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专题 9.5 二项分布、超几何分布、正态分布
目录
题型一： n重伯努利试验................................................................................................................3
题型二： 二项分布...........................................................................................................................4
题型三： 超几何分布.......................................................................................................................8
题型四： 正态分布的性质.............................................................................................................12
题型五： 正态分布应用.................................................................................................................13
知识点总结
知识点一、二项分布
(1)伯努利试验
只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验；将一个伯努利试验独立地重复进行 n次所组
成的随机试验称为 n 重伯努利试验 ．
(2)二项分布
一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件 A发生的概率为p(0<p<1)，用X表示事
件A发生的次数，则X的分布列为P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n.
如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作 X ～ B ( n ，
p ) ．
(3)两点分布与二项分布的均值、方差
①若随机变量X服从两点分布，则E(X)＝p，D(X)＝ p (1 － p ) ．
②若X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝ np (1 － p ) ．知识点二、超几何分布
一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品．从N件产品中随机抽取n件(不放回)，
用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为P(X＝k)＝，k＝m，m＋1，m＋
2，…，r，其中，n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}．
如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布．
知识点三、正态分布
(1)定义
若随机变量X的概率分布密度函数为f(x)＝·e ， x∈R，其中μ∈R，σ>0为参数，则称随机
变量X服从正态分布，记为 X ～ N ( μ ， σ 2 ) ．
(2)正态曲线的特点
①曲线是单峰的，它关于直线 x ＝ μ 对称；
②曲线在 x ＝ μ 处到达峰值；
③当|x|无限增大时，曲线无限接近x轴．
(3)3σ原则
①P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7；
②P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5；
③P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3.
(4)正态分布的均值与方差
若X～N(μ，σ2)，则E(X)＝μ，D(X)＝ σ 2 .
【常用结论与知识拓展】1．两点分布是二项分布当n＝1时的特殊情形．
2．“二项分布”与“超几何分布”的区别：有放回抽取问题对应二项分布，不放回抽取问
题对应超几何分布，当总体容量很大时，超几何分布可近似为二项分布来处理．
3．在实际应用中，往往出现数量“较大”“很大”“非常大”等字眼，这表明试验可视为
n重伯努利试验，进而判定是否服从二项分布．
例题精讲
题型一：n重伯努利试验
【要点讲解】在求n重伯努利试验中事件恰好发生k次的概率时，首先要确定好n和k的值，
再准确利用公式求概率.
【例1】如果一次伯努利试验中，出现“成功”的概率为 ，记6次独立重复试验中出现
“成功”的次数为 ，则
A． B． C．2 D．4
【变式训练1】一袋子中有除颜色外完全相同的3个白球和4个黑球，现从袋中往外取球，
每次任取一个记下颜色后放回，取球7次，设取得的白球数为 ，则
A．3 B． C． D．
【变式训练2】某人在19次射击中击中目标的次数为 ，若 ，若 最
大，则
A．14或15 B．15 C．15或16 D．16
【变式训练3】设随机变量 ， 满足 ， ，则A． B． C．4 D．6
【变式训练4】甲每次投篮命中的概率为 ，且每次投篮相互独立，则在16次连续投篮中
甲命中的次数的方差是
A．1 B．2 C．3 D．4
题型二：二项分布
【要点讲解】判断一个随机变量是否服从二项分布，要看两点：(1)试验是否为n重伯努利
试验；(2)随机变量是否为这n重伯努利试验中某事件发生的次数.
