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§10.9 概率与统计的综合问题
题型一 频率分布直方图与分布列的综合问题
例1 (2022·湖北九师联盟模拟)某校高三年级举行了高校强基计划模拟考试(满分100分)，
将不低于50分的考生的成绩分为5组，即[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，并
绘制频率分布直方图如图所示，其中在[90,100]内的人数为3.
(1)求a的值，并估计不低于50分考生的平均成绩(同一组中的数据用该组区间的中点值代
替)；
(2)现把[50,60)和[90,100]内的所有学生的考号贴在质地、形状和大小均相同的小球上，并放
在盒子内，现从盒中随机抽取 2个小球，若取出的两人成绩差不小于 30，则称这两人为
“黄金搭档组”．现随机抽取4次，每次取出2个小球，记下考号后再放回盒内，记取出
“黄金搭档组”的次数为X，求X的分布列和均值E(X)．
解 (1)由题意，得(0.005＋0.01＋0.015＋a＋0.045)×10＝1，解得a＝0.025，
不低于50分考生的平均成绩估计为55×0.1＋65×0.25＋75×0.45＋85×0.15＋95×0.05＝
73(分)．
(2)在[90,100]上的频率为0.005×10＝0.05，由条件得总人数为＝60，
所以在[50,60]内的人数为60×0.1＝6，每次抽取出‘黄金搭档组”的概率P＝＝，
因此X～B，
P(X＝0)＝C×0×4＝，
P(X＝1)＝C×1×3＝，
P(X＝2)＝C×2×2＝，
P(X＝3)＝C×3×1＝，
P(X＝4)＝C×4×0＝，
X的分布列为
X 0 1 2 3 4
PE(X)＝np＝4×＝2.
教师备选
(2022·湛江模拟)某高三学生小明准备利用暑假的7月和8月勤工俭学，现有“送外卖员”和
“销售员”两份工作可供其选择．已知“销售员”工作每日底薪为50元，每日销售的前5
件每件奖励20元，超过5件的部分每件奖励30元．小明通过调查，统计了100名销售员1
天的销售记录，其柱状图如图1；“送外卖员”没有底薪，收入与送的单数相关，在一日内：
1至20单(含20单)每送一单3元，超过20单且不超过40单的部分每送一单4元，超过40
单的部分，每送一单4.5元．小明通过随机调查，统计了100名送外卖员的日送单数，并绘
制成如下频率分布直方图(如图2)．
图1
图2
(1)分别求出“销售员”的日薪y(单位：元)与销售件数x 的函数关系式、“送外卖员”的日
1 1
薪y(单位：元)与所送单数x 的函数关系式；
2 2
(2)若将频率视为概率，根据统计图，试分别估计“销售员”的日薪X 和“送外卖员”的日
1
薪X(同一组中的数据用该组区间的中点值代表)的均值，分析选择哪种工作比较合适，并说
2
明你的理由．
解 (1)“销售员”的日薪y(单位：元)与销售件数x 的函数关系式为
1 1
y＝
1
“送外卖员”的日薪y(单位：元)与所送单数x 的函数关系式为
2 2
y＝
2
(2)由柱状图知，日平均销售量满足如下表格：
销售量/件 3 4 5 6 7
频率 0.05 0.2 0.25 0.4 0.1所以X 的分布列为
1
X 110 130 150 180 210
1
P 0.05 0.2 0.25 0.4 0.1
所以E(X)＝110×0.05＋130×0.2＋150×0.25＋180×0.4＋210×0.1＝162(元)．
1
由频率分布直方图可知，日送单数满足如下表格：
单数/单 10 30 50 70 90
频率 0.05 0.25 0.45 0.2 0.05
所以X 的分布列为
2
X 30 100 185 275 365
2
P 0.05 0.25 0.45 0.2 0.05
所以E(X)＝30×0.05＋100×0.25＋185×0.45＋275×0.2＋365×0.05＝183(元)．
2
由以上计算得E(X)>E(X)，做“送外卖员”挣的更多，
2 1
故小明选择做“送外卖员”的工作比较合适．
