限时跟踪检测(六十九) 二项分布与超几何分布
一、单项选择题
1．(2024·四川成都七中第三次质量检测)袋中有6个大小相同的黑球，编号分别为
1,2,3,4,5,6，还有4个同样大小的白球，编号分别为7,8,9,10.现从中任取4个球，则下列结
论中正确的是( )
①取出的最大号码X服从超几何分布；
②取出的黑球个数Y服从超几何分布；
③取出2个白球的概率为；
④若取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，则总得分最大的概率为
A．①② B．②④
C．③④ D．①③④
2．某高三学生进行心理素质测试，场景相同的条件下每次通过测试的概率为，则连续
测试4次，至少有3次通过的概率为( )
A． B． C． D．
3．(2024·福建泉州模拟)甲、乙两位选手进行乒乓球比赛，5局3胜制，每局甲赢的概
率是，乙赢的概率是，则甲以3∶1获胜的概率是( )
A． B．
C． D．
4．(2024·河北石家庄二中模拟)已知两个随机变量 X，Y，其中X～B，Y～N(μ，σ2)
(σ>0)，若E(X)＝E(Y)，且P(|Y|<1)＝0.3，则P(Y<－1)＝( )
A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.1
5．一个课外兴趣小组共有5名成员，其中3名女性成员，2名男性成员，现从中随机
选取2名成员进行学习汇报，记选出女性成员的人数为X，则X的均值是( )
A． B． C． D．
6．摇奖器内有10个小球，其中8个小球上标有数字2,2个小球上标有数字5，现摇出
3个小球，规定所得奖金X(元)为这3个小球上所标数字之和，则获得12元奖金的概率是(
)
A． B． C． D．
7．若X～B，则使P(X＝k)最大的k的值是( )
A．2 B．3 C．2或3 D．4
8．(2024·重庆八中第五次月考)某班级准备进行“福气到”抽奖活动，福袋中装有标号
分别为1,2,3,4,5的五个相同小球，从袋中一次性摸出三个小球，若号码之和是 3的倍数，
则获奖．若有5名同学参与此次活动，则恰好3人获奖的概率是( )
A． B． C． D．
9．(2024·江苏南通模拟)连续向上抛一枚硬币五次，设事件“没有连续两次正面向上”
的概率为P，设事件“没有连续三次正面向上”的概率为P，则下列结论正确的是( )
1 2
A．P＋P＝1 B．P<2P
1 2 2 1
C．P＝2P D．P>2P
2 1 2 1
二、多项选择题10．为了弘扬奥林匹克精神，某市多所中小学开展了冬奥会项目科普活动．为了调查
学生对冰壶这个项目的了解情况，在该市中小学中随机抽取了 10所学校，10所学校中了
解这个项目的人数如图所示：
若从这10所学校中随机选取2所学校进行这个项目的科普活动，记X为被选中的学校
中了解冰壶的人数在30以上的学校所数，则( )
A．X的可能取值为0,1,2,3
B．P(X＝0)＝
C．E(X)＝
D．D(X)＝
11．某计算机程序每运行一次都随机出现一个五位二进制数 A＝aaaaa(例如
1 2 3 4 5
10100)，其中A的各位数中a(k＝2,3,4,5)出现0的概率为，出现1的概率为，记X＝a ＋a
k 2 3
＋a＋a，则当程序运行一次时( )
4 5
A．X服从二项分布
B．P(X＝1)＝
C．X的均值E(X)＝
D．X的方差D(X)＝
三、填空题与解答题
12．某人参加一次测试，在备选的10道题中，他能答对其中的5道．现从备选的10
道题中随机抽出 3 道题进行测试，规定至少答对 2 道题才算合格．则合格的概率为
________．
13．甲、乙两人在每次猜谜活动中各猜一个谜语，若一方猜对且另一方猜错，则猜对
的一方获胜，否则本次平局．已知每次活动中，甲、乙猜对的概率分别为和，且每次活动
中甲、乙猜对与否互不影响，各次活动也互不影响，则 1次活动中，甲获胜的概率为
________，3次活动中，甲至少获胜2次的概率为________．
14．(2024·山东青岛模拟)某市居民使用天然气实行阶梯价格制度，具体见下表：
