文档内容
§10.4 随机事件与概率
考试要求 1.了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义以及频率与
概率的区别.2.理解事件间的关系与运算.3.掌握古典概型及其计算公式，能计算古典概型中简
单随机事件的概率．
知识梳理
1．样本空间和随机事件
(1)样本点和有限样本空间
①样本点：随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点，常用ω表示．
全体样本点的集合称为试验E的样本空间，常用Ω表示．
②有限样本空间：如果一个随机试验有n个可能结果ω ，ω ，…，ω ，则称样本空间Ω＝
1 2 n
{ω，ω，…，ω}为有限样本空间．
1 2 n
(2)随机事件
①定义：将样本空间Ω的子集称为随机事件，简称事件．
②表示：一般用大写字母A，B，C，…表示．
③随机事件的极端情形：必然事件、不可能事件．
2．两个事件的关系和运算
含义 符号表示
包含关系 若A发生，则B一定发生 A ⊆ B
相等关系 B⊇A且A⊇B A ＝ B
并事件(和事件) A 与 B 至少有一个发生 A∪B或A＋B
交事件(积事件) A与B同时发生 A ∩ B 或 AB
互斥(互不相容) A与B不能同时发生 A∩B＝∅
互为对立 A与B有且仅有一个发生 A ∩ B ＝ ∅ ，且 A ∪ B ＝ Ω
3．古典概型的特征
(1)有限性：样本空间的样本点只有有限个；
(2)等可能性：每个样本点发生的可能性相等．
4．古典概型的概率公式
一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，
则定义事件A的概率P(A)＝＝.
其中，n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数．
5．概率的性质性质1：对任意的事件A，都有P(A)≥0；
性质2：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P(Ω)＝1，P(∅)＝0；
性质3：如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)＝ P ( A ) ＋ P ( B ) ；
性质4：如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)＝1－P(A)，P(A)＝ 1 － P ( B ) ；
性质5：如果A⊆B，那么P(A)≤P(B)，由该性质可得，对于任意事件 A，因为∅⊆A⊆Ω，
所以0≤P(A)≤1；
性质6：设A，B是一个随机试验中的两个事件，有P(A∪B)＝ P ( A ) ＋ P ( B ) － P ( A ∩ B ) ．
6．频率与概率
(1)频率的稳定性
一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率f(A)会
n
逐渐稳定于事件A发生的概率P(A)，我们称频率的这个性质为频率的稳定性．
(2)频率稳定性的作用
可以用频率f(A)估计概率P(A)．
n
常用结论
1．当随机事件A，B互斥时，不一定对立；当随机事件A，B对立时，一定互斥，即两事件
互斥是对立的必要不充分条件．
2．若事件A，A，…，A 两两互斥，则P(A∪A∪…∪A)＝P(A)＋P(A)＋…＋P(A)．
1 2 n 1 2 n 1 2 n
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)事件发生的频率与概率是相同的．( × )
(2)两个事件的和事件发生是指这两个事件至少有一个发生．( √ )
(3)从－3，－2，－1,0,1,2中任取一个数，取到的数小于 0与不小于0的可能性相同．( √
)
(4)若A∪B是必然事件，则A与B是对立事件．( × )
教材改编题
1．一个人打靶时连续射击两次，事件“至多有一次中靶”的互斥事件是( )
A．至少有一次中靶
B．两次都中靶
C．只有一次中靶
D．两次都不中靶
答案 B
解析 射击两次中“至多有一次中靶”即“有一次中靶或两次都不中靶”，与该事件不能同
时发生的是“两次都中靶”．
2．从某班学生中任意找出一人，如果该同学的身高小于 160 cm的概率为0.2，该同学的身
高在[160,175](单位：cm)内的概率为0.5，那么该同学的身高超过175 cm的概率为( )
A．0.2 B．0.3 C．0.7 D．0.8答案 B
解析 由题意知该同学的身高小于160 cm的概率、该同学的身高在[160,175](单位：cm)内
的概率和该同学的身高超过175 cm的概率和为1，故所求概率为1－0.2－0.5＝0.3.