【例2】现如今国家大力提倡养老社会化、市场化，老年公寓是其养老措施中的一种能够满
足老年人的高质量、多样化、专业化生活及疗养需求．某老年公寓负责人为了能给老年人
提供更加良好的服务，现对所入住的 120名老年人征集意见，该公寓老年人的入住房间类
型情况如下表所示：
入住房间的类型 单人间 双人间 三人间
人数 36 60 24
（1）若按入住房间的类型采用分层抽样的方法从这120名老年人中随机抽取10人，再从
这10人中随机抽取4人进行询问，记随机抽取的4人中入住单人间的人数为 ，求 的分
布列和数学期望．
（2）记双人间与三人间为多人间，若在征集意见时要求把入住单人间的 2人和入住多人间
的 且 人组成一组，负责人从某组中任选2人进行询问，若选出的2人入住
房间类型相同，则该组标为Ⅰ，否则该组标为Ⅱ．记询问的某组被标为Ⅱ的概率为 ．
试用含 的代数式表示 ；
若一共询问了5组，用 表示恰有3组被标为的概率，试求 的最大值及此时
的值．【变式训练1】后疫情时代，为了可持续发展，提高人民幸福指数，国家先后出台了多项减
税增效政策．某地区对在职员工进行了个人所得税的调查，经过分层随机抽样，获得 500
位在职员工的个人所得税（单位：百元）数据，按 ， ， ， ， ， ， ， ，
， ， ， ， ， ， ， ， ， 分成九组，制成如图所示的频率分
布直方图：假设每个组内的数据是均匀分布的．
（1）求这500名在职员工的个人所得税的中位数（保留到小数点后一位）；
（2）从个人所得税在 ， ， ， ， ， 三组内的在职员工中，采用分层抽样
的方法抽取了10人，现从这10人中随机抽取3人，记年个税在 ， 内的员工人数为
，求 的分布列和数学期望；
（3）以样本的频率估计概率，从该地区所有在职员工中随机抽取 100名员工，记年个税在
， 内的员工人数为 ，求 的数学期望与方差．
【变式训练2】某社区举行第二届全民运动会，运动会包括少年组、青年组、中年组与老年
组四个组别比赛，本届运动会老年组比赛新增了围棋比赛项目．甲、乙两名选手通过“3
局2胜制“争夺冠军”，为了增加趣味性，每次比赛前通过摸球的方法决定谁先执黑，规
则如下：裁判员从装有 个红球 和3个白球的口袋中不放回地依次摸出2球，若2球的颜色不同，则甲执黑，否则乙执黑（每次执黑确定后，再将取出的两个球放回袋中）．
（1）求选手甲执黑的概率；（结果用 表示）
（2）当口袋中放入红球的个数 为多少时，选手甲执黑概率最大；
（3）假设甲每场比赛获胜概率为 ，求甲获得冠军的概率．
【变式训练3】现有一枚均匀的硬币（即只可能出现正面与反面两种结果，抛出正面与反面
的概率均为0.5，每一次抛掷是独立的），正面记为 ，反面记为 ，并不断抛掷该硬币．
（1）求抛掷3次时，至少出现1次正面的概率
（2）用 表示抛掷10次后出现正面的次数，求 的期望和方差．
（3）甲同学选择了组合“ ”，（即连续地依次出现正面，正面，反面），乙同学选
择了组合 ．若选择的组合先出现，则获得游戏胜利．问：甲乙两人中，甲更有优势还
是乙更有优势还是双方都没有优势？并求甲同学获胜的概率．题型三：超几何分布
【要点讲解】(1)超几何分布的概率计算公式从古典概型的角度加以理解更易记忆：P(X＝k)
＝，即恰取了k件次品的概率＝.
(2)当n较小，N较大时，超几何分布的概率计算可以近似地用二项分布来代替. 也就是说虽
然超几何分布是不放回抽样，二项分布是放回抽样，但是当n较小而产品总数N很大时，
不放回抽样近似于放回抽样.
(3)超几何分布在计算出均值后，可以用进行验证.
【例3】已知随机变量 ，4， ，则
A． B． C．2 D．
【变式训练1】在含4件次品的6件产品中随机抽取3件产品，其中含有的次品数为 则
A． B．1 C． D．2【变式训练2】下列结论正确的有
A．从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，至少有一个黑球与至少有一个红
球是两个互斥而不对立的事件
B．数据1，2，6，9，12，15，18，20的第75百分位数为16.5
C．在经验回归分析中，如果相关系数 的绝对值越接近于1，则两个变量的相关性越强
D．若 服从超几何分布 ，3， ，则
【变式训练3】在区间 ， 内随机取一个数 ，则该数满足 的概率为
A．1 B． C． D．
【例4】从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量 表示所选3人中女
生的人数，求：
（1）“所选3人中女生人数 ”的概率；
（2） 的期望与方差．
【变式训练1】随着我国国民消费水平的不断提升，进口水果也受到了人们的喜爱，世界各
地鲜果纷纷从空中、海上汇聚中国：泰国的榴莲、山竹、椰青，厄瓜多尔的香蕉，智利的
