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第 08 讲 两点分布、二项分布、超几何分布与正态分布
（模拟精练+真题演练）
1．（2023·甘肃天水·统考二模）已知随机变量 服从正态分布 ，且 ，则
等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】 ， ，
.
故选：C.
2．（2023·吉林白山·抚松县第一中学校考模拟预测）近年来，网络消费新业态、新应用不断涌现，消费场
景也随之加速拓展，某报社开展了网络交易消费者满意度调查，某县人口约为50万人，从该县随机选取
5000人进行问卷调查，根据满意度得分分成以下5组： 、 、 、 ，统计结果如图
所示.由频率分布直方图可认为满意度得分X（单位：分）近似地服从正态分布 ，且
， ， ，其
中 近似为样本平均数， 近似为样本的标准差s，并已求得 .则以下不正确的是（ ）
A．由直方图可估计样本的平均数约为74.5
B．由直方图可估计样本的中位数约为75
C．由正态分布估计全县 的人数约为2.3万人
D．由正态分布估计全县 的人数约为40.9万人
【答案】C
【解析】对于A选项，由直方图可估计样本的平均数为
，A对；对于B选项，满意度得分在 之间的频率为 ，
满意度得分在 之间的频率为 ，
设样本的中位数为 ，则 ，
由中位数的定义可得 ，解得 ，B对；
对于C选项，因为 ， ， ，
所以， ，
所以，由正态分布可估计全县 的人数约为 万人，C错；
对于D选项，因为 ， ，
所以，
，
所以，由正态分布可估计全县 的人数约为 万人，D对.
故选：C
3．（2023·江苏·统考一模）若随机变量 ， ，若 ， ，
则 （ ）
A．0.7 B．0.8
C．0.2 D．0.3
【答案】C
【解析】因为随机变量 ， ，若 ， ，
所以 ，
解得 ，则 ，
所以 .
故选：C.
4．（2023·江西·校联考模拟预测）某校有1000人参加某次模拟考试，其中数学考试成绩近似服从正态分
布N(105,σ2)（σ>0），试卷满分150分，统计结果显示数学成绩优秀（高于120分）的人数占总人数的 ，
则此次数学考试成绩在90分到105分之间的人数约为（ ）
A．150 B．200
C．300 D．400
【答案】C
【解析】此次数学考试成绩在 分到 分之间得人数约为 .
故选:C.
5．（2023·湖南长沙·雅礼中学校考一模）若 ，则当 ，1，2，…，100时（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由题意得：
即 ，
化简得： ，
又k为整数,可得 ,所以 ，
故选：C．
6．（2023·陕西安康·陕西省安康中学校考模拟预测） 年春，为了解开学后大学生的身体健康状况，寒
假开学后，学校医疗部门抽取部分学生检查后，发现大学生的舒张压呈正态分布 （单位：
），且 ，若任意抽查该校大学生 人，恰好有 人的舒张压落在 内的
概率最大，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为 ，则 ，
由题意知：抽查该校大学生 人，
恰好有 人的舒张压落在 内的概率为 ，要使此式的值最大，
由 ，即 ，解得 ，
，所以， .
故选：C.
