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§10.8 二项分布、超几何分布与正态分布
考试要求 1.理解二项分布、超几何分布的概念，能解决一些简单的实际问题.2.借助正态
分布曲线了解正态分布的概念，并进行简单应用．
知识梳理
一、二项分布
1．伯努利试验
只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验；将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成
的随机试验称为 n 重伯努利试验．
2．二项分布
一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(00为参数，
则称随机变量X服从正态分布，记为 X ～ N ( μ ， σ 2 ) ．
2．正态曲线的特点
(1)曲线是单峰的，它关于直线 x ＝ μ 对称；
(2)曲线在 x ＝ μ 处达到峰值；
(3)当|x|无限增大时，曲线无限接近x轴．3．3σ原则
(1)P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7；
(2)P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5；
(3)P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3.
4．正态分布的均值与方差
若X～N(μ，σ2)，则E(X)＝μ，D(X)＝ σ 2 .
常用结论
1．两点分布是二项分布当n＝1时的特殊情形．
2．“二项分布”与“超几何分布”的区别：有放回抽取问题对应二项分布，不放回抽取问
题对应超几何分布，当总体容量很大时，超几何分布可近似为二项分布来处理．
3．在实际应用中，往往出现数量“较大”“很大”“非常大”等字眼，这表明试验可视为
n重伯努利试验，进而判定是否服从二项分布．
4．超几何分布有时也记为 X～H(n，M，N)，其均值E(X)＝，D(X)＝.
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)X表示n次重复抛掷1枚骰子出现点数是3的倍数的次数，则X服从二项分布．( √ )
(2)从4名男演员和3名女演员中选出4人，其中女演员的人数X服从超几何分布．( √ )
(3)n重伯努利试验中各次试验的结果相互独立．( √ )
(4)正态分布是对连续型随机变量而言的．( √ )
教材改编题
1．已知X～B(20，p)，且E(X)＝6，则D(X)等于( )
A．1.8 B．6 C．2.1 D．4.2
答案 D
解析 因为X服从二项分布X～B(20，p)，
所以E(X)＝20p＝6，得p＝0.3，
故D(X)＝np(1－p)＝20×0.3×0.7＝4.2.
2．在含有3件次品的10件产品中，任取4件，X表示取到的次品的个数，则 P(X＝2)＝
________.
答案
解析 由题意得P(X＝2)＝＝.
3．某班有 50 名同学，一次数学考试的成绩 X 服从正态分布 N(110,102)．已知
P(100120)＝P(X≤100)＝(1－0.34×2)＝0.16.∴该班数学成绩在 120 分以上的人数约为
0.16×50＝8.
题型一 二项分布
例1 (2022·武汉联考)在一次国际大型体育运动会上，某运动员报名参加了其中3个项目的
比赛．已知该运动员在这3个项目中，每个项目能打破世界纪录的概率都是，那么在本次运
动会上：
(1)求该运动员至少能打破2项世界纪录的概率；
(2)若该运动员能打破世界纪录的项目数为X，求X的分布列及均值．
解 (1)依题意知，该运动员在每个项目上“能打破世界纪录”为独立事件，并且每个事件
发生的概率相同．
设其打破世界纪录的项目数为随机变量ξ，设“该运动员至少能打破2项世界纪录”为事件
A，
则有P(A)＝P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)
＝C2＋C3＝.
(2)由(1)可知，X～B，
则P(X＝0)＝C3＝，
P(X＝1)＝C··2＝，
P(X＝2)＝C·2·＝，
P(X＝3)＝C·3＝，
所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P
所以均值E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝2.
教师备选
出租车司机从饭店到火车站途中经过六个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯的事件是相互
独立的，并且概率都是.
(1)求这位司机遇到红灯前，已经通过了两个交通岗的概率；
(2)求这位司机在途中遇到红灯数X的均值与方差．
解 (1)依题意，这位司机在第三个交通岗遇到红灯，在第一、二个交通岗未遇到红灯，
所以这位司机遇到红灯前，已经通过了两个交通岗的概率P＝2×＝.
(2)X的所有可能取值是0,1,2,3,4,5,6，这位司机经过一个交通岗就是一次试验，有遇到红灯和未遇到红灯两个结果，X＝k(k∈N，
k≤6)的事件相当于6次独立重复经过交通岗一次的试验，恰有 k次遇到红灯的事件，于是
得随机变量X～B，
所以E(X)＝6×＝2，D(X)＝6××＝.