3．(2022·全国乙卷)从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选
的概率为________．
答案
解析 从甲、乙等5名同学中随机选3名，有C种情况，其中甲、乙都入选有C种情况，所
以甲、乙都入选的概率P＝＝.
题型一 随机事件
命题点1 随机事件间关系的判断
例1 (1)(多选)对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设事件A＝{两弹都击
中飞机}，事件B＝{两弹都没击中飞机}，事件C＝{恰有一弹击中飞机}，事件D＝{至少有
一弹击中飞机}，则下列关系正确的是( )
A．A∩D＝∅ B．B∩D＝∅
C．A∪C＝D D．A∪B＝B∪D
答案 BC
解析 “恰有一弹击中飞机”指第一枚击中、第二枚没中或第一枚没中、第二枚击中，“至
少有一弹击中飞机”包含两种情况，一种是恰有一弹击中，另一种是两弹都击中，故
A∩D≠ ∅，B∩D＝∅，A∪C＝D，A∪B≠B∪D.
(2)从装有十个红球和十个白球的罐子里任取两球，下列情况中是互斥而不对立的两个事件
的是( )
A．至少有一个红球；至少有一个白球
B．恰有一个红球；都是白球
C．至少有一个红球；都是白球
D．至多有一个红球；都是红球
答案 B
解析 对于A，“至少有一个红球”可能为一个红球、一个白球，“至少有一个白球”可能
为一个白球、一个红球，故两事件可能同时发生，所以不是互斥事件；对于 B，“恰有一个
红球”，则另一个必是白球，与“都是白球”是互斥事件，而任取两球还可能都是红球，故
两事件不是对立事件；对于C，“至少有一个红球”为都是红球或一红一白，与“都是白
球”显然是对立事件；对于D，“至多有一个红球”为都是白球或一红一白，与“都是红
球”是对立事件．
命题点2 利用互斥、对立事件求概率例2 某商场进行有奖销售，购满100元商品得1张奖券，多购多得.1 000张奖券为一个开
奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个．设1张奖券中特等奖、一等奖、二等
奖的事件分别为A，B，C，求：
(1)P(A)，P(B)，P(C)；
(2)1张奖券的中奖概率；
(3)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率．
解 (1)P(A)＝， P(B)＝＝，P(C)＝＝.
(2)1张奖券中奖包含中特等奖、一等奖、二等奖．设“1张奖券中奖”这个事件为M，则M
＝A∪B∪C.
∵事件A，B，C两两互斥，
∴P(M)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)
＝＝，
故1张奖券的中奖概率为.
(3)设“1张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件N，则事件N与“1张奖券中特等奖或中
一等奖”为对立事件，
∴P(N)＝1－P(A∪B)＝1－＝，
故1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为.
思维升华 事件关系的运算策略
进行事件的运算时，一是要紧扣运算的定义，二是要全面考虑同一条件下的试验可能出现的
全部结果，必要时可列出全部的试验结果进行分析．当事件是由互斥事件组成时，运用互斥
事件的概率加法公式．
跟踪训练1 (1)(多选)抛掷一枚质地均匀的骰子，有如下随机事件：
C＝“点数为i”，其中i＝1,2,3,4,5,6；
i
D＝“点数不大于2”，D＝“点数不小于2”，D＝“点数大于5”；
1 2 3
E＝“点数为奇数”；
F＝“点数为偶数”．
下列结论正确的是( )
A．C 与C 对立 B．D 与D 不互斥
1 2 1 2
C．D⊆F D．E⊇(D∩D)
3 1 2
答案 BC
解析 对于A，C ＝“点数为1”，C ＝“点数为2”，C 与C 互斥但不对立，故选项A不
1 2 1 2
正确；
对于B，D ＝“点数不大于2”，D ＝“点数不小于2”，当出现的点数是2时，D 与D 同
1 2 1 2
时发生，所以D 与D 不互斥，故选项B正确；
1 2对于C，D ＝“点数大于5”表示出现6点，F＝“点数为偶数”，所以D 发生时F一定发
3 3
生，所以D⊆F，故选项C正确；
3
对于D，D∩D 表示两个事件同时发生，即出现2点，E＝“点数为奇数”，所以D∩D 发
1 2 1 2
生，事件E不发生，所以E⊇(D∩D)不正确，故选项D不正确．
1 2
(2)某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物
的100位顾客的相关数据，如下表所示．
一次购物量 1至4件 5至8件 9至12件 13至16件 17件及以上
顾客数(人) x 30 25 y 10
结算时间
1 1.5 2 2.5 3
(分钟/人)
已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%.
