文档内容
第6讲 二项分布及其应用
最新考纲 考向预测
条件概率、相互独立事件同
1.结合古典概型，了解条件概率，能计
时发生的概率、独立重复事
算简单随机事件的条件概率，了解条 命题趋
件、二项分布和正态分布仍
件概率与独立性的关系． 势
是高考考查的热点，三种题
2.通过具体实例，了解伯努利试验，掌
型均有可能出现．
握二项分布及其数字特征，并能解决
核心素
简单的实际问题. 数据分析、数学建模
养
1．条件概率
(1)定义
设A，B为两个事件，且P(A)＞0，称P(B|A)＝为在事件A发生的条件下，事件
B发生的条件概率．
(2)性质
①条件概率具有一般概率的性质，即0≤P(B|A)≤1；
②如果B，C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝ P ( B | A ) ＋ P ( C | A ) ．
2．事件的相互独立性
(1)定义
设A，B为两个事件，如果P(AB)＝ P ( A ) P ( B ) ，则称事件A与事件B相互独立．
(2)性质
①若事件A与B相互独立，则P(B|A)＝ P ( B ) ，
P(A|B)＝P(A)，P(AB)＝ P ( A ) P ( B ) ．
②如果事件A与B相互独立，那么 A 与 B ，A 与B，A 与B也相互独立．
3．独立重复试验与二项分布
独立重复试验 二项分布
在n次独立重复试验中，用X表示事件
在相同条件下重复做
A发生的次数，设每次试验中事件A发
定义 的n次试验称为n次独
生的概率是p，此时称随机变量X服从
立重复试验
二项分布，记作X～B(n，p)，并称p为成功概率
用A(i＝1，2，…，n)表
i
在n次独立重复试验中，事件A恰好发
示第i次试验结果，则
计算公式 生k次的概率为P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－
P(A A A …A ) ＝
1 2 3 n
k(k＝0，1，2，…，n)
P(A )P(A )…P(A )
1 2 n
常用结论
1．相互独立事件与互斥事件的区别
相互独立事件是指两个事件发生的概率互不影响，计算公式为 P(AB)＝
P(A)P(B)，互斥事件是指在同一试验中，两个事件不会同时发生，计算公式为
P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．
2．两个概率公式
(1)在事件B发生的条件下A发生的概率为P(A|B)＝.注意其与P(B|A)的不同．
(2)若事件A ，A ，…，A 相互独立，则P(A A …A )＝P(A )P(A )…P(A )．
1 2 n 1 2 n 1 2 n
常见误区
运用公式P(AB)＝P(A)P(B)时，一定要注意公式成立的条件，只有当事件A，B
相互独立时，公式才成立．
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)条件概率一定不等于它的非条件概率．( )
(2)相互独立事件就是互斥事件．( )
(3)对于任意两个事件，公式P(AB)＝P(A)P(B)都成立．( )
(4)二项分布是一个概率分布，其公式相当于(a＋b)n二项展开式的通项公式，
其中a＝p，b＝1－p.( )
(5)P(B|A)表示在事件A发生的条件下，事件B发生的概率，P(AB)表示事件
A，B同时发生的概率．( )
答案：(1)× (2)× (3)× (4)× (5)√
2．(易错题)天气预报，在元旦假期甲地降雨的概率是0.2，乙地降雨的概率是
0.3.假设在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，则这两地中恰有一个地
方降雨的概率为( )
A．0.2 B．0.3
C．0.38 D．0.56
解析：选C.设甲地降雨为事件A，乙地降雨为事件B，则两地恰有一地降雨为AB＋AB，
所以P(AB＋AB)＝P(AB)＋P(AB)
＝P(A)P(B)＋P(A)P(B)
＝0.2×0.7＋0.8×0.3
＝0.38.
3．先后掷一枚质地均匀的骰子(骰子的六个面上分别标有1，2，3，4，5，6个
点)两次，落在水平桌面后，记正面朝上的点数分别为x，y，设事件A为“x＋y为
偶数”，事件B为“x，y中有偶数，且x≠y”，则概率P(B|A)＝( )
A. B.
C. D.
解析：选A.因为P(A)＝＝，P(AB)＝＝，所以P(B|A)＝＝.
4．设随机变量X～B，则P(X＝3)＝________．
解析：因为X～B，所以P(X＝3)＝C×＝.
答案：
5．(2020·高考天津卷)已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为和.假定两球是
否落入盒子互不影响，则甲、乙两球都落入盒子的概率为________；甲、乙两球至
少有一个落入盒子的概率为________．
解析：依题意得，甲、乙两球都落入盒子的概率为×＝，甲、乙两球都不落入
盒子的概率为(1－)×(1－)＝，则甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为1－＝.
