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第 5 节 随机事件的概率
考试要求 1.了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义以
及频率与概率的区别；2.了解两个互斥事件的概率加法公式.
1.概率与频率
(1)频率：在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试
验中事件A出现的次数n 为事件A出现的频数，称事件 A出现的比例f (A)＝为
A n
事件A出现的频率.
(2)概率：对于给定的随机事件 A，由于事件A发生的频率f (A)随着试验次数的
n
增加稳定于概率P(A)，因此可以用 频率 f ( A ) 来估计概率P(A).
n
2.事件的关系与运算
定义 符号表示
如果事件A发生，则事件B一定发生，这
包含关系 时称事件B包含事件A(或称事件A包含于 B A (或A B)
事件B)
⊇ ⊆
相等关系 若B A且A B A ＝ B
若某事件发生当且仅当事件 A发生或事件
⊇ ⊇
并事件(和事件) B 发生，称此事件为事件 A 与事件 B 的并 A∪B(或A＋B)
事件(或和事件)
若某事件发生当且仅当 事件 A 发生 且事件
交事件(积事件) B 发生 ，则称此事件为事件 A 与事件 B 的 A∩B(或AB)
交事件(或积事件)
若A∩B为不可能事件，则称事件A与事件
互斥事件 A∩B＝
B互斥
若 A∩B 为不可能事件，A∪B 为必然事 A∩B＝
对立事件
件，那么称事件A与事件B互为对立事件 P(A∪B)＝1
3.概率的几个基本性质
(1)概率的取值范围： 0 ≤ P ( A ) ≤ 1 .(2)必然事件的概率P(E)＝1.
(3)不可能事件的概率P(F)＝0.
(4)互斥事件概率的加法公式
①如果事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝ P ( A ) ＋ P ( B ) .
②若事件B与事件A互为对立事件，则P(A)＝ 1 － P ( B ) .
1.从集合的角度理解互斥事件和对立事件
(1)几个事件彼此互斥，是指由各个事件所含的结果组成的集合的交集为空集.
(2)事件A的对立事件A所含的结果组成的集合，是全集中由事件 A所含的结果组
成的集合的补集.
2.概率加法公式的推广
当一个事件包含多个结果且各个结果彼此互斥时， 要用到概率加法公式的推广，
即P(A ∪A ∪…∪A )＝P(A )＋P(A )＋…＋P(A ).
1 2 n 1 2 n
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)事件发生的频率与概率是相同的.( )
(2)在大量的重复试验中，概率是频率的稳定值.( )
(3)若随机事件A发生的概率为P(A)，则0≤P(A)≤1.( )
(4)6张奖券中只有一张有奖，甲、乙先后各抽取一张，则甲中奖的概率小于乙中
奖的概率.( )
答案 (1)× (2)√ (3)√ (4)×
2.下列事件中，不是随机事件的是( )
A.长度为3，4，5的三条线段可以构成一个直角三角形
B.经过有信号灯的路口，遇上红灯
C.下周六是晴天
D.一枚硬币抛掷两次，两次都正面向上
答案 A
3.容量为20的样本数据，分组后的频数如下表：
分组 [10，20) [20，30) [30，40) [40，50) [50，60) [60，70]频数 2 3 4 5 4 2
则样本数据落在区间[10，40)的频率为( )
A.0.35 B.0.45 C.0.55 D.0.65
答案 B
解析 由表知[10，40)的频数为2＋3＋4＝9，
所以样本数据落在区间[10，40)的频率为＝0.45.
4.(易错题)某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学去参加演讲比赛，
事件“至少有一名女生”与事件“全是男生”( )
A.是互斥事件，不是对立事件
B.是对立事件，不是互斥事件
C.既是互斥事件，也是对立事件
D.既不是互斥事件也不是对立事件
答案 C
解析 “至少有一名女生”包括“一男一女”和“两名女生”两种情况，这两种
情况再加上“全是男生”构成全集，且不能同时发生，故“至少有一名女生”与
“全是男生”既是互斥事件，也是对立事件.
