文档内容
第 05 讲 古典概型、概率的基本性质
(精讲）
目录
第一部分：知识点精准记忆
第二部分：课前自我评估测试
第三部分：典型例题剖析
题型一：古典概型
题型二：概率基本性质的应用
题型三：古典概型与统计的综合应用
第四部分：高考真题感悟
第一部分：知 识 点 精 准 记 忆
知识点一：古典概型
试验具有如下共同特征：
(1)有限性：样本空间的样本点只有有限个；
(2)等可能性：每个样本点发生的可能性相等．
我们将具有以上两个特征的试验称为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型．
知识点二：古典概型的概率公式
一般地，设试验 是古典概型，样本空间 包含 个样本点，事件 包含其中的 个样本点，则定义事件
的概率 .
其中， 和 分别表示事件 和样本空间 包含的样本点个数．
知识点三：概率的性质
1：概率的基本性质（性质1、性质2、性质5）
性质1：对任意的事件 ，都有 ；
性质2：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即 ， ；
性质5：如果 ，那么 ，由该性质可得，对于任意事件 ，因为 ，所以
.
2：互斥事件的概率加法公式（性质3）性质3：如果事件 与事件 互斥，那么 ；
注意：只有事件 与事件 互斥，才可以使用性质3，否则不能使用该加法公式.
3：对立事件的概率（性质4）
性质4：如果事件 与事件 互为对立事件，那么 ， ；
4：概率的一般加法公式（性质6）
性质6：设 ， 是一个随机试验中的两个事件，有
第二部分：课 前 自 我 评 估 测 试
1．（2022·全国·高一课时练习）在 ， ， ， ， 路公共汽车都要停靠的一个站（假定这个站只能停靠
一辆汽车），有一位乘客等候 路或 路汽车．假定当时各路汽车首先到站的可能性都相等，则首先到站
正好是这位乘客所要乘的汽车的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】根据题意，样本点分别是1，3，4，5，8路公共汽车首先到站，显然共有5个，
而这位乘客所要乘的汽车有4路和8路两路，
故所求概率 ．
故选：D
2．（2022·安徽滁州·高二期末）近几年江苏卫视综艺节目 最强大脑 收视火热，其中在一次游戏比赛中，
两位选手要从人脸识别、声音识别、数字华容道、排序算法、俄罗斯方块、扫雷、九宫图、冲出迷宫、数
独这 种游戏中选择一种作为自己的游戏项目，则两位选手选择不同游戏项目的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：根据题意得，两位选手选择不同游戏项目的概率是 ．
故选：C．
3．（2022·全国·高三专题练习（文））甲、乙两人下棋，甲获胜的概率为 ，和棋的概率为 ，则乙获胜
的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D【详解】记“甲获胜”为事件 ，“和棋”为事件 ，“乙获胜”为事件 ，则 ， ，所
以
．
故选：D
4．（2022·福建厦门·高一期末）已知 ， ， ，则 （ ）
A．0.5 B．0.6 C．0.8 D．1
【答案】B
【详解】解：因为 ， ，
则 ，所以事件 与事件 不相互独立，
．
故选：B
5．（2022·全国·高一课时练习）袋子中放有大小和形状相同的小球若干个，其中标号为 的小球 个，标
号为 的小球 个，标号为 的小球 个．已知从袋子中随机抽取 个小球，取到标号是 的小球的概率是 ，
则 的值为____________．
【答案】
【详解】由题意可知 ，解得 ．
故答案为：2.
6．（2022·河北承德·高一阶段练习）对于一个古典概型的样本空间 和事件A，B，其中
， ，则 ___________.
【答案】
【详解】由题意得： ，所以 .
故答案为：
第三部分：典 型 例 题 剖 析
题型一：古典概型
典型例题
例题1．（2022·全国·高一单元测试）已知某运动员每次射击击中目标的概率为80%.现采用随机模拟的方
法估计某运动员射击4次，至少击中3次的概率.先由计算器给出0到9之间取整数值的随机数，指定0，1
表示没有击中目标，2，3，4，5，6，7，8，9表示击中目标，以4个随机数为一组，代表射击4次的结果，经随机模拟产生了20组随机数：
根据以上数据估计该射击运动员射击4次，至少击中3次的概率为（ ）
A．0.852 B．0.8192 C．0.8 D．0.75
【答案】D
【详解】在20组随机数中含 中的数至少3个（含3个或4个），共有15组，即模拟结果
中射击4次，至少击中3次的频率为 .
