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专题 21 概率与统计的综合运用
目 录
01 求概率及随机变量的分布列与期望.................................................................................................2
02 超几何分布与二项分布...................................................................................................................3
03 概率与其它知识的交汇问题............................................................................................................4
04 期望与方差的实际应用...................................................................................................................6
05 正态分布与标准正态分布................................................................................................................8
06 统计图表及数字特征.....................................................................................................................11
07 线性回归与非线性回归分析..........................................................................................................13
08 独立性检验....................................................................................................................................16
09 与体育比赛规则有关的概率问题..................................................................................................18
10 决策型问题....................................................................................................................................20
11 递推型概率命题.............................................................................................................................22
12 条件概率、全概率公式、贝叶斯公式...........................................................................................2413 高等背景下的概统问题.................................................................................................................26
01 求概率及随机变量的分布列与期望
1．（2022•甲卷）甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得 10分，负方得0分，
没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军．已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为
0.5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立．
（1）求甲学校获得冠军的概率；
（2）用 表示乙学校的总得分，求 的分布列与期望．
2．（2024·河南·统考模拟预测）盒中有标记数字1，2，3，4的小球各2个，随机一次取出3个小球．
(1)求取出的3个小球上的数字两两不同的概率；
(2)记取出的3个小球上的最小数字为 ，求 的分布列及数学期望 ．
3．（2024·全国·模拟预测）某科研所计划招聘两名科研人员，共有4人报名应聘．科研所组织了专业能力、
创新意识和写作水平三场测试，每场测试满分100分，每名选手在三场测试中的得分分别按 和
计入总分，按总分排序，若总分相同，则依次按专业能力、创新意识和写作水平的得分从高到低排序，
前两名录取．下表是4名应聘者的三场测试成绩：
项目 选手1 选手2 选手3 选手4
专业能力/分 85 80 82 84
创新意识/分 80 80 85 82
写作水平/分 86 85 86 88(1)该科研所应招聘哪两名选手？并说明你的理由．
(2)该科研所要求新招聘的两名科研人员上岗前参加线上培训．已知专业能力、创新意识和写作水平各有两
个线上报告，培训者需从每个项目的两个报告中选择一个学习，记新招聘的两名科研人员参加学习的相同
报告的数目为 ，求 的概率分布列和数学期望．
4．（2024·全国·模拟预测）班会课上，甲、乙两位同学参加了“心有灵犀”活动：从5个成语中随机抽取
3个，甲同学负责比划，乙同学负责猜成语．甲会比划其中3个，甲会比划的成语，乙猜对的概率为 ，
甲不会比划的成语，乙无法猜对．
(1)求甲乙配合猜对2个成语的概率；
(2)设甲乙配合猜对成语个数为X，求X的分布列和数学期望．
02 超几何分布与二项分布
5．（2024·云南曲靖·高三曲靖一中校考阶段练习）某兴趣小组利用所学统计与概率知识解决实际问题．
(1)现有甲池塘，已知小池塘里有10条鲤鱼，其中红鲤鱼有4条．若兴趣小组捉取3次，每次从甲池塘中有
放回地捉取一条鱼记录相关数据．用X表示其中捉取到红鲤鱼的条数，请写出X的分布列，并求出X的数
学期望 ．
(2)现有乙池塘，已知池塘中有形状大小相同的红鲤鱼与黑鲤鱼共10条，其中红鲤鱼有
条，身为兴趣小组队长的骆同学每次从池塘中捉了1条鱼，做好记录后放回池塘，设事件A为“从池塘中
捉取鱼3次，其中恰有2次捉到红鲤鱼”．当 时，事件A发生的概率最大，求 的值．6．（2024·云南昆明·高三云南师大附中校考阶段练习）某校高一年级举行数学史知识竞赛，每个同学从10
道题中一次性抽出4道作答.小张有7道题能答对，3道不能答对；小王每道答对的概率均为 ，
且每道题答对与否互不影响.
(1)分别求小张，小王答对题目数的分布列；
(2)若预测小张答对题目数多于小王答对题目数，求 的取值范围.
7．（2024·广东肇庆·统考一模）在数字通信中，信号是由数字“0”和“1”组成的序列.现连续发射信号 次，
每次发射信号“0”和“1”是等可能的.记发射信号1的次数为 .
(1)当 时，求
(2)已知切比雪夫不等式：对于任一随机变最 ，若其数学期望 和方差 均存在，则对任意正实数
，有 .根据该不等式可以对事件“ ”的概率作出下限估计.为了至
少有 的把握使发射信号“1”的频率在0.4与0.6之间，试估计信号发射次数 的最小值.
03 概率与其它知识的交汇问题
8．（2024·全国·高三专题练习）如图，已知三棱锥 的三条侧棱 ， ， 两两垂直，且， ， ，三棱锥 的外接球半径 .