①确定x，y的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；
②估计一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率．
解 ①由已知得25＋y＋10＝55，x＋30＝45，所以x＝15，y＝20.则顾客一次购物的结算时
间的平均值可用样本平均数估计，其估计值为＝1.9(分钟)．
②记A为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟”，A ，A ，A 分别表示事件
1 2 3
“该顾客一次购物的结算时间为1分钟”“该顾客一次购物的结算时间为1.5分钟”“该顾
客一次购物的结算时间为2分钟”，则可估计概率约为
P(A)＝＝，P(A)＝＝，P(A)＝＝，
1 2 3
因为A＝A∪A∪A，且A，A，A 两两互斥，
1 2 3 1 2 3
所以P(A)＝P(A∪A∪A)＝P(A)＋P(A)＋P(A)＝＋＋＝，
1 2 3 1 2 3
故一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率约为.
题型二 古典概型
例3 (1)(2023·南通质检)我国数学家张益唐在“孪生素数”研究方面取得突破，孪生素数也
称为孪生质数，就是指两个相差2的素数，例如5和7.在大于3且不超过20的素数中，随
机选取2个不同的数，恰好是一组孪生素数的概率为( )
A. B. C. D.
答案 D
解析 大于3且不超过20的素数为5,7,11,13,17,19，共6个，
随机选取 2 个不同的数，分别为(5,7)，(5,11)，(5,13)，(5,17)，(5,19)，(7,11)，(7,13)，
(7,17)，(7,19)，(11,13)，(11,17)，(11,19)，(13,17)，(13,19)，(17,19)，共15种选法，其中恰
好是一组孪生素数的有(5,7)，(11,13)，(17,19)，共3种，故随机选取2个不同的数，恰好是
一组孪生素数的概率为＝.(2)在一次比赛中某队共有甲、乙、丙等5位选手参加，赛前用抽签的方法决定出场顺序，
则乙、丙都不与甲相邻出场的概率是( )
A. B. C. D.
答案 D
解析 在一次比赛中某队共有甲、乙、丙等5位选手参加，赛前用抽签的方法决定出场顺序，
样本点总数n＝A＝120，“乙、丙都不与甲相邻出场”包含的样本点个数m＝AA＋AAA＝
36，所以“乙、丙都不与甲相邻出场”的概率P＝＝＝.
思维升华 利用公式法求解古典概型问题的步骤
跟踪训练2 (1)(2022·全国甲卷)从分别写有1,2,3,4,5,6的6张卡片中无放回地随机抽取2张，
则抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率为( )
A. B. C. D.
答案 C
解析 从写有1,2,3,4,5,6的6张卡片中无放回地随机抽取2张，共有15种取法，它们分别是
(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，
(4,6)，(5,6)，其中卡片上的数字之积是 4的倍数的是(1,4)，(2,4)，(2,6)，(3,4)，(4,5)，
(4,6)，共6种取法，所以所求概率是P＝＝.
(2)(2022·宜宾质检)2022年冬奥会在北京、延庆、张家口三个区域布置赛场，北京承办所有
冰上项目，延庆和张家口承办所有雪上项目．组委会招聘了包括甲在内的4名志愿者，准备
分配到上述3个赛场参与赛后维护服务工作，要求每个赛场至少分到一名志愿者，则志愿者
甲正好分到北京赛场的概率为 ________.
