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第 8 节 二项分布与超几何分布、正态分布
考试要求 1.理解二项分布、超几何分布的概念，能解决一些简单的实际问题.2.
借助正态分布曲线了解正态分布的概念，并进行简单应用.
1.伯努利试验与二项分布
(1)伯努利试验
只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验；将一个伯努利试验独立地重复进行
n次所组成的随机试验称为 n 重伯努利试验 .
(2)二项分布
一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0＜p＜1)，用
X表示事件A发生的次数，则X的分布列为P(X＝k)＝ C p k (1 － p ) n － k ，k＝0，1，
2，…，n.
如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作
X ～ B ( n ， p ) .
2.两点分布与二项分布的均值、方差
(1)若随机变量X服从两点分布，则E(X)＝p，D(X)＝ p (1 － p ) .
(2)若X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝ np (1 － p ) .
3.超几何分布
一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品.从N件产品中随机抽取n件
(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为P(X＝k)＝，k＝
m，m＋1，m＋2，…，r，其中，n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r
＝min{n，M}，如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从
超几何分布.
4.正态分布
(1)定义
若随机变量X的概率分布密度函数为f(x)＝·e，x∈R，其中，μ∈R，σ＞0为参数，
则称随机变量X服从正态分布，记为X～N(μ，σ2).
(2)正态曲线的特点①曲线是单峰的，它关于直线 x ＝ μ 对称.
②曲线在 x ＝ μ 处达到峰值.
③当|x|无限增大时，曲线无限接近x轴.
(3)3σ原则
①P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7；
②P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5；
③P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3.
(4)正态分布的均值与方差
若X～N(μ，σ2)，则E(X)＝μ，D(X)＝ σ 2 .
1.二项分布当n＝1时就是两点分布.
2.若X服从正态分布，即X～N(μ，σ2)，要充分利用正态曲线关于直线x＝μ对称和
曲线与x轴之间的面积为1解题.
3.利用n重伯努利试验概率公式可以简化求概率的过程，但需要注意检查该概率
模型是否满足公式P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k的三个条件：(1)在一次试验中某事件A
发生的概率是一个常数p；(2)n次试验不仅是在完全相同的情况下进行的重复试
验，而且各次试验的结果是相互独立的；(3)该公式表示n次试验中事件A恰好发
生了k次的概率.
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)X表示n次重复抛掷1枚骰子出现点数是3的倍数的次数，则X服从二项分布.
( )
(2)从4名男演员和3名女演员中选出4人，其中女演员的人数X服从超几何分布
( )
(3)n重伯努利试验中各次试验的结果必须相互独立.( )
(4)正态分布是对于连续型随机变量而言的.( )
答案 (1)√ (2)√ (3)√ (4)√
2.(2022·济南模拟)从装有3个白球、4个红球的箱子中，随机取出了3个球，恰好
是2个白球、1个红球的概率是( )
A. B. C. D.
答案 C
解析 如果将白球视为合格品，红球视为不合格品，则这是一个超几何分布问题故所求概率为P＝＝.
3.(易错题)甲、乙两羽毛球运动员之间的训练，要进行三场比赛，且这三场比赛可
看做三次伯努利试验，若甲至少取胜一次的概率为，则甲恰好取胜一次的概率为(
)
A. B. C. D.
答案 C
解析 假设甲取胜事件为A，设每次甲胜的概率为p，由题意得，事件A发生的次
数X～B(3，p)，则有1－(1－p)3＝，得p＝，则事件A恰好发生一次的概率为
C××＝.
4.(2022·石家庄模拟)甲、乙两位选手进行乒乓球比赛，5局3胜制，每局甲赢的概
率是，乙赢的概率是，则甲以3∶1获胜的概率是( )
A. B. C. D.
答案 A
解析 甲以3∶1获胜是指前3局比赛中甲2胜1负，第4局比赛甲胜，∴甲以
3∶1获胜的概率是P＝C×××＝.