(1)求三棱锥 的侧面积 的最大值；
(2)若在底面 上，有一个小球由顶点 处开始随机沿底边自由滚动，每次滚动一条底边，滚向顶点
的概率为 ，滚向顶点 的概率为 ；当球在顶点 处时，滚向顶点 的概率为 ，滚向顶点 的概率为
；当球在顶点 处时，滚向顶点 的概率为 ，滚向顶点 的概率为 .若小球滚动3次，记球滚到顶点
处的次数为 ，求数学期望 的值.
9．（2024·全国·高三阶段练习）如图所示，一只蚂蚁从正方体 的顶点 出发沿棱爬行，
记蚂蚁从一个顶点到另一个顶点为一次爬行，每次爬行的方向是随机的，蚂蚁沿正方体上、下底面上的棱
爬行的概率为 ，沿正方体的侧棱爬行的概率为 ．
(1)若蚂蚁爬行 次，求蚂蚁在下底面顶点的概率；
(2)若蚂蚁爬行5次，记它在顶点 出现的次数为 ，求 的分布列与数学期望．10．（2024·安徽·蚌埠二中校联考模拟预测）某从事智能教育技术研发的科技公司开发了一个“AI作业”
项目，并且在甲、乙两个学校的高一学生中做用户测试．经过一个阶段的试用，为了解“AI作业”对学生
学习的促进情况，该公司随机抽取了200名学生，对他们“向量数量积”知识点掌握情况进行调查，样本
调查结果如下表：
甲校 乙校
使用AI作业 不使用AI作业 使用AI作业 不使用AI作业
基本掌握 32 28 50 30
没有掌握 8 14 12 26
用样本频率估计概率，并假设每位学生是否掌据“向量数量积”知识点相互独立．
(1)从两校高一学生中随机抽取1人，估计该学生对“向量数量积”知识点基本掌握的概率；
(2)从样本中没有掌握“向量数量积”知识点的学生中随机抽取2名学生，以 表示这2人中使用AI作业的
人数，求 的分布列和数学期望；
(3)从甲校高一学生中抽取一名使用“Al作业”的学生和一名不使用“AI作业”的学生，用“ ”表示
该使用“AI作业”的学生基本掌握了“向量数量积”，用“ ”表示该使用“AI作业”的学生没有掌
握“向量数量积”，用“ ”表示该不使用“AI作业”的学生基本掌握了“向量数量积”，用“
”表示该不使用“AI作业”的学生没有掌握“向量数量积”．直接写出方差DX和DY的大小关系．（结
论不要求证明）
04 期望与方差的实际应用
11．（2024·北京西城·高三统考期末）生活中人们喜爱用跑步软件记录分享自己的运动轨迹.为了解某地中
学生和大学生对跑步软件的使用情况，从该地随机抽取了200名中学生和80名大学生，统计他们最喜爱使用的一款跑步软件，结果如下：
跑步软件
跑步软件二 跑步软件三 跑步软件四
一
中学生 80 60 40 20
大学生 30 20 20 10
假设大学生和中学生对跑步软件的喜爱互不影响.
(1)从该地区的中学生和大学生中各随机抽取1人，用频率估计概率，试估计这2人都最喜爱使用跑步软件
一的概率；
(2)采用分层抽样的方式先从样本中的大学生中随机抽取 人，再从这 人中随机抽取 人.记 为这 人中
最喜爱使用跑步软件二的人数，求 的分布列和数学期望；
(3)记样本中的中学生最喜爱使用这四款跑步软件的频率依次为 ， ， ， ，其方差为 ；样本中的
大学生最喜爱使用这四款跑步软件的频率依次为 ， ， ， ，其方差为 ； ， ， ， ， ，
， ， 的方差为 .写出 ， ， 的大小关系.（结论不要求证明）
12．（2024·广东东莞·高三统考期末）某区域中的物种C有A种和B种两个亚种．为了调查该区域中这两
个亚种的数目比例（A种数目比B种数目少），某生物研究小组设计了如下实验方案：①在该区域中有放
回的捕捉50个物种C，统计其中A种数目，以此作为一次试验的结果；②重复进行这个试验n次（其中
），记第i次试验中的A种数目为随机变量 （ ）；③记随机变量 ，利用
的期望 和方差 进行估算．设该区域中A种数目为M，B种数目为N，每一次试验都相互独立．
(1)已知 ， ，证明： ，；
(2)该小组完成所有试验后，得到 的实际取值分别为 （ ），并计算了数据 （ ）
的平均值 和方差 ，然后部分数据丢失，仅剩方差的数据 ．
（ⅰ）请用 和 分别代替 和 ，估算 和 ；
（ⅱ）在（ⅰ）的条件下，求 的分布列中概率值最大的随机事件 对应的随机变量的取值．
13．（2024·贵州贵阳·高三校联考阶段练习）某校为了庆祝建校100周年，举行校园文化知识竞赛.某班经
过层层选拔，还有最后一个参赛名额要在甲､乙两名学生中产生，该班设计了一个选拔方案：甲，乙两名
学生各自从6个问题中随机抽取3个问题作答.已知这6个问题中，学生甲能正确回答其中的4个问题，而
学生乙能正确回答每个问题的概率均为 .甲､乙两名学生对每个问题回答正确与否都是相互独立的.
