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第 6 节 古典概型与几何概型
考试要求 1.理解古典概型及其概率计算公式；2.会计算一些随机事件所包含的
基本事件数及事件发生的概率；3.了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率；
4.了解几何概型的意义.
1.古典概型
(1)基本事件的特点
①任何两个基本事件是互斥的.
②任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和.
(2)古典概型的定义
具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型.
(3)古典概型的概率公式
P(A)＝.
2.几何概型
(1)几何概型的定义
如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的 长度 ( 面积或体积 )成比例，那么
称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型.
(2)几何概型的两个基本特点
(3)几何概型的概率公式P(A)＝.
1.概率的一般加法公式 P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)中，易忽视只有当 A∩B
＝，即A，B互斥时，P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，此时P(A∩B)＝0.
2.几何概型的基本事件的个数是无限的，古典概型中基本事件的个数是有限的.
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)“在适宜条件下，种下一粒种子观察它是否发芽”属于古典概型，其基本事
件是“发芽与不发芽”.( )
(2)掷一枚硬币两次，出现“两个正面”“一正一反”“两个反面”，这三个结
果是等可能事件.( )
(3)随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率.( )
(4)概率为0的事件一定是不可能事件.( )
答案 (1)× (2)× (3)√ (4)×
解析 对于(1)，发芽与不发芽不一定是等可能，所以(1)不正确；对于(2)，三个
事件不是等可能，其中“一正一反”应包括正反与反正两个基本事件，所以(2)
不正确；对于(4)，概率为0的事件有可能发生，所以(4)不正确.
2.某班准备到郊外野营，为此向商店定了帐篷，如果下雨与不下雨是等可能的，
能否准时收到帐篷也是等可能的，只要帐篷如期运到，他们就不会淋雨，则下列
说法正确的是( )
A.一定不会淋雨
B.淋雨的可能性为
C.淋雨的可能性为
D.淋雨的可能性为
答案 D
解析 基本事件有“下雨帐篷到”“不下雨帐篷到”“下雨帐篷未到”“不下雨
帐篷未到”4种情况，而只有“下雨帐篷未到”时会淋雨，故淋雨的可能性为.
3.(2020·全国Ⅰ卷)设O为正方形ABCD的中心，在O，A，B，C，D中任取3点，
则取到的3点共线的概率为( )A. B. C. D.
答案 A
解析 从O，A，B，C，D这5个点中任取3点，取法有{O，A，B}，{O，A，
C}，{O，A，D}，{O，B，C}，{O，B，D}，{O，C，D}，{A，B，C}，{A，
B，D}，{A，C，D}，{B，C，D}，共10种，其中取到的3点共线的只有{O，
A，C}，{O，B，D}这2种取法，所以所求概率为＝.故选A.
4.(2021·安徽四校测试)如图所示，在边长为4的正三角形中有一封闭曲线围成的
阴影区域. 在正三角形中随机撒一粒豆子(豆子大小忽略不计)，它落在阴影区域
内的概率为，那么估计阴影区域的面积为( )
A. B.2 C.3 D.4
答案 C
解析 设阴影区域的面积为S，根据几何概型的概率公式知S＝×42×＝3，故选
C.
5.(2022·长春质量监测)张老师居住的一条街上，行驶着甲、乙两路公交车，这两
路公交车的数目相同，并且都是每隔十分钟就到达车站一辆(即停即走).张老师每
天早晨都是在6：00到6：10之间到达车站乘车到学校，这两条公交线路对他是
一样的，都可以达到学校，甲路公交车的到站时间是6：09，6：19，6：29，
6：39，…，乙路公交车的到站时间是6：00，6：10，6：20，6：30，…，则张
老师乘坐上甲路公交车的概率是( )
A.10% B.50%
C.60% D.90%
答案 D
解析 张老师在早晨6：00到6：10之间到达车站是等可能的，故张老师在早晨
6：00到6：09到达车站的概率为＝90%，故有90%的可能乘坐上甲路公交车.