据此估计该运动员射击4次，至少击中3次的概率为0.75.
故选：D
例题2．（2022·全国·高二课时练习）奥林匹克标志由5个奥林匹克环套接组成，五环象征五大洲的团结以
及全世界的运动员以公正、坦率的比赛和友好的精神在奥林匹克运动会上相见．如图，5个奥林匹克环共
有8个交点，从中任取3个点，则这3个点恰好位于同1个奥林匹克环上的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】从8个点中任取3个点，共有 种情况，这3个点恰好位于同1个奥林匹克环上有
种情况，故所求的概率 ．
故选：A．
例题3．（2022·贵州铜仁·高二期末（文））2022年全球文化创意产业合作与发展国际会议将于12月在上
海举行，上海交大两位教授分别在“数字治理与城市文旅”“文创伦理与法规”“数字孪生与文化品牌”
“数智文创与用户行为研究”四个选题中选择两个提交提案，则他们选择的不完全相同但都选择了“文创
伦理与法规”的概率是____________．
【答案】
【详解】由题意，一人从4个选题中选择2个选题，共 种情况，故二人选择共有 种组合情
况，其中满足条件的有 种，故他们选择的不完全相同但都选择了“文创伦理与法规”的概率是
故答案为：例题4．（2022·全国·高一课时练习）某校要从艺术节活动中所产生的 名书法比赛一等奖的同学和 名绘
画比赛一等奖的同学中（每名同学只获得一个奖项）选出 名志愿者，参加运动会的服务工作．求：
(1)选出的 名志愿者都是获得书法比赛一等奖的同学的概率；
(2)选出的 名志愿者中， 名是获得书法比赛一等奖， 名是获得绘画比赛一等奖的同学的概率．
【答案】(1) (2)
（1）把4名获得书法比赛一等奖的同学编号为1，2，3，4；
2名获得绘画比赛一等奖的同学编号为5，6．
从6名同学中任选2名的所有可能结果有
，共15个．
从6名同学中任选2名，都是获得书法比赛一等奖的同学的所有可能结果有
，共6个．
所以选出的2名志愿者都是获得书法比赛一等奖的同学的概率 ．
（2）从6名同学中任选2名，1名是获得书法比赛一等奖，另1名是获得绘画比赛一等奖的同学的所有可
能结果有 ，共8个．
所以选出的2名志愿者中，1名是获得书法比赛一等奖，1名是获得绘画比赛一等奖的同学的概率 ．
例题5．（2022·全国·高一单元测试）某市于2022年举行第一届高中数学竞赛，竞赛结束后，为了了解该
次竞赛的成绩情况，从所有参赛学生中随机抽取1000名学生，得到他们的成绩，将数据整理后分成五组：
， ， ， ， ，并绘制成如图所示的频率分布直方图.
(1)请补全频率分布直方图并估计这1000名学生的平均成绩；
(2)采用分层随机抽样的方法从这1000名学生中抽取容量为40的样本，再从该样本中成绩不低于80分的学
生中随机抽取2名进行问卷调查，求至少有1名学生成绩不低于90分的概率；
【答案】(1)频率分布直方图答案见解析， （分）(2)（1）成绩落在 的频率为 ，补全的频率分布直方图如图：这1000
名学生的平均成绩约为 （分）.
（2）抽取的40名学生中，成绩在 内的有 （人），分别记为 ， ， ， ，
成绩在 内的有 （人），分别记为 ， ，从这6人中随机抽取2人的样本空
间
.共有15个样本点，记事件 “至少有1名学生成绩不低于
90分”，则 ，共有9个样本点.故
所求概率为 .