(1)分别求甲､乙两名学生恰好答对2个问题的概率；
(2)设甲答对的题数为 ，乙答对的题数为 ，若让你投票决定参赛选手，你会选择哪名学生？请说明理由.
05 正态分布与标准正态分布
14．（2024·全国·模拟预测）某市有20000名学生参加了一项知识竞赛活动（知识竞赛分为初赛和复赛），
并随机抽取了100名学生的初赛成绩作为样本，绘制了频率分布直方图，如图所示．(1)根据频率分布直方图，求样本平均数的估计值和 分位数．
(2)若所有学生的初赛成绩 近似服从正态分布 ，其中 为样本平均数的估计值， ，初赛成
绩不低于89分的学生才能参加复赛，试估计能参加复赛的人数．
(3)复赛设置了三道试题，第一、二题答对得30分，第三题答对得40分，答错得0分．已知某学生已通过
初赛，他在复赛中第一题答对的概率为 ，后两题答对的概率均为 ，且每道题回答正确与否互不影响，
记该考生的复赛成绩为 ，求 的分布列及数学期望．
附：若随机变量 服从正态分布 ，则 ，
， ．
15．（2024·海南省直辖县级单位·高三校考阶段练习）红松树分布在我国东北的小兴安岭到长白山一带，
耐荫性强.在一森林公园内种有一大批红松树，为了研究生长了4年的红松树的生长状况，从中随机选取了
12棵生长了4年的红松树，并测量了它们的树干直径 （单位：厘米），如下表：
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
28.7 27.2 31.5 35.8 24.3 33.5 36.3 26.7 28.9 27.4 25.2 34.5
计算得： .(1)求这12棵红松树的树干直径的样本均值 与样本方差 .
(2)假设生长了4年的红松树的树干直径近似服从正态分布.
记事件 ：在森林公园内再从中随机选取12棵生长了4年的红松树，其树干直径都位于区间 .
①用（1）中所求的样本均值与样本方差分别作为正态分布的均值与方差，求 ；
②护林员在做数据统计时，得出了如下结论：生长了4年的红松树的树干直径近似服从正态分布 .
在这个条件下，求 ，并判断护林员的结论是否正确，说明理由.
参考公式：若 ，
则 .
参考数据： .
16．已知某高校共有10000名学生，其图书馆阅览室共有994个座位，假设学生是否去自习是相互独立的，
且每个学生在每天的晚自习时间去阅览室自习的概率均为0.1．
（1）将每天的晚自习时间去阅览室自习的学生人数记为 ，求 的期望和方差；
（2）18世纪30年代，数学家棣莫弗发现，当 比较大时，二项分布可视为正态分布．此外，如果随机变
量 ，令 ，则 ．当 时，对于任意实数 ，记 ．
已知下表为标准正态分布表（节选），该表用于查询标准正态分布 对应的概率值．例如当
时，由于 ，则先在表的最左列找到数字0.1（位于第三行），然后在表的最上行找到数字
0.06（位于第八列），则表中位于第三行第八列的数字0.5636便是 的值．
0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09
0.0 0.5000 0.5040 0.5080 0.5120 0.5160 0.5199 0.5239 0.5279 0.5319 0.53590.1 0.5398 0.5438 0.5478 0.5517 0.5557 0.5596 0.5636 0.5675 0.5714 0.5753
0.2 0.5793 0.5832 0.5871 0.5910 0.5948 0.5987 0.6026 0.6064 0.6103 0.6141
0.3 0.6179 0.6217 0.6255 0.6293 0.6331 0.6368 0.6404 0.6443 0.6480 0.6517
0.4 0.6554 0.6591 0.6628 0.6664 0.6700 0.6736 0.6772 0.6808， 0.6844 0.6879
0.5 0.6915 0.6950 0.6985 0.7019 0.7054 0.7088 0.7123 0.7157' 0.7190 0.7224
①求在晚自习时间阅览室座位不够用的概率；
②若要使在晚自习时间阅览室座位够用的概率高于0.7，则至少需要添加多少个座位？
06 统计图表及数字特征
17．（2022•北京）在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到 以上（含
的同学将获得优秀奖．为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，
并整理得到如下数据（单位：
甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，9.35，9.30，9.25；
乙：9.78，9.56，9.51，9.36，9.32，9.23；
丙：9.85，9.65，9.20，9.16．
假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立．
（Ⅰ）估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率；
（Ⅱ）设 是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，估计 的数学期望 ；
（Ⅲ）在校运动会铅球比赛中，甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大？（结论不要求证明）
18．（2024·江西·高三校联考阶段练习）某学校即将迎来建校80周年，为了增进学生爱校、荣校意识，团委组织学生开展“迎校庆、知校史”的知识竞赛活动，共有100名同学参赛.为了解竞赛成绩的分布情况，
将100名同学的竞赛成绩按 ， ， ， ， ， 分成6组，绘制成如
图所示的频率分布直方图.