阶梯 年用气量(立方米) 价格(元/立方米)
第一阶梯 不超过228的部分 3.25
超过228而不超过
第二阶梯 3.83
348的部分第三阶梯 超过348的部分 4.70
从该市随机抽取10户(一套住宅为一户)同一年的天然气使用情况，得到统计表如下：
居民用气
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
编号
年用气量
95 106 112 161 210 227 256 313 325 457
(立方米)
(1)求一户居民年用气费y(元)关于年用气量x(立方米)的函数关系式；
(2)现要在这10户家庭中任意抽取3户，求抽到的年用气量超过228立方米而不超过
348立方米的用户数的分布列与数学期望；
(3)若以表中抽到的10户作为样本估计全市居民的年用气情况，现从全市中依次抽取
10户，其中恰有k户年用气量不超过228立方米的概率为P(k)，求P(k)取最大值时k的值．
15．(2024·重庆开州区练习)某学校为了提升学生学习数学的兴趣，举行了“趣味数
学”闯关比赛，每轮比赛从10道题中任意抽取3道回答，每答对一道题积1分．已知小明
同学能答对10道题中的6道题．
(1)求小明同学在一轮比赛中所得积分X的分布列和期望；
(2)规定参赛者在一轮比赛中至少积2分才视为闯关成功，若参赛者每轮闯关成功的概
率稳定且每轮是否闯关成功相互独立，问：小明同学在 5轮闯关比赛中，需几次闯关成功
才能使得对应概率取值最大？
高分推荐题
16．(2024·安徽安庆模拟)某同学小A热衷于参与四人赛．每局四人赛都是由网络随机
匹配四人进行比赛，每题回答正确得20分，第1个达到100分的比赛者获得第1名，赢得
该局比赛，该局比赛结束．每天的四人赛共有30局，前2局是有效局，根据得分情况获得
相应名次，从而得到相应的积分，第1局获得第1名的得3分，获得第2,3名的得2分，获
得第4名的得1分；第2局获得第1名的得2分，获得第2,3,4名的得1分；后28局是无效
局，无论获得什么名次，均不能获得积分．经统计，小A每天在第1局四人赛中获得3分、2分、1分的概率分别为，，，在第2局四人赛中获得2分、1分的概率分别为，.
(1)若小A至少参加前2局，设小A每天获得的得分为X，求X的分布列、数学期望和
方差；
(2)若小A每天赛完30局，设小A在每局四人赛中获得第1名从而赢得该局比赛的概率
为，每局是否赢得比赛相互独立，请问在每天的30局四人赛中，小A赢得多少局比赛的概
率最大？
解析版
一、单项选择题
1．(2024·四川成都七中第三次质量检测)袋中有6个大小相同的黑球，编号分别为
1,2,3,4,5,6，还有4个同样大小的白球，编号分别为7,8,9,10.现从中任取4个球，则下列结
论中正确的是( )
①取出的最大号码X服从超几何分布；
②取出的黑球个数Y服从超几何分布；
③取出2个白球的概率为；
④若取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，则总得分最大的概率为
A．①② B．②④
C．③④ D．①③④
解析：对于①，根据超几何分布的定义，要把总体分为两类，再依次选取，由此可知
取出的最大号码X不符合超几何分布的定义，无法用超几何分布的数学模型计算概率，故
①错误；
对于②，取出的黑球个数Y符合超几何分布的定义，将黑球视作第一类，白球视作第
二类，可以用超几何分布的数学模型计算概率，故②正确；
对于③，取出2个白球的概率为＝，故③错误；
对于④，若取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，则取出四个黑球的总得分最
大，总得分最大的概率为＝，故④正确．
答案：B2．某高三学生进行心理素质测试，场景相同的条件下每次通过测试的概率为，则连续
测试4次，至少有3次通过的概率为( )
A． B． C． D．
解析：4次测试即为4次独立重复实验，故概率为C3·＋C4＝.