同类题型归类练
1．（2022·全国·高一课时练习）随机掷两枚质地均匀的骰子，它们“向上的点数之和不超过 ”的概率记
为 ，“向上的点数之和大于 ”的概率记为 ，“向上的点数之和为偶数”的概率记为 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】把随机掷两枚骰子的所有可能结果列表如下：共有36种等可能的结果，
其中“向上的点数之和不超过5”的有10种情况，
“向上的点数之和大于5”的有26种情况，
“向上的点数之和为偶数”的有18种情况，
所以“向上的点数之和不超过5”的概率 ，
“向上的点数之和大于5”的概率 ，
“向上的点数之和为偶数”的概率 ．
因为 ，
所以 ，
故选：C．
2．（2022·全国·高一课时练习）为防控新冠疫情，很多公共场所要求进人的人必须佩戴口罩．现有 人在
一次外出时需要从蓝、白、红、黑、绿 种颜色各 只的口罩中随机选 只不同颜色的口罩，则蓝、白口罩
同时被选中的概率为____________．
【答案】 ##
【详解】从蓝、白、红、黑、绿5种颜色各1只的口罩中选3只不同颜色的口罩，样本点列举如下：（蓝，
白，红），（蓝，白，黑），（蓝，白，绿），（蓝，红，黑），（蓝，红，绿），（蓝，黑，绿），
（白，红，黑），（白，红，绿），（白，黑，绿），（红，黑，绿），共有10个样本点，其中蓝、白色
口罩同时被选中的样本点有（蓝，白，红），（蓝，白，黑），（蓝，白，绿），共3个样本点，所以蓝、
白色口罩同时被选中的概率为 ．
故答案为： ．
3．（2022·全国·高一课时练习）某人计划从3个亚洲国家 和3个欧洲国家 中选择2个国
家去旅游．若他从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个，则这2个国家包括A，但不包括B，的概率为
_______．
【答案】
【详解】从3个亚洲国家和3个欧洲国家中各任选1个，所有样本点为：
，共9种．
其中包括 但不包括 的事件所包含的样本点有： ，共2种，所以所求事件的概率 .
故答案为： .
4．（2022·陕西西安·高一期末）某校近几年加大了对学生手工技能的培训，为了增强学生的动手意识和动
手能力，今年5月，该校进行一次手工技能比赛，从参加比赛的学生中，选取50名学生将其成绩（百分制，
均为整数）分成六组：第1组 ，第2组 ，第3组 ，第4组 ，第5组 ，
第6组 ，得到频率分布直方图（如图），观察图形中的信息，回答下列问题：
(1)根据频率分布直方图，估计比赛成绩不低于71分的人数所占的百分比；
(2)已知学生成绩评定等级有优秀､良好､一般三个等级，其中成绩不小于90分时为优秀，若从第5组和第6
组两组学生中，随机抽取2人，求所抽取的2人中至少1人成绩优秀的概率.
【答案】(1) (2)
（1） 前3组频率之和为 ，70-71分频率为 . 低于71分的频率之和为
，则不低于71分的频率为 ，故比赛成绩不低于71分的人数所占的百分比约
为 .
（2）第五组与第六组学生总人数为 ，其中第五组有4人，记为 ，第六组有3
人，记为 ，从中随机抽取2人的情况有
共有21种，其中至少1人成绩优
秀的情况有 共15种， 抽取的2人中至少1人成绩优
秀的概率为 .
5．（2022·全国·高三专题练习）十三届全国人大四次会议表决通过了关于“十四五”规划和2035年远景
目标纲要的决议，纲要指出：“加强原创性引领性科技攻关”.某企业集中科研骨干，攻克系列“卡脖子”
技术，该企业使用新技术对某款芯片进行试生产，该款芯片的性能以某项指标值 为衡量标
准，性能指标的等级划分如表：
性能指标值k等级 A B C D E
为了解该款芯片的生产效益，该企业从试生产的产品中随机抽样并测量了每件产品的指标值，若以组距为
5画频率分布直方图时，发现Y（设“ ”）满足： ， ， .
(1)试确定n的所有取值，并求a；
(2)从样本性能指标值不小于85的产品中采用分层随机抽样的方法抽取5件产品，求样本中A等级产品与B
等级产品的件数.然后从这5件产品中一次性随机抽取2件产品，并求出2件都是A等级的概率.