(1)用样本估计总体，求图中a的值及此次知识竞赛成绩的 分位数；
(2)现从竞赛成绩在 的学生中以分层抽样的方式抽取15人进行培训，经过一轮培训后再选取2人担
任主持人工作，求在至少1人来自分数段 的条件下，另外1人来自分数段 的概率.
19．在全球抗击新冠肺炎疫情期间，我国医疗物资生产企业加班加点生产口罩、防护服、消毒水等防疫物
品，保障抗疫一线医疗物资供应，在国际社会上赢得一片赞誉.我国某口罩生产企业在加大生产的同时，狠
抓质量管理，不定时抽查口罩质量，该企业质检人员从所生产的口罩中随机抽取了100个，将其质量指标
值分成以下六组： ， ， ，…， ，得到如下频率分布直方图.(1)求出直方图中m的值；
(2)利用样本估计总体的思想，估计该企业所生产的口罩的质量指标值的平均数和中位数（中位数精确到
0.01）；
(3)现规定：质量指标值小于70的口罩为二等品，质量指标值不小于70的口罩为一等品.利用分层抽样的方
法从该企业所抽取的100个口罩中抽出5个口罩，并从中再随机抽取2个作进一步的质量分析，试求这2
个口罩中恰好有1个口罩为一等品的概率.
20．（2024·全国·高三期末）武汉外国语学校预筹办“六十周年校庆”庆典活动，需要对参与校庆活动的
志愿者进行选拔性面试.现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组 ，第二组
，第三组 ，第四组 ，第五组 ，绘制成如图所示的频率分布直方图.已知第三、
四、五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同.
(1)求a，b的值；
(2)估计这100名候选者面试成绩的第70百分位数（结果精确到0.1）；
(3)在第二，第五两组志愿者中，采用分层抽样的方法从中抽取6人，然后再从这6人中选出2人，以确定
组长人选，求选出的两人来自同一组的概率.07 线性回归与非线性回归分析
21．（2024·吉林·东北师大附中校考模拟预测）2015年7月31日，在吉隆坡举行的国际奥委会第128次全
会上，北京获得2022年冬奥会举办权.在申冬奥过程中，中国正式向国际社会作出“带动三亿人参与冰雪
运动”的庄严承诺.这一承诺，既是我国为国际奥林匹克运动做出重大贡献的大国担当展现，也是根据我国
经济水平和全民健身需求做出的群众性运动的战略部署.从北京冬奥会申办成功到2021年10月，全国参与
冰雪运动人数累计达到3.46亿，实现了“带动三亿人参与冰雪运动”的目标，这是北京冬奥会给予全球冬
季体育运动和奥林匹克运动的最为重要的遗产，可以说是2022年北京冬奥会的第一块金牌.“冬奥热”带动
“冰雪热”，也带动了冰雪经济，以冰雪运动为主要内容的冰雪旅游近年来发展迅速，2016至2022六个
冰雪季的旅游人次y（单位亿）的数据如下表：
年度 2016—2017 2017—2018 2018—2019 2019—2020 2020—2021 2021—2022
年度代号t 1 2 3 4 5 6
旅游人次y 1.7 1.97 2.24 0.94 2.54 3.15
(1)求y与t的相关系数（精确到0.01），并回答y与t的线性相关关系的强弱；
(2)因受疫情影响，现将2019—2020年度的异常数据剔除，用剩下的5个年度数据（年度代号不变），求y
关于t的线性回归方程（系数精确到0.01），并推测没有疫情情况下，2019—2020年度冰雪旅游人次的估
计值.
附注：参考数据： ， ， ， ，
.参考公式：相关系数 ，回归
直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： ，22．（2024·全国·高三专题练习）数独是源自18世纪瑞士的一种数学游戏，玩家需要根据9×9盘面上的已
知数字，推理出所有剩余空格的数字，并满足每一行、每一列、每一个粗线宫(3×3)内的数字均含1～9，且
不重复．数独爱好者小明打算报名参加“丝路杯”全国数独大赛初级组的比赛．
参考数据 ：
1 750 0.37 0.55
参考公式：对于一组数据 ，其经验回归方程 的斜率和截距的最小二乘估
计分别为 ， .