5.若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付
的概率为0.15，则不用现金支付的概率为( )
A.0.3 B.0.4 C.0.6 D.0.7
答案 B
解析 某群体中的成员分为只用现金支付、既用现金支付也用非现金支付、不用
现金支付，它们彼此是互斥事件，所以不用现金支付的概率为1－(0.15＋0.45)＝
0.4.
6.抛掷一枚均匀的骰子(骰子的六个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点)一次，
观察掷出向上的点数，设事件A为掷出向上为偶数点，事件B为掷出向上为3点，
则P(A∪B)＝________.
答案
解析 事件A为掷出向上为偶数点，所以 P(A)＝.事件B为掷出向上为3点，所
以P(B)＝，又事件A，B是互斥事件，所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝.考点一 随机事件的关系
1.把红、黄、蓝、白4张纸牌随机地分发给甲、乙、丙、丁四人，每个人分得一
张，事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”( )
A.是对立事件
B.是不可能事件
C.是互斥但不对立事件
D.不是互斥事件
答案 C
解析 显然两个事件不可能同时发生，但两者可能同时不发生，因为红牌可以分
给丙、丁两人，综上，这两个事件为互斥但不对立事件.
2.设条件甲：“事件A与事件B是对立事件”，结论乙：“概率满足P(A)＋P(B)
＝1”，则甲是乙的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案 A
解析 若事件A与事件B是对立事件，则A∪B为必然事件，再由概率的加法公
式得P(A)＋P(B)＝1；满足P(A)＋P(B)＝1，但A，B不一定是对立事件，如：投
掷一枚硬币3次，事件A：“至少出现一次正面”，事件B：“出现3次正面”，
则P(A)＝，P(B)＝，满足P(A)＋P(B)＝1，但A，B不是对立事件.
3.对飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设 A＝{两次都击中飞机}，B＝{两
次都没击中飞机}，C＝{恰有一次击中飞机}，D＝{至少有一次击中飞机}，其中
彼此互斥的事件是________________，互为对立事件的是________________.
答案 A与B，A与C，B与C，B与D B与D
解析 由于事件A与B不可能同时发生，故A与B是互斥事件；同理可得，A与
C，B与C，B与D也是互斥事件.
综上可得，A与B，A与C，B与C，B与D都是互斥事件.
在上述互斥事件中，再根据B，D还满足B∪D为必然事件，故B与D是对立事
件.感悟提升 判别互斥事件、对立事件要准确把握互斥事件与对立事件的概念：
(1)互斥事件是不可能同时发生的事件，但也可以同时不发生；(2)对立事件是特
殊的互斥事件，特殊在对立的两个事件不可能都不发生，即有且仅有一个发生.
考点二 随机事件的频率与概率
例1 (2020·全国Ⅰ卷)某厂接受了一项加工业务，加工出来的产品(单位：件)按标
准分为A，B，C，D四个等级.加工业务约定：对于 A级品、B级品、C级品，
厂家每件分别收取加工费90元、50元、20元；对于D级品，厂家每件要赔偿原
料损失费50元.该厂有甲、乙两个分厂可承接加工业务.甲分厂加工成本费为25
元/件，乙分厂加工成本费为20元/件.厂家为决定由哪个分厂承接加工业务，在
两个分厂各试加工了100件这种产品，并统计了这些产品的等级，整理如下：
甲分厂产品等级的频数分布表
等级 A B C D
频数 40 20 20 20
乙分厂产品等级的频数分布表
等级 A B C D
频数 28 17 34 21
(1)分别估计甲、乙两分厂加工出来的一件产品为A级品的概率；
(2)分别求甲、乙两分厂加工出来的 100件产品的平均利润，以平均利润为依据，
厂家应选哪个分厂承接加工业务？
解 (1)由试加工产品等级的频数分布表知，
甲分厂加工出来的一件产品为A级品的概率的估计值为＝0.4；
乙分厂加工出来的一件产品为A级品的概率的估计值为＝0.28.