车厘子，新西兰的金果猕猴桃等水果走进了千家万户，某种水果按照果径大小可分为五个
等级：特等、一等、二等、三等和等外，某水果进口商从采购的一批水果中随机抽取 100个，利用水果的等级分类标准得到的数据如下：
等级 特等 一等 二等 三等 等外
个数 10 20 50 12 8
（1）若将样本频率视为概率，从这批水果中随机抽取5个，求恰好有2个水果是二等级别
的概率；
（2）若水果进口商进口时将特等级别与一等级别的水果标注为优级水果，则用分层抽样的
方法从这100个水果中抽取10个，再从抽取的10个水果中随机抽取3个， 表示抽取的优
级水果的数量，求 的分布列及数学期望 ．
【变式训练2】幸福农场生产的某批次20件产品中含有 件次品，从中一次任取
10件，其中次品恰有 件．
（1）若 ，求取出的产品中次品不超过1件的概率；
（2）记 ，则当 为何值时， 取得最大值．【变式训练3】目前某市居民使用天然气实行阶梯价格制度，从该市随机抽取10户调查同
一年的天然气使用情况，得到统计表如表：
用气居民编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
年用气量（立方 95 106 112 161 210 227 256 313 325 457
米）
（1）现要在这10户家庭中任意抽取3户，求抽到的年用气量超过228立方米而不超过348
立方米的用户数的分布列与数学期望；
（2）若以表中抽到的10户作为样本估计全市居民的年用气情况，现从全市居民中抽取10
户，其中恰有 户年用气量不超过228立方米的概率为 ，求使 取到最大值时，
的值．
题型四：正态分布的性质
【要点讲解】利用正态曲线解题的关键是，利用对称性把待求区间内的概率向已知区间内
的概率转化. 解题时要充分结合图形进行分析、求解，要注意数形结合思想及化归思想的运
用.【例5】某地市在一次测试中，高三学生数学成绩 服从正态分布 ，已知
，若按成绩分层抽样的方式取100份试卷进行分析，则应从110分以上
的试卷中抽取
A．15份 B．20份 C．25份 D．30份
【变式训练1】已 知 随 机 变 量 服 从 正 态 分 布 ， 且 ， 则
A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4
【变式训练2】已知随机变量 ，令 ， ，则下列等式正确的序
号是
① ；
② ；
③ ；
④ ．
A．①③④ B．①②④ C．②③④ D．①②③
【变式训练3】已知随机变量 服从正态分布 ，且 ，则 等
于
A．0.8 B．0.6 C．0.4 D．0.3【变式训练4】某实验室针对某种新型病毒研发了一种疫苗，并在500名志愿者身上进行了
人体注射实验，发现注射疫苗的志愿者均产生了稳定的免疫应答．若这些志愿者的某免疫
反应蛋白 的数值 （单位： 近似服从正态分布 ，且 在区间
内的人数占总人数的 ，则这些志愿者中免疫反应蛋白 的数值 不低于20的人数大约
为
A．30 B．60 C．70 D．140
【变式训练5】小明通过调查研究发现，网络游戏《王者荣耀》每一局时长 （单位：分
钟）近似满足 ．根据相关规定，所有网络游戏企业仅可在周五、周六、周日
和法定节假日每日20时至21时向未成年人提供1小时网络游戏服务．小明还未成年，他
在周五晚上 想打一局游戏，那么根据他的调查结果，他能正常打完一局比赛的概率
为
（ 参 考 数 据 ： ， ，
A．0.8414 B．0.1587 C．0.9773 D．0.0228
题型五：正态分布应用
【例6】随着时代发展和社会进步，教师职业越来越受青睐，考取教师资格证成为不少人的
就业规划之一．当前，中小学教师资格考试分笔试和面试两部分．已知某市 2021年共有
10000名考生参加了中小学教师资格考试的笔试，现从中随机抽取 100人的笔试成绩作为
样本，整理得到如表频数分布表：
笔试成绩 ， ， ， ， ， ，
人数 5 15 35 30 10 5
（1）假定笔试成绩不低于90分为优秀，若从上述样本中笔试成绩不低于80分的考生里随机抽取2人，求至少有1人笔试成绩为优秀的概率；
（2）由频数分布表可认为该市全体考生的笔试成绩 近似服从正态分布 ，其中
近似为100名样本考生笔试成绩的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代替），
，据此估计该市全体考生中笔试成绩不低于 82.4的人数（结果四舍五入精确到个
位）；
（3）考生甲为提升综合素养报名参加了某拓展知识竞赛，该竞赛要回答 3道题，前两题是
哲学知识，每道题答对得3分，答错得0分；最后一题是心理学知识，答对得4分，答错