思维升华 判断某随机变量是否服从二项分布的关键点
(1)在每一次试验中，事件发生的概率相同．
(2)各次试验中的事件是相互独立的．
(3)在每一次试验中，试验的结果只有两个，即发生与不发生．
跟踪训练1 (2022·黄冈模拟)某公司为了解会员对售后服务(包括退货、换货、维修等)的满
意度，从下半年的会员中随机调查了20个会员，得到会员对售后服务满意度评分的雷达图
如图所示．规定评分不低于80分为满意，否则为不满意．
(1)求这20个会员对售后服务满意的频率；
(2)以(1)中的频率作为所有会员对该公司售后服务满意的概率，假设每个会员的评价结果相
互独立，现从下半年的所有会员中随机选取3个会员．
①求只有1个会员对售后服务不满意的概率；
②记这3个会员中对售后服务满意的会员的个数为X，求X的均值与标准差(标准差的结果
精确到0.1)．
解 (1)由雷达图可知，这20个会员对售后服务满意的频率为＝0.7.
(2)①设“只有1个会员对售后服务不满意”为事件A，则P(A)＝C×0.3×0.72＝0.441.
②因为X～B(3,0.7)，
所以E(X)＝3×0.7＝2.1，D(X)＝3×0.7×0.3＝0.63，≈0.8.
题型二 超几何分布
例2 2021年5月30日清晨5时01分，天舟二号货运飞船在成功发射约8小时后，中国航
天器的“浪漫之吻”再度在太空上演，天舟二号货运飞船与中国空间站天和核心舱顺利实现
了快速交会对接．据航天科技集团五院的专家介绍，此次天舟货运飞船携带的物资可以供 3
名航天员在太空中生活3个月，这将创造中国航天员驻留太空时长新的记录．如果首次执行空间站的任务由3名航天员承担，在3名女性航天员(甲、乙、丙)和4名男性航天员(丁、戊、
己、庚)共7名航天员中产生．
(1)求所选的3名航天员既有男航天员又有女航天员的概率；
(2)求所选的3名航天员中女航天员人数X的分布列及均值．
解 (1)设“所选的3名航天员既有男航天员又有女航天员”为事件M，
则P(M)＝1－＝.
(2)女航天员人数X＝0,1,2,3，
所以P(X＝0)＝＝，
P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，
P(X＝3)＝＝，
所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P
E(X)＝＝＝.
教师备选
为庆祝建军节的到来，某校举行“强国强军”知识竞赛．该校某班经过层层筛选，还有最后
一个参赛名额要在A，B两名学生中产生，该班委设计了一个选拔方案：A，B两名学生各
自从6个问题中随机抽取3个问题作答．已知这6个问题中，学生A能正确回答其中的4个
问题，而学生B能正确回答每个问题的概率均为.A，B两名学生对每个问题回答正确与否都
是相互独立的．
(1)分别求A，B两名学生恰好答对2个问题的概率；
(2)设A答对的题数为X，B答对的题数为Y，若让你投票决定参赛选手，你会选择哪名学生？
请说明理由．
解 (1)由题意，知A恰好答对2个问题的概率为P＝＝，
1
B恰好答对2个问题的概率为
P＝C21＝.
2
(2)X的可能取值为1,2,3，
则P(X＝1)＝＝；
P(X＝2)＝＝；
P(X＝3)＝＝.
所以E(X)＝1×＋2×＋3×＝2，
D(X)＝(1－2)2×＋(2－2)2×＋(3－2)2×＝.
易知Y～B，所以E(Y)＝3×＝2，D(Y)＝3××＝.
因为E(X)＝E(Y)，D(X)0)，若P(ξ<120)＝0.75，则P(90≤ξ≤120)＝________.
答案 0.5
解析 因为ξ～N(105，σ2)，
且P(ξ<120)＝0.75，
所以P(105≤ξ≤120)＝0.25，
所以P(90≤ξ≤105)＝0.25，
所以P(90≤ξ≤120)＝0.5.
教师备选
1．(2022·烟台调研)为了解高三复习备考情况，某校组织了一次阶段考试．若高三全体考生
的数学成绩近似服从正态分布N(100,17.52)．已知成绩在117.5分以上(不含117.5分)的学生
有80人，则此次参加考试的学生成绩低于82.5分的概率为________；如果成绩大于135分
的为特别优秀，那么本次数学考试成绩特别优秀的大约有________人．(若X～N(μ，σ2)，则
P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.68，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.96)
答案 0.16 10
解析 因为数学成绩 X 服从正态分布 N(100,17.52)，则 P(100－17.5≤X≤100＋17.5)＝
P(82.5≤X≤117.5)≈0.68，所以此次参加考试的学生成绩低于82.5分的概率P(X<82.5)＝≈＝
0.16.又P(100－17.5×2≤X≤100＋17.5×2)＝P(65≤X≤135)≈0.96，所以数学成绩特别优秀
的概率P(X>135)＝≈＝0.02.又P(X<82.5)＝P(X>117.5)＝0.16，则本次考试数学成绩特别优秀的人数大约是×0.02＝10.