(2)由数据知甲分厂加工出来的100件产品利润的频数分布表为
利润 65 25 －5 －75
频数 40 20 20 20
因此甲分厂加工出来的100件产品的平均利润为＝15.
由数据知乙分厂加工出来的100件产品利润的频数分布表为
利润 70 30 0 －70
频数 28 17 34 21因此乙分厂加工出来的100件产品的平均利润为＝10.
比较甲、乙两分厂加工的产品的平均利润，厂家应选甲分厂承接加工业务.
感悟提升 1.频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，频率是随机的，而概率
是一个确定的值，通常用概率来反映随机事件发生的可能性的大小，有时也用频
率来作为随机事件概率的估计值.
2.利用概率的统计定义求事件的概率，即通过大量的重复试验，事件发生的频率
会逐步趋近于某一个常数，这个常数就是概率.
训练1 如图，A地到火车站共有两条路径L 和L ，现随机抽取100位从A地到达
1 2
火车站的人进行调查，调查结果如下：
所用时间(分钟) 10～20 20～30 30～40 40～50 50～60
选择L 的人数 6 12 18 12 12
1
选择L 的人数 0 4 16 16 4
2
(1)试估计40分钟内不能赶到火车站的概率；
(2)分别求通过路径L 和L 所用时间落在上表中各时间段内的频率；
1 2
(3)现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站，为了尽最大可能
在允许的时间内赶到火车站，试通过计算说明，他们应如何选择各自的路径.
解 (1)由已知共调查了100人，其中40分钟内不能赶到火车站的有12＋12＋16
＋4＝44(人)，
∴用频率估计相应的概率为p＝＝0.44.
(2)选择L 的有60人，选择L 的有40人，
1 2
故由调查结果得频率为
所用时间(分钟) 10～20 20～30 30～40 40～50 50～60
L 的频率 0.1 0.2 0.3 0.2 0.2
1
L 的频率 0 0.1 0.4 0.4 0.1
2
(3)设A ，A 分别表示甲选择L 和L 时，在40分钟内赶到火车站；B ，B 分别表
1 2 1 2 1 2
示乙选择L 和L 时，在50分钟内赶到火车站.
1 2由(2)知P(A )＝0.1＋0.2＋0.3＝0.6，
1
P(A )＝0.1＋0.4＝0.5，
2
∵P(A )＞P(A )，∴甲应选择L .
1 2 1
同理，P(B )＝0.1＋0.2＋0.3＋0.2＝0.8，
1
P(B )＝0.1＋0.4＋0.4＝0.9，
2
∵P(B )＜P(B )，∴乙应选择L .
1 2 2
考点三 互斥事件与对立事件的概率
例2 经统计，在某储蓄所一个营业窗口等候的人数相应的概率如下：
排队人数 0 1 2 3 4 5人及5人以上
概率 0.1 0.16 0.3 0.3 0.1 0.04
求：(1)至多2人排队等候的概率；
(2)至少3人排队等候的概率.
解 记“无人排队等候”为事件A，“1人排队等候”为事件B，“2人排队等
候”为事件C，“3人排队等候”为事件D，“4人排队等候”为事件E，“5人
及5人以上排队等候”为事件F，则事件A，B，C，D，E，F彼此互斥.
(1)记“至多2人排队等候”为事件G，
则G＝A∪B∪C，
所以P(G)＝P(A∪B∪C)
＝P(A)＋P(B)＋P(C)
＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56.
(2)法一 记“至少3人排队等候”为事件H，
则H＝D∪E∪F，
所以P(H)＝P(D∪E∪F)＝P(D)＋P(E)＋P(F)＝0.3＋0.1＋0.04＝0.44.
法二 记“至少3人排队等候”为事件H，则其对立事件为事件G，
所以P(H)＝1－P(G)＝0.44.
感悟提升 求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法：一是直接求解法，将所求
事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率再求和；二是间接法，先求该事件
的对立事件的概率，再由P(A)＝1－P(A)求解.当题目涉及“至多”、“至少”型
问题，多考虑间接法.