6.(易错题)将一段长为3米的木棒锯成两段，则这两段木棒长度都不少于 1米的
概率为________.答案
解析 根据题意，只要在木棒的两个三等分点之间锯断就能符合要求，故所求的
概率为.
考点一 古典概型的简单计算
1.两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是( )
A. B.
C. D.
答案 D
解析 设两位男同学分别为A，B，两位女同学分别为a，b，则用“树形图”表
示四位同学排成一列所有可能的结果如图所示.
由图知，共有24种等可能的结果，其中两位女同学相邻的结果(画“√”的情
况)共有12种，故所求概率为＝.
2.生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标.若从这5只兔子中随机
取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为( )
A. B. C. D.
答案 B
解析 设5只兔子中测量过某项指标的3只为a ，a ，a ，未测量过这项指标的
1 2 3
2只为 b ，b ，则从 5只兔子中随机取出 3只的所有可能情况为(a ，a ，a )，
1 2 1 2 3
(a ，a ，b )，(a ，a ，b )，(a ，a ，b )，(a ，a ，b )，(a ，b ，b )，(a ，a ，
1 2 1 1 2 2 1 3 1 1 3 2 1 1 2 2 3
b )，(a ，a ，b )，(a ，b ，b )，(a ，b ，b )，共10种可能.
1 2 3 2 2 1 2 3 1 2
其中恰有2只测量过该指标的情况为(a ，a ，b )，(a ，a ，b )，(a ，a ，b )，
1 2 1 1 2 2 1 3 1
(a ，a ，b )，(a ，a ，b )，(a ，a ，b )，共6种可能.
1 3 2 2 3 1 2 3 2
故恰有2只测量过该指标的概率为＝.3.(2022·大同调研)齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王
的上等马；田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马；田忌的下等马
劣于齐王的下等马.现齐王与田忌各出上等马、中等马、下等马一匹，共进行三
场比赛，规定每一场双方均任意选一匹马参赛，且每匹马仅参赛一次，胜两场或
两场以上者获胜，则田忌获胜的概率为________.
答案
解析 不妨记齐王的上等马、中等马、下等马分别为 A ，A ，A ，田忌的上等马、
1 2 3
中等马、下等马分别为B ，B ，B ，则所有可能的情况为
1 2 3
A A A
1 2 3
B B B
1 2 3
A A A
1 2 3
B B B
1 3 2
A A A
1 2 3
B B B
2 1 3
A A A
1 2 3
B B B
2 3 1
A A A
1 2 3
B B B
3 2 1
A A A
1 2 3
B B B
3 1 2
田忌获胜的情况只有一种，即最后一种，所以田忌获胜的概率为.
感悟提升 古典概型中基本事件个数的探求方法：(1)枚举法：适合于给定的基本事件个数较少且易一一列举出的问题.
(2)树状图法：适合于较为复杂的问题，注意在确定基本事件时(x，y)可看成是有
序的，如(1，2)与(2，1)不同，有时也可看成是无序的，如(1，2)与(2，1)相同.
考点二 古典概型与其他知识的简单交汇
例1 若m是集合{1，3，5，7，9，11}中任意选取的一个元素，则椭圆＋＝1的
焦距为整数的概率为________.
答案
解析 ∵m是集合{1，3，5，7，9，11}中任意选取的一个元素，
∴基本事件总数为6，
又满足椭圆＋＝1的焦距为整数的m的取值有1，3，11，共有3个，
∴椭圆＋＝1的焦距为整数的概率p＝＝.
感悟提升 求解古典概型的交汇问题，关键是把相关的知识转化为事件，然后利
用古典概型的有关知识解决，一般步骤为：
(1)将题目条件中的相关知识转化为事件；
(2)判断事件是否为古典概型；
(3)选用合适的方法确定基本事件个数；
(4)代入古典概型的概率公式求解.