7．（2023·河南·洛阳市第三中学校联考模拟预测）32名业余棋手组队与甲、乙2名专业棋手进行车轮挑战
赛，每名业余棋手随机选择一名专业棋手进行一盘比赛，每盘比赛结果相互独立，若获胜的业余棋手人数
不少于10名，则业余棋手队获胜．已知每名业余棋手与甲比赛获胜的概率均为 ，每名业余棋手与乙比赛
获胜的概率均为 ，若业余棋手队获胜，则选择与甲进行比赛的业余棋手人数至少为（ ）
A．24 B．25 C．26 D．27
【答案】A
【解析】设选择与甲进行比赛且获胜的业余棋手人数为X，选择与乙进行比赛且获胜的业余棋手人数为
Y；
设选择与甲进行比赛的业余棋手人数为n，则选择与乙进行比赛的业余棋手人数为32-n．
X所有可能的取值为0，1，2， ，n，则 ， ；
Y所有可能的取值为0，1，2， ，32-n，则 ， ，
所以获胜的业余棋手总人数的期望 ，解得 ．
故选：A．
8．（2023·四川成都·成都七中校考模拟预测）袋中有6个大小相同的黑球，编号为 ，还有4个同
样大小的白球，编号为 ，现从中任取4个球，则下列结论中正确的是（ ）
①取出的最大号码 服从超几何分布；
②取出的黑球个数 服从超几何分布；
③取出2个白球的概率为 ；
④若取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，则总得分最大的概率为
A．①② B．②④ C．③④ D．①③④
【答案】B
【解析】对于①，根据超几何分布的定义，要把总体分为两类，再依次选取，由此可知取出的最大号码
不符合超几何分布的定义，无法用超几何分布的数学模型计算概率，故①错误；对于②，取出的黑球个数 符合超几何分布的定义，将黑球视作第一类，白球视作第二类，可以用超几何
分布的数学模型计算概率，故②正确；
对于③，取出2个白球的概率为 ，故③错误；
对于④，若取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，则取出四个黑球的总得分最大，
总得分最大的概率为 ，故④正确．
故选：B
9．（多选题）（2023·湖南岳阳·统考一模）若随机变量 服从两点分布，其中 ，则下列结论
正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AB
【解析】依题意 ，所以 ，
所以 ， .
所以 ， ，
，
所以AB选项正确，CD选项错误.
故选：AB
10．（多选题）（2023·全国·华中师大一附中校联考模拟预测）下列说法正确的是（ ）
A．随机变量X服从两点分布，若 ，则
B．随机变量 ，若 ， ，则
C．随机变量X服从正态分布 ，且 ，则
D．随机变量X服从正态分布 ，且满足 ，则随机变量Y服从正态分布
【答案】BD
【解析】对于A，随机变量X服从两点分布，由 ，得 ，则 ，A错误；对于B，随机变量 ，有 ， ，解得 ，B正确；
对于C,随机变量 ，则 ，
，C错误；
对于D，随机变量X，Y满足 ，则 ， ， ，因
此 ，D正确．
故选：BD
11．（多选题）（2023·湖北·校联考模拟预测）下列说法正确的是（ ）
A．已知随机变量 服从正态分布 且 ，则
B．设离散型随机变量 服从两点分布，若 ，则
C．若3个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，则恰有两个空盒的放法共有12种
D．已知 ，若 ，则
【答案】ABC
【解析】由正态分布的性质 ，
所以 ，A正确；
由两点分布知 ，所以 ，B正确；
3个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，则恰有两个空盒，可以先在一个盒子放一个球，有4种方
法，再在下一个盒子放两个球，有3种方法，由乘法原理总方法为 ，C正确；
已知 ，若 ，则 ，D错．
故选：ABC．
12．（多选题）（2023·福建厦门·厦门外国语学校校考模拟预测）下列说法正确的是（ ）
A．设随机变量X等可能取 ，…，n，如果 ，则
B．设随机变量X服从二项分布 ，则
C．设离散型随机变量 服从两点分布，若 ，则
D．已知随机变量X服从正态分布 且 ，则
【答案】ABC
【解析】对于A：对于 ，故A正确；对于B，设随机变量X服从二项分布 ，则 ，故B正确；
对于C，因为 且 ，故C正确；
对于D：随机变量 服从正态分布 正态曲线的对称轴是 .
，D错误；
故选：ABC.