5.(2021·新高考Ⅱ卷)某物理量的测量结果服从正态分布N(10，σ2)，下列结论中不
正确的是( )
A.σ越小，该物理量在一次测量中在(9.9，10.1)的概率越大
B.σ越小，该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5
C.σ越小，该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等
D.σ越小，该物理量在一次测量中落在(9.9，10.2)与落在(10，10.3)的概率相等
答案 D
解析 对于A，σ2为数据的方差，所以σ越小，数据在μ＝10附近越集中，所以测
量结果落在(9.9，10.1)内的概率越大，故A正确；对于B，由正态分布密度曲线的
对称性可知该物理量一次测量大于10的概率为0.5，故B正确；对于C，由正态分
布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量结果大于 10.01的概率与小于9.99
的概率相等，故C正确；对于D，因为该物理量一次测量结果落在(9.9，10.0)的概
率与落在(10.2，10.3)的概率不同，所以一次测量结果落在(9.9，10.2)的概率与落在
(10，10.3)的概率不同，故D错误.
6.(易错题)已知随机变量X服从正态分布N(3，1)，且P(X>2c－1)＝P(X<c＋3)，则
c＝________.
答案
解析 ∵X～N(3，1)，∴正态曲线关于x＝3对称，且P(X>2c－1)＝P(X<c＋3)，
∴2c－1＋c＋3＝2×3，∴c＝.
考点一 二项分布
例1 (2022·武汉调研)为贯彻“不忘立德树人初心，牢记为党育人、为国育才使
命”的要求，某省推出的高考新方案是“3＋1＋2”模型，“3”是语文、外语、数
学三科必考，“1”是在物理与历史两科中选择一科，“2”是在化学、生物、政治、
地理四科中选择两科作为高考科目.某学校为做好选课走班教学，给出三种可供
选择的组合进行模拟选课，其中A组合：物理、化学、生物，B组合：历史、政治、
地理，C组合：物理、化学、地理，根据选课数据得到，选择A组合的概率为，选择
B组合的概率为，选择C组合的概率为，甲、乙、丙三位同学每人选课是相互独立
的.
(1)求这三位同学恰好选择互不相同的组合的概率；
(2)记η表示这三人中选择含地理的组合的人数，求η的分布列及数学期望.
解 用A 表示第i位同学选择A组合，用B 表示第i位同学选择B组合，用C 表
i i i
示第i位同学选择C组合，i＝1，2，3.
由题意可知，A，B，C 互相独立，
i i i
且P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝.
i i i
(1)三位同学恰好选择不同的组合共有A＝6种情况，每种情况的概率相同，故三
位同学恰好选择不同组合的概率 P＝6×P(A B C )＝6P(A )P(B )P(C )＝6×××
1 2 3 1 2 3
＝.
(2)由题意知η的所有可能取值为0，1，2，3，且η～B，
所以P(η＝0)＝C＝，
P(η＝1)＝C＝，
P(η＝2)＝C＝，
P(η＝3)＝C＝，
所以η的分布列为
η 0 1 2 3
P
所以E(η)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
感悟提升 判断某随机变量是否服从二项分布的关键点
(1)在每一次试验中，事件发生的概率相同.(2)各次试验中的事件是相互独立的.
(3)在每一次试验中，试验的结果只有两个，即发生与不发生.
训练1 (2022·苏北四市调研)某社区组织开展“扫黑除恶”宣传活动，为鼓励更多
的人积极参与到宣传活动中来，宣传活动现场设置了抽奖环节.在盒中装有9张
大小相同的精美卡片，卡片上分别印有“扫黑除恶利国利民”或“普法宣传人人
参与”图案.抽奖规则：参加者从盒中抽取卡片两张，若抽到两张分别是“普法宣
传人人参与”和“扫黑除恶利国利民”卡即可获奖，否则，均为不获奖.卡片用后
放回盒子，下一位参加者继续重复进行.活动开始后，一位参加者问：“盒中有几
张‘普法宣传人人参与’卡？”主持人答：“我只知道，从盒中抽取两张都
是‘扫黑除恶利国利民’卡的概率是.”