训练 1 设平面向量 a＝(m，1)，b＝(2，n)，其中 m，n∈{1，2，3，4}，记
“a⊥(a－b)”为事件A，则事件A发生的概率为( )
A. B. C. D.
答案 A
解析 有序数对(m，n)的所有可能情况为 4×4＝16个，由a⊥(a－b)得m2－2m
＋1－n＝0，即n＝(m－1)2.由于m，n∈{1，2，3，4}，故事件A包含的基本事
件为(2，1)和(3，4)，共2个，所以P(A)＝＝.
考点三 几何概型
角度1 与长度(角度)有关的几何概型
例2 (1)在[－6，9]内任取一个实数m，设f(x)＝－x2＋mx＋m，则函数f(x)的图象
与x轴有公共点的概率等于( )
A. B. C. D.
(2)如图所示，在等腰直角三角形ABC中，过直角顶点C在∠ACB内部任作一条射线CM，与AB交于点M，则AM＜AC的概率为________.
答案 (1)D (2)
解析 (1)因为f(x)＝－x2＋mx＋m的图象与x轴有公共点，所以Δ＝m2＋4m≥0，
所以m≤－4或m≥0，所以在[－6，9]内取一个实数m，函数f(x)的图象与x轴
有公共点的概率p＝＝.
(2)过点 C 作 CN 交 AB 于点 N，使 AN＝AC，如图所示.显然当射线 CM 处在
∠ACN内时，AM＜AC，
又∠A＝45°，所以∠ACN＝67.5°，
故所求概率为p＝＝.
感悟提升 1.解答几何概型问题的关键在于弄清题中的考查对象和对象的活动范
围，当考查对象为点，且点的活动范围在线段上时，用“线段长度”为测度计算
概率，求解的核心是确定点的边界位置.
2.当涉及射线的转动，扇形中有关落点区域问题时，应以角对应的弧长的大小作
为区域度量来计算概率.事实上，当半径一定时，曲线弧长之比等于其所对应的
圆心角的弧度数之比.
角度2 与面积有关的几何概型
例3 (1)(2022·河南名校联考)来自中国古代的木纹饰图如图.若大正方形的边长为
6个单位长度， 每个小正方形的边长均为1个单位长度，则在大正方形内随机
取一点，此点取自图形中小正方形内的概率是( )
A. B.
C. D.(2)(2021·全国乙卷)在区间(0，1)与(1，2)中各随机取1个数，则两数之和大于的
概率为( )
A. B. C. D.
答案 (1)D (2)B
解析 (1)因为大正方形的面积为6×6＝36，小正方形的面积为1×1＝1，大正
方形内部有8个小正方形，故在大正方形内随机取一点，此点取自图形中小正方
形内的概率是＝.故选D.
(2)在区间(0，1)中随机取一个数，记为x，在区间(1，2)中随机取一个数，记为
y，两数之和大于，
即x＋y>，
则在如图所示的平面直角坐标系中，点(x，y)构成的区域是边长为1的正方形区
域(不含边界)，事件A“两数之和大于”即x＋y>中，点(x，y)构成的区域为图中
阴影部分(不含边界)，由几何概型的概率计算公式得P(A)＝＝，故选B.
感悟提升 几何概型与平面几何的交汇问题：要利用平面几何的相关知识，先确
定基本事件对应区域的形状，再选择恰当的方法和公式，计算出其面积，进而代
入公式求概率.
角度3 与体积有关的几何概型
例4 已知正三棱锥S－ABC的底面边长为4，高为3，在正三棱锥内任取一点P，
使得V ＜V 的概率是( )
P－ABC S－ABC
A. B. C. D.
答案 B
解析 由题意知，当点P在三棱锥的中截面以下时，则满足V 300为严重污染.
一环保人士记录了某地2021年某月10天的AQI的茎叶图如图所示.
(1)利用该样本估计该地本月空气质量优良(AQI≤100)的天数(按这个月总共有30
天计算)；
(2)若从样本中的空气质量不佳(AQI>100)的这些天中，随机地抽取两天深入分析
各种污染指标，求这两天的空气质量等级恰好不同的概率.