13．（多选题）（2023·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测）已知某果园的每棵果树生长的果实个数
为X，且X服从正态分布 ，X小于70的概率为0.2，从该果园随机选取10棵果树，其中果实个数
在 的果树棵数记作随机变量Y，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【解析】由题意，
X服从正态分布 ，X小于70的概率为0.2，从该果园随机选取10棵果树，
∴ ，
∴ ，故选项A正确;
由题意可知 ，
∴ ，故选项B错误：
∵ ，
∴ ，
∴选项C错误，选项D正确．
故选：AD．
14．（2023·浙江·模拟预测）有 个人在一楼进入电梯，楼上共有 层，设每个人在任何一层出电梯的概率
相等，并且各层楼无人再进电梯，设电梯中的人走空时电梯需停的次数为 ，则 .
【答案】
【解析】由题意知：大楼共 层，
设随机变量 ，则 ，， ，
则 的分布列如下：
，
.
故答案为： .
15．（2023·山西吕梁·统考二模）某种红糖的袋装质量 服从正态分布 ，随机抽取5000袋，则
袋装质量在区间 的约有 袋．（质量单位： ）
附：若随机变量 服从正态分布 ，则 ，
， ．
【答案】4093
【解析】由题意知， ，
所以 ， ，得
，
所以袋装质量在区间 的约有 袋．
故答案为：4093
16．（2023·浙江杭州·学军中学模拟预测）袋子中有6个大小相同的黑球，5个同样大小的白球，现从中任
取4个球，取出一个黑球记0分，取出一个白球记1分， 表示取出的4个球的得分之和，求 的数学期望
（数字作答）
【答案】
【解析】由题意， 的所有可能取值为0,1,2,3,4，， ， ， ，
，
所以 的数学期望 ，
故答案为： .
17．（2023·湖南岳阳·湖南省岳阳县第一中学校考二模）某企业瓷砖生产线上生产的瓷砖某项指标
，且 ，现从该生产线上随机抽取10片瓷砖，记 表示 的瓷
砖片数，则 ．
【答案】1
【解析】因为 ，所以 ，
所以 ，又 ，
所以 ，
由已知 ，
所以 .
故答案为：1.
18．（2023·山西吕梁·统考二模）在一次新兵射击能力检测中，每人都可打5枪，只要击中靶标就停止射
击，合格通过；5次全不中，则不合格．新兵A参加射击能力检测，假设他每次射击相互独立，且击中靶
标的概率均为 ，若当 时，他至少射击4次合格通过的概率最大，则 ．
【答案】 /
【解析】至少射击4次合格通过的概率为 ，
所以 ，令 ，解得 ，
故 在 上单调递增，在 上单调递减，
当 时 得最大值，故 ．
故答案为：
19．（2023·四川成都·四川省成都列五中学校考三模） 年7月 日第 届全国中学生生物学竞赛在浙江省萧山中学隆重举行．为做好本次考试的评价工作，将本次成绩转化为百分制，现从中随机抽取了 名
学生的成绩，经统计，这批学生的成绩全部介于 至 之间，将数据按照 ， ， ，
， ， 分成6组，制成了如图所示的频率分布直方图．
(1)求频率分布直方图中 的值，并估计这 名学生成绩的中位数；
(2)在这 名学生中用分层抽样的方法从成绩在 ， ， 的三组中抽取了 人，再从这
人中随机抽取3人，记 为3人中成绩在 的人数，求 的分布列和数学期望；
【解析】（1）由频率分布直方图的性质可得， ，
解得 ，
设中位数为 ，
，解得 ．
（2） ， ， 三组的频率之比为 ，
从 ， ， 中分别抽取7人，3人，1人，
则 可取 ，
，
，
，
，
故 的分布列为：
0 1 2 3故 ．
20．（2023·宁夏银川·校考模拟预测）2023年9月23日至2023年10月8日，第19届亚运会将在中国杭州
举行.杭州某中学高一年级举办了“亚运在我心”的知识竞赛，其中1班，2班，3班，4班报名人数如下：
班号 1 2 3 4
3
人数 40 20 10
0
该年级在报名的同学中按分层抽样的方式抽取10名同学参加竞赛，每位参加竞赛的同学从预设的10个题
目中随机抽取4个作答，至少答对3道的同学获得一份奖品，假设每位同学的作答情况相互独立.