(1)求抽奖者获奖的概率；
(2)为了增加抽奖的趣味性，规定每个抽奖者先从装有9张卡片的盒中随机抽出1
张不放回，再用剩下8张卡片按照之前的抽奖规则进行抽奖，现有甲、乙、丙三人
依次抽奖，用X表示获奖的人数，求X的分布列和均值.
解 (1)设“扫黑除恶利国利民”卡有n张，
由＝，得n＝4，
故“普法宣传人人参与”卡有5张，抽奖者获奖的概率为＝.
(2)在新规则下，每个抽奖者获奖的概率为
×＋×＝，
所以X～B，X的分布列为
P(X＝k)＝C(k＝0，1，2，3)，
X 0 1 2 3
P
所以E(X)＝3×＝.
考点二 超几何分布
例2 为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加.
现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种
子选手3名.从这8名运动员中随机选择4人参加比赛.
(1)设A为事件“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自同一个
协会”，求事件A发生的概率；
(2)设X为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X的分布列，并求E(X).
解 (1)由已知，有P(A)＝＝.
所以事件A发生的概率为.
(2)随机变量X服从超几何分布，X的所有可能取值为1，2，3，4.
P(X＝k)＝(k＝1，2，3，4).
故P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，
P(X＝3)＝＝，
P(X＝4)＝＝，
所以随机变量X的分布列为
X 1 2 3 4
P
所以E(X)＝1×＋2×＋3×＋4×＝.
感悟提升 (1)超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个
体的个数.超几何分布的特征是：
①考察对象分两类；②已知各类对象的个数；③从中抽取若干个个体，考查某类
个体数X的概率分布.
(2)超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其实质是古典
概型.
训练2 端午节吃粽子是我国的传统习俗.设一盘中有10个粽子，其中豆沙粽2个，
肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同.从中任意选取3个.
(1)求三种粽子各取到1个的概率；
(2)设X表示取到的豆沙粽个数，求X的分布列，并求E(X).
解 (1)令A表示事件“三种粽子各取到1个”，
则由古典概型的概率计算公式有P(A)＝＝.
(2)X的所有可能值为0，1，2，且P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝.
综上知，X的分布列为
X 0 1 2
P
所以E(X)＝0×＋1×＋2×＝.
考点三 正态分布
例3 (1)(2022·沈阳调研)为了解高三复习备考情况，其校组织了一次阶段考试.若
高三全体考生的数学成绩近似服从正态分布N(100，17.52).已知成绩在117.5分以上(不含117.5分)的学生有80人，则此次参加考试的学生成绩低于82.5分的概率
为________；如果成绩大于135分的为特别优秀，那么本次数学考试成绩特别优
秀的大约有________人.(若 X～N(μ，σ2)，则 P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.68，P(μ－
2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.96)
答案 0.16 10
解析 因为数学成绩X服从正态分布N(100，17.52)，则P(100－17.5≤X≤100＋
17.5)＝P(82.5≤X≤117.5)≈0.68，所以此次参加考试的学生成绩低于82.5分的概
率P(X＜82.5)＝≈＝0.16.
又P(100－17.5×2≤X≤100＋17.5×2)＝P(65≤X≤135)≈0.96，所以数学成绩特
别优秀的概率P(X＞135)＝≈＝0.02.
又P(X＜82.5)＝P(X＞117.5)＝0.16，则本次考试数学成绩特别优秀的人数大约是
×0.02＝10.
(2)(多选)(2021·青岛质检)近年来中国进入一个鲜花消费的增长期，某农户利用精
准扶贫政策，贷款承包了一个新型温室鲜花大棚，种植销售红玫瑰和白玫瑰.若这
个大棚的红玫瑰和白玫瑰的日销量分别服从正态分布N(μ，302)和N(280，402)，则
下列选项正确的是( )
附：若随机变量X服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7.
A.若红玫瑰日销售量范围在(μ－30，280)的概率是0.682 7，则红玫瑰日销售量的
平均数约为250
B.红玫瑰日销售量比白玫瑰日销售量更集中
C.白玫瑰日销售量比红玫瑰日销售量更集中
D.白玫瑰日销售量范围在(280，320)的概率约为0.341 35
答案 ABD
解析 对于选项A：μ＋30＝280，μ＝250，正确；
对于选项BC：利用σ越小越集中，30小于40，B正确，C不正确；
对于选项D：P(280＜X＜320)＝P(μ＜X＜μ＋σ)≈0.682 7×≈0.341 35，正确.
