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第 79 讲 超几何分布与二项分布
1.伯努利试验与二项分布
(1)伯努利试验
的试验叫做伯努利试验；将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为
.
(2)二项分布
一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0＜p＜1)，用X表示事件A发生的次
数，则X的分布列为P(X＝k)＝ ，k＝0，1，2，…，n.
如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作 X ～ B ( n ， p ) .
2.两点分布与二项分布的均值、方差
(1)若随机变量X服从两点分布，则E(X)＝ ，D(X)＝ .
(2)若X～B(n，p)，则E(X)＝ ，D(X)＝ .
3.超几何分布
一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品.从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取的
n件产品中的次品数，则X的分布列为P(X＝k)＝ ，k＝m，m＋1，m＋2，…，r，其中，
n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}，如果随机变量X的分布列具有上式
的形式，那么称随机变量X服从超几何分布.
1、（2022•浙江）现有7张卡片，分别写上数字1，2，2，3，4，5，6．从这7张卡片中随机抽取3张，记
所抽取卡片上数字的最小值为 ，则 ， ．
2、（2021•天津）甲、乙两人在每次猜谜活动中各猜一个谜语，若一方猜对且另一方猜错，则猜对的一方
获胜，否则本次平局．已知每次活动中，甲、乙猜对的概率分别为 和 ，且每次活动中甲、乙猜对与否
互不影响，各次活动也互不影响，则一次活动中，甲获胜的概率为 ；3次活动中，甲至少获胜2次的
概率为 ．
3、【2018年新课标1卷理科】某工厂的某种产品成箱包装，每箱 件，每一箱产品在交付用户之前要
对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取 件作检验，再根据
检验结果决定是否对余下的所有产品作检验，设每件产品为不合格品的概率都为 ，且各件产品
是否为不合格品相互独立．（1）记 件产品中恰有 件不合格品的概率为 ,求 的最大值点 ；
（2）现对一箱产品检验了 件，结果恰有 件不合格品，以（1）中确定的 作为 的值．已知每件产品
的检验费用为 元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付 元的赔偿费用．
（i）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为 ，求 ;
（ii）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？
1、若随机变量X～B，则P(X＝3)等于( )
A. B. C. D.
2、(2022·昆明诊断)袋中装有2个红球，3个黄球，有放回地抽取3次，每次抽取1球，则3次中恰有2次
抽到黄球的概率是( )
A. B. C. D.
3、(2022·济南模拟)从装有3个白球、4个红球的箱子中，随机取出了 3个球，恰好是2个白球、1个红球
的概率是( )
A. B. C. D.
3、 在4次独立试验中，事件A出现的概率相同，若事件A至少发生1次的概率是，则事件A在一次试
验中出现的概率是________．
4、（2022·湖北江岸·高三期末）在 次独立重复试验中，每次试验的结果只有A，B，C三种，且
A，B，C三个事件之间两两互斥.已知在每一次试验中，事件A，B发生的概率均为 ，则事件A，B，C发
生次数的方差之比为（ ）
A．5：5：4 B．4：4：3 C．3：3：2 D．2：2：1
考向一 独立重复试验与二项分布
例1、已知一个射手每次击中目标的概率为P＝，求他在4次射击中下列事件发生的概率．(1) 命中一次；
(2) 命中两次．
变式1、已知一个射手每次击中目标的概率为P＝，求他在4次射击中下列事件发生的概率．求：
(1) 恰在第三次命中目标的概率；
(2) 刚好在第二次、第三次两次击中目标的概率．
变式2、已知一个射手每次击中目标的概率为P＝，求他在4次射击中下列事件发生的概率．求：
(1) 至少命中一次的概率；
(2) 至多命中两次的概率．
变式3、（2022·山东淄博·高三期末）学习强国中有两项竞赛答题活动，一项为“双人对战”，另一项为
“四人赛”．活动规则如下：一天内参与“双人对战”活动，仅首局比赛可获得积分，获胜得2分，失败
得1分；一天内参与“四人赛”活动，仅前两局比赛可获得积分，首局获胜得3分，次局获胜得2分，失
败均得1分．已知李明参加“双人对战”活动时，每局比赛获胜的概率为 ；参加“四人赛”活动（每天
两局）时，第一局和第二局比赛获胜的概率分别为p， ．李明周一到周五每天都参加了“双人对战”活动和“四人赛”活动（每天两局），各局比赛互不影响．
(1)求李明这5天参加“双人对战”活动的总得分X的分布列和数学期望；
(2)设李明在这5天的“四人赛”活动（每天两局）中，恰有3天每天得分不低于3分的概率为 ．求p
为何值时， 取得最大值．
方法总结：判断某随机变量是否服从二项分布的关键点
(1)在每一次试验中，事件发生的概率相同.