(1)赛前小明进行了一段时间的训练，每天解题的平均速度y(秒/题)与训练天数x(天)有关，经统计得到如下
数据：
x(天) 1 2 3 4 5 6 7
60 30
y(秒/题) 910 800 440 240 210
0 0
现用 作为回归方程模型，请利用表中数据，求出该回归方程；( ， 用分数表示)
(2)小明和小红玩“对战赛”，每局两人同时开始解一道数独题，先解出题的人获胜，不存在平局，两人约
定先胜3局者赢得比赛．若小明每局获胜的概率为 ，且各局之间相互独立，设比赛X局后结束，求随机
变量X的分布列及均值．23．（2024·全国·模拟预测）近三年的新冠肺炎疫情对我们的生活产生了很大的影响，当然也影响着我们
的旅游习惯，乡村游、近郊游、周边游热闹了许多，甚至出现“微度假”的概念．在国家有条不紊的防疫
政策下，旅游又重新回到了老百姓的日常生活中．某乡村抓住机遇，依托良好的生态环境、厚重的民族文
化，开展乡村旅游．通过文旅度假项目考察，该村推出了多款套票文旅产品，得到消费者的积极回应．该
村推出了六条乡村旅游经典线路，对应六款不同价位的旅游套票，相应的价格x与购买人数y的数据如下
表．
旅游线 慢生活
奇山秀水游 古村落游 亲子游 采摘游 舌尖之旅
路 游
套票型
A B C D E F
号
价格x/元 39 49 58 67 77 86
经数据分析、描点绘图，发现价格x与购买人数y近似满足关系式 ，即
，对上述数据进行初步处理，其中 ， ， ，2，…，6．
附：①可能用到的数据： ， ， ， ．
②对于一组数据 ， ，…， ，其回归直线 的斜率和截距的最小二乘估计值分
别为 ， ．
(1)根据所给数据，求 关于x的回归方程．
(2)按照相关部门的指标测定，当套票价格 时，该套票受消费者的欢迎程度更高，可以被认定为
“热门套票”．现有三位游客，每人从以上六款套票中购买一款旅游，购买任意一款的可能性相等．若三
人买的套票各不相同，记三人中购买“热门套票”的人数为X，求随机变量X的分布列和期望．08 独立性检验
24．（2024·湖北武汉·高三统考期末）数学运算是数学学科的核心素养之一，具备较好的数学运算素养一
般体现为在运算中算法合理、计算准确、过程规范、细节到位，为了诊断学情、培养习惯、发展素养，某
老师计划调研准确率与运算速度之间是否有关，他记录了一段时间的相关数据如下表：
项目 速度快 速度慢 合计
准确率
10 22 32
高
准确率
11 17 28
低
合计 21 39 60
(1)依据 的独立性检验，能否认为数学考试中准确率与运算速度相关？
(2)为鼓励学生全面发展，现随机将准确率高且速度快的10名同学分成人数分别为3，3，4的三个小组进
行小组才艺展示，若甲、乙两人在这10人中，求甲在3人一组的前提下乙在4人一组的概率.
附：
0.100 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001
2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
其中 .
25．（2024·陕西榆林·校考模拟预测）由于人类的破坏与栖息地的丧失等因素，地球上濒临灭绝生物的比
例正在以惊人的速度增长.在工业社会以前，鸟类平均每 年灭绝一种，兽类平均每 年灭绝一种，但
是自工业社会以来，地球物种灭绝的速度已经超出自然灭绝率的 倍.所以保护动物刻不容缓，全世界
都在号召保护动物，动物保护的核心内容是禁止虐待、残害任何动物，禁止猎杀和捕食野生动物，某动物
保护机构为了调查研究人们“保护动物意识的强弱与性别是否有关联”，从某市市民中随机抽取 名进
行调查，得到统计数据如下表：保护动物意识强 保护动物意识弱 合计
男
性
女
性
合
计
(1)根据以上数据，依据小概率值 的独立性检验，能否认为人们保护动物意识的强弱与性别有关联？
(2)将频率视为概率，现从该市女性的市民中用随机抽样的方法每次抽取 人，共抽取 次.记被抽取的 人
中“保护动物意识强”的人数为 ，若每次抽取的结果是相互独立的，求 的分布列和数学期望.
参考公式： ，其中 .
附：
26．（2024·全国·高三专题练习）为加快推动旅游业复苏，进一步增强居民旅游消费意愿，山东省人民政
府规定自2023年1月21日起至3月31日在全省实施景区门票减免．据统计，活动开展以来游客至少去过
两个及以上景区的人数占比为90%．某市旅游局从游客中随机抽取100人（其中年龄在50周岁及以下的有
60人）了解他们对全省实施景区门票减免活动的满意度，并按年龄（50周岁及以下和50周岁以上）分类
统计得到如下不完整的2×2列联表：
不满意 满意 总计
50周岁及以下 55
50周岁以上 15
总计 100
(1)根据统计数据完成以上2×2列联表，根据小概率值 的独立性检验，能否认为对全省实施景区门
票减免活动是否满意与年龄有关联（结果精确到0.01）？(2)现从本市游客中随机抽取3人了解他们的出游情况，设其中至少去过两个及以上景区的人数为X，若以
本次活动中至少去过两个及以上景区的人数的频率为概率，求X的分布列和数学期望．
参考公式及数据： ，其中 ．
0.100 0.050 0.010 0.001
2.706 3.841 6.635 10.828
09 与体育比赛规则有关的概率问题
27．（2024·吉林·通化市第一中学校校联考模拟预测）2022年12月18日，第二十二届男足世界杯决赛在
梅西率领的阿根廷队与姆巴佩率领的法国队之间展开，法国队在上半场落后两球的情况下，下半场连进两
球，2比2战平进入加时赛，加时赛两队各进一球（比分3∶3）再次战平，在随后的点球大战中，阿根廷队
发挥出色，最终赢得了比赛的胜利，时隔36年再次成功夺得世界杯冠军，梅西如愿以偿，成功捧起大力神
杯．
(1)法国队与阿根廷队实力相当，在比赛前很难预测谁胜谁负．赛前有3人对比赛最终结果进行了预测，假
设每人预测正确的概率均为 ，求预测正确的人数X的分布列和期望；
(2)足球的传接配合非常重要，传接球训练也是平常训练的重要项目，梅西和其他4名队友在某次传接球的
训练中，假设球从梅西脚下开始，等可能地随机传向另外4人中的1人，接球者接到球后再等可能地随机
传向另外4人中的1人，如此不停地传下去，假设传出的球都能接住，记第n次传球之前球在梅西脚下的
概率为 ，求 ．
28．（2024·江苏·高三统考期末）2022年卡塔尔世界杯决赛于当地时间12月18日进行，最终阿根廷通过点球大战总比分 战胜法国，夺得冠军.根据比赛规则：淘汰赛阶段常规比赛时间为90分钟，若在90分
钟结束时进球数持平，需进行30分钟的加时赛，若加时赛仍是平局，则采用“点球大战”的方式决定胜负.