感悟提升 解决正态分布问题有三个关键点：(1)对称轴x＝μ；(2)标准差σ；(3)分
布区间.利用对称性可求指定范围内的概率值；由μ，σ，分布区间的特征进行转化，
使分布区间转化为3σ特殊区间，从而求出所求概率.注意只有在标准正态分布下
对称轴才为x＝0.
训练3 (2022·安徽五校联盟质检)在某市高中某学科竞赛中，某一个区4 000名考
生的参赛成绩统计如图所示.(1)求这4 000名学生的竞赛平均成绩x (同一组中的数据用该组区间的中点值作
代表)；
(2)由直方图可认为考生竞赛成绩z服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ，σ2分别取考生
的平均成绩x和考生成绩的方差s2，那么该区4 000名考生的成绩超过84.81分(含
84.81分)的人数估计有多少？
(3)如果用该区参赛考生成绩的情况来估计全市的参赛考生的成绩情况，现从全
市参赛考生中随机抽取4名，记成绩不超过84.81分的考生人数为ξ，求P(ξ≤3).
(精确到0.001)
附：①s2＝204.75，≈14.31；②0.841 34≈0.501；③z～N(μ，σ2)，则P(μ－σ＜z＜μ＋
σ)≈0.682 7，P(μ－2σ＜z＜μ＋2σ)≈0.954 5.
解 (1)由题意知
中点值 45 55 65 75 85 95
频率 0.1 0.15 0.2 0.3 0.15 0.1
∴x＝45×0.1＋55×0.15＋65×0.2＋75×0.3＋85×0.15＋95×0.1＝70.5，
∴这4 000名学生的竞赛平均成绩x为70.5分.
(2)依题意z服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ＝x＝70.5，σ2＝s2＝204.75，σ＝14.31，
∴z服从正态分布N(μ，σ2)＝N(70.5，14.312)，
而P(μ－σ＜z＜μ＋σ)＝P(56.19＜z＜84.81)≈0.682 7，
∴P(z≥84.81)≈≈0.158 7.
又0.158 7×4 000＝634.8≈635.
∴竞赛成绩超过84.81分的人数估计为635.
(3)全市竞赛考生的成绩不超过84.81分的概率p≈1－0.158 7＝0.841 3.
而ξ～B(4，0.841 3)，∴P(ξ≤3)＝1－P(ξ＝4)＝1－C×0.841 34≈1－0.501＝0.499.
二项分布与超几何分布的区别与联系
1.教材和考题中常涉及二项分布与超几何分布，学生对这两种模型的定义不能很
好地理解，一遇到“取”或“摸”的题型，就认为是超几何分布，不加分析，滥用
公式，运算对象不明晰，事实上，超几何分布和二项分布确实有着密切的联系，但也有明显的区别.
2.超几何分布的抽取是不放回抽取，各次抽取不独立，二项分布的抽取是有放回
抽取，各次抽取相互独立.当超几何分布所对应的总体数量很大时可以近似地看
作二项分布.
例1 写出下列离散型随机变量的分布列，并指出其中服从二项分布的是哪些？服
从超几何分布的是哪些？
(1)X 表示n次重复抛掷1枚骰子出现点数是3的倍数的次数.
1
(2)有一批产品共有N件，其中次品有M件(N＞M＞0)，采用有放回抽取方法抽取
n次(n＞N)，抽出的次品件数为X .
2
(3)有一批产品共有N件，其中M件为次品，采用不放回抽取方法抽n件，出现次
品的件数为X (N－M＞n＞0).
3
解 (1)X 的分布列为
1
X 0 1 2 … n
1
P C C· C· … C
X 服从二项分布，即X ～B.
1 1
(2)X 的分布列为
2
X 0 1 2 … n
2
P C· C· …
X 服从二项分布，即X ～B.
2 2
(3)X 的分布列为
3
X 0 1 … k … n
3
P … …
X 服从超几何分布.