【答案】(1)n的取值集合为 ，
(2)A等级产品的件数为4，B等级产品的件数为1，概率为
（1）根据题意， ，按组距为5可分成6个区间，
分别是 ， ， ， ， ， ，
因为 ，且 ， ，所以n的取值集合为 .
每个小区间对应的频率值为 .
所以 ，解得 .
（2）A等级产品的频率为 .
B等级产品的频率为 ，
所以A等级产品和B等级产品的频率之比为 ，
所以从样本性能指标值不小于85的产品中采用分层随机抽样的方法抽取5件产品，
A等级产品的件数为4，分别记为 ， ， ， ，
B等级产品的件数为1，记为b.
从这5件产品中任意抽取2件产品，所有的可能情况有 ， ， ， ， ，
， ， ， ， ，共10种.
事件“抽取的2件产品都是A等级”包含的可能情况有 ， ， ， ， ，
，共6种，故所求概率为 .
题型二：概率基本性质的应用典型例题
例题1．（2022·浙江·太湖高级中学高二学业考试）已知事件 相互独立， ，则
（ ）
A．0.58 B．0.9 C．0.7 D．0.72
【答案】A
【详解】由题意
故
故选：A
例题2．（2022·全国·高一）下列四个命题：①对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件；②
若 为两个事件，则 ；③若事件 两两互斥 ；④若
满足 且 ，则 是对立事件.其中错误的命题个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【详解】对于①：对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件；故①正确；
对于②：若 为两个事件，则 ；故②不正确；
对于③：若事件 两两互斥，若 ，则 ，故③不正确；
对于④：对于几何概型而言，若事件 满足 ， ，则 不一定 是对立事件，
故④错误.
所以错误的命题有 个，
故选：D
例题3．（2022·全国·高二）若随机事件 互斥， 发生的概率均不等于0，且 ，
，则实数a的取值范围是______．
【答案】
【详解】由题意， ，即 ，解得 ．
故答案为：
例题4．（2022·湖南·长沙县实验中学高一期末）从1~30这30个整数中随机选择一个数，设事件 表示
选到的数能被2整除，事件 表示选到的数能被3整除．求下列事件的概率：
(1)这个数既能被2整除也能被3整除；
(2)这个数能被2整除或能被3整除；
(3)这个数既不能被2整除也不能被3整除．【答案】(1) (2) (3)
(1)1~30这30个整数中既能被2整除也能被3整除的有5个，∴ ；
(2)1~30这30个整数中能被2整除的有15个，能被3整除的有10个，所以 ，
，
；
(3)由于事件“这个数既不能被2整除也不能被3整除”与事件“这个数能被2整除或能被3整除”互为对
立事件，
则 ．
同类题型归类练
1．（2022·全国·高三专题练习）抛掷一枚质地均匀的骰子，事件A表示“向上的点数是奇数”，事件B表
示“向上的点数不超过3”，则P(A∪B)=（ ）
A． B． C． D．1
【答案】B
【详解】A包含向上的点数是1，3，5的情况，B包含向上的点数是1，2，3的情况，所以A∪B包含了向
上的点数是1，2，3，5的情况.故P(A∪B)= .
故选：B．
2.（2022·湖南·长沙一中高一阶段练习）假设 ，且事件A与B相互独立，则
________.
【答案】 ##
【详解】 ，则 .
故答案为：0.8.
3．（2022·全国·高二课时练习）某班要选一名学生做代表，每个学生当选是等可能的，若“选出代表是男
生”的概率是“选出代表是女生”的概率的 ，则这个班的女生人数占全班人数的百分比是_____．
【答案】75%
【详解】设“选出代表是女生”的概率为 ,则“选出代表是男生”的概率为 ,因为 ,所以 ,
所以这个班的女生人数占全班人数的百分比为 ,
故答案为:
4．（2022·全国·高一学业考试）从甲地到乙地沿某条公路行驶一共200公里，遇到红灯个数的概率如下表
所示：
红灯个数 0 1 2 3 4 5 6个及6个以上
概率 0.02 0.1 0.35 0.2 0.1 0.03
(1)求表中字母 的值；
(2)求至少遇到4个红灯的概率；
(3)求至多遇到5个红灯的概率.