(1)求各班参加竞赛的人数；
(2)2班的小张同学被抽中参加竞赛，若该同学在预设的10个题目中恰有3个答不对，记他答对的题目数为
，求 的分布列及数学期望.
【解析】（1）各班报名人数总共100人，抽取10人，抽样比为 ，
故 班分别抽取 （人）， （人）， （人）， （人）.
（2）由题意， 的可能取值为1,2,3,4，
,
,
,
,
所以 的分布列为：
1 2 3 4
21．（2023·湖北武汉·统考模拟预测）“英才计划”最早开始于2013年，由中国科协、教育部共同组织实
施，到2022年已经培养了6000多名具有创新潜质的优秀中学生，为选拔培养对象，某高校在暑假期间从
武汉市的中学里挑选优秀学生参加数学、物理、化学、信息技术学科夏令营活动．
(1)若化学组的12名学员中恰有5人来自同一中学，从这12名学员中选取3人， 表示选取的人中来自该中学的人数，求 的分布列和数学期望；
(2)在夏令营开幕式的晚会上，物理组举行了一次学科知识竞答活动．规则如下：两人一组，每一轮竞答中，
每人分别答两题，若小组答对题数不小于3，则取得本轮胜利，假设每轮答题结果互不影响．已知甲、乙
两位同学组成一组，甲、乙答对每道题的概率分别为 ， ，且 ，如果甲、乙两位同学想在此
次答题活动中取得6轮胜利，那么理论上至少要参加多少轮竞赛？
【解析】（1）由题意可知 的可能取值有0、1、2、3，
， ，
，
所以，随机变量 的分布列如下表所示：
0 1 2 3
所以 ．
（2）他们在每轮答题中取得胜利的概率为
，
由 ， ， ，得 ，
则 ，因此 ，
令 ， ，于是当 时， ．
要使答题轮数取最小值，则每轮答题中取得胜利的概率取最大值 ．
设他们小组在 轮答题中取得胜利的次数为 ，则 ， ，
由 ，即 ，解得 ．
而 ，则 ，所以理论上至少要进行11轮答题．
22．（2023·贵州贵阳·校联考三模）为了“让广大青少年充分认识到毒品的危害性，切实提升青少年识毒
防毒拒毒意识”，我市组织开展青少年禁毒知识竞赛，团员小明每天自觉登录“禁毒知识竞赛APP”，参加各种学习活动，同时热衷于参与四人赛.每局四人赛是由网络随机匹配四人进行比赛，每题回答正确得
20分，第1个达到100分的比赛者获得第1名，赢得该局比赛，该局比赛结束.每天的四人赛共有20局，
前2局是有效局，根据得分情况获得相应名次，从而得到相应的学习积分，第1局获得第1名的得3分，
获得第2､3名的得2分，获得第4名的得1分；第2局获得第1名的得2分，获得第2､3､4名的得1分；后
18局是无效局，无论获得什么名次，均不能获得学习积分.经统计，小明每天在第1局四人赛中获得3分､2
分､1分的概率分别为 ， ， ，在第2局四人赛中获得2分､1分的概率分别为 ， .
(1)设小明每天获得的得分为X，求X的分布列和数学期望；
(2)若小明每天赛完20局，设小明在每局四人赛中获得第1名从而赢得该局比赛的概率为 ，每局是否赢
得比赛相互独立，请问在每天的20局四人赛中，小明赢得多少局的比赛概率最大？
【解析】（1）记事件 表示第一局获得 分，事件 表示第二局获得 分，
这些事件相互独立，由条件知 的可能值为5，4，3，2.
；
；
；
.
则其分布列为
5 4 3 2
所以 .