3
例2 某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的
40件产品作为样本称出它们的质量(单位：克)，质量的分组区间为(490，495]，
(495，500]，…，(510，515].由此得到样本的频率分布直方图(如下图).
(1)根据频率分布直方图，求质量超过505克的产品数量；(2)在上述抽取的40件产品中任取2件，设X为质量超过505克的产品数量，求X
的分布列；
(3)从该流水线上任取2件产品，设Y为质量超过505克的产品数量，求Y的分布
列.
解 (1)质量超过505克的产品的频率为5×0.05＋5×0.01＝0.3，
所以质量超过505克的产品数量为40×0.3＝12(件).
(2)质量超过505的产品数量为12件，则质量未超过505克的产品数量为28件，X
的取值为0，1，2，
X服从超几何分布.
P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，
∴X的分布列为
X 0 1 2
P
(3)根据样本估计总体的思想，取一件产品，该产品的质量超过505克的概率为＝.
从流水线上任取2件产品互不影响，该问题可看成 2重伯努利试验，质量超过
505克的件数Y的可能取值为0，1，2，且Y～B，
P(Y＝k)＝C，k＝0，1，2.
所以P(Y＝0)＝C·＝，
P(Y＝1)＝C··＝，
P(Y＝2)＝C·＝.
∴Y的分布列为
Y 0 1 2
P
1.若随机变量X～B，则P(X＝3)等于( )
A. B. C. D.
答案 B
解析 随机变量X～B，则P(X＝3)＝C＝.
2.(2022·昆明诊断)袋中装有2个红球，3个黄球，有放回地抽取3次，每次抽取1
球，则3次中恰有2次抽到黄球的概率是( )
A. B. C. D.答案 D
解析 袋中装有2个红球，3个黄球，有放回地抽取3次，每次抽取1球，每次取
到黄球的概率P ＝，∴3次中恰有2次抽到黄球的概率P＝C××＝.
1
3.一个袋中装有4个红球，3个黑球，小明从袋中随机取球，设取到一个红球得2
分，取到一个黑球得1分，从袋中任取4个球，则小明得分大于6分的概率是(
)
A. B. C. D.
答案 A
解析 记得分为X，则X的可能取值为5，6，7，8，
P(X＝7)＝＝；
P(X＝8)＝＝，
所以P(X＞6)＝P(X＝7)＋P(X＝8)＝＋＝.
4.据统计，某脐橙的果实横径(单位：mm)服从正态分布N(80，52)，则果实横径在
[75，90]内的概率为( )
附：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954
5.
A.0.682 7 B.0.841 3
C.0.818 6 D.0.954 5
答案 C
解 析 由 题 意 得 σ ＝ 5 ， 则 P(80 － 5≤X≤80 ＋ 5)≈0.682 7 ， 所 以
P(75≤X≤85)≈0.682 7 ； P(80 － 10≤X≤80 ＋ 10)≈0.954 5 ， 所 以
P(70≤X≤90)≈0.954 5.所以P(85≤X≤90)≈＝0.135 9，所以果实横径在[75，90]
内的概率为0.682 7＋0.135 9＝0.818 6.
5.(多选)已知随机变量X服从正态分布N(100，102)，则下列选项正确的是( )
(参考数值：随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤ξ≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ
－2σ≤ξ≤μ＋2σ)≈0.954 5，P(μ－3σ≤ξ≤μ＋3σ)≈0.997 3)
A.E(X)＝100
B.D(X)＝100
C.P(X＞90)≈0.841 35
D.P(X＜120)≈0.998 65
答案 ABC
解析 ∵随机变量X服从正态分布N(100，102)，∴正态曲线关于x＝100对称，且E(X)＝100，D(X)＝102＝100，
根据题意可得，P(90≤X≤110)≈0.682 7，P(80≤X≤120)≈0.954 5，
∴P(X＞90)≈0.5＋×0.682 7＝0.841 35，故C正确；
P(X＜120)≈0.5＋×0.954 5＝0.977 25，故D错误.而A，B都正确.故选ABC.