答案
解析 依题意3个赛场分配的志愿者人数只有1,1,2这种情况，则共有n＝CA＝36(种)安排
方法，
志愿者甲被分配到北京赛场有m＝A＋CA＝12(种)安排方法，
所以志愿者甲正好分到北京赛场的概率P＝＝.
题型三 概率与统计的综合问题
例4 北京冬奥会顺利闭幕后，某学校团委组织了一次“奥运会”知识讲座活动，活动结束
后随机抽取120名学生对讲座情况进行调查，其中男生与女生的人数之比为1∶1，抽取的
学生中男生有40名对讲座活动满意，女生中有30名对讲座活动不满意．
(1)完成下面2×2列联表，并依据小概率值α＝0.10的独立性检验，能否推断对讲座活动是否满意与性别有关？
满意 不满意 合计
男生
女生
合计 120
(2)从被调查的对讲座活动满意的学生中，利用比例分配的分层随机抽样方法抽取7名学生，
再在这7名学生中抽取3名学生谈谈自己听讲座的心得体会，求其中恰好抽中2名男生与1
名女生的概率．
参考数据：χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.
α 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001
x 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
α
解 (1)2×2列联表如表所示.
满意 不满意 合计
男生 40 20 60
女生 30 30 60
合计 70 50 120
零假设为H：对讲座活动是否满意与性别无关．
0
根据列联表中数据，
经计算得χ2＝＝≈3.429>2.706＝x ，
0.10
根据小概率值α＝0.10的独立性检验，我们推断H 不成立，即认为对讲座活动是否满意与性
0
别有关．
(2)由(1)知，在样本中对讲座活动满意的学生有70人，从中抽取7人，其中
“男生满意”的有40×＝4(人)，
“女生满意”的有30×＝3(人)，
记“恰好抽中2名男生与1名女生”为事件A，
则P(A)＝＝，
所以恰好抽中2名男生与1名女生的概率为.
思维升华 求解古典概型的综合问题的步骤
(1)将题目条件中的相关知识转化为事件；
(2)判断事件是否为古典概型；
(3)选用合适的方法确定样本点个数；
(4)代入古典概型的概率公式求解．跟踪训练3 从参加环保知识竞赛的学生中抽出40名，将其成绩(均为整数)整理后画出频率
分布直方图如图所示，观察图形，回答下列问题．
(1)成绩在[80,90)这一组的频数、频率分别是多少？
(2)估计这次环保知识竞赛成绩的平均数、众数、中位数；(不要求写过程)
(3)从成绩是80分以上(包括80分)的学生中选2人，求他们在同一分数段的概率．
解 (1)根据题意，成绩在[50,60)这一组的频率为0.015×10＝0.15，在[60,70)这一组的频率
为0.025×10＝0.25，在[70,80)这一组的频率为0.035×10＝0.35，在[90,100)这一组的频率为
0.005×10＝0.05，则成绩在[80,90)这一组的频率为×[1－(0.15＋0.25＋0.35＋0.05)]＝0.1，其
频数为40×0.1＝4.
(2)这次竞赛成绩的平均数约为45×0.1＋55×0.15＋65×0.25＋75×0.35＋85×0.1＋95×0.05
＝68.5；
成绩在[70,80)这一组的频率最大，人数最多，则众数约为75；
70分左右两侧的频率均为0.5，则中位数约为70.
(3)记“选出的2人在同一分数段”为事件E，成绩在[80,90)内的有40×0.1＝4(人)，设为
a，b，c，d；成绩在[90,100)内的有40×0.05＝2(人)，设为A，B.从这6人中选出2人，有
(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，A)，(a，B)，(b，c)，(b，d)，(b，A)，(b，B)，(c，d)，(c，
A)，(c，B)，(d，A)，(d，B)，(A，B)，共15种选法，其中事件E包括(a，b)，(a，c)，(a，
d)，(b，c)，(b，d)，(c，d)，(A，B)，共7种选法，则P(E)＝.