解 (1)从茎叶图中发现该样本中空气质量优的天数为 1，空气质量良的天数为
3，故该样本中空气质量优良的频率为＝，估计该月空气质量优良的概率为，从
而估计该月空气质量优良的天数为30×＝12.
(2)该样本中为轻度污染的共4天，分别记为a ，a ，a ，a ；为中度污染的共1
1 2 3 4
天，记为b；为重度污染的共1天，记为c.从中随机抽取两天的所有可能结果有
(a ，a )，(a ，a )，(a ，a )，(a ，b)，(a ，c)，(a ，a )，(a ，a )，(a ，b)，
1 2 1 3 1 4 1 1 2 3 2 4 2
(a ，c)，(a ，a )，(a ，b)，(a ，c)，(a ，b)，(a ，c)，(b，c)共15个.
2 3 4 3 3 4 4
其中空气质量等级恰好不同的结果有(a ，b)，(a ，c)，(a ，b)，(a ，c)，(a ，
1 1 2 2 3
b)，(a ，c)，(a ，b)，(a ，c)，(b，c)共9个.
3 4 4
所以这两天的空气质量等级恰好不同的概率为＝.
1.一枚硬币连掷2次，恰好出现1次正面的概率是( )
A. B. C. D.0
答案 A解析 一枚硬币连掷2次，基本事件有(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)
共4个，而只有1次出现正面的包括(正，反)，(反，正)2个，故其概率为＝.故
选A.
2.设m，n∈{0，1，2，3，4}，向量a＝(－1，－2)，b＝(m，n)，则a∥b的概率
为( )
A. B. C. D.
答案 B
解析 a∥b －2m＝－n 2m＝n，所以或或因此概率为＝.
3.从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中的2人都是女同
⇒ ⇒
学的概率为( )
A.0.6 B.0.5
C.0.4 D.0.3
答案 D
解析 将2名男同学分别记为x，y，3名女同学分别记为a，b，c.
设“选中的2人都是女同学”为事件A，则从5名同学中任选2人参加社区服务
的所有可能情况有(x，y)，(x，a)，(x，b)，(x，c)，(y，a)，(y，b)，(y，c)，(a，
b)，(a，c)，(b，c)，共10种，
其中事件A包含的可能情况有(a，b)，(a，c)，(b，c)，共3种，
故P(A)＝＝0.3.
4.某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒.若一
名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为( )
A. B. C. D.
答案 B
解析 至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为＝，故选B.
5.在集合A＝{2，3}中随机取一个元素m，在集合B＝{1，2，3}中随机取一个元
素n，得到点P(m，n)，则点P在圆x2＋y2＝9内部的概率为( )
A. B. C. D.
答案 B
解析 点P(m，n)共有(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，6种情
况，只有(2，1)，(2，2)这2个点在圆x2＋y2＝9的内部，所求概率为＝.故选B.6.(2021·上饶模拟)在边长为4的正方形ABCD内部任取一点P，则满足∠APB为
锐角的概率为( )
A. B.1－
C. D.1－
答案 D
解析 以AB为直径的半圆外的区域满足∠APB为锐角，
∵半圆的面积为π×22＝2π，正方形ABCD的面积为4×4＝16，
∴满足∠APB为锐角的概率为＝1－.故选D.
7.(2022·银川一模)已知集合A＝{－2，－1，－，，，1，2，3}，任取k∈A，则
幂函数f(x)＝xk为偶函数的概率为________(结果用数字作答).
答案
解析 集合A＝{－2，－1，－，，，1，2，3}，任意k∈A的基本事件总数为
8，
当k＝±2时，幂函数f(x)＝xk为偶函数，从而幂函数f(x)＝xk为偶函数包含的基本
事件个数为2，
∴幂函数f(x)＝xk为偶函数的概率p＝.
8.在区间(0，1)上任取两个数，则两个数之和小于的概率是________.