得0分．已知考生甲答对前两题的概率都是 ，答对最后一题的概率为 ，且每道题答对
与否相互独立，求考生甲的总得分 的分布列及数学期望．（参考数据： ；若
， 则 ， ，【变式训练1】随着《2023年中国诗词大会》在央视持续热播，它将经典古诗词与新时代
精神相结合，使古诗词绽放出新时代的光彩．由此，它极大地鼓舞了人们学习古诗词的热
情，掀起了学习古诗词的热潮．某省某校为了了解高二年级全部 1000名学生学习古诗词的
情况，举行了“古诗词”测试，现随机抽取100名学生，对其测试成绩（满分：100分）
进行统计，得到样本的频率分布直方图如图所示．
（1）根据频率分布直方图，估计这100名学生测试成绩的平均数（单位：分）；（同一组
中的数据用该组区间的中点值为代表）
（2）若该校高二学生“古诗词”的测试成绩 近似服从正态分布 ，其中 近似
为样本平均数，规定“古诗词”的测试成绩不低于87分的为“优秀”，据此估计该校高二
年级学生中成绩为优秀的人数；（取整数）
（3）现该校为迎接该省的2023年第三季度“中国诗词大会”的选拔赛，在五一前夕举行
了一场校内“诗词大会”．该“诗词大会”共有三个环节，依次为“诗词对抗赛”“画中
有诗”“飞花令车轮战”，规则如下：三个环节均参与，在前两个环节中获胜得 1分，第
三个环节中获胜得4分，输了不得分，若学生甲在三个环节中获胜的概率依次为 ， ，
，假设学生甲在各环节中是否获胜是相互独立的．记学生甲在这次“诗词大会”中的累
计得分为随机变量 ，求 的分布列和数学期望 ．
（ 参 考 数 据 ： 若 ， 则 ，
， ．【变式训练2】零件的精度几乎决定了产品的质量，越精密的零件其精度要求也会越高．某
企业为了提高零件产品质量，质检部门随机抽查了100个零件的直径进行了统计整理，得
到数据如下表：
零件直径（单位：
， ， ， ， ，
厘米）
零件个数 10 25 30 25 10
已知零件的直径可视为服从正态分布 ， ， 分别为这100个零件的直径的平均
数及方差（同一组区间的直径尺寸用该组区间的中点值代表）．
（1）分别求 ， 的值；（2）试估计这批零件直径在 ， 的概率；
（3）随机抽查2000个零件，估计在这2000个零件中，零件的直径在 ， 的个
数．
参考数据： ；
若随机变量 ，则 ， ，
．
【变式训练3】某研究机构为了解某地年轻人的阅读情况，通过随机抽样调查了100位年轻
人，对这些人每天的阅读时间（单位：分钟）进行统计，得到样本的频率分布直方图，如
图所示．
（1）根据频率分布直方图，估计这100位年轻人每天阅读时间的平均数 （单位：分钟）；
（同一组数据用该组数据区间的中点值表示）
（2）若年轻人每天阅读时间 近似地服从正态分布 ，其中 近似为样本平均数
，求 ；
（3）为了进一步了解年轻人的阅读方式，研究机构采用分层抽样的方法从每天阅读时间位
于分组 ， ， ， ， ， 的年轻人中抽取10人，再从中任选3人进行调查，
求抽到每天阅读时间位于 ， 的人数 的分布列和数学期望．
参 考 数 据 ： 若 ， 则 ① ； ②
；③ ．【变式训练4】某学校为了了解高一学生安全知识水平，对高一年级学生进行“消防安全知
识测试”，并且规定“体能达标”预测成绩小于60分的为“不合格”，否则为“合格”．
若该校“不合格”的人数不超过总人数的 ，则该年级知识达标为“合格”；否则该年
级知识达标为“不合格”，需要重新对该年级学生进行消防安全培训．现从全体高一学生
中随机抽取10名，并将这10名学生随机分为甲、乙两个组，其中甲组有 6名学生，乙组
有4名学生．甲组的平均成绩为70，标准差为4；乙组的平均成绩为80，标准差为6（题
中所有数据的最后结果都精确到整数）．
（1）求这10名学生测试成绩的平均分 和标准差 ；
（2）假设高一学生的知识测试成绩服从正态分布 ．将上述10名学生的成绩作为
样品，用样本平均数 作为 的估计值，用样本标准差 作为 的估计值．利用估计值估
计：高一学生知识达标是否“合格”？
（3）已知知识测试中的多项选择题中，有4个选项．小明知道每道多项选择题均有两个或
三个正确选项．但根据得分规则：全部选对的得 5分，部分选对的得2分，有选错的得0
分．这样，小明在做多项选择题时，可能选择一个选项，也可能选择两个或三个选项，但
不会选择四个选项．假设小明在做该道多项选择题时，基于已有的解题经验，他选择一个
选项的概率为 ，选择两个选项的概率为 ，选择三个选项的概率为 ．已知该道多项选
择题只有两个正确选项，小明完全不知道四个选项的正误，只好根据自己的经验随机选择
记 表示小明做完该道多项选择题后所得的分数．求 的分布列及数学期望．附：① 个数的方差 ；
② 若 随 机 变 量 服 从 正 态 分 布 ， 则 ，
， ．
