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专题 24.3 点和圆、直线和圆的位置关系之十大考点
【考点导航】
目录
【典型例题】..................................................................................................................................................1
【考点一 判断点与圆的位置关系】................................................................................................................1
【考点二 利用点与圆的位置关系求半径】....................................................................................................3
【考点三 判断直线和圆的位置关系】............................................................................................................5
【考点四 已知直线和圆的位置关系求半径的取值】....................................................................................7
【考点五 已知直线和圆的位置关系求圆心到直线的距离】........................................................................8
【考点六 判断或补全使直线为切线的条件】..............................................................................................10
【考点七 证明某直线是圆的切线】..............................................................................................................12
【考点八 切线的性质定理】..........................................................................................................................17
【考点九 切线的性质与判定的综合应用】..................................................................................................19
【考点十 直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系】..........................................................................26
【过关检测】...........................................................................................................................................30
【典型例题】
【考点一 判断点与圆的位置关系】
例题：（2023·江苏·九年级假期作业）已知 的半径为 ，若 ，那么点 与 的位置关系
是（ ）
A．点P在圆内 B．点P在圆上 C．点P在圆外 D．都有可能
【变式训练】
1．（2023春·江苏苏州·九年级统考阶段练习）已知 的半径为4，点A到圆心O的距离为4，则点A与
的位置关系是（ ）A．点A在圆内 B．点A在圆上 C．点A在圆外 D．无法确定
2．（2023·浙江·九年级假期作业）矩形 中， ， ，点 在边 上，且 ，
如果圆 是以点 为圆心， 为半径的圆，那么下列判断正确的是（ ）
A．点 ， 均在圆 外 B．点 在圆 外，点 在圆 内
C．点 在圆 内，点 在圆 外 D．点 ， 均在圆 内
【考点二 利用点与圆的位置关系求半径】
例题：（2023·上海·一模）如图，矩形 中， ， ，以A为圆心，r为半径作 ，使得点
D在圆内，点C在圆外，则半径r的取值范围是 ．
【变式训练】
1．（2023·四川成都·统考二模）已知 是 内一点（点 不与圆心 重合），点 到圆上各点的距离中，
最小距离与最大距离是关于 的一元二次方程 的两个实数根，则 的直径为 ．
2．（2023秋·河南周口·九年级校考期末）如图，在 中， ， cm， cm，以C为
圆心，r为半径作 ，若A，B两点中只有一个点在 内，则半径r的取值范围是 .
【考点三 判断直线和圆的位置关系】例题：（2023春·广东惠州·九年级校考开学考试）如图， ， 为 上一点，且 ，以点
为圆心，半径为3的圆与 的位置关系是（ ）
A．相离 B．相交 C．相切 D．以上三种情况均有可能
【变式训练】
1．（2023春·广东梅州·九年级校考开学考试） 中， ， ， ，以 为圆心，
以 长为半径作 ，则 与 的位置关系是（ ）
A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定
2．（2022秋·九年级单元测试）已知 的半径是 ，点 在 上，如果点 到直线 的距离是 ，那么
与直线 的位置关系是 （ ）
A．相交 B．相离 C．相切或相交 D．相切或相离
【考点四 已知直线和圆的位置关系求半径的取值】
例题：（2022秋·江苏连云港·九年级统考期中）直线l与 相离，且 的半径等于3，圆心O到直线l
的距离为d，则d的取值范围是 ．
【变式训练】
1．（2023·全国·九年级专题练习）已知直线l与半径长为R的 相离，且点O到直线l的距离为5，那么
R的取值范围是 ．
2．（2023·湖南常德·统考模拟预测）如图，已知 ， ， ，以 为圆心， 为半径
作 ， 与线段 有交点时，则 的取值范围是 ．
【考点五 已知直线和圆的位置关系求圆心到直线的距离】
例题：（2022秋·九年级单元测试）设 的半径为 ，圆心 到直线l的距离为 ，若 、 是方程的两根，则直线l与 相切时， 的值为 ．
【变式训练】
1．（2022春·九年级课时练习）在直角坐标系中，⊙M的圆心坐标为 ，半径是2．如果⊙M与y轴相
切，那么 ；如果⊙M与y轴相交，那么m的取值范围是 ；如果⊙M与y轴相离，那么m的取值
范围是 ．
2．（2023·陕西·模拟预测）如图，在直角梯形 中， ，E是 上一定点，
．点P是BC上一个动点，以P为圆心，PC为半径作⊙P．若⊙P与以E为
圆心，1为半径的⊙E有公共点，且⊙P与线段AD只有一个交点，则PC长度的取值范围是 ．
【考点六 判断或补全使直线为切线的条件】
例题：（2023·江苏·九年级假期作业）如图，已知 ，M为OB边上任意一点，以M为圆心，2cm
为半径作 ，当 cm时， 与OA相切.
