方程
＝1的解是正数，∴x＞0且x≠1．∴－a－1＞0且－a－1≠1，解得a＜－1且a≠－2．
∴a的取值范围是a＜－1且a≠－2．
例4：解：方程两边同乘(x＋2)(x－2)，得2(x＋2)＋mx＝3(x－2)，即(m－1)x＝－10．
①当m－1＝0时，此方程无解，此时m＝1；
②方程有增根，则x＝2或x＝－2．
当x＝2时，代入(m－1)x＝－10，得2(m－1)＝－10，m＝－4；
当x＝－2时，代入(m－1)x＝－10，得－2(m－1)＝－10，解得m＝6．
综上所述，m的值是1，－4或6．
当堂检测
1．D 2．D 3．A 4．D
5．解：去分母，得 解得
检验：把 代入 所以原方程的解为