（2）设小明每天赢得的局数为 ，则易知 ，
于是 .
假设赢得 局的概率最大，则据条件得 ，即 ，
整理得 ，解之得 ，
又因为 ，所以 ，
因此在每天的20局四人赛中，小明赢得5局的比赛概率最大.
23．（2023·江苏徐州·校考模拟预测）袋中放有形状、大小完全相同的4个黑球和4个白球．
(1)从中依次摸3个球，摸后不放回，求在前两次摸球有黑球的条件下，第三次摸到白球的概率；
(2)若每次摸一个球后，观察其颜色，再放回袋中．
① 求某人摸球5次，摸中3个黑球，且三个黑球不是连续摸中的概率；
② 若摸到黑球加1分，摸到白球减1分，求摸球多少次时，得分为4分的概率最大．
【解析】（1）设事件A：前两次摸球有黑球，事件B：第三次摸到白球，则
， ，所以 ．
（2）① 设事件C：某人摸球5次，摸中3个黑球，且三个黑球不是连续摸中，
则 ．
② 设摸球 次时，得分为4分，其概率记为 ，
由于得分为4分，若摸白球 次， ，则摸黑球 次，故摸球次数 ， ，则
，且 为偶数，
则 ， ，
所以 ，整理得 ，
所以 时， ，则 单调递增；当 时， ，则 单调递减，
又 ，所以当 或 时， 最大．
24．（2023·吉林·统考模拟预测）随着消费者对环保、低碳和健康生活的追求不断加强，新能源汽车的市
场需求也在不断增加.新能源汽车主要有混合动力汽车、纯电动汽车、燃料电池汽车等类型.某汽车企业生
产的 型汽车，有混合动力和纯电动两种类型，总日产量达 台，其中有 台混合动力汽车， 台纯电动汽车.
(1)若从中随机抽检 台汽车，用 表示抽检混合动力汽车的台数，分别就有放回抽检与不放回抽检，求
的分布列及数学期望；
(2)若从每日生产的 台 型汽车中随机地抽取 台样本，用 表示样本中混合动力汽车台数，分别就有
放回抽取和不放回抽取，用样本中的混合动力汽车台数的比例估计总体中混合动力汽车台数的比例，求误
差不超过 的概率，并比较在相同的误差限制下，采用哪种抽取估计的结果更可靠.
二项分布概率值 超几何分布概率值
0 0.05631 0.04929
1 0.18771 0.18254
2 0.28157 0.29051
3 0.25028 0.26134
4 0.14600 0.14701
5 0.05840 0.05396
6 0.01622 0.01307
7 0.00309 0.00206
8 0.00039 0.00020
9 0.00003 0.00001
10 0.00000 0.00000
总
1.00000 1.00000
计
参考数据：（概率值精确到 ）
【解析】（1）对于有放回抽检，
每次抽到混合动力汽车的概率为 ，且各次抽检结果是独立的，
设 为有放回抽检的混合动力汽车的台数，则 可取0，1，2，
； ； .
的分布列如下：
0 1 2则 ；
对于不放回抽检，各次抽检的结果不独立，
设 为不放回抽检的混合动力汽车的台数，则 服从超几何分布，
可取0，1，2，
； ； .
的分布列如下：
0 1 2
则 .
注：也可按照下面步骤作答.
的分布列为 .
的分布列为 .
（2）样本中混合动力汽车的比例 是一个随机变量，根据参考数据，
有放回抽取：
不放回抽取：
因为 ，
所以，在相同的误差限制下，采用不放回抽取估计的结果更可靠.