思维升华 高考常将频率分布直方图与分布列等交汇在一起进行考查，因此在解答此类题时，
准确的把题中所涉及的事件进行分解，明确所求问题所属的事件类型是关键．
跟踪训练1 (2022·太原模拟)国家发改委、住建部发布了《生活垃圾分类制度实施方案》规
定46个城市实施生活垃圾强制分类，垃圾回收利用率要达35%以上．某市在实施垃圾分类
之前，对该市大型社区(即人口数量在1万左右)一天产生的垃圾量(单位：吨)进行了调查．
已知该市这样的大型社区有200个，如图是某天从中随机抽取50个社区所产生的垃圾量绘
制的频率分布直方图．现将垃圾量超过14吨/天的社区称为“超标”社区．
(1)根据上述资料，估计当天这50个社区垃圾量的平均值(四舍五入精确到整数)；
(2)若当天该市这类大型社区的垃圾量X～N(μ，9)，其中μ近似为(1)中的样本平均值，请根
据X的分布估计这200个社区中“超标”社区的个数(四舍五入精确到整数)；
(3)市环保部门决定对样本中“超标”社区的垃圾来源进行调查，现从这些社区中随机抽取3
个进行重点监控，设Y为其中当天垃圾量至少为16吨的社区个数，求Y的分布列与均值．附：P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7；P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5；P(μ－3σ≤X≤μ＋
3σ)≈0.997 3.
解 (1)由频率分布直方图得该样本中垃圾量为[4,6)，[6,8)，[8,10)，[10,12)，[12,14)，
[14,16)，[16,18]的频率分别为0.08,0.10,0.20，0.24，0.18,0.12,0.08，
＝5×0.08＋7×0.10＋9×0.20＋11×0.24＋13×0.18＋15×0.12＋17×0.08
＝11.04≈11，
∴当天这50个社区垃圾量的平均值为11吨．
(2)由(1)知μ＝11，
∵σ2＝9，∴σ＝3，
∴P(X>14)＝P(X>μ＋σ)
＝＝0.158 65，
∴这200个社区中“超标”社区的个数为200×0.158 65≈32.
(3)由(1)得样本中当天垃圾量为[14,16)的社区有50×0.12＝6(个)，垃圾量为[16,18)的社区有
50×0.08＝4(个)，
∴Y的所有可能取值为0,1,2,3，
P(Y＝0)＝＝，
P(Y＝1)＝＝，
P(Y＝2)＝＝，
P(Y＝3)＝＝，
∴Y的分布列为
Y 0 1 2 3
P
∴E(Y)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
题型二 回归模型与分布列的综合问题
例2 学习于才干信仰，犹如运动于健康体魄，持之以恒、行之愈远愈受益．为了顺利实现
中华民族伟大复兴，全国各行各业掀起了“学习强国”的高潮．某市教育局为了解全市教职
工在“学习强国”中每天学习得分情况，从全市教职工中随机抽取 1 000名教职工，得到他
们平均每天的学习得分，得分都在[15,50]内，将他们的得分分为七组：[15,20)，[20,25)，
[25,30)，[30,35)，[35,40)，[40,45)，[45,50]后得到频率分布直方图如图所示．(1)从样本中得分不低于40的教职工中用分层随机抽样的方法抽取12人，然后从这12人中
随机抽取3人进行学习体会交流，用X表示参加学习体会交流且得分不低于45分的人数，
求X的分布列和均值；
(2)某老师很喜欢“学习强国”中“挑战答题”模块，他记录了自己连续七天每天一次最多
答对的题数如下表：
天数 1 2 3 4 5 6 7
一次最多答对题数 12 15 16 18 21 24 27
由表中数据可知该老师每天一次最多答对题数y与第x天之间可用线性模型拟合，请用样本
相关系数加以说明，并求出y关于x的经验回归方程．
参考数据：≈2.45，y＝600，
i i
(x－)2＝28，(y－)2＝168.
i i
参考公式：r＝，经验回归方程y＝a＋bx中斜率和截距的最小二乘估计公式b＝，a＝－b.