答案：
条件概率
(1)某道数学试题含有两问，当第一问正确做对时，才能做第二问，为了
解该题的难度，调查了100名学生的做题情况，做对第一问的学生有80人，既做
对第一问又做对第二问的学生有72人，以做对试题的频率近似作为做对试题的
概率，已知某个学生已经做对第一问，则该学生做对第二问的概率为( )
A．0.9 B．0.8
C．0.72 D．0.576
(2)从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，事件A＝“取到的2个数之和为偶
数”，事件B＝“取到的2个数均为偶数”，则P(B|A)＝( )A. B.
C. D.
【解析】 (1)做对第一问的学生有80人，则做对第一问的频率为＝0.8.既做对
第一问又做对第二问的学生有72人，则两问都做对的频率为＝0.72.设“做对第
一问”为事件A，“做对第二问”为事件B，则P(A)＝0.8，P(AB)＝0.72，某个学生
已经做对第一问，则该学生做对第二问的概率P(B|A)＝＝＝0.9，故选A.
(2)P(A)＝＝＝，P(AB)＝＝，由条件概率公式，得P(B|A)＝＝＝.
【答案】 (1)A (2)B
【引申探究】 (变条件)将本例(2)中的“和”改为“积”，求P(B|A)．
解：事件A：“取到的2个数之积为偶数”所包含的基本事件有：(1，2)，(3，
2)，(4，2)，(5，2)，(4，1)，(4，3)，(4，5)，所以P(A)＝.事件B：“取到的2个数均为偶
数”所包含的基本事件有(2，4)，所以P(AB)＝，
所以P(B|A)＝＝＝.
条件概率的两种求解方法
1．(2021·云南师大附中月考)小明早上步行从家到学校要经过有红绿灯的两
个路口，根据经验，在第一个路口遇到红灯的概率为0.4，在第二个路口遇到红灯
的概率为0.5，在两个路口连续遇到红灯的概率是0.2.某天早上小明在第一个路
口遇到了红灯，则他在第二个路口也遇到红灯的概率是( )
A．0.2 B．0.3
C．0.4 D．0.5
解析：选D.记“小明在第一个路口遇到红灯”为事件A，“小明在第二个路
口遇到红灯”为事件B，“小明在第一个路口遇到了红灯，在第二个路口也遇到
红灯”为事件C，则P(A)＝0.4，P(B)＝0.5，P(AB)＝0.2，则P(B|A)＝＝＝0.5.故选
D.
2．甲、乙、丙、丁四名同学报名参加假期社区服务活动，社区服务活动共有关
怀老人、环境监测、教育咨询、交通宣传四个项目，每人限报其中一项，记事件A
为“4名同学所报项目各不相同”，事件B为“只有甲同学一人报关怀老人项目”则P(A|B)的值为( )
A. B.
C. D.
解析：选C.因为P(B)＝，P(AB)＝，所以P(A|B)＝＝.
相互独立事件的概率
(2020·高考全国卷Ⅰ)甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如
下：
累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场
比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当
一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比
赛结束．
经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空．设每场比赛双方获胜的概率都为.
(1)求甲连胜四场的概率；
(2)求需要进行第五场比赛的概率；
(3)求丙最终获胜的概率．
【解】 (1)甲连胜四场的概率为.
(2)根据赛制，至少需要进行四场比赛，至多需要进行五场比赛．
比赛四场结束，共有三种情况：
甲连胜四场的概率为；
乙连胜四场的概率为；
丙上场后连胜三场的概率为.
所以需要进行第五场比赛的概率为1－－－＝.
(3)丙最终获胜，有两种情况：
比赛四场结束且丙最终获胜的概率为.
比赛五场结束且丙最终获胜，则从第二场开始的四场比赛按照丙的胜、负、轮
空结果有三种情况：胜胜负胜，胜负空胜，负空胜胜，概率分别为，，.
因此丙最终获胜的概率为＋＋＋＝.
利用相互独立事件求复杂事件概率的解题思路
(1)将待求复杂事件转化为几个彼此互斥简单事件的和．
(2)将彼此互斥简单事件中的简单事件，转化为几个已知(易求)概率的相互独立事件的积事件．
(3)代入概率的积、和公式求解．
1．两个实习生每人加工一个零件，加工成一等品的概率分别为和，两个零件
能否被加工成一等品相互独立，则这两个零件中恰好有一个一等品的概率为(
)
A. B.
C. D.
解析：选B.因为两人加工零件成一等品的概率分别为和，且相互独立，所以
两个零件中恰好有一个一等品的概率P＝×＋×＝.