“点球大战”的规则如下：①两队各派5名队员，双方轮流踢点球，累计进球个数多者胜；②如果在踢满5
轮前，一队的进球数已多于另一队踢满5轮最多可能射中的球数，则不需要再踢（例如：第4轮结束时，
双方“点球大战”的进球数比为 ，则不需要再踢第5轮）；③若前5轮“点球大战"中双方进球数持平，
则从第6轮起，双方每轮各派1人踢点球，若均进球或均不进球，则继续下一轮，直到出现一方进球另一
方不进球的情况，进球方胜出.
(1)假设踢点球的球员等可能地随机选择球门的左､中､右三个方向射门，门将也会等可能地选择球门的左､
中､右三个方向来扑点球，而且门将即使方向判断正确也只有 的可能性将球扑出.若球员射门均在门内，
在一次“点球大战"中，求门将在前4次扑出点球的个数 的分布列期望；
(2)现有甲､乙两队在决赛中相遇，常规赛和加时赛后双方 战平，需要通过“点球大战”来决定冠军.设
甲队每名队员射进点球的概率均为 ，乙队每名队员射进点球的概率均为 ，假设每轮点球中进球与否互
不影响，各轮结果也互不影响.
（i）若甲队先踢点球，求在第3轮结束时，甲队踢进了3个球并获得冠军的概率；
（ii）求“点球大战”在第7轮结束，且乙队以 获得冠军的概率.
29．（2024·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）全民健身创精彩，健康成长蟩未来.为此某校每年定期
开展体育艺术节活动，活动期间举办乒乓球比赛.假设甲乙两人进行一场比赛，在每一局比赛中，都不会出
现平局，甲获胜的概率为 （ ）.
(1)若比赛采用五局三胜制，且 ，则求甲在第一局失利的情况下，反败为胜的概率；
(2)若比赛有两种赛制，五局三胜制和三局两胜制，且 ，试分析哪种赛制下甲获胜的概率更大？并说
明理由.10 决策型问题
30．（2021•新高考Ⅰ）某学校组织“一带一路”知识竞赛，有 ， 两类问题．每位参加比赛的同学先
在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另
一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束． 类问题中的每个问题回答
正确得20分，否则得0分； 类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分．
已知小明能正确回答 类问题的概率为0.8，能正确回答 类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率
与回答次序无关．
（1）若小明先回答 类问题，记 为小明的累计得分，求 的分布列；
（2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由．
31．（2024·全国·模拟预测）已知4只白鼠中有2只患病，患病白鼠的血液检验呈阳性，不患病的呈阴性.
(1)若随机逐个进行抽检，直至能确定所有患病白鼠为止，求抽检次数 的期望 ；
(2)若随机地将白鼠平均分成A，B两组，首先对A组2只白鼠的血液进行一次混检，若呈阴性，则可确定
B组2只白鼠患病；若呈阳性，再对B组2只白鼠的血液进行一次混检.若B组混检呈阴性，则可确定A组
2只白鼠患病；若B组混检也呈阳性，则只需在A，B两组中各随机检验1只白鼠的血液，便可分辨出所有
患病白鼠.求检验总次数 的期望 ，并比较上述两种检测方案哪个更便捷.
32．（2024·云南·高三校联考阶段练习）新冠疫情暴发以来，各级人民政府采取有效防控措施，时常采用
10人一组做核酸检测（俗称混检），某地在核酸检测中发现某一组中有1人核酸检测呈阳性，为了能找出
这1例阳性感染者，且确认感染何种病毒，需要通过做血清检测，血清检测结果呈阳性的即为感染人员，呈阴性的表示没被感染.拟采用两种方案检测：
方案甲：将这10人逐个做血清检测，直到能确定感染人员为止.