答案：A
3．(2024·福建泉州模拟)甲、乙两位选手进行乒乓球比赛，5局3胜制，每局甲赢的概
率是，乙赢的概率是，则甲以3∶1获胜的概率是( )
A． B．
C． D．
解析：由题意知，甲以3∶1获胜是指前3局比赛中甲2胜1负，第4局比赛甲胜，∴
甲以3∶1获胜的概率是P＝C×2××＝.故选A．
答案：A
4．(2024·河北石家庄二中模拟)已知两个随机变量 X，Y，其中X～B，Y～N(μ，σ2)
(σ>0)，若E(X)＝E(Y)，且P(|Y|<1)＝0.3，则P(Y<－1)＝( )
A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.1
解析：由题设，得E(X)＝E(Y)＝5×＝1，得μ＝1，又P(|Y|<1)＝P(－1<Y<1)＝0.3，故
P(Y<－1)＝0.5－0.3＝0.2.
故选A．
答案：A
5．一个课外兴趣小组共有5名成员，其中3名女性成员，2名男性成员，现从中随机
选取2名成员进行学习汇报，记选出女性成员的人数为X，则X的均值是( )
A． B． C． D．
解析：由题意得，P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝.
∴E(X)＝0×＋1×＋2×＝.故选A．
答案：A
6．摇奖器内有10个小球，其中8个小球上标有数字2,2个小球上标有数字5，现摇出
3个小球，规定所得奖金X(元)为这3个小球上所标数字之和，则获得12元奖金的概率是(
)
A． B． C． D．
解析：当摇出的3个小球有1个标有数字2,2个标有数字5时，X＝12，
故P(X＝12)＝＝.故选A．
答案：A
7．若X～B，则使P(X＝k)最大的k的值是( )
A．2 B．3 C．2或3 D．4
解析：P(X＝k)＝Ck6－k＝C6，又＝＝，当k<时，P(X＝k＋1)>P(X＝k)，当k>时，P(X＝k
＋1)<P(X＝k)，∴当k＝3时，P(X＝k)取得最大值．故选B．
答案：B
8．(2024·重庆八中第五次月考)某班级准备进行“福气到”抽奖活动，福袋中装有标号
分别为1,2,3,4,5的五个相同小球，从袋中一次性摸出三个小球，若号码之和是 3的倍数，则获奖．若有5名同学参与此次活动，则恰好3人获奖的概率是( )
A． B． C． D．
解析：每次抽奖中，总情况数为 C＝10，获奖的情况共有(1,2,3)，(1,3,5)，(2,3,4)，
(3,4,5)这4种，所以每次抽奖中获奖的概率p＝.设5人中获奖人数为X，则X～B，所以P(X
＝3)＝C3×2＝.故选C．
答案：C
9．(2024·江苏南通模拟)连续向上抛一枚硬币五次，设事件“没有连续两次正面向上”
的概率为P，设事件“没有连续三次正面向上”的概率为P，则下列结论正确的是( )
1 2
A．P＋P＝1 B．P<2P
1 2 2 1
C．P＝2P D．P>2P
2 1 2 1
解析：事件“没有连续两次正面向上”有四种情况；①没有正面向上；②一次正面向
上；③两次正面向上；④三次正面向上，故P ＝5＋C5＋(C－4)5＋5＝.事件“没有连续三次
1
正面向上”有五种情况：①没有正面向上；②一次正面向上；③两次正面向上；④三次正
面向上；⑤四次正面向上，故P＝5＋C5＋C5＋(C－3)5＋5＝，所以2P>P 成立．故选B．
2 1 2
答案：B
二、多项选择题
10．为了弘扬奥林匹克精神，某市多所中小学开展了冬奥会项目科普活动．为了调查
学生对冰壶这个项目的了解情况，在该市中小学中随机抽取了 10所学校，10所学校中了
解这个项目的人数如图所示：
若从这10所学校中随机选取2所学校进行这个项目的科普活动，记X为被选中的学校
中了解冰壶的人数在30以上的学校所数，则( )
A．X的可能取值为0,1,2,3
B．P(X＝0)＝
C．E(X)＝
D．D(X)＝
解析：根据题意，X的可能取值为0,1,2，其中了解冰壶的人数在30以上的学校有4所，
了解冰壶的人数在30以下的学校有6所，所以P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝.