6.(多选)某人参加一次测试，在备选的10道题中，他能答对其中的5道.现从备选
的10道题中随机抽出3道题进行测试，规定至少答对2题才算合格.则下列选项
正确的是( )
A.答对0题和答对3题的概率相同，都为
B.答对1题的概率为
C.答对2题的概率为
D.合格的概率为
答案 CD
解析 设此人答对题目的个数为ξ，
则ξ＝0，1，2，3，P(ξ＝0)＝＝，
P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝，
P(ξ＝3)＝＝，
则答对0题和答对3题的概率相同，都为，故A错误；答对1题的概率为，故B错
误；答对2题的概率为，故C正确；合格的概率p＝P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)＝＋＝，故D
正确.故选CD.
7.已知随机变量X服从正态分布N(a，4)，且P(X＞1)＝0.5，P(X＞2)＝0.3，则P(X
＜0)＝________.
答案 0.3
解析 随机变量X服从正态分布N(a，4)，所以曲线关于x＝a对称，且P(X＞a)＝
0.5.
由P(X＞1)＝0.5，可知a＝1，所以P(X＜0)＝P(X＞2)＝0.3.
8.(2022·济南模拟)某人射击一次击中目标的概率为0.6，经过三次射击，此人至少
有两次击中目标的概率为________.
答案 0.648
解析 设击中目标的次数为X，
则X～B(3，0.6).
故P(X≥2)＝P(X＝2)＋P(X＝3)
＝C0.62(1－0.6)＋C0.63＝0.648.9.(2021·宁波期末)一个箱子中装有形状、大小完全相同的 5个白球和n(n∈N*)个
黑球.现从中有放回地摸取4次，每次都是随机摸取一球，设摸得白球个数为X，
若D(X)＝1，则E(X)＝________.
答案 2
解析 由题意，X～B(4，p)，
∵D(X)＝4p(1－p)＝1，
∴p＝，E(X)＝4p＝4×＝2.
10.甲、乙两人参加一次英语口语考试，已知在备选的10道试题中，甲能答对其中
的6题，乙能答对其中的8题，规定每次考试都从备选题中随机抽出3道题进行
测试，至少答对2题才算合格.
(1)设甲、乙两人在考试中答对的题数分别为X，Y，写出随机变量X，Y的分布列；
(2)求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率.
解 (1)随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3，
P(X＝0)＝＝＝，P(X＝1)＝＝＝，
P(X＝2)＝＝＝，P(X＝3)＝＝＝，
所以随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3
P
随机变量Y的所有可能取值为1，2，3，
P(Y＝1)＝＝＝，
P(Y＝2)＝＝＝，
P(Y＝3)＝＝＝，
所以随机变量Y的分布列为
Y 1 2 3
P
(2)由(1)知甲合格的概率为P(A)＝＋＝，乙合格的概率为＋＝，
因为事件A，B相互独立，所以甲、乙两人均不合格的概率为
P(A·B)＝P(A)·P(B)＝[1－P(A)][1－P(B)]＝×＝×＝，
所以甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为1－＝.
11.为了拓展网络市场，某公司为手机客户端用户推出了多款APP应用，如“农
场”“音乐”“读书”等.市场调查表明，手机用户在选择以上三种应用时，选择
“农场”、“音乐”、“读书”的概率分别为，，.现有甲、乙、丙三位手机客户端用户
独立任意选择以上三种应用中的一种进行安装.(1)求三人所选择应用互不相同的概率；
(2)记ξ为三人中选择的应用是“农场”与“音乐”的人数，求ξ的分布列和期望
解 记第i名用户选择的应用是“农场”、“音乐”、“读书”分别为事件A，B，
i i
C，i＝1，2，3.
i
由题意知A ，A ，A 相互独立，B ，B ，B 相互独立，C ，C ，C 相互独立，A，B，
1 2 3 1 2 3 1 2 3 i j
C (i，j，k＝1，2，3且i，j，k互不相同)相互独立，且P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝.
k i i i
(1)他们选择的应用互不相同的概率P＝6·P(A B C )＝6P(A )P(B )P(C )＝.