方案乙：将这10人的血清随机等分成两组，随机将其中一组的血清混在一起检测，若结果为阳性，则表示
感染人员在该组中，然后再对该组中每份血清逐个检测，直到能确定感染人员为止；若结果呈阴性，则对
另一组中每份血清逐个检测，直到能确定感染人员为止.把采用方案甲，直到能确定感染人员为止，检测的
次数记为X.
(1)求X的数学期望 ；
(2)如果每次检测的费用相同，以检测费用的期望作为决策依据，应选择方案甲与方案乙哪一种？
33．（2024·上海浦东新·高三上海市进才中学校考阶段练习）某学校拟开展了一次趣味运动比赛，比赛由
若干个传统项目和新增项目组成，每位运动员共需参加3个运动项目.对于每一个传统项目，若没有完成，
得0分；若完成了，得30分.对于新增项目，若没有完成，得0分；若只完成了1个，得40分，若完成了
2个，得90分.最后得分越多者，获得的奖金越多.现有两种参赛方案供运动员选择：
【方案一】只参加3个传统项目；
【方案二】参加1个传统项目和2个新增项目；
假设运动员能完成每个传统项目的概率均为 ，能完成每个新增项目的概率均为 ，且运动员参加的每个
项目是否能完成相互独立.
(1)若运动员选择方案一，设最后得分为X，求X的分布与期望；
(2)若以最后得分的数学期望为依据，运动员应选择哪个参赛方案?说明你的理由.
11 递推型概率命题
34．（2024·贵州贵阳·高三统考期末）有 个编号分别为 的盒子，第1个盒子中有2个红球和1个白球，其余盒子中均为1个红球和1个白球，现从第1个盒子中任取一球放入第2个盒子，现从第2个盒
子中任取一球放入第3个盒子， ，依次进行．
(1)求从第2个盒子中取到红球的概率；
(2)求从第 个盒子中取到红球的概率；
(3)设第 个盒子中红球的个数为 ， 的期望值为 ，求证： ．
35．（2024·全国·模拟预测）某中学举办了诗词大会选拔赛，共有两轮比赛，第一轮是诗词接龙，第二轮
是飞花令．第一轮给每位选手提供5个诗词接龙的题目，选手从中抽取2个题目，主持人说出诗词的上句，
若选手在10秒内正确回答出下句可得10分，若不能在10秒内正确回答出下句得0分．
(1)已知某位选手会5个诗词接龙题目中的3个，求该选手在第一轮得分的数学期望；
(2)已知恰有甲、乙、丙、丁四个团队参加飞花令环节的比赛，每一次由四个团队中的一个回答问题，无论
答题对错，该团队回答后由其他团队抢答下一问题，且其他团队有相同的机会抢答下一问题．记第n次回
答的是甲的概率为 ，若 ．
①求P，P；
2 3
②证明：数列 为等比数列，并比较第7次回答的是甲和第8次回答的是甲的可能性的大小．
36．（2024·山东德州·高三统考期末）某市号召市民尽量减少开车出行，以绿色低碳的出行方式支持节能
减排．原来天天开车上班的王先生积极响应政府号召，准备每天在骑自行车和开车两种出行方式中随机选
择一种方式出行．从即日起出行方式选择规则如下：第一天选择骑自行车方式上班，随后每天用“一次性
抛掷4枚均匀硬币”的方法确定出行方式，若得到的正面朝上的枚数小于3，则该天出行方式与前一天相
同，否则选择另一种出行方式．(1)设 表示事件“在第 天，王先生上班选择的是骑自行车出行方式”的概率．
①求 ；
②用 表示 ；
(2)依据 值，阐述说明王先生的这种随机选择出行方式是否积极响应市政府的号召．
37．（2024·全国·模拟预测）网球运动是一项激烈且耗时的运动，对于力量的消耗是很大的，这就需要网
球运动员提高自己的耐力．耐力训练分为无氧和有氧两种训练方式．某网球俱乐部的运动员在某赛事前展
开了一轮为期90天的封闭集训，在封闭集训期间每名运动员每天选择一种方式进行耐力训练．由训练计划
知，在封闭集训期间，若运动员第 天进行有氧训练，则第 天进行有氧训练的概率为 ，
第 天进行无氧训练的概率为 ；若运动员第 天进行无氧训练，则第 天进行有氧训练的概率为 ，
第 天进行无氧训练的概率为 ．若运动员封闭集训的第1天进行有氧训练与无氧训练的概率相等．
(1)封闭集训期间，记3名运动员中第2天进行有氧训练的人数为 ，求 的分布列与数学期望；
(2)封闭集训期间，记某运动员第 天进行有氧训练的概率为 ，求 ．
12 条件概率、全概率公式、贝叶斯公式
38．（2024·河北沧州·高三泊头市第一中学校联考阶段练习）2023年第31届大学生夏季运动会在成都举行，
中国运动员在赛场上挑战自我，突破极限，以拼搏的姿态，展竞技之美，攀体育高峰．最终，中国代表团以103枚金牌､40枚银牌､35枚铜牌，总计178放奖牌的成绩，位列金牌榜和奖牌榜双第一，引发了大学生
积极进行体育锻炼的热情．已知甲､乙两名大学生每天上午､下午都进行体育锻炼，近50天选择体育锻炼项
目情况统计如下：
体育锻炼目的情况 （足球，足
（足球，羽毛球） （羽毛球，足球） （羽毛球，羽毛球）
（上午，下午） 球）
甲 20天 10天
乙 10天 10天 5天 25天
假设甲､乙上午､下午选择锻炼的项目相互独立，用频率估计概率．
(1)已知甲上午选择足球的条件下，下午仍选择足球的概率为 ，请将表格内容补充完整；（写出计算过
程）
(2)记 为甲､乙在一天中选择体育锻炼项目的个数差，求 的分布列和数学期望 ；
(3)已知在这50天中上午室外温度在20度以下的概率为 ，并且当上午的室外温度低于20度时，甲去打羽
毛球的概率为 ，若已知某天上午甲去打羽毛球，求这一天上午室外温度在20度以下的概率．
39．（2024·全国·高三专题练习）ChatGPT是由人工智能研究实验室OpenAI于2022年11月30日发布的一
款全新聊天机器人模型，它能够通过学习和理解人类的语言来进行对话，ChatGPT的开发主要采用RLHF
（人类反馈强化学习）技术.在测试ChatGPT时，如果输入的问题没有语法错误，则ChatGPT的回答被采
纳的概率为85%，当出现语法错误时，ChatGPT的回答被采纳的概率为50%.