【答案】(1)0.2；(2)0.33；(3)0.97.
【详解】(1)由题意可得 ，解得 .
(2)设事件 为遇到红灯的个数为4，事件 为遇到红灯的个数为5，事件 为遇到红灯的个数为6个及以上，
则事件“至少遇到4个红灯”为 ，因为事件 互斥，所以
，即至少遇到4个红灯的概率为0.33.
(3)设事件 为遇到6个及6个以上红灯，则至多遇到5个红灯为事件 .
则 .
题型三：古典概型与统计的综合应用
典型例题
例题1．（2022·全国·高一单元测试）某商场举行购物抽奖活动，抽奖箱中放有编号分别为1，2，3，4，5
的五个小球.小球除编号不同外，其余均相同.活动规则如下：从抽奖箱中随机抽取一球，若抽到的小球编
号为3，则获得奖金100元；若抽到的小球编号为偶数，则获得奖金50元；若抽到其余编号的小球，则不
中奖.现某顾客依次有放回地抽奖两次，则该顾客两次抽奖后获得奖金之和为100元的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由题意得，该顾客有放回地抽奖两次的样本空间
，共25个样本点.
两次抽奖奖金之和为100元包括三种情况：
①第一次奖金为100元，第二次没有中奖，
其包含的情况为 ， ，概率为 ；
②第一次没中奖，第二次奖金为100元，其包含的情况为 ， ，概率为 ；
③两次各获奖金50元，
包含的情况有 ， ， ， ，概率为 .
根据互斥事件的加法公式得该顾客两次抽奖后获得奖金之和为100元的概率为 .
故选：D.
例题2．（2022·江苏·常州市第一中学高二期中）第24届冬季奥运会于2022年2月4日至2022年2月20
日在北京市和河北省张家口市举行．现要安排甲、乙、丙、丁四名志愿者去国家高山滑雪馆、国家速滑馆、
首钢滑雪大跳台三个场馆参加活动，要求每个场馆都有人去，且这四人都在这三个场馆，则甲和乙都没被
安排去首钢滑雪大跳台的概率为__________．
【答案】
【详解】由题可知安排甲、乙、丙、丁四名志愿者三个场馆参加活动，要求每个场馆都有人去，且这四人
都在这三个场馆，共有 种，
其中甲和乙都没去首钢滑雪大跳台，有两类办法：
若有两个人去首钢滑雪大跳台，则肯定是丙、丁，即甲、乙分别去国家高山滑雪馆与国家速滑馆，有
种；
若有一个人去首钢滑雪大跳台，从丙、丁中选，有 种，然后剩下的一个人和甲、乙被安排去国家高
山滑雪馆与国家速滑馆，有 种，则共有 种，
综上可得，甲和乙都没被安排去首钢滑雪大跳台的种数为 ；
所以甲和乙都没被安排去首钢滑雪大跳台的概率为 .
故答案为： .
例题3．（2022·福建·福州四中高一期末）某区政府组织了以“不忘初心，牢记使命”为主题的教育活动，
为统计全区党员干部一周参与主题教育活动的时间，从全区的党员干部中随机抽取200名，获得了他们一
周参与主题教育活动时间（单位： ）的频率分布直方图如图所示，
(1)以每组数据所在区间的中点值作为本组的代表，估算这些党员干部参与主题教育活动时间的中位数（中位数精确到0.01）.
(2)如果计划对参与主题教育活动时间在 内的党员干部给予奖励，且在 ， 内的分别评
为二等奖和一等奖，那么按照分层抽样的方法从获得一､二等奖的党员干部中选取5人参加社区义务宣讲活
动，再从这5人中随机抽取2人作为主宣讲人，求这2人均是二等奖的概率.（需写出该事件的样本空间）
【答案】(1) (2)
（1）由已知可得， ．
设中位数为 ，因为 ， ，故 .