解 (1)在抽取的1 000名教职工中得分在[40,45)的有0.016×5×1 000＝80(人)，
得分在[45,50]的有0.008×5×1 000＝40(人)，
所以在得分为[40,45)的人中应抽取
×12＝8(人)，
在得分为[45,50]的人中应抽取12－8＝4(人)．
由题可得X的所有可能取值为0,1,2,3，
P(X＝0)＝＝，
P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，
P(X＝3)＝＝，
所以X的分布列为
X 0 1 2 3
PE(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝1.
(2)由条件可知＝4，＝19，
则y关于x的样本相关系数
r＝＝
≈≈0.99.
因为0.99与1非常接近，所以y关于x有较强的线性相关关系，
因为b＝＝，
a＝－b＝19－×4＝’
所以y关于x的经验回归方程是y＝＋x.
教师备选
设某幼苗从观察之日起，第x天的高度为y(cm)，测得的一些数据如下表所示：
第x天 1 4 9 16 25 36 49
高度
0 4 7 9 11 12 13
y(cm)
作出这组数据的散点图发现：y(cm)与x(天)之间近似满足关系式y＝b＋a，其中a，b均为大
于0的常数．
(1)试借助一元线性回归模型，根据所给数据，用最小二乘法对a，b作出估计，并求出y关
于x的经验回归方程；
(2)在作出的这组数据的散点图中，甲同学随机圈取了其中的3个点，记这3个点中幼苗的高
度大于的点的个数为ξ，其中为表格中所给的幼苗高度的平均数，试求随机变量ξ的分布列
和均值．
附：对于一组数据(v，μ)，(v，μ)，…，(v，μ)，其经验回归方程μ＝α＋βv的斜率和截距
1 1 2 2 n n
的最小二乘估计分别为β＝，
α＝－β.
解 (1)令μ＝，则y＝bμ＋a，根据已知数据表得到下表：
x 1 4 9 16 25 36 49
μ＝ 1 2 3 4 5 6 7
y 0 4 7 9 11 12 13
＝＝4，
＝＝8，
通过上表计算可得
b＝ ＝＝，
因为回归直线y＝bμ＋a过点(，)，所以a＝－b＝－，
故y关于x的经验回归方程为y＝－.
(2)7天中幼苗高度大于＝8的有4天，小于等于8的有3天，从散点图中任取3个点，即从
这7天中任取3天，所以这3个点中幼苗的高度大于的点的个数ξ 的所有可能取值为
0,1,2,3，
P(ξ＝0)＝＝；
P(ξ＝1)＝＝；
P(ξ＝2)＝＝；
P(ξ＝3)＝＝.
所以随机变量ξ的分布列为
ξ 0 1 2 3
P
随机变量ξ的均值
E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
思维升华 高考常将回归模型与分布列等交汇在一起进行考查，求解时注意概率模型的应用，
明确所求问题所属的事件类型是关键．
跟踪训练2 数独是源自18世纪瑞士的一种数学游戏，玩家需要根据9×9盘面上的已知数
字，推理出所有剩余空格的数字，并满足每一行、每一列、每一个粗线宫(3×3)内的数字均
含1～9，且不重复．数独爱好者小明打算报名参加“丝路杯”全国数独大赛初级组的比赛．
(1)赛前小明在某数独APP上进行了一段时间的训练，每天解题的平均速度y(秒/题)与训练天
数x(天)有关，经统计得到如下数据：
x(天) 1 2 3 4 5 6 7
y(秒/题) 910 800 600 440 300 240 210
现用y＝a＋作为回归方程模型，请利用表中数据，求出该回归方程；(a，b用分数表示)
(2)小明和小红在数独APP上玩“对战赛”，每局两人同时开始解一道数独题，先解出题的
人获胜，不存在平局，两人约定先胜3局者赢得比赛．若小明每局获胜的概率为，且各局之
间相互独立，设比赛X局后结束，求随机变量X的分布列及均值．
参考数据：
y －72
i i
1 750 0.37 0.55
参考公式：对于一组数据(u，v)，(u，v)，…，(u，v)，其经验回归方程v＝α＋βu的斜率
1 1 2 2 n n
和截距的最小二乘估计分别为β＝，α＝－β.解 (1)因为y＝a＋，t＝，
i
所以y＝a＋bt.