(2)各次试验中的事件是相互独立的.
(3)在每一次试验中，试验的结果只有两个，即发生与不发生.
考向二 超几何分布
例2、 袋中有8个球，其中5个黑球，3个红球，从袋中任取3个球，求取出的红球数X的分布列，并求
至少有一个红球的概率．
变式1、袋中有8个球，其中5个黑球，3个红球，从袋中任取3个球，求取出的黑球数X的分布列．
变式2、（2022·山东临沂·高三期末）一机床生产了 个汽车零件，其中有 个一等品、 个合格品、
个次品，从中随机地抽出 个零件作为样本.用 表示样本中一等品的个数.
（1）若有放回地抽取，求 的分布列；（2）若不放回地抽取，用样本中一等品的比例去估计总体中一等品的比例.
①求误差不超过 的 的值；
②求误差不超过 的概率（结果不用计算，用式子表示即可）
方法总结：(1)超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数.超几何分布的特
征是：
①考察对象分两类；②已知各类对象的个数；③从中抽取若干个个体，考查某类个体数X的概率分布.
(2)超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其实质是古典概型.
1、（2023·辽宁大连·统考三模）已知随机变量 ，且 ，则 __________.
2、2023·江苏南通·三模）随机变量 ，则 __________.
3、（多选）（2023·辽宁·大连二十四中校联考三模）若随机变量 ，下列说法中正确的是
（ ）
A． B．期望
C．期望 D．方差
4、（2022·河北唐山·高三期末）（多选题）为排查新型冠状病毒肺炎患者，需要进行核酸检测．现有两种
检测方式：（1）逐份检测：（2）混合检测：将其中k份核酸分别取样混合在一起检测，若检测结果为阴
性，则这k份核酸全为阴性，因而这k份核酸只要检测一次就够了，如果检测结果为阳性，为了明确这k
份核酸样本究竞哪几份为阳性，就需要对这k份核酸再逐份检测，此时，这k份核酸的检测次数总共为
次．假设在接受检测的核酸样本中，每份样本的检测结果是阴性还是阳性都是独立的，并且每份样本
是阳性的概率都为 ，若 ，运用概率统计的知识判断下列哪些p值能使得混合检测方式优于逐份检测方式．（参考数据： ）（ ）
A．0.4 B．0.3 C．0.2 D．0.1
5、（2022·山东省淄博实验中学高三期末）唐三彩是中国古代陶瓷烧制工艺的珍品，它吸取了中国国画、
雕塑等工艺美术的特点，在中国文化中占有重要的历史地位，在陶瓷史上留下了浓墨重彩的一笔，唐三彩
的生产至今已有 多年的历史，制作工艺十分复杂，而且优质品检验异常严格，检验方案是：先从烧制
的这批唐三彩中任取 件作检验，这 件唐三彩中优质品的件数记为 ，如果 ，再从这批唐三彩中任
取 件作检验，若都为优质品，则这批唐三彩通过检验：如果 ，再从这批唐三彩中任取 件作检验，
若为优质品，则这批唐三彩通过检验，其他情况下，这批唐三彩的优质品概率为 ，即取出的每件唐三彩
是优质品的概率都为 ，且各件唐三彩是否为优质品相互独立．
(1)求这批唐三彩通过优质品检验的概率；
(2)已知每件唐三彩的检验费用为 元，且抽取的每件唐三彩都需要检验，对这批唐三彩作质量检验所需
的总费用记为 元，求 的分布列及数学期望．
6、（2022·山东青岛·高三期末）习近平总书记在党的十九大报告中指出，保障和改善人民最关心最直接最
现实的利益问题要从“让人民群众满意的事情”做起.2021年底某市城市公园建设基本完成，为了解市民
对该项目的满意度，从该市随机抽取若干市民对该项目进行评分(满分100分)，绘制成如图所示的频率分
布直方图，并将分数从低到高分为四个等级：
满意度评分 低于60分 60分到79分 80分到89分 不低于90分
满意度等级 不满意 基本满意 满意 非常满意(1)若市民的满意度评分相互独立，以满意度样本估计全市民满意度，现从全市民中随机抽取5人，求至少
2人非常满意的概率；
(2)相关部门对该项目进行验收，验收的硬性指标是：全民对该项目的满意指数不低于0.8，否则该项目需
要进行整改，根据你所学的统计知识，判断该项目能否通过验收，并说明理由；(注：满意指数=
)
(3)在等级为不满意的市民中，老人占 ，现从该等级市民中按年龄分层抽取9人了解不满意的原因，并从
中选取3人担任督导员.记X为老年督导员的人数，求X的分布列及数学期望E(X).