则 ，得 ．
（2）按照分层抽样的方法从 内选取的人数为 ，
从 内选取的人数为 ．
记二等奖的4人分别为 ， ， ， ，一等奖的1人为 ，
事件 为“从这5人中抽取2人作为主宣讲人，且这2人均是二等奖”．
从这5人中随机抽取2人的基本事件为 ， ， ， ， ， ， ， ， ，
，共10种，
其中2人均是二等奖的情况有 ， ， ， ， ， ，共6种，
由古典概型的概率计算公式得 ．
例题4．（2022·陕西·宝鸡市渭滨区教研室高一期末）某校高一年级500名学生全部参加了体育达标测试，
现从中随机抽取40名学生的测试成绩，整理并按分数段[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，
[90,100]进行分组，假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，则得到体育成绩的折线图如图：
(1)估计该校高一年级中体育成绩大于或等于70分的学生人数；
(2)现从体育成绩在[60,70)和[80,90)的样本学生中随机抽取2人，求2人体育成绩都在[80,90)的概率.
【答案】(1) (2)
（1）根据折线图可以得到体育成绩大于或等于70分的学生人数为 ，所以该校高一年级中体
育成绩大于或等于70分的学生人数估计为： .（2）体育成绩在[60,70)和[80,90)的人数分别为2、3，分别记为 , 若随机抽取2人，则所有
的基本事件为： ，故基本事件的总数为10,其
中2人体育成绩都在[80,90)的基本事件的个数有 共3个，设A为：“2人体育成绩都在
[80,90)”，则 .
同类题型归类练
1．（2022·江西·丰城九中高二期末（理））2022年北京冬奥会的顺利召开，引起了大家对冰雪运动的关注．
若A，B，C，D，E五人可在自由式滑雪、花样滑冰和跳台滑雪这三项运动中任选一项进行体验，则每项
运动至少有一人参加的概率（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】5人在自由式滑雪、花样滑冰和跳台滑雪这三项运动中任选一项共有 种；
每项运动至少有一人参加可分为：
自由式滑雪3人、花样滑冰1人、跳台滑雪1人，此时有 种;
自由式滑雪2人、花样滑冰2人、跳台滑雪1人，此时有 种;
自由式滑雪2人、花样滑冰1人、跳台滑雪2人，此时有 种;
自由式滑雪1人、花样滑冰3人、跳台滑雪1人，此时有 种;
自由式滑雪1人、花样滑冰2人、跳台滑雪2人，此时有 种;
自由式滑雪1人、花样滑冰1人、跳台滑雪3人，此时有 种;
共有 种.
则每项运动至少有一人参加的概率为 .
故选：C.
2．（2022·河北保定·高二阶段练习）哥德巴赫猜想是指“每个大于2的偶数都可以表示为两个素数的和”，
例如 ， ，在不超过32的素数中，随机选取两个数，其和等于32的概率为___________.
【答案】
【详解】由题意可知，不超过32的素数有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，共11个，在不超
过32的素数中，随机选取两个数，基本事件总数为 个，
其和等于32包含的基本事件有 ， ，共 个，所以其和等于32的概率为 .
故答案为： .
3．（2022·全国·高一单元测试）在①高一或高二学生的概率为 ；②高二或高三学生的概率为 ；③高
三学生的概率为 这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答.
已知某高中的高一有学生600人，高二有学生500人，高三有学生a人，若从所有学生中随机抽取1人，
抽到___________.
(1)求a的值；
(2)若按照高一和高三学生人数的比例情况，从高一和高三的所有学生中随机抽取6人，再从这6人中随机
抽取2人，求至少有1人是高三学生的概率.
【答案】(1)300(2)
（1）选①.依题意，从所有学生中随机抽取1人，抽到高一或高二学生的概率为
，解得 ，所以a的值为300.选②.依题意，从所有学生中随机抽取1人，
抽到高一或高三学生的概率为 ，解得 ，所以a的值为300.选③.依题意，
从所有学生中随机抽取1人，抽到高三学生的概率为 ，解得 ，所以a的值为300.