因为＝＝500，
所以b＝＝
＝＝，
所以a＝－b＝500－×0.37＝，
所以y＝＋t，
所以所求回归方程为y＝＋.
(2)随机变量X的所有可能取值为3,4,5，
P(X＝3)＝3＋3＝，
P(X＝4)＝C2××＋C2××＝，
P(X＝5)＝C2×2×＋C2×2×＝.
所以随机变量X的分布列为
X 3 4 5
P
E(X)＝3×＋4×＋5×＝.
题型三 独立性检验与分布列的综合问题
例3 (2022·苏州模拟)为落实十三五规划节能减排的国家政策，某职能部门对市场上两种设
备的使用寿命进行调查统计，随机抽取A型和B型设备各100台，得到如下频率分布直方图：
A型B型
(1)将使用寿命超过2 500小时和不超过2 500小时的台数填入下面的列联表：
超过2 500小时 不超过2 500小时 合计
A型
B型
合计
根据上面的列联表，依据小概率值α＝0.01的独立性检验，能否认为使用寿命是否超过2
500小时与型号有关？
(2)用分层随机抽样的方法从不超过2 500小时的A型和B型设备中抽取8台，再从这8台设
备中随机抽取3台，其中A型设备为X台，求X的分布列和均值；
(3)已知用频率估计概率，现有一项工作需要10台同型号设备同时工作2 500小时才能完成，
工作期间设备损坏立即更换同型号设备(更换设备时间忽略不计)，A型和B型设备每台的价
格分别为1万元和0.6万元，A型和B型设备每台每小时耗电分别为2度和6度，电价为
0.75元/度．只考虑设备的成本和电费，你认为应选择哪种型号的设备，请说明理由．
参考公式：χ2＝，n＝a＋b＋c＋d.
参考数据：
α 0.050 0.010 0.001
x 3.841 6.635 10.828
α
解 (1)由频率分布直方图可知，A型超过2 500小时的有100×(0.000 6＋0.000 5＋0.000 3)×
500＝70(台)，则 A 型不超过 2 500 小时的有 30 台，同理，B 型超过 2 500 小时的有
100×(0.000 6＋0.000 3＋0.000 1)×500＝50(台)，则B型不超过2 500小时的有50台．
列联表如下：
超过2 500小时 不超过2 500小时 合计
A型 70 30 100
B型 50 50 100合计 120 80 200
零假设为H：使用寿命是否超过2 500小时与型号无关，
0
根据列联表中的数据，经计算得到
χ2＝
≈8.333>6.635＝ ，
所以依据小概率值α＝0.01的独立性检验，我们推断H 不成立，即认为使用寿命是否超过
0
2 500小时与型号有关．
(2)由(1)和分层随机抽样的定义可知A型设备有3台，B型设备有5台，
所以X的所有可能取值为0,1,2,3，
P(X＝0)＝＝，
P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，
P(X＝3)＝＝，
所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P
所以E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
(3)由频率分布直方图中的频率估计概率知：
A型设备每台更换的概率为0.3，
所以10台A型设备估计要更换3台；
B型设备每台更换的概率为0.5，
所以10台B型设备估计要更换5台，
选择A型设备的总费用y＝(10＋3)×1＋10×2×0.75×2 500×10－4＝16.75 (万元)，
1
选择B型设备的总费用y＝(10＋5)×0.6＋10×6×0.75×2 500×10－4＝20.25 (万元)，y10.828＝x ，
0.001
所以依据小概率值α＝0.001的独立性检验，我们推断H 不成立，即认为产品的合格率与技
0术升级有关．
(2)由于所有次品中，甲、乙生产线生产的次品比例为4∶1，
故抽取的10件中有8件甲生产线的，2件乙生产线的，
从中随机抽取5件中属于甲生产线的数量X的所有可能取值为3,4,5，
则P(X＝3)＝＝，
P(X＝4)＝＝，
P(X＝5)＝＝，
所以X的分布列为
X 3 4 5
P
所以E(X)＝3×＋4×＋5×＝4.