2．对一个物理量做n次测量，并以测量结果的平均值作为该物理值的最后结果．已知最后
结果的误差ε ～N，为使误差ε 在(－0.5,0.5)的概率不小于0.954 5，至少要测量________次．
n n
(若X～N(μ，σ)，则P(|X－μ|<2σ)＝0.954 5)
答案 32
解析 P(|ε－μ|<2σ)＝0.954 5，
n
又μ＝0，σ2＝，
即P(μ－2σ<ε<μ＋2σ)
n
＝P＝0.954 5，
由题意知2≤，
所以n≥32.
思维升华 解决正态分布问题有三个关键点：(1)对称轴x＝μ；(2)标准差σ；(3)分布区间．
利用对称性可求指定范围内的概率值；由μ，σ，分布区间的特征进行转化，使分布区间转
化为3σ特殊区间，从而求出所求概率．注意只有在标准正态分布下对称轴才为x＝0.
跟踪训练3 (1)(2022·苏锡常镇四市调研)若随机变量X～B(3，p)，Y～N(2，σ2)，若P(X≥1)
＝0.657，P(04)等于( )
A．0.2 B．0.3 C．0.7 D．0.8
答案 A
解析 由题意，P(X≥1)＝1－P(X＝0)＝1－(1－p)3＝0.657，
解得p＝0.3，则P(04)＝P(Y<0)＝0.5－P(0P(ξ>a＋2)；
乙：P(ξ>a)＝0.5；
丙：P(ξ≤a)＝0.5；
丁：P(a<ξP(ξ>μ＋2)为真命题，所以丁为假命题．并且，P(μ<ξ<μ＋
1)>P(μ＋1<ξ<μ＋2)．所以假命题是丁．课时精练
1．(2022·云南西南名校联考)已知随机变量ξ～B(12，p)，且E(2ξ－3)＝5，则D(3ξ)等于(
)
A. B．8 C．12 D．24
答案 D
解析 因为E(2ξ－3)＝2E(ξ)－3
＝2×12p－3＝5，所以p＝.
故D(3ξ)＝32D(ξ)＝9×12××＝24.
2．一个袋中装有4个红球，3个黑球，小明从袋中随机取球，设取到一个红球得2分，取到
一个黑球得1分，从袋中任取4个球，则小明得分大于6分的概率是( )
A. B. C. D.
答案 A
解析 记得分为X，则X的所有可能取值为5,6,7,8，P(X＝7)＝＝；
P(X＝8)＝＝，
所以P(X>6)＝P(X＝7)＋P(X＝8)
＝＋＝.
3．(2022·烟台模拟)袋中装有标号分别为1,2,3,4,5,6的六个相同小球，现有一款摸球游戏，
从袋中一次性摸出三个小球，记下号码并放回，如果三个号码的和是3的倍数，则获奖，若
有4人参与摸球游戏，则恰好2人获奖的概率是( )
A. B. C. D.
答案 C
解析 从袋中六个小球一次性摸出三个小球，有C＝＝20(个)样本点，
三个号码的和是3的倍数的有(1,2,3)，(1,2,6)，(1,3,5)，(1,5,6)，(2,3,4)，(2,4,6)，(3,4,5)，
(4,5,6)，共8个样本点，所以摸一次中奖的概率P＝＝.
有4人参与摸球游戏，恰好2人获奖的概率为
C22＝.
4．如图，在网格状小地图中，一机器人从A(0,0)点出发，每秒向上或向右行走1格到相应
顶点，已知向上的概率是，向右的概率是，则6秒后到达B(4,2)点的概率为( )A. B. C. D.
答案 D
解析 根据题意可知，机器人每秒运动一次，
则6秒共运动6次，
若其从A(0,0)点出发，6秒后到达B(4,2)点，
则需要向右走4步，向上走2步，
故其6秒后到达B点的概率为
C·24＝＝.