2．(2021·沈阳市教学质量检测(一))在2019年女排世界杯中，中国女子排球队
以11连胜的优异战绩成功夺冠，为祖国母亲七十华诞献上了一份厚礼．排球比赛
采用5局3胜制，前4局比赛采用25分制，每个队只有赢得至少25分，并超过对
方2分时，才胜1局；在决胜局(第5局)采用15分制，每个队只有赢得至少15分，
并超过对方2分为胜．在每局比赛中，发球方赢得此球后可得1分，并获得下一球
的发球权，否则交换发球权，并且对方得1分．现有甲、乙两支球队进行排球比赛：
(1)若前3局比赛中甲已经赢2局，乙赢1局，接下来两队赢得每局比赛的概
率均为，求甲队最后赢得整场比赛的概率．
(2)若前4局比赛中甲、乙两队已经各赢2局，在决胜局(第5局)中，两队当前
的得分为甲、乙各14分，且甲已获得下一球的发球权．若甲发球时甲赢1分的概
率为，乙发球时甲赢1分的概率为，得分者获得下一球的发球权．设两队打了
x(x≤4)个球后甲赢得整场比赛，求x的取值及相应的概率P(x)．
解：(1)依题意，若甲队赢得整场比赛，则甲队将以3∶1或3∶2的比分赢得比
赛．若甲队以3∶1的比分赢得比赛，则第4局甲赢，
若甲队以3∶2的比分赢得比赛，则第4局乙赢，第5局甲赢．
故甲队最后赢得整场比赛的概率为＋×＝.
(2)依题意，每次发球，发球队得分的概率为，接球队得分的概率为.甲接下来
可以以16∶14或17∶15赢得比赛，故x的取值为2或4.
若甲、乙比分为16∶14，则x的取值为2，其赢球顺序为“甲甲”，对应发球顺
序为“甲甲”，
所以P(x＝2)＝×＝.
若甲、乙比分为17∶15，则x的取值为4，其赢球顺序为“甲乙甲甲”或“乙甲甲甲”，对应发球顺序为“甲甲乙甲”和“甲乙甲甲”，
所以P(x＝4)＝×××＋×××＝.
独立重复试验与二项分布
(2021·合肥第一次教学检测)“大湖名城，创新高地”的合肥，历史文化
积淀深厚，民俗和人文景观丰富，科教资源众多，自然风光秀美，成为中小学生
“研学游”的理想之地．为了将来更好地推进“研学游”项目，某旅游学校一位
实习生，在某旅行社实习期间，把“研学游”分为科技体验游、民俗人文游、自然
风光游三种类型，并在前几年该旅行社接待的全省高一学生“研学游”学校中，
随机抽取了100所学校，统计如下：
研学游类型 科技体验游 民俗人文游 自然风光游
学校数 40 40 20
该实习生在明年省内有意向组织高一“研学游”的学校中，随机抽取了3所
学校，并以统计的频率代替学校选择研学游类型的概率(假设每所学校在选择研
学游类型时仅选择其中一类，且不受其他学校选择结果的影响)．
(1)若这3所学校选择的研学游类型是“科技体验游”和“自然风光游”，求
这两种类型都有学校选择的概率；
(2)设这3所学校中选择“科技体验游”的学校数为随机变量X，求X的分布
列．
【解】 (1)依题意，学校选择“科技体验游”的概率为，选择“自然风光游”
的概率为，
若这3所学校选择研学游类型为“科技体验游”和“自然风光游”，则这两
种类型都有学校选择的概率为P＝C×＋C×＝.
(2)X的可能取值为0，1，2，3.
则P(X＝0)＝C＝，P(X＝1)＝C××＝，
P(X＝2)＝C×＝，P(X＝3)＝C＝，所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P
(1)独立重复试验的特点
①每次试验中，事件发生的概率是相同的；
②每次试验中的事件是相互独立的，其实质是相互独立事件的特例．
(2)判断随机变量X服从二项分布的条件(X～B(n，p))①X的取值为0，1，2，…，n；
②P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k(k＝0，1，2，…，n，p为试验成功的概率)．
[提醒] 在实际应用中，往往出现数量“较大”“很大”“非常大”等字眼，
这表明试验可视为独立重复试验，进而判定是否服从二项分布．
为了拓展网络市场，某公司为手机客户端用户推出了多款APP
应用 ，如“农场”“音乐”“读书”等．市场调查表明，手机用户在选择以上三
种应用时，选择农场、音乐、读书的概率分别为，，.现有甲、乙、丙三位手机客户端
用户独立任意选择以上三种应用中的一种进行添加．
(1)求三人所选择的应用互不相同的概率；
(2)记ξ为三人中选择的应用是农场与音乐的人数，求ξ的分布列．
解：记第i名用户选择的应用是农场、音乐、读书分别为事件A.B，C，i＝1，2，
i i i
3.由题意知A ，A ，A 相互独立，B ，B ，B 相互独立，C ，C ，C 相互独立，A，B，
1 2 3 1 2 3 1 2 3 i j
C (i，j，k＝1，2，3且i，j，k互不相同)相互独立，且P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝.
k i i i
(1)他们选择的应用互不相同的概率
P＝3！·P(A B C )＝6P(A )P(B )P(C )＝.