(3)甲生产线抽检的产品中有70件A等级，90件B等级，40件C等级；
乙生产线抽检的产品中有130件A等级，60件B等级，10件C等级，
因为用样本的频率估计概率，
所以对于甲生产线，单件产品的利润
＝＝m－2，
甲
对于乙生产线，单件产品的利润
＝＝m－8.
乙
－ ＝m－8－≤9，
乙 甲
所以m≤50.
即A等级产品的出厂单价最高为50元．
思维升华 高考常将独立性检验与分布列等交汇在一起进行考查，由频率分布直方图解决相
关问题，解题的关键是正确理解频率分布直方图，能利用频率分布直方图正确计算出各组数
据．
跟踪训练3 (2022·邯郸模拟)暑假期间，学生居家生活和学习，教育部门特别强调，身体健
康与学习成绩同样重要．某校对300名学生的锻炼时间进行调查，数据如表：
平均每天锻炼
[0，10) [10，20) [20，30) [30，40) [40，50) [50，60]
的时间(分钟)
总人数 30 50 60 70 55 35
将学生日均锻炼的时间在[40,60]的学生评价为“体育合格”．
(1)请根据上述表格中的统计数据填写下面2×2列联表，依据小概率值α＝0.001的独立性检
验，能否认为“体育合格”与性别无关？体育不合格 体育合格 合计
男 60 160
女
合计
(2)从上述体育合格的学生中，按性别用分层随机抽样的方法抽取9名学生，再从这9名学生
中随机抽取3人了解他们锻炼时间较多的原因，记所抽取的 3人中男生的人数为随机变量
X，求X的分布列和均值．
参考公式：χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.
参考数据：
α 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
x 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
α
解 (1)列联表如下：
体育不合格 体育合格 合计
男 100 60 160
女 110 30 140
合计 210 90 300
零假设为H：“体育合格”与性别无关，
0
根据列联表中的数据，经计算得到
χ2＝
≈9.184<10.828＝x ，
0.001
所以依据小概率值α＝0.001的独立性检验，没有充分的证据推断H 不成立，即认为“体育
0
合格”与性别无关．
(2)易知，所抽取的9名学生中，
男生为9×＝6(名)，女生为3名．
X的所有可能取值为0,1,2,3，
且P(X＝0)＝＝，
P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，
P(X＝3)＝＝.
所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P所以E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝2.
课时精练
1．(2022·日照模拟)近年来，随着猪肉价格的上涨，作为饲料原材料之一的玉米，价格也出
现了波动．为保证玉米销售市场稳定，相关部门某年9月份开始采取宏观调控措施．该部门
调查研究发现，这一年某地各月份玉米的销售均价(元/斤)走势如图所示：
(1)该部门发现，3月到7月，各月玉米销售均价y(元/斤)与月份x之间具有较强的线性相关
关系，试建立y关于x的经验回归方程(系数精确到0.01)，若不调控，依据相关关系预测12
月份玉米的销售均价；
(2)该部门在这一年的12个月份中，随机抽取3个月份的数据作样本分析，若关注所抽三个
月份的所属季度，记不同季度的个数为X，求X的分布列和均值．
参考数据：＝25，＝5.36，(x－)(y－)＝0.64.
i i i i
经验回归方程y＝bx＋a中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：b＝＝，a＝－b.