训练2 (1)某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品，在正常生产情况下，出现乙级品和丙级品的概率分别是5%和3%，则抽检一件是正品(甲级)的
概率为( )
A.0.95 B.0.97 C.0.92 D.0.08
(2)甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是，乙获胜的概率是，则乙不输的概
率是________.
答案 (1)C (2)
解析 (1)记“抽检的产品是甲级品”为事件A，“乙级品”为事件B，“丙级
品”为事件C，这三个事件彼此互斥，因而所求概率为 P(A)＝1－P(B)－P(C)＝1
－5%－3%＝92%＝0.92.
(2)乙不输包含两人下成和棋和乙获胜，且它们是互斥事件，所以乙不输的概率
为＋＝.
1.下列说法正确的是( )
A.甲、乙二人比赛，甲胜的概率为，则比赛5场，甲胜3场
B.某医院治疗一种疾病的治愈率为 10%，前9个病人没有治愈，则第10个病人
一定治愈
C.随机试验的频率与概率相等
D.天气预报中，预报明天降水概率为90%，是指降水的可能性是90%
答案 D
解析 由概率的意义知D正确.
2.设事件A，B，已知P(A)＝，P(B)＝，P(A∪B)＝，则A，B之间的关系一定为(
)
A.两个任意事件 B.互斥事件
C.非互斥事件 D.对立事件
答案 B
解析 因为P(A)＋P(B)＝＋＝＝P(A∪B)，所以A，B之间的关系一定为互斥事
件.
3.某射手在一次射击中，射中10环，9环，8环的概率分别是0.2，0.3，0.1，则该射手在一次射击中不够8环的概率为( )
A.0.9 B.0.3
C.0.6 D.0.4
答案 D
解析 设“该射手在一次射击中不够 8环”为事件A，则事件A的对立事件A是
“该射手在一次射击中不小于8环”.
∵事件A包括射中10环，9环，8环，这三个事件是互斥的，
∴P(A)＝0.2＋0.3＋0.1＝0.6，
∴P(A)＝1－P(A)＝1－0.6＝0.4，即该射手在一次射击中不够8环的概率为0.4.
4.(2021·太原模拟)已知随机事件 A和B互斥，且 P(A∪B)＝0.7，P(B)＝0.2，则
P(A)＝( )
A.0.5 B.0.1 C.0.7 D.0.8
答案 A
解析 ∵随机事件A和B互斥，且P(A∪B)＝0.7，P(B)＝0.2，∴P(A)＝P(A∪B)
－P(B)＝0.7－0.2＝0.5，∴P(A)＝1－P(A)＝1－0.5＝0.5.
5.围棋盒子中有多粒黑子和白子，已知从中取出 2粒都是黑子的概率是，都是白
子的概率是.则从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是( )
A. B. C. D.1
答案 C
解析 设“从中取出2粒都是黑子”为事件A，“从中取出2粒都是白子”为事
件B，“任意取出2粒恰好是同一色”为事件C，
则C＝A∪B，且事件A与B互斥.
由于P(A)＝，P(B)＝.
所以P(C)＝P(A)＋P(B)＝＋＝.
6.设A与B是互斥事件，A，B的对立事件分别记为A，B，则下列说法正确的是(
)
A.A与B互斥
B.A与B互斥
C.P(A＋B)＝P(A)＋P(B)
D.P(A＋B)＝1答案 C
解析 根据互斥事件的定义可知，A与B，A与B都有可能同时发生，所以A与B
互斥，A与B互斥是不正确的；P(A＋B)＝P(A)＋P(B)正确；A与B既不一定互斥，
也不一定对立，所以D项错误.故选C.
7.根据某医疗研究所的调查，某地区居民血型的分布为：O型50%，A型15%，
B型30%，AB型5%.现有一血液为A型病人需要输血，若在该地区任选一人，
那么能为病人输血的概率为( )
A.15% B.20% C.45% D.65%
答案 D
解析 因为某地区居民血型的分布为 O型50%，A型15%，B型30%，AB型
5%，现在能为 A型病人输血的有 O型和A型，故为病人输血的概率为 50%＋
15%＝65%，故选D.