所以X的概率分布列为
X 0 1 2
P
所以E(X)＝＝，D(X)＝2×＋2×＋2×＝.故选BD．
答案：BD11．某计算机程序每运行一次都随机出现一个五位二进制数 A＝aaaaa(例如
1 2 3 4 5
10100)，其中A的各位数中a(k＝2,3,4,5)出现0的概率为，出现1的概率为，记X＝a ＋a
k 2 3
＋a＋a，则当程序运行一次时( )
4 5
A．X服从二项分布
B．P(X＝1)＝
C．X的均值E(X)＝
D．X的方差D(X)＝
解析：由二进制数A的特点知每一个数位上的数字只能填0,1，且每个数位上的数字在
填时互不影响，故以后的5位数中后4位的所有结果有4类：①后4个数都出现0，X＝0，
记其概率为P(X＝0)＝4＝；②后4个数只出现1个1，X＝1，记其概率为P(X＝1)＝C××3
＝；③后4个数出现2个1，X＝2，记其概率为P(X＝2)＝C×2×2＝；④后4个数出现3个
1，X＝3，记其概率为P(X＝3)＝C×3×＝；⑤后4个数都出现1，X＝4，记其概率为P(X＝4)
＝4＝.故X～B，故A，B正确；∵X～B，∴E(X)＝4×＝，D(X)＝4××＝，故C正确，D错误．
故选ABC．
答案：ABC
三、填空题与解答题
12．某人参加一次测试，在备选的10道题中，他能答对其中的5道．现从备选的10
道题中随机抽出 3 道题进行测试，规定至少答对 2 道题才算合格．则合格的概率为
________．
解析：设此人答对题目的个数为ξ，
则ξ的所有可能取值为0,1,2,3，
P(ξ＝0)＝＝，
P(ξ＝1)＝＝，
P(ξ＝2)＝＝，
P(ξ＝3)＝＝，
则合格的概率为
P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)＝.
答案：
13．甲、乙两人在每次猜谜活动中各猜一个谜语，若一方猜对且另一方猜错，则猜对
的一方获胜，否则本次平局．已知每次活动中，甲、乙猜对的概率分别为和，且每次活动
中甲、乙猜对与否互不影响，各次活动也互不影响，则 1次活动中，甲获胜的概率为
________，3次活动中，甲至少获胜2次的概率为________．
解析：由题意可得，1次活动中，甲获胜的概率为×＝；
则3次活动中，甲至少获胜2次的概率为C×2×＋3＝.
故答案为；.
答案：
14．(2024·山东青岛模拟)某市居民使用天然气实行阶梯价格制度，具体见下表：阶梯 年用气量(立方米) 价格(元/立方米)
第一阶梯 不超过228的部分 3.25
超过228而不超过
第二阶梯 3.83
348的部分
第三阶梯 超过348的部分 4.70
从该市随机抽取10户(一套住宅为一户)同一年的天然气使用情况，得到统计表如下：
居民用气
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
编号
年用气量
95 106 112 161 210 227 256 313 325 457
(立方米)
(1)求一户居民年用气费y(元)关于年用气量x(立方米)的函数关系式；
(2)现要在这10户家庭中任意抽取3户，求抽到的年用气量超过228立方米而不超过
348立方米的用户数的分布列与数学期望；
(3)若以表中抽到的10户作为样本估计全市居民的年用气情况，现从全市中依次抽取
10户，其中恰有k户年用气量不超过228立方米的概率为P(k)，求P(k)取最大值时k的值．
解：(1)由题意，当x∈(0,228]时，y＝3.25x；
当x∈(228,348]时，y＝3.25×228＋3.83(x－228)＝3.83x－132.24；
当x∈(348，＋∞)时，y＝3.83×348－132.24＋4.7(x－348)＝4.7x－435，
所以年用气费y关于年用气量x的函数关系式为y＝
(2)由题知10户家庭中年用气量超过228立方米而不超过348立方米的用户有3户，
设取到年用气量超过228立方米而不超过348立方米的用户数为ξ，则ξ可取0,1,2,3，
则P(ξ＝0)＝＝，
P(ξ＝1)＝＝，
P(ξ＝2)＝＝，
P(ξ＝3)＝＝，
故随机变量ξ的分布列为
ξ 0 1 2 3
P
所以E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
(3)由题意知P(k)＝Ck10－k(k＝0,1,2,3，…，10)，由
Ck10－k≥Ck＋1·10－k－1，①
Ck10－k≥Ck－1·10－k＋1，②
解得≤k≤，k∈N*，
所以当k＝6时，概率P(k)最大，所以k＝6.