(1)在某次测试中输入了8个问题，ChatGPT的回答有5个被采纳.现从这8个问题中抽取3个，以 表示抽
取的问题中回答被采纳的问题个数，求 的分布列和数学期望；
(2)已知输入的问题出现语法错误的概率为10%，
（i）求ChatGPT的回答被采纳的概率；
（ii）若已知ChatGPT的回答被采纳，求该问题的输入没有语法错误的概率.40．（2024·全国·模拟预测）盒子中装有红球、白球等多种不同颜色的小球，现从盒子中一次摸一个球．
不放回．
(1)若盒子中有8个球，其中有3个红球，从中任意摸两次．记摸出的红球个数为 ．求随机变量 的分布
列和数学期望．
(2)若 盒中有4个红球和4个白球， 盒中在2个红球和2个白球．现甲、乙、丙三人依次从 号盒中摸
出一个球并放入 号盒，然后丁从 号盒中任取一球．已知丁取到红球，求甲、乙、丙三人中至少有一人
取出白球的概率．
13 高等背景下的概统问题
41．（2024·江苏南京·高三期末）设（X，Y）是一个二维离散型随机变量，其所有可能取值为（a，b），
i j
其中i，j∈N*.记p =P（X=a，Y=b）是随机变量（X，Y）的联合分布列.与一维的情形相似，二维分布列可
ij i j
以如下形式表示：
（X，Y） b b …
1 2
a p p …
1 11 12
a p p …
2 21 22
… … … …
现将3张卡片等可能地放入A，B两盒，记A盒中的卡片数为X，B盒中的卡片数为Y，求（X，Y）的联合
分布列.42．（2024·江苏常州·校考一模）设 是一个二维离散型随机变量，它们的一切可能取的值为 ，
其中 ，令 ，称 是二维离散型随机变量 的联合分布列，与一
维的情形相似，我们也习惯于把二维离散型随机变量的联合分布列写成下表形式；
现有 个球等可能的放入编号为 的三个盒子中，记落入第1号盒子中的球的个数为 ，落入
第2号盒子中的球的个数为 ．
(1)当 时，求 的联合分布列，并写成分布表的形式；
(2)设 且 ，求 的值．
（参考公式：若 ，则 ）
43．（2024·江苏南京·模拟预测）公元1651年，法国一位著名的统计学家德梅赫（Demere）向另一位著名
的数学家帕斯卡（B．Pascal）提出了一个问题，帕斯卡和费马（Fermat）讨论了这个问题，后来惠更斯
（C．Huygens）也加入了讨论，这三位当时全欧洲乃至全世界最优秀的科学家都给出了正确的解答．该问
题如下：设两名运动员约定谁先赢 ( ， )局，谁便赢得全部奖金 元．每局甲赢的概率为，乙赢的概率为 ，且每场比赛相互独立．在甲赢了 局，乙赢了 局时，
比赛意外终止．奖金该怎么分才合理？这三位数学家给出的答案是：如果出现无人先赢 局则比赛意外终
止的情况，甲、乙便按照比赛再继续进行下去各自赢得全部奖金的概率之比 分配奖金．
(1)规定如果出现无人先赢 局则比赛意外终止的情况，甲、乙便按照比赛再继续进行下去各自赢得全部奖
金的概率之比 分配奖金．若 ， ， ， ，求 ．
(2)记事件 为“比赛继续进行下去乙赢得全部奖金”，试求当 ， ， 时比赛继续进行下去
甲赢得全部奖金的概率 ，并判断当 时，事件 是否为小概率事件，并说明理由．规定：若
随机事件发生的概率小于0.06，则称该随机事件为小概率事件．