课时精练
1．掷一枚质地均匀的骰子，“向上的点数是1或3”为事件A，“向上的点数是1或5”为
事件B，则( )
A．A∪B表示向上的点数是1或3或5
B．A＝B
C．A∪B表示向上的点数是1或3
D．A∩B表示向上的点数是1或5
答案 A解析 设A＝{1,3}，B＝{1,5}，
则A∩B＝{1}，A∪B＝{1,3,5}，
∴A≠B，A∩B表示向上的点数是1，A∪B表示向上的点数为1或3或5.
2．杭州亚运会的三个吉祥物分别取名“琮琮”“宸宸”“莲莲”，如图．现将三张分别印
有“琮琮”“宸宸”“莲莲”图案的卡片(卡片的形状、大小和质地完全相同)放入盒子中．
若从盒子中依次有放回地取出两张卡片，则一张为“琮琮”，一张为“宸宸”的概率是(
)
A. B. C. D.
答案 C
解析 记印有“琮琮”“宸宸”“莲莲”图案的卡片分别为A，B，C，则样本点有(A，A)，
(A，B)，(A，C)，(B，A)，(B，B)，(B，C)，(C，A)，(C，B)，(C，C)，共9个，
其中一张为“琮琮”，一张为“宸宸”的样本点有(A，B)，(B，A)，共2个，
所以所求的概率P＝.
3．我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1 534
石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为( )
A．134石 B．169石
C．338石 D．1 365石
答案 B
解析 这批米内夹谷约为×1 534≈169(石)．
4. 在抛掷一枚质地均匀的骰子的试验中，事件A表示“小于5的偶数点出现”，事件B表
示“小于5的点数出现”，则在一次试验中，事件A＋发生的概率为( )
A. B. C. D.
答案 C
解析 掷一枚骰子的试验有6种等可能的结果，依题意知P(A)＝＝，P(B)＝＝，
所以P()＝1－P(B)＝1－＝，
因为表示“出现5点或6点”的事件，所以事件A与互斥，从而P(A＋)＝P(A)＋P()＝＋＝.
5．(2022·莆田质检)将5名支援某地区抗疫的医生分配到A，B，C三所医院，要求每所医院
至少安排1人，则其中甲、乙两名医生恰好分配到同一医院的概率为( )
A. B. C. D.
答案 B
解析 由题意可知，分配情况分为两类：3,1,1或2,2,1，其方法总数为CA＋·A＝150.
其中甲、乙两名医生恰好分配到同一医院的方法共有CC·A＋CCC·A＝36(种)，则甲、乙两名医生恰好分配到同一医院的概率为＝.
6．(多选)下列说法中正确的有( )
A．若事件A与事件B是互斥事件，则P(AB)＝0
B．若事件A与事件B是对立事件，则P(A＋B)＝1
C．某人打靶时连续射击三次，则事件“至少有两次中靶”与事件“至多有一次中靶”是对
立事件
D．把红、橙、黄3张纸牌随机分给甲、乙、丙3人，每人分得1张，则事件“甲分得的不
是红牌”与事件“乙分得的不是红牌”是互斥事件
答案 ABC
解析 事件A与事件B互斥，则A，B不可能同时发生，所以P(AB)＝0，故A正确；
事件A与事件B是对立事件，则事件B即为事件，所以P(A＋B)＝1，故B正确；
事件“至少有两次中靶”与“至多有一次中靶”不可能同时发生，且二者必有一个发生，所
以为对立事件，故C正确；
事件“甲分得的不是红牌”与事件“乙分得的不是红牌”可能同时发生，即“丙分得的是红
牌”，所以不是互斥事件，故D错误．
7．通过手机验证码注册某APP时，收到的验证码由四位数字随机组成，如某人收到的验证
码(a ，a ，a ，a)满足a