解 (1)由题意知，
月份x 3 4 5 6 7
均价y 0.95 0.98 1.11 1.12 1.20
计算可得＝5，＝1.072，(x－)2＝10，
i
∴b＝＝0.064，
a＝－b＝0.752，
∴从3月到7月，y关于x的经验回归方程为
y＝0.06x＋0.75，
当x＝12时，代入经验回归方程得y＝1.47，即可预测12月份玉米销售均价为1.47元/斤．
(2)X的所有可能取值为1,2,3，
则P(X＝1)＝＝，
P(X＝3)＝＝，P(X＝2)＝1－P(X＝1)－P(X＝3)＝，
∴X的分布列为
X 1 2 3
P
E(X)＝1×＋2×＋3×＝.
2．(2022·沈阳模拟)第24届冬奥会于2022年在北京市和张家口市联合举行，冬奥会志愿者
的服务工作是成功举办的重要保障．在冬奥会的志愿者选拔工作中，某高校承办了冬奥会志
愿者选拔的面试工作，面试成绩满分 100分，现随机抽取了80名候选者的面试成绩分五组，
第一组[45,55)，第二组[55,65)，第三组[65,75)，第四组[75,85)，第五组[85,95]，绘制成如图
所示的频率分布直方图．已知图中从左到右前三个组的频率成等差数列，第一组和第五组的
频率相同．
(1)求a，b的值，并估计这80名候选者面试成绩的平均值(同一组中的数据用该组区间的中
点值作代表)和中位数(中位数精确到0.1)；
(2)已知抽取的80名候选人中，男生和女生各40人，男生希望参加张家口赛区志愿服务的有
10人，女生希望参加张家口赛区志愿服务的有20人，补全下面2×2列联表，依据小概率值
α＝0.05的独立性检验，能否认为参加张家口赛区志愿者服务的候选人与性别有关？
男生 女生 合计
希望去张家口赛区 10 20
不希望去张家口赛区
合计 40 40
(3)冰球项目的场地服务需要5名志愿者，有4名男生和3名女生通过该项志愿服务的选拔，
需要通过抽签的方式决定最终的人选，现将5张写有“中签”和2张写有“未中签”字样的
字条随机分配给每一位候选人，记男生中签的人数为X，求X的分布列及均值E(X)．
参考数据及公式：χ2＝，n＝a＋b＋c＋d.
α 0.050 0.010 0.001
x 3.841 6.635 10.828
α
解 (1)由题意可知20b＝10a＋0.45，(2a＋b＋0.065)×10＝1，
解得a＝0.005，b＝0.025，
所以平均值为50×0.05＋60×0.25＋70×0.45＋80×0.2＋90×0.05＝69.5，
中位数为65＋×10＝≈69.4.
(2)补全2×2列联表：
男生 女生 合计
希望去张家口赛区 10 20 30
不希望去张家口赛区 30 20 50
合计 40 40 80
零假设为H ：参加张家口赛区志愿者服务的候选人与性别无关，根据列联表中的数据，经
0
计算得到χ2＝
≈5.333>3.841＝x ，
0.05
所以依据小概率值α＝0.05的独立性检验，我们推断H 不成立，即认为参加张家口赛区志愿
0
者服务的候选人与性别有关．
(3)X的所有可能取值为2,3,4，
P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝，
P(X＝4)＝＝，
所以X的分布列为
X 2 3 4
P
所以E(X)＝2×＋3×＋4×＝.
3．(2022·南京模拟)某乒乓球教练为了解某同学近期的训练效果，随机记录了该同学40局接
球训练成绩，每局训练时教练连续发100个球，该同学每接球成功得1分，否则不得分，且
每局训练结果相互独立，得到如图所示的频率分布直方图．(1)同一组数据用该组区间的中点值作代表，
①求该同学40局接球训练成绩的样本平均数；
②若该同学的接球训练成绩X近似地服从正态分布N(μ，100)，其中μ近似为样本平均数，
求P(54≤X≤64)的值；
(2)为了提高该同学的训练兴趣，教练与他进行比赛．一局比赛中教练连续发100个球，该
同学得分达到80分为获胜，否则教练获胜．若有人获胜达 3局，则比赛结束，记比赛的局
数为Y.以频率分布直方图中该同学获胜的频率作为概率，求均值E(Y)．
参考数据：若随机变量ξ～N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤ξ≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ≤ξ≤μ＋2σ)≈
0.954 5，P(μ－3σ≤ξ≤μ＋3σ)≈0.997 3.