25．（2023·宁夏石嘴山·统考一模）人类命运共同体充分展现了中国的大国担当．在第75届联合国大会上
中国承诺，将采取更加有力的政策和措施，力争于2030年之前使二氧化碳的排放达到峰值，努力争取
2060年之前实现碳中和（简称“双碳目标”），此举展现了我国应对气候变化的坚定决心，预示着中国经
济结构和经济社会运转方式将产生深刻变革，极大促进我国产业链的清洁化和绿色化．新能源汽车、电动
汽车是重要的战略新兴产业，对于实现“双碳目标”具有重要的作用．为了解 两个品牌新能源电动汽
车的使用满意度，在某市对购买 两个品牌的用户各随机抽取了100名进行问卷调查，记录他们对A、B
两种品牌的满意度得分（满分100分），将数据分成6组：，并整理得到如下频率分布直方图：
(1)请通过频率分布直方图分别估计A、B两种电动汽车使用满意度的平均得分，并判断哪种品牌电动汽车
更受用户欢迎（同一组中的数据用该组中间的中点值作代表）；
(2)以样本频率估计概率，若使用满意度得分不低于70分说明用户对该品牌电动汽车较满意，现从该市使
用B品牌的用户中随机抽取5个人，用 表示对B品牌较满意的人数，求 的分布列及数学期望．
【解析】（1）设用户对 品牌电动汽车的满意度平均分为 ，则
，
设用户对 品牌电动汽车的的满意度平均分为 ，则
，
显然 ，
所以 品牌电动汽车更受用户欢迎．
（2）依题意，用户对 品牌电动汽车满意度不低于70分的频率为 ，
低于70分的频率为 ，
从该市使用 品牌的用户中随机抽取5个人，则 的所有可能取值为 ，则 ，
， ，
， ，
， ，
所以 的分布列为：
0 1 2 3 4 5数学期望 .
26．（2023·云南大理·统考模拟预测）目前,教师职业越来越受青睐,考取教师资格证成为不少人的就业规划
之一.当前,中小学教师资格考试分笔试和面试两部分,笔试通过后才能进入面试环节.已知某市 年共有
名考生参加了中小学教师资格考试的笔试,笔试成绩 ,只有笔试成绩高于 分的学生才
能进入面试环节.
(1)从报考中小学教师资格考试的考生中随机抽取 人,求这 人中至少有一人进入面试的概率;
(2)现有甲、乙、丙 名学生进入了面试,且他们通过面试的概率分别为 ,设这 名学生中通过面试的人
数为 ,求随机变量 的分布列和数学期望.
参考数据:若 ,则 , ,
, , .
【解析】（1）记“至少有一人进入面试”为事件 ,由已知得: ,
所以 ,
则 ,
即这 人中至少有一人进入面试的概率为 .
（2） 的可能取值为 ,
,
,
,
,
则随机变量 的分布列为：
, .
27．（2023·广西柳州·统考模拟预测）新高考改革后广西采用“3+1+2”高考模式，“3”指的是语文､数学､
外语，这三门科目是必选的；“1”指的是要在物理､历史里选一门；“2”指考生要在生物学､化学､思想政治､地理4门中选择2门.
(1)若按照“3+1+2”模式选科，求甲乙两个学生恰有四门学科相同的选法种数；
(2)某教育部门为了调查学生语数外三科成绩，现从当地不同层次的学校中抽取高一学生5000名参加语数
外的网络测试､满分450分，假设该次网络测试成绩服从正态分布 .
①估计5000名学生中成绩介于120分到300分之间有多少人；
②某校对外宣传“我校200人参与此次网络测试，有10名同学获得430分以上的高分”，请结合统计学知
识分析上述宣传语的可信度.
附： ， ， .
【解析】（1）甲乙两个学生必选语文､数学､外语，若另一门相同的选择物理､历史中的一门，有 种，在
生物学､化学､思想政治､地理4门中甲乙选择不同的2门，则 ，即 种；
若另一门相同的选择生物学､化学､思想政治､地理4门中的一门，则有 种，
所以甲乙两个学生恰有四门学科相同的选法种数共 种方法；
（2）①设此次网络测试的成绩记为 ，则 ，
由题知 ， ， ，
则 ，所以 ，
所以估计5000名学生中成绩介于120分到300分之间有4093人；
②不可信. ，
则 ，
5000名学生中成绩大于430分的约有 人，
这说明5000名考生中，会出现约7人的成绩高于430分的“极端”样本，
所以说“某校200人参与此次网络测试，有10名同学获得430分以上的高分”，
说法错误，此宣传语不可信.