1 2 3 1 2 3
(2)设3位用户选择的应用是“读书”的人数是η，由已知得η～B，且ξ＝3－
η，
所以P(ξ＝0)＝P(η＝3)＝C×＝，
P(ξ＝1)＝P(η＝2)＝C××＝＝，
P(ξ＝2)＝P(η＝1)＝C××＝＝，
P(ξ＝3)＝P(η＝0)＝C×＝.
故ξ的分布列为
ξ 0 1 2 3
P
[A级 基础练]
1．先后抛掷硬币三次，则至少一次正面向上的概率是( )
A. B.
C. D.
解析：选D.硬币正面向上的次数服从二项分布，即X～B，由二项分布概率公
式知，三次均反面向上的概率是＝，所以至少一次正面向上的概率是1－＝.故选D项．
2．一个盒子里有6支好晶体管，4支坏晶体管，任取两次，每次取一支，每次
取后不放回，已知第一支是好晶体管，则第二支也是好晶体管的概率为( )
A. B.
C. D.
解析：选C.记“第i(i＝1，2)支晶体管是好的”为事件A(其中i＝1，2)，依题
i
意知，要求的概率为P(A |A )．
2 1
由P(A )＝，P(A A )＝＝，
1 1 2
所以P(A |A )＝＝＝.
2 1
3．(2021·山东烟台第一中学联考)首届中国国际进口博览会期间，甲、乙、丙三
家中国企业都有意向购买同一种型号的机床设备，他们购买该机床设备的概率分
别为，，，且三家企业的购买结果相互之间没有影响，则三家企业中恰有一家购买
该机床设备的概率是( )
A. B.
C. D.
解析：选C.记“甲企业购买该机床设备”为事件A，“乙企业购买该机床设
备”为事件B，“丙企业购买该机床设备”为事件C，则P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝，
所以P(A)＝1－P(A)＝，P(B)＝1－P(B)＝，P(C)＝1－P(C)＝.记“三家企业中恰有
一家购买该机床设备”为事件D，则P(D)＝P(ABC)＋P(ABC)＋P(ABC)＝××＋
××＋××＝.故选C.
4．(多选)(2020·山东潍坊临朐模拟)下列说法正确的是( )
A.的展开式中含x2y3项的二项式系数为20
B．事件A∪B为必然事件，则事件A、B是互为对立事件
C．am2>bm2是a>b的充分不必要条件
D．甲、乙、丙、丁4个人到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件A＝“4
个人去的景点各不相同”，事件B＝“甲独自去一个景点”，则P(A|B)＝
解析：选CD.A.的展开式的通项为T ＝C··(－2y)k，要求含x2y3项的二项式系
k＋1
数，则k＝3，所求二项式系数为C＝10，故A错误；B.事件A∪B为必然事件无法
说明事件A、B是互为对立事件，缺少A∩B为不可能事件的条件，故B错误；C.因
为am2>bm2，所以a>b，但a>b且m＝0时有am2＝bm2，所以a>b时，am2>bm2不一
定成立，故C正确．D.P(A)＝＝，P(B)＝＝，P(AB)＝＝，则P(A|B)＝＝，故D正确．
5．(2021·江西五校联考)非洲成员代表团团长及相关的人员参加了中非合作论坛北京峰会，会后某记者在场地外随机进行采访，假设第一次采访到的人恰好
是参会的代表团团长的概率为0.7，连续两次采访到的人都是代表团团长的概率
为0.6，则在第一次采访到的人是代表团团长的条件下，第二次采访到的也是代
表团团长的概率为________．
解析：记“第一次采访到的人是代表团团长”为事件A，“第二次采访到的
人是代表团团长”为事件B，则P(A)＝0.7，P(AB)＝0.6，则P(B|A)＝＝.
答案：
6．一个口袋内有n(n>3)个大小相同的球，其中3个红球和(n－3)个白球，已知
从口袋中随机取出1个球是红球的概率为p，6p∈N，若有放回地从口袋中连续4
次取球(每次只取1个球)，在4次取球中恰好2次取到红球的概率大于，则 n＝
________．
解析：由题设知，Cp2(1－p)2>，因为p(1－p)>0，所以不等式化为p(1－p)>，解
得