15．(2024·重庆开州区练习)某学校为了提升学生学习数学的兴趣，举行了“趣味数
学”闯关比赛，每轮比赛从10道题中任意抽取3道回答，每答对一道题积1分．已知小明同学能答对10道题中的6道题．
(1)求小明同学在一轮比赛中所得积分X的分布列和期望；
(2)规定参赛者在一轮比赛中至少积2分才视为闯关成功，若参赛者每轮闯关成功的概
率稳定且每轮是否闯关成功相互独立，问：小明同学在 5轮闯关比赛中，需几次闯关成功
才能使得对应概率取值最大？
解：(1)由题知，X可取0,1,2,3，则
P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝，
故X的分布列为
X 0 1 2 3
P
则X的期望为E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
(2)方法一：参赛者在一轮比赛中至少积2分才视为闯关成功，记概率为p＝＋＝.
若小明同学在5轮闯关比赛中，记闯关成功的次数为Y，则Y～B，
故P(Y＝k)＝C·k·5－k，k＝0,1，…，5，
所以Y的分布列为
Y 0 1 2 3 4 5
P
故小明同学在5轮闯关比赛中，需3次或4次闯关成功才能使得对应概率取值最大．
方法二：参赛者在一轮比赛中至少积2分才视为闯关成功，记概率为p＝＋＝.
若小明同学在5轮闯关比赛中，记闯关成功的次数为Y，则Y～B，
故P(Y＝k)＝C·k·5－k，k＝0,1，…，5，
假设当Y＝k时，对应概率取值最大，
由C·k·5－k≥C·k＋1·4－k，①
C·k·5－k≥C·k－1·6－k，②
解得3≤k≤4，而P(Y＝3)＝P(Y＝4)＝.
故小明同学在5轮闯关比赛中，需3次或4次闯关成功才能使得对应概率取值最大．
高分推荐题
16．(2024·安徽安庆模拟)某同学小A热衷于参与四人赛．每局四人赛都是由网络随机
匹配四人进行比赛，每题回答正确得20分，第1个达到100分的比赛者获得第1名，赢得
该局比赛，该局比赛结束．每天的四人赛共有30局，前2局是有效局，根据得分情况获得
相应名次，从而得到相应的积分，第1局获得第1名的得3分，获得第2,3名的得2分，获
得第4名的得1分；第2局获得第1名的得2分，获得第2,3,4名的得1分；后28局是无效
局，无论获得什么名次，均不能获得积分．经统计，小A每天在第1局四人赛中获得3分、
2分、1分的概率分别为，，，在第2局四人赛中获得2分、1分的概率分别为，.
(1)若小A至少参加前2局，设小A每天获得的得分为X，求X的分布列、数学期望和
方差；(2)若小A每天赛完30局，设小A在每局四人赛中获得第1名从而赢得该局比赛的概率
为，每局是否赢得比赛相互独立，请问在每天的30局四人赛中，小A赢得多少局比赛的概
率最大？
解：(1)记事件A(i＝1,2,3)表示第一局获得i分，事件B(i＝1,2)表示第二局获得i分，
i i
这些事件相互独立，由条件知X的可能值为5,4,3,2.
P(X＝5)＝P(AB)＝P(A)P(B)＝×＝，
3 2 3 2
P(X＝4)＝P(AB)＋P(AB)＝×＋×＝，
3 1 2 2
P(X＝3)＝P(AB)＋P(AB)＝×＋×＝，
2 1 1 2
P(X＝2)＝P(AB)＝×＝，
1 1
X的分布列为
X 5 4 3 2
P
E(X)＝5×＋4×＋3×＋2×＝，
D(X)＝2×＋2×＋2×＋2×＝.
(2)设小A每天赢得的局数为Y，则Y～B，
P(Y＝k)＝C·k·30－k.
根据条件得
C·k·30－k≥C·k－1·31－k①，
C·k·30－k≥C·k＋1·29－k②，
由①得·k·30－k≥·k－1·31－k，得k≤，
同理，由②得≤k，所以≤k≤，
又因为k∈N*，所以k＝10，因此在每天的30局四人赛中，小A赢得10局比赛的概率
最大．