1．（2010•江西）一位国王的铸币大臣在每箱100枚的硬币中各掺入了一枚劣币，国王怀疑大臣作弊，他
用两种方法来检测．方法一：在10箱中各任意抽查一枚；方法二：在5箱中各任意抽查两枚．国王用方法
一、二能发现至少一枚劣币的概率分别记为 和 ．则
A． B．
C． D．以上三种情况都有可能
【答案】【解析】方案一：此方案下，每箱中的劣币被选中的概率为 ，没有发现劣币的概率是0.99，故至少发
现一枚劣币的总概率为 ；
方案二：此方案下，每箱的劣币被选中的概率为 ，总事件的概率为 ，
作差得 ，由
将 和 ，同时开5次方，通分后比较得出：
．
故选： ．
2．（2015•湖南）在如图所示的正方形中随机投掷 10000个点，则落入阴影部分（曲线 为正态分布
的密度曲线）的点的个数的估计值为
附“若 ，则
．
．
A．2386 B．2718 C．3413 D．4772
【答案】
【解析】由题意 ，
落入阴影部分点的个数的估计值为 ，
故选： ．
3．（2022•新高考Ⅱ）已知随机变量 服从正态分布 ，且 ，则
．
【答案】0.14．
【解析】 随机变量 服从正态分布 ，
，
，
故答案为：0.14．4．（2017•新课标Ⅰ）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16
个零件，并测量其尺寸（单位： ．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的
尺寸服从正态分布 ．
（1）假设生产状态正常，记 表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在 之外的零件数，求
及 的数学期望；
（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在 之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生
产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．
（ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性；
（ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：
9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04
10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95
经计算得 ， ，其中 为抽取的第 个零件
的尺寸， ，2， ，16．
用样本平均数 作为 的估计值 ，用样本标准差 作为 的估计值 ，利用估计值判断是否需对当天的
生产过程进行检查？剔除 之外的数据，用剩下的数据估计 和 （精确到 ．
附：若随机变量 服从正态分布 ，则 ， ，
．
【解析】（1）由题可知尺寸落在 之内的概率为0.9974，
则落在 之外的概率为 ，
由题意知 ，
因为 ，
所以 ，
因为 ，
所以 ；
（2）（ⅰ）如果生产状态正常，一个零件尺寸在 之外的概率只有0.0026，一天内抽取的
16个零件中，出现尺寸在 之外的零件的概率只有0.0408，发生的概率很小．因此一旦发生
这种状况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行
检查，可见上述监控生产过程的方法是合理的．
（ⅱ）由 ， ，得 的估计值为 ， 的估计值为 ，由样本数据可以看出
一个
零件的尺寸在 之外，因此需对当天的生产过程进行检查．剔除 之外的数据9.22，剩下的数据的平均数为
，
因此 的估计值为10.02．
，
剔除 之外的数据9.22，剩下的数据的样本方差为
，
因此 的估计值为 ．
5．（2014•新课标Ⅰ）从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量
结果得如下频率分布直方图：
（Ⅰ）求这500件产品质量指标值的样本平均数 和样本方差 （同一组中数据用该组区间的中点值作代
表）；
（Ⅱ）由直方图可以认为，这种产品的质量指标值 服从正态分布 ，其中 近似为样本平均数
近似为样本方差 ．
利用该正态分布，求 ；
某用户从该企业购买了100件这种产品，记 表示这100件产品中质量指标值位于区间
的产品件数，利用 的结果，求 ．
附： ．
若 则 ， ．
【解析】（Ⅰ）抽取产品的质量指标值的样本平均数 和样本方差 分别为：
，
．
（Ⅱ） 由（Ⅰ）知 ，从而 ；由 知一件产品的质量指标值位于区间 的概率为0.6826，
依题意知 ，所以 ．
6．（2023•全国）盒中有4个球，分别标有数字1、1、2、3，从中随机取2个球．
（1）求取到2个标有数字1的球的概率；
（2）设 为取出的2个球上的数字之和，求随机变量 的分布列及数学期望．
【解析】（1）取到2个标有数字1的球的概率 ；
（2）由题意可知， 所有可能的取值为2，3，4，5，
， ， ， ，
故 的分布列为：
2 3 4 5
故 ．
7．（2019•天津）设甲、乙两位同学上学期间，每天 之前到校的概率均为 ．假定甲、乙两位同学到