5．(多选)(2022·昆明模拟)已知两种不同型号的电子元件(分别记为X，Y)的使用寿命均服从
正态分布，X～N(μ ，σ)，Y～N(μ ，σ)，这两个正态分布密度曲线如图所示，则下列选项正
1 2
确的是( )
参考数据：若Z～N(μ，σ2)，
则P(μ－σ≤Z≤μ＋σ)≈0.682 7，
P(μ－2σ≤Z≤μ＋2σ)≈0.954 5.
A．P(μ－σP(Y≤t)
2 1
答案 ABD
解析 对于A，P(μ－σP(X≤σ)，C选项错误；
2 1
对于D，对于任意的正数t，由图象知P(X≤t)表示的面积始终大于P(Y≤t)表示的面积，
所以P(X≤t)>P(Y≤t)，D选项正确．
6．(多选)(2022·张家口模拟)袋子中有2个黑球，1个白球，现从袋子中有放回地随机取球4
次，取到白球记0分，黑球记1分，记4次取球的总分数为X，则( )
A．X～B B．P(X＝2)＝
C．E(X)＝ D．D(X)＝
答案 ACD
解析 从袋子中有放回地随机取球4次，则每次取球互不影响，并且每次取到的黑球概率相等，又取到黑球记1分，取4次球的总分数，即为取到黑球的个数，所以随机变量X服从二
项分布，即X～B，故A正确；
P(X＝2)＝C22＝，故B错误；
因为X～B，
所以E(X)＝4×＝，故C正确；
D(X)＝4××＝，故D正确．
7．(2021·天津)甲、乙两人在每次猜谜活动中各猜一个谜语，若一方猜对且另一方猜错，则
猜对的一方获胜，否则本次平局，已知每次活动中，甲、乙猜对的概率分别为和，且每次活
动中甲、乙猜对与否互不影响，各次活动也不影响，则一次活动中，甲获胜的概率为
________，3次活动中，甲至少获胜2次的概率为________．
答案
解析 由题意可得一次活动中，甲获胜的概率为×＝，则在3次活动中，甲至少获胜2次的
概率为C×2×＋3＝.
8．一袋中有除颜色不同，其他都相同的2个白球，2个黄球，1个红球，从中任意取出3个
球，有黄球的概率是________，若ξ表示取到黄球的个数，则E(ξ)＝________.
答案
解析 一袋中有除颜色不同，其他都相同的2个白球，2个黄球，1个红球，
从中任意取出3个球，样本点总数n＝C＝10，
其中有黄球包含的样本点个数m＝CC＋CC＝9.
所以有黄球的概率是P＝＝.
ξ表示取到黄球的个数，
则ξ的所有可能取值为0,1,2，
P(ξ＝0)＝＝，
P(ξ＝1)＝＝，
P(ξ＝2)＝＝，
所以E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝.
9．“石头、剪刀、布”是一种广泛流传于我国民间的古老游戏，其规则：用三种不同的手
势分别表示石头、剪刀、布，两个玩家同时出示各自手势 1次记为1次游戏，“石头”胜
“剪刀”，“剪刀”胜“布”，“布”胜“石头”．双方出示的手势相同时，不分胜负．假
设玩家甲、乙双方在游戏时出示三种手势是等可能的．
(1)求在1次游戏中玩家甲胜玩家乙的概率；
(2)若玩家甲、乙双方共进行了3次游戏，其中玩家甲胜玩家乙的次数记作随机变量X，假设
每次游戏的结果互不影响，求X的分布列和方差．
解 (1)玩家甲、乙在1次游戏中出示手势的所有样本点有3×3＝9(个)，
其中玩家甲胜玩家乙的有(石头，剪刀)，(剪刀，布)，(布，石头)，共3个样本点，所以在1次游戏中玩家甲胜玩家乙的概率为＝.
(2)X的所有可能取值为0,1,2,3，
P(X＝0)＝C×3＝，
P(X＝1)＝C×1×2＝，
P(X＝2)＝C×2×1＝，
P(X＝3)＝C×3＝.
所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P
因为X～B，
所以X的方差D(X)＝3××＝.
10．(2022·南通模拟)面对新一轮科技和产业革命带来的创新机遇，某企业对现有机床进行更
新换代，购进一批新机床．设机床生产的零件的直径为X(单位：mm)．
(1)现有旧机床生产的零件10个，其中直径大于124 mm的有3个．若从中随机抽取4个，
记ξ表示取出的零件中直径大于124 mm的零件的个数，求ξ的分布列及均值E(ξ)；
(2)若新机床生产的零件直径X～N(120,4)，从生产的零件中随机取出10个，求至少有一个零
件直径大于124 mm的概率．
参考数据：若X～N(μ，σ2)，则P(|X－μ|≤σ)≈0.682 7，P(|X－μ|≤2σ)≈0.954 5，P(|X－μ|
≤3σ)≈0.997 3，0.977 2510≈0.794 4,0.954 510≈0.627 7.