（2）第一步：求出抽取的6人中高一､高三学生的人数由（1）知，高一､高三学生人数比为2：1，所以抽
取的6人中，高一有4人，高三有2人.第二步：列出从抽取的6人中任取2人的所有情况高一的4人记为
a，b，c，d，高三的2人记为A，B，则从这6人中任取2人的所有情况为{a，b}，{a，c}，{a，d}，{a，
A}，{a，B}，{b，c}，{b，d}，{b，A}，{b，B}，{c，d}，{c，A}，{c，B}，{d，A}，{d，B}，{A，B}，
共15种.第三步：列出至少有1人是高三学生的情况抽取的2人中至少有1人是高三学生的情况有{a，A}，
{a，B}，{b，A}，{b，B}，{c，A}，{c，B}，{d，A}，{d，B}，{A，B}，共9种.第四步：根据古典概型
的概率公式得解至少有1人是高三学生的概率为 .
4．（2022·河南省叶县高级中学高三阶段练习（文））某新能源汽车制造公司，为鼓励消费者购买其生产
的新能源汽车，约定从今年元月开始，凡购买一辆该品牌汽车，在行驶三年后，公司将给予适当金额的购
车补贴．某调研机构对已购买该品牌汽车的消费者，就购车补贴金额的心理预期值进行了抽样调查，得其
样本频率分布直方图如图所示．(1)求实数 的值；
(2)估计已购买该品牌汽车的消费群体对购车补贴金额的心理预期值的平均数（同一组数据用该区间的中点
值作代表）和中位数；（精确到0.01）
(3)现在要从购车补贴金额的心理预期值在 间用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取2人
进行调查，求抽到2人中购车补贴金额的心理预期值都在 间的概率．
【答案】(1) ；(2)平均数的估计值为3.5万元，中位数的估计值为3.33万元；(3) .
（1）由题意知， ，解得 ．
（2）平均数的估计值为 万元因为
，则中位数在区间（3，4）内．设中位数为 ，则 ，得
，所以中位数的估计值为3.33万元．
（3）从购车补贴金额的心理预期值在[3，5）间用分层抽样的方法抽取6人，则购车补贴金额的心理预期
值在[3，4）间的有4人，记为a，b，c，d，购车补贴金额的心理预期值在[4，5）间的有2人，记为A，
B，则基本事件有（a，b），（a，c），（a，d），（a，A），（a，B），（b，c），（b，d），（b，
A），（b，B），（c，d），（c，A），（c，B）（d，A），（d，B），（A，B），共15种情况．其中
购车补贴金额的心理预期值都在[3，4）间有（a，b），（a，c），（a，d），（b，c），（b，d），
（c，d），共6种情况，所以抽到2人中购车补贴金额的心理预期值都在[3，4）间的概率 ．
第四部分：高考真题感悟
1．（2022·全国·高考真题）从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，共有 种不同的取法，
若两数不互质，不同的取法有： ，共7种，故所求概率 .
故选：D.
2．（2022·全国·高考真题（文））从分别写有1，2，3，4，5，6的6张卡片中无放回随机抽取2张，则抽
到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】从6张卡片中无放回抽取2张，共有
15种情况，
其中数字之积为4的倍数的有 6种情况，故概率为 .
故选：C.
3．（2022·全国·高考真题（文））从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选
的概率为____________．
【答案】 ##0.3
【详解】解法一：设这5名同学分别为甲，乙，1,2,3，从5名同学中随机选3名，
有：(甲，乙，1)，(甲，乙，2)，(甲，乙，3)，(甲，1，2)，(甲，1，3)，(甲，2，3)，(乙，1，2)，(乙，
1，3)，(乙，2，3)，(1，2，3)，共10种选法；
其中，甲、乙都入选的选法有3种，故所求概率 .
故答案为： .
解法二：从5名同学中随机选3名的方法数为
甲、乙都入选的方法数为 ，所以甲、乙都入选的概率
故答案为：
4．（2022·全国·高考真题（理））从正方体的8个顶点中任选4个，则这4个点在同一个平面的概率为
________．
【答案】 .
【详解】从正方体的 个顶点中任取 个，有 个结果，这 个点在同一个平面的有
个，故所求概率 ．故答案为： ．