答案
解析 设这两个数是x，y，则试验所有的基本事件构成的区域即确定的平面区
域，满足条件的事件包含的基本事件构成的区域即确定的平面区域，如图所示，
阴影部分的面积是1－×＝，所以这两个数之和小于的概率是.
9.由不等式组确定的平面区域记为Ω ，由不等式组确定的平面区域记为Ω ，若
1 2
在Ω 中随机取一点，则该点恰好在Ω 内的概率为________.
1 2
答案
解析 两个不等式组对应的区域Ω 为△OAB，Ω 为两平行线之间的部分，则Ω
1 2 1
与Ω 公共部分为四边形OACD，如图，其中A(－2，0)，B(0，2)，D(0，1).
2
由解得
即C.
则S ＝×2×2＝2，S ＝×1×＝，
△OAB △BCD
则S ＝S －S ＝2－＝.
四边形OACD △OAB △BCD
由几何概型的概率公式，所求概率
p＝＝＝.
10.2022年北京冬奥会的申办成功与“3亿人上冰雪”口号的提出，将冰雪这个
冷项目迅速炒“热”.北京某综合大学计划在一年级开设冰球课程，为了解学生
对冰球运动的兴趣，随机从该校一年级学生中抽取了 100人进行调查，其中女生
中对冰球运动有兴趣的占，而男生有10人表示对冰球运动没有兴趣.
(1)完成2×2列联表，并回答能否有90%的把握认为“对冰球运动是否有兴趣与
性别有关”？
有兴趣 没有兴趣 合计
男 55
女
合计
(2)已知在被调查的女生中有5名数学系的学生，其中3名对冰球运动有兴趣，现
在从这5名学生中随机抽取3人，求至少有2人对冰球运动有兴趣的概率.
附：P(K2≥k ) 0.150 0.100 0.050 0.025 0.010
0
k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635
0
K2＝
解 (1)根据已知数据得如下列联表：
有兴趣 没有兴趣 合计
男 45 10 55
女 30 15 45
合计 75 25 100
根据列联表中的数据，得K2的观测值
k＝＝≈3.030>2.706，
所以有90%的把握认为“对冰球运动是否有兴趣与性别有关”.
(2)记这5人中对冰球运动有兴趣的 3人分别为A，B，C，对冰球运动没有兴趣
的2人分别为m，n，则从这5人中随机抽取3人，有(A，m，n)，(B，m，n)，
(C，m，n)，(A，B，m)，(A，B，n)，(B，C，m)，(B，C，n)，(A，C，m)，
(A，C，n)，(A，B，C)，共10种情况，
其中3人都对冰球运动有兴趣的情况有(A，B，C)，1种，2人对冰球运动有兴趣
的情况有(A，B，m)，(A，B，n)，(B，C，m)，(B，C，n)，(A，C，m)，(A，
C，n)，6种，
所以至少2人对冰球运动有兴趣的情况有7种，
因此，所求事件的概率p＝.
11.在某亲子游戏结束时有一项抽奖活动，抽奖规则是：盒子里面共有 4个小球，
小球上分别写有0，1，2，3的数字，小球除数字外其他完全相同，每对亲子中，
家长先从盒子中取出一个小球，记下数字后将小球放回，孩子再从盒子中取出一
个小球，记下小球上数字将小球放回.
抽奖活动的奖励规则是：
①若取出的两个小球上数字之积大于4，则奖励飞机玩具一个；
②若取出的两个小球上数字之积在区间[1，4]内，则奖励汽车玩具一个；
③若取出的两个小球上数字之积小于1，则奖励饮料一瓶.
(1)求每对亲子获得飞机玩具的概率；(2)试比较每对亲子获得汽车玩具与获得饮料的概率，哪个更大？请说明理由.