1 2 3 1 2 3
(2)设3位用户选择的应用是“读书”的人数是η，由已知得η～B，且ξ＝3－η，
所以P(ξ＝0)＝P(η＝3)＝C×＝，
P(ξ＝1)＝P(η＝2)＝C××＝，
P(ξ＝2)＝P(η＝1)＝C××＝，
P(ξ＝3)＝P(η＝0)＝C×＝.
故ξ的分布列为
ξ 0 1 2 3
P
E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
12.(多选)(2022·徐州模拟)某计算机程序每运行一次都随机出现一个五位二进制
数A＝a a a a a (例如10100)，其中A的各位数中a (k＝2，3，4，5)出现0的概率为，
1 2 3 4 5 k
出现1的概率为，记X＝a ＋a ＋a ＋a ，则当程序运行一次时( )
2 3 4 5
A.X服从二项分布
B.P(X＝1)＝
C.X的均值E(X)＝
D.X的方差D(X)＝
答案 ABC
解析 由二进制数A的特点知每一个数位上的数字只能填0，1，
且每个数位上的数字再填时互不影响，故以后的 5位数中后4位的所有结果有4
类：
①后4个数出现0，X＝0，记其概率为
P(X＝0)＝＝；
②后4个数只出现1个1，X＝1，记其概率为P(X＝1)＝C＝；
③后4个数出现2个1，X＝2，记其概率为P(X＝2)＝C·＝，
④后4个数出现3个1，记其概率为P(X＝3)＝C·＝，
⑤后4个数都出现1，X＝4，记其概率为
P(X＝4)＝＝，
故X～B，故A正确；
又P(X＝1)＝C＝，故B正确；
∵X～B，∴E(X)＝4×＝，故C正确；
∵X～B，∴X的方差D(X)＝4××＝，故D错误.
13.(2022·豫南九校联考)若随机变量X服从正态分布N(μ，σ2)，P(μ－σ≤X≤μ＋σ)
＝0.682 7，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)＝0.954 5，设X～N(1，σ2)，且P(X≥3)＝0.158 65，
在平面直角坐标系xOy中，若圆x2＋y2＝σ2上有四个点到直线12x－5y＋c＝0的
距离为1，则实数c的取值范围是________.
答案 (－13，13)
解析 因为 X～N(1，σ2)，所以 μ＝1，所以 P(X＞3)＝P(X＜－1)＝[1－P(－
1≤X≤3)]，因为P(X＞3)＝0.158 65，所以P(－1≤X≤3)＝0.682 7，所以1－σ＝－
1，1＋σ＝3，所以σ＝2，由题意知，只需圆心(0，0)到直线12x－5y＋c＝0的距离d
满足0≤d＜1即可.
∵d＝＝，∴0≤＜1，∴0≤|c|＜13，∴－13＜c＜13，∴c的取值范围是(－13，13).
14.(2021·杭州一模)某高校通过自主招生方式在贵阳招收一名优秀的高三毕业生，
经过层层筛选，甲、乙两名学生进入最后测试，该校设计了一个测试方案：甲、乙
两名学生各自从6个问题中随机抽3个问题.已知这6个问题中，学生甲能回答正
确其中的4个问题，而学生乙能回答正确每个问题的概率均为，甲、乙两名学生
对每个问题的回答都是相互独立、互不影响的.
(1)求甲、乙两名学生共答对2个问题的概率；
(2)请从期望和方差的角度分析，甲、乙两名学生哪位被录取的可能性更大.
解 (1)由题意可知，所求概率
P＝×C××＋×C××＝.
(2)设学生甲答对的题数为X，则X的所有可能取值为1，2，3.
P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，
P(X＝3)＝＝，
E(X)＝1×＋2×＋3×＝2，
D(X)＝(1－2)2×＋(2－2)2×＋(3－2)2×＝.设学生乙答对的题数为Y，则Y的所有可能取值为0，1，2，3.
由题意可知Y～B，
E(Y)＝3×＝2，D(Y)＝3××＝.
因为E(X)＝E(Y)，D(X)＜D(Y)，
所以甲被录取的可能性更大.