解 (1)①由频率分布直方图可得
＝55×0.1＋65×0.2＋75×0.45＋85×0.2＋95×0.05＝74.
②由题意可知μ＝74，σ＝10，
则54＝μ－2σ，64＝μ－σ，
所以P(54≤X≤64)＝P(μ－2σ≤X≤μ－σ)＝≈0.135 9.
(2)由频率分布直方图可知，在一局中，该同学得分达到 80分的概率为(0.02＋0.005)×10
＝，
由题意可知，随机变量Y的所有可能取值为3,4,5，
P(Y＝3)＝3＋3＝，
P(Y＝4)＝C·2×＋C×2×
＝，
P(Y＝5)＝C×2×2＋C×2×2＝，
所以随机变量Y的分布列为
Y 3 4 5
P
因此，E(Y)＝3×＋4×＋5×＝.4．(2022·福州模拟)某种病菌在某地区人群中的带菌率为10%，目前临床医学研究中已有费
用昂贵但能准确检测出个体是否带菌的方法．现引进操作易、成本低的新型检测方法：每次
只需检测x，y两项指标，若指标x的值大于4且指标y的值大于100，则检验结果呈阳性，
否则呈阴性．为考查该检测方法的准确度，随机抽取50位带菌者(用“*”表示)和50位不带
菌者(用“＋”表示)各做1次检测，他们检测后的数据，制成如下统计图：
(1)从这100名被检测者中，随机抽取一名不带菌者，求检测结果呈阳性的概率；
(2)依据小概率值α＝0.001的独立性检验，能否认为“带菌”与“检测结果呈阳性”有关？
(3)现用新型检测方法，对该地区人群进行全员检测，用频率估计概率，求每个被检者“带
菌”且“检测结果呈阳性”的概率．
附：χ2＝，n＝a＋b＋c＋d.
α 0.050 0.010 0.001
x 3.841 6.635 10.828
α
解 (1)方法一 设A＝“从这100名被检测者中，随机抽取一名不带菌者，检测结果呈阳
性”，根据统计图可知在不带菌者中，检测结果呈阳性的有5人，所以P(A)＝＝.
方法二 设A＝“从这100名被检测者中，随机抽取一名为不带菌者”，D＝“从这100名
被检测者中，随机抽取一名检测结果呈阳性”，
则“从这100名被检测者中，随机抽取一名不带菌者，检测结果呈阳性”的概率就是“在事
件A发生的条件下，事件D发生”的概率，记为P(D|A)．
根据题意，P(A)＝，P(AD)＝，
利用条件概率公式，
得P(D|A)＝＝＝.
(2)零假设为H：“带菌”与“检测结果呈阳性”无关，可作出2×2列联表如下：
0
阳性 阴性 合计
带菌 35 15 50
不带菌 5 45 50
合计 40 60 100
根据列联表中的数据，经计算得到
χ2＝＝37.5>10.828＝x ，
0.001
所以依据小概率值α＝0.001的独立性检验，我们推断H 不成立，即认为“带菌”与“检测
0
结果呈阳性”有关．
(3)设B＝“被检测者带菌”，C＝“被检测者检测结果呈阳性”，
则BC＝“被检者‘带菌’且‘检测结果呈阳性’”，
用频率估计概率，根据题意可知
P(B)＝0.1，P(C|B)＝＝0.7，
所以由条件概率公式可知P(BC)＝P(B)·P(C|B)＝0.1×0.7＝0.07.