解 (1)由题意知ξ的所有可能取值为0,1,2,3，
P(ξ＝0)＝＝＝，
P(ξ＝1)＝＝＝，
P(ξ＝2)＝＝＝，
P(ξ＝3)＝＝＝，
所以ξ的分布列为
ξ 0 1 2 3
P
故E(ξ)＝1×＋2×＋3×＝.
(2)因为X～N(120,4)，
所以P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)
＝P(116≤X≤124)≈0.954 5，P(120≤X≤124)＝P(116≤X≤124)
≈0.477 25，
P(X≥124)＝－P(120≤X≤124)
≈－0.477 25＝0.022 75，
则P(X≤124)＝1－P(X≥124)＝0.977 25，
故至少有一个零件直径大于124 mm的概率为
P＝1－(0.977 25)10≈1－0.794 4＝0.205 6.
11．(多选)(2022·青岛模拟)某渔业养殖场新进1 000尾鱼苗，测量其体长(单位：毫米)，将所
得数据分成6组，其分组及频数情况如下表：
分组(单
[70，75) [75，80) [80，85) [85，90) [90，95) [95，100]
位：毫米)
频数 100 100 m 350 150 n
已知在按以上6个分组作出的频率分布直方图中，[95,100]分组对应小矩形的高为0.01，则
下列说法正确的是( )
A．m＝250
B．鱼苗体长在[90,100]上的频率为0.16
C．鱼苗体长的中位数一定落在区间[85,90)内
D．从这批鱼苗中有放回地连续抽取50次，每次一条，则所抽取鱼苗体长落在区间[80,90)
上的次数的均值为30
答案 ACD
解析 因为[95,100]分组对应小矩形的高为0.01，组距为5，所以[95,100]分组对应的频率为
0.01×5＝0.05，n＝1 000×0.05＝50，
则m＝1 000－100－100－350－150－50＝250，A正确；
鱼苗体长在[90,100]上的频率为＝0.2，B错误；
因为鱼的总数为1 000,100＋100＋250＝450,100＋100＋250＋350＝800，
所以鱼苗体长的中位数一定落在区间[85,90)内，C正确；
由表中数据易知，鱼苗体长落在区间[80,90)上的概率P＝＝0.6，
设所抽取鱼苗体长落在区间[80,90)上的次数为X，则X服从二项分布，即X～B(50,0.6)，
则E(X)＝50×0.6＝30，D正确．
12．(多选)某人参加一次测试，在备选的10道题中，他能答对其中的5道．现从备选的10
道题中随机抽出3道题进行测试，规定至少答对2题才算合格．则下列选项正确的是( )
A．答对0题和答对3题的概率相同，都为B．答对1题的概率为
C．答对2题的概率为
D．合格的概率为
答案 CD
解析 设此人答对题目的个数为ξ，
则ξ＝0,1,2,3，
P(ξ＝0)＝P(ξ＝3)＝＝，
故选项A错误；
P(ξ＝1)＝＝，故选项B错误；
P(ξ＝2)＝＝，故选项C正确；
至少答对2题的概率为＋＝，
故选项D正确．
13．(2022·沈阳质检)已知随机变量ξ～N(1，σ2)，且P(ξ≤0)＝P(ξ≥a)，则＋(0m的零件为不合格品，约占整批零件的10%，其余尺寸的零件均为
合格品．请估计m的值(结果保留三位小数)．附：若Y～N(μ，σ2)，令Z＝，
则Z～N(0,1)，且P(Z≤1.28)≈0.9.
解 (1)依题意可得，P(尺寸不大于2.06 mm)＝＝0.4，∴X～B(1 000,0.4)，
∴E(X)＝1 000×0.4＝400.
(2) 设合格零件的最大尺寸为m mm，
∴P(Y≤m)≈0.9，
令Z＝，则Y＝0.01Z＋2.069，
∴P(Y≤m)＝P(0.01Z＋2.069≤m)≈0.9，
∴P≈0.9且P(Z≤1.28)≈0.9，
∴≈1.28，
∴m≈2.082.
故合格零件的最大尺寸约为2.082 mm.