8.抛掷一个质地均匀的骰子的试验，事件 A表示“小于5的偶数点出现”，事件
B表示“小于5的点数出现”，则一次试验中，事件A＋B发生的概率为( )
A. B. C. D.
答案 C
解析 掷一个骰子的试验有6种可能结果，依题意P(A)＝＝，P(B)＝＝，
所以P(B)＝1－P(B)＝1－＝，
因为B表示“出现5点或6点”的事件，所以事件 A与B互斥，从而P(A＋B)＝
P(A)＋P(B)＝＋＝.
9.“键盘侠”一词描述了部分网民在现实生活中胆小怕事、自私自利，却习惯在
网络上大放厥词的一种现象.某地新闻栏目对该地区群众对“键盘侠”的认可程
度进行调查：在随机抽取的50人中，有14人持认可态度，其余持反对态度，若
该地区有9 600人，则可估计该地区对“键盘侠”持反对态度的有________人.
答案 6 912
解析 在随机抽取的50人中，持反对态度的频率为 1－＝，则可估计该地区对
“键盘侠”持反对态度的有9 600×＝6 912(人).
10.口袋里装有1红，2白，3黄共6个除颜色外完全相同的小球，从中取出两个
球，事件A＝“取出的两个球同色”，B＝“取出的两个球中至少有一个黄球”，
C＝“取出的两个球至少有一个白球”，D＝“取出的两个球不同色”，E＝“取出的两个球中至多有一个白球”.下列判断中正确的序号为________.
①A与D为对立事件；②B与C是互斥事件；③C与E是对立事件；④P(C∪E)
＝1.
答案 ①④
解析 当取出的两个球为一黄一白时，B与C都发生，②不正确；当取出的两个
球中恰有一个白球时，事件 C与E都发生，③不正确；显然A与D是对立事件，
①正确；C∪E为必然事件，P(C∪E)＝1，④正确.
11.某城市2021年的空气质量状况如表所示：
污染指数T 30 60 100 110 130 140
概率p
其中污染指数T≤50时，空气质量为优；50＜T≤100时，空气质量为良，100＜
T≤150时，空气质量为轻微污染，则该城市 2021年空气质量达到良或优的概率
为________.
答案
解析 由题意可知2021年空气质量达到良或优的概率为p＝＋＋＝.
12.据统计，某食品企业在一个月内被消费者投诉次数为0，1，2的概率分别为
0.4，0.5，0.1.则该企业在一个月内被消费者投诉不超过1次的概率为________.
答案 0.9
解析 法一 记“该食品企业在一个月内被消费者投诉的次数为 0”为事件
A，“该食品企业在一个月内被消费者投诉的次数为 1”为事件B，“该食品企
业在一个月内被消费者投诉的次数为2”为事件C，“该食品企业在一个月内被
消费者投诉的次数不超过1”为事件D，而事件D包含事件A与B，所以P(D)＝
P(A)＋P(B)＝0.4＋0.5＝0.9.
法二 记“该食品企业在一个月内被消费者投诉的次数为2”为事件C，“该食
品企业在一个月内被消费者投诉不超过1次”为事件D，由题意知C与D是对
立事件，所以P(D)＝1－P(C)＝1－0.1＝0.9.
13.(2020·全国Ⅱ卷)在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天
能完成1 200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压.为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作.已知该超市某日积压500份订单未配货，预
计第二天的新订单超过 1 600份的概率为0.05.志愿者每人每天能完成 50份订单
的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少
需要志愿者( )
A.10名 B.18名 C.24名 D.32名
答案 B
解析 由题意，第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，即第
二天确保完成新订单1 600份，减去超市每天能完成的1 200份，加上积压的500
份，共有1 600－1 200＋500＝900(份)，至少需要志愿者900÷50＝18(名).
14.若随机事件A，B互斥，A，B发生的概率均不等于0，且P(A)＝2－a，P(B)＝
4a－5，则实数a的取值范围是( )
A. B.
C. D.
答案 D
解析 由题意可得
即解得