【变式训练】
1．（2022春·九年级课时练习）如图， 为 的直径， ，当 时，
直线 与 相切．2．（2022春·九年级课时练习）如图，A、B是⊙O上的两点，AC是过A点的一条直线，如果
∠AOB=120°，那么当∠CAB的度数等于 度时，AC才能成为⊙O的切线．
【考点七 证明某直线是圆的切线】
例题：（2023秋·云南昭通·九年级校联考阶段练习）如图，已知 是 的直径，直线 与 相切于
点B，过点A作 交 于点D，连接 ．
(1)求证： 是 的切线．
(2)若 ，直径 ，求线段 的长．
【变式训练】
1．（2023秋·云南昭通·九年级统考期末）如图， 的半径为2，点A是 的直径 延长线上的一点，
C为 上的一点， ， ．
(1)求证：直线 是 的切线；(2)求 的面积．
2．（2023秋·辽宁葫芦岛·九年级统考期末）如图，四边形 内接于圆 ， 是圆 的直径， ，
的延长线交于点 ，延长 交 于点 ， ．
(1)求证： 是圆 的切线；
(2)点 在 上，且 ，连接 ， ， ，求 的长．
【考点八 切线的性质定理】
例题：（2023·浙江衢州·统考二模）如图， 的切线 交直径 的延长线于点 ， 为切点，若
， 的半径为3，则 的长为 ．
【变式训练】
1．（2022秋·福建福州·九年级统考期中）如图， 是 的直径，点 是 外的一点，且 是 的
切线， 交 于点 ，若 ，则 ．2．（2023·湖南永州·校考二模）如图， 是 的直径， 与 相切于点 的延长
线交 于点 ，则 的度数是 ．
【考点九 切线的性质与判定的综合应用】
例题：（2023秋·江苏·九年级专题练习）如图， 中， ，点 在边 上，以点 为圆
心， 为半径的圆交边 于点 ，交边 于点 ，且 ．
(1)求证： 是 的切线．
(2)若 ， ，求 的半径．
【变式训练】
1．（2023·河南周口·校联考三模）如图，点 是以 为直径的 外一点，点 是 上一点， 是
的切线， ，连接 并延长交 的延长线于点 ．(1)求证：点 是 的中点；
(2)若 ， 的半径为 ，求 的长．
2．（2023·云南昆明·统考二模）如图，在 中， 为 上一点，以点 为圆心， 为半径作半圆，
与 相切于点 ，过点A作 交 的延长线于点 ，且 ．
(1)求证： 是半 的切线；
(2)若 ， ，求半 的半径．
3．（2023·全国·九年级专题练习）如图， 是 的直径， 为 上的一点， 的平分线交 于
点 ，过点 的直线交 的延长线于点 ，交 的延长线于点 ．且 ．(1)求证： 为 的切线；
(2)若 ， ，直接写出半径的长．
【考点十 直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系】
例题：（2023·甘肃陇南·校考一模）如图， 与 的 的三边 分别相切于点
D、E、F，若 ，则 的半径为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【变式训练】
1．（2022秋·山东淄博·九年级统考期末）如图， 中， ，圆O是 的内切圆，D，E，F
是切点．若 ，则 ．
2．（2023秋·陕西延安·九年级统考期末）如图，在 中， ， ， ， 是的内切圆，分别切边 于点D，E，F．
(1)求 的半径．
(2)若Q是 的外心，连接 ，求 的长度．
【过关检测】
一、单选题
1．（2023秋·全国·九年级专题练习）已知 的半径为 ，点 到直线 的距离为 ，则直线 与
的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定
2．（2023秋·全国·九年级专题练习）在平面直角坐标系中，以原点O为圆心， 为半径作 ，点M的
坐标是 ，则点M与 的位置关系是（ ）
A．M在圆内 B．M在圆外 C．M在圆上 D．无法确定
3．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图， 是 的直径，C为 上一点，过点C的切线与 的延
长线交于点P，若 ，则 的度数是（ ）A． B． C． D．
4．（2023春·重庆南岸·九年级重庆市珊瑚初级中学校校考期中）如图， 是 的直径， ， 是
的弦， 是 的切线， 为切点， 与 交于点 ．若点 为 的中点， ，则
的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，在 中， ，点 是边 上一点，以点 为圆心，
以 为半径作圆， 恰好与 相切于点 ，连接 ．若 平分 ， ，则线段 的
长是（ ）
A． B． C．3 D．6
二、填空题
6．（2022·江西九江·校考二模）如图，直线 ， 与 分别相切于点 ， ， 为 上一点，且
，则 的度数是 ．7．（2023秋·全国·九年级专题练习）若 所在平面内一点 到 上的点的最远距离为5，最近距离为
3，则此圆的半径为 ．
8．（2023春·浙江嘉兴·九年级校考开学考试）已知 的圆心与坐标原点重合，半径为r，若点 在
内，点 在 外，则r的取值范围是 ．
9．（2023秋·九年级课时练习）如图 是 的弦， 交 于点 ，过点 的切线交 的延长
线于点 ．若 的半径为 ，则 的长为 ．
10．（2023秋·河北沧州·九年级校考期中）如图，直线 相交于点O， ，半径为1cm的
的圆心在射线 上，且与点O的距离为6cm，如果 以 的速度沿A向B的方向移动，则经过
秒后 与直线 相切．
三、解答题
11．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，在 中， ， ， 的半径为3．求证：
是 的切线．12．（2023秋·九年级课时练习）如图，在 中， ， 于点 为
的中点．
(1)以点 为圆心，6为半径作圆，试判断点 与 的位置关系；
(2)当 的半径为多少时，点 在 上？
13．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图， 是 的直径，C，D都是 上的点， 平分 ，
过点D作 的垂线交 的延长线于点E，交 的延长线于点F．
(1)求证： 是 的切线；(2)若 ，求 的值．
14．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，已知 内接于 ， 是 的直径， 的平分线
交 于点D，交 于点E，连接 ，作 ，交 的延长线于点F．
(1)求证： 是 的切线；
(2)若 ， ，求 的半径．
15．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图， 中， ，点O在边 上，以点O为圆
心， 为半径的圆交边 于点D，交边 于点E，且 ．
(1)求证： 是 的切线．
(2)若 ， ，求 的半径．16．（2023·河南信阳·校考三模）如图， 为 的直径，过圆外一点 作切线 、 ，交 于点
和点 ，连接 、 和 ．
(1)求证 ．
(2)填空：
①当 时，四边形 为菱形；
②当 时，四边形 为正方形．