解 (1)基本事件总数有16个，分别为(0，0)，(0，1)，(0，2)，(0，3)，(1，0)，
(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，0)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，0)，(3，1)，(3，
2)，(3，3)；
记“获得飞机玩具”为事件A，则事件 A包含的基本事件有 3个，分别为(2，
3)，(3，2)，(3，3).
∴每对亲子获得飞机玩具的概率P(A)＝.
(2)记“获得汽车玩具”为事件B，“获得饮料”为事件C，
事件 B包含的基本事件有 6个，分别为(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(2，
2)，(3，1)，
∴每对亲子获得汽车玩具的概率
P(B)＝＝，
每对亲子获得饮料的概率
P(C)＝1－P(A)－P(B)＝.
∵<，
∴每对亲子获得汽车玩具的概率小于获得饮料的概率.
12.(2021·长春质检)我国古人认为宇宙万物是由金、木、水、火、土这五种元素
构成的，历史文献《尚书·洪范》提出了五行的说法，到战国晚期，五行相生相
克的思想被正式提出.这五种物质属性的相生相克关系如图所示，若从这五种物
质中随机选取三种，则取出的三种物质中，彼此间恰好有一个相生关系和两个相
克关系的概率为( )
A. B. C. D.
答案 B解析 依题意，三种物质间相生相克关系如下表，
金木 金木 金木 金水 金水 金火 木水 木水 木火 水火
水 火 土 火 土 土 火 土 土 土
× √ √ √ × × × √ × √
所以彼此间恰好有一个相生关系和两个相克关系的概率p＝＝，故选B.
13.已知A＝{1，2，3}，B＝{x∈R|x2－ax＋b＝0，a∈A，b∈A}，则A∩B＝B的
概率是( )
A. B. C. D.1
答案 C
解析 因为a∈A，b∈A，所以可用列表法得到基本事件的个数为9(如下表所示).
a
1 2 3
b
1 (1，1) (1，2) (1，3)
2 (2，1) (2，2) (2，3)
3 (3，1) (3，2) (3，3)
因为A∩B＝B，所以B可能是，{1}，{2}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}.
当B＝时，a2－4b<0，满足条件的a，b为a＝1，b＝1，2，3；a＝2，b＝2，
3；a＝3，b＝3.
当B＝{1}时，满足条件的a，b为a＝2，b＝1.
当B＝{2}，{3}时，没有满足条件的a，b.
当B＝{1，2}时，满足条件的a，b为a＝3，b＝2.
当B＝{2，3}，{1，3}时，没有满足条件的a，b.
综上，符合条件的结果有8种.
故所求概率为.
14.(2022·江西八所重点中学调研)某校为了宣传垃圾分类知识，面向该校学生开
展了“垃圾分类知识”网络问卷调查，每位学生仅有一次参与机会，通过抽样，
得到100人的得分情况，将样本数据分成[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，
90)，[90，100]五组，并整理得到如下频率分布直方图；已知成绩的中位数为75.
(1)求x，y的值，并求出成绩的平均数(同一组中的每个数据可用该组区间中点值
代替)；
(2)现用分层抽样从第四组和第五组按照比例抽选出 6人进行垃圾分类知识竞答
活动，再从中选出两人进行一对一PK，求抽出的两人恰好来自同一组的概率.
解 (1)∵中位数为75，
∴0.005×10＋10y＋0.04×(75－70)＝0.5，∴y＝0.025，
又∵0.05＋0.25＋0.4＋10x＋0.1＝1，
∴x＝0.02，
则平均数x＝55×0.05＋65×0.25＋75×0.4＋85×0.2＋95×0.1＝75.5.
(2)第四组与第五组人数的比为2∶1，
∴从第四组抽选4人，记为1，2，3，4，
从第五组抽选2人，记为a，b，
所有基本事件为(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，a)，(1，b)，(2，3)，(2，4)，(2，
a)，(2，b)，(3，4)，(3，a)，(3，b)，(4，a)，(4，b)，(a，b)共15种，
来自同一组的有：(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4)，(a，b)，共
7种情况，
故恰好来自同一组的概率p＝.