校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立．
（Ⅰ）用 表示甲同学上学期间的三天中 之前到校的天数，求随机变量 的分布列和数学期望；
（Ⅱ）设 为事件“上学期间的三天中，甲同学在 之前到校的天数比乙同学在 之前到校的天数
恰好多2”，求事件 发生的概率．
【解析】 甲上学期间的三天中到校情况相互独立，且每天 之前到校的概率均为 ，
故 ，
从而 ， ，1，2，3．
所以，随机变量 的分布列为：
0 1 2 3
随机变量 的期望 ．
设乙同学上学期间的三天中 到校的天数为 ，则 ，且 ， ， ，由题意知 ， 与 ， 互斥，且 与
， 与 相互独立，
由 知， ， ， ， ，
8．（2018•天津）已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16．现采用分层抽样的方法
从中抽取7人，进行睡眠时间的调查．
（Ⅰ）应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？
（Ⅱ）若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查．
用 表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量 的分布列与数学期望；
设 为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件 发生的概率．
【解析】（Ⅰ）单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16．人数比为： ，
从中抽取7人现，应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3，2，2人．
（Ⅱ）若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查．
用 表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，
随机变量 的取值为：0，1，2，3， ， ，1，2，3．
所以随机变量的分布列为：
0 1 2 3
随机变量 的数学期望 ；
设 为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，
设事件 为：抽取的3人中，睡眠充足的员工有1人，睡眠不足的员工有2人，事件 为抽取的3人中，
睡眠充足的员工有2人，睡眠不足的员工有1人，
则： ，且 （B） ， （C） ，
故 （A） ．
所以事件 发生的概率： ．
9．（2018•新课标Ⅰ）某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作
检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果
决定是否对余下的所有产品作检验．设每件产品为不合格品的概率都为 ，且各件产品是否为不
合格品相互独立．（1）记20件产品中恰有2件不合格品的概率为 ，求 的最大值点 ．
（2）现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以（1）中确定的 作为 的值．已知每件产
品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用．
（ⅰ）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为 ，求 ；
（ⅱ）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？
【解析】（1）记20件产品中恰有2件不合格品的概率为 ，
则 ，
，
令 ，得 ，
当 时， ，
当 时， ，
的最大值点 ．
（2） 由（1）知 ，
令 表示余下的180件产品中的不合格品数，依题意知 ，
，即 ，
．
如果对余下的产品作检验，由这一箱产品所需要的检验费为400元，
，
应该对余下的产品进行检验．
10．（2017•山东）在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如
下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比
这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用，现有6名男志愿者 ， ， ， ，
， 和4名女志愿者 ， ， ， ，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理
暗示．
（Ⅰ）求接受甲种心理暗示的志愿者中包含 但不包含 的概率．
（Ⅱ）用 表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求 的分布列与数学期望 ．
【解析】 记接受甲种心理暗示的志愿者中包含 但不包含 的事件为 ，则 ．
的可能取值为：0，1，2，3，4，
，，
，
，
．
的分布列为
0 1 2 3 4
的数学期望 ．
