专题24.4弧长、扇形的面积、圆锥的侧面积之十大考点（学生版）_初中数学_九年级数学上册（人教版）_重难点专题提优-V8

专题 24.4 弧长、扇形的面积、圆锥的侧面积之十大考点 【考点导航】 目录 【典型例题】..................................................................................................................................................1 【考点一 已知圆心角的度数，求弧长】........................................................................................................1 【考点二 已知弧长，求圆心角的度数】........................................................................................................3 【考点三 求某点的弧形运动路径长度】........................................................................................................4 【考点四 已知圆心角的度数或弧长，求扇形的面积】................................................................................7 【考点五 求图形旋转后扫过的面积】............................................................................................................8 【考点六 求弓形的面积】..............................................................................................................................10 【考点七 求其他不规则图形的面积】..........................................................................................................13 【考点八 求圆锥的侧面积与底面半径】......................................................................................................16 【考点九 求圆锥侧面展开图的圆心角】......................................................................................................17 【考点十 圆锥侧面上最短路径问题】..........................................................................................................19 【过关检测】...........................................................................................................................................23 【典型例题】 【考点一 已知圆心角的度数，求弧长】 例题：（2023春·浙江温州·九年级校联考阶段练习）扇形的圆心角为 ，半径为 ，它的弧长为 ． 【变式训练】 1．（2023春·安徽·九年级专题练习）已知，如图， 的半径为6，正六边形 与 相切于点 C、F，则 的长度是 ．2．（2023·安徽亳州·校联考模拟预测）如图，在 中，半径 ，C是 上一点，连接 ， ， ，若 ， ，则 的长度为 ． 【考点二 已知弧长，求圆心角的度数】 例题：（2023·黑龙江哈尔滨·统考三模）一个扇形的面积为 ，弧长为 ，则该扇形的圆心角的度数为 ． 【变式训练】 1．（2023·江苏镇江·统考二模）扇形的弧长为 ，半径是12，该扇形的圆心角为 度． 2．（2023·浙江温州·校考三模）若扇形半径为4，弧长为 ，则该扇形的圆心角为 ． 【考点三 求某点的弧形运动路径长度】 例题：（2023秋·云南昭通·九年级校联考阶段练习）如图，在平面直角坐标系 中，以原点O为旋转中 心，将 顺时针旋转 得到 ，其中点 与点A对应，点 与点B对应．如果 ，．则点A经过的路径长度为 （含 的式子表示） 【变式训练】 1．（2023·湖南郴州·统考中考真题）如图，在 中， ， ， ．将 绕点 逆时针旋转，得到 ，若点 的对应点 恰好落在线段 上，则点 的运动路径长是 cm（结果用含 的式子表示）． 2．（2023·广东东莞·校考一模）如图， 和 是两个完全重合的直角三角板， ，斜边 长为 ．三角板 绕直角顶点C顺时针旋转，当点 落在 边上时，则点 所转过的路径长为 ． 【考点四 已知圆心角的度数或弧长，求扇形的面积】 例题：（2023·江苏·九年级假期作业）已知扇形的圆心角为 ，半径为 ，则这个扇形的面积是 ． 【变式训练】 1．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第十七中学校校考模拟预测）一个扇形的弧长是 ，圆心角是144°，则此扇形的面积是 ． 2．（2023·海南海口·海师附中校考三模）如图，正五边形 的边长为4，以顶点A为圆心， 长为 半径画圆，则图中阴影部分的面积是 ． 【考点五 求图形旋转后扫过的面积】 例题：（2023·河南安阳·统考一模）如图，将半径为 ，圆心角为 的扇形 绕点 逆时针旋转 ， 得到扇形 ，则 扫过的区域（即图中阴影部分）的面积为 ． 【变式训练】 1．（2022春·四川德阳·九年级校考阶段练习）如图，将 绕点C顺时针旋转 得到 ，已知 ，则线段 扫过的图形（阴影部分）的面积为 ． 2．（2022秋·山东烟台·九年级统考期末）如图，在Rt 中， ， ， ，将 绕点 按逆时针方向旋转到 的位置，使 三点在同一条直线上，则直角边 扫过的 图形面积为 ．【考点六 求弓形的面积】 例题：（2023·云南昆明·昆明八中校考模拟预测）如图，在扇形 中， ， ，则阴影部 分的面积是 ． 【变式训练】 1．（2023·山东泰安·统考二模）如图C、D在直径 的半圆上，D为半圆弧的中点， ，则 阴影部分的面积是 2．（2023·河南周口·校联考三模）如图，在 中， ， ，以 中点D为圆心、 长为半径作半圆交线段 于点E，则图中阴影部分的面积为 ． 【考点七 求其他不规则图形的面积】 例题：（2023春·河南漯河·九年级校考阶段练习）图1是以 为直径的半圆形纸片， ，沿着垂直于 的半径 剪开，将扇形 沿 向右平移至扇形 ，如图2，其中 是 的中点， 交于点F，则图中阴影部分的面积为 ． 【变式训练】 1．（2023·河南信阳·统考一模）如图，正五边形 的边长为1，分别以点C，D为圆心， 长为半 径画弧，两弧交于点F，图中阴影部分的面积为 ．（结果保留 ） 2．（2023·河南南阳·统考模拟预测）如图，在矩形 中， ， ，以D为圆心，以 长 为半径画弧，以C为圆心，以 长为半径画弧，两弧恰好交于 上的点E处，则阴影部分的面积为 ． 【考点八 求圆锥的侧面积与底面半径】 例题：（2023·全国·九年级专题练习）若圆锥的底面圆半径为2，母线长为5，则该圆锥的侧面积是 ． （结果保留 ） 【变式训练】 1．（2023春·云南昭通·九年级统考期中）若圆雉的侧面积为 ，底面圆半径为3，则该圆雉的母线长是 ． 2．（2023·广东梅州·统考一模）若圆锥的底面半径为3cm，母线长为4cm，则圆锥的侧面积为 ．（结果保留π） 3．（2023·江苏·九年级假期作业）已知圆锥侧面展开图圆心角的度数是120°，母线长为3，则圆锥的底面 圆的半径是 ． 4．（2023·浙江衢州·统考二模）某个圆锥的侧面展开图是一个半径为 ，圆心角为 的扇形，则这个 圆锥的底面半径为 cm． 【考点九 求圆锥侧面展开图的圆心角】 例题：（2022秋·广东惠州·九年级校考阶段练习）已知圆锥的底面圆半径是 ，母线长是 ，则圆锥侧面展 开的扇形圆心角是 ． 【变式训练】 1．（2023·江苏·九年级假期作业）已知圆锥的母线长5，底面半径为3，则圆锥的侧面积为 ， 圆锥侧面展开图形的圆心角是 度． 2．（2023·江苏·九年级假期作业）若要制作一个母线长为 ，底面圆的半径为 的圆锥，则这个圆锥 的侧面展开图的圆心角度数是 ． 【考点十 圆锥侧面上最短路径问题】 例题：（2023秋·山东东营·九年级东营市胜利第一初级中学校考期末）如图，已知圆锥底面半径为 ， 母线长为 ，一只蚂蚁从 处出发绕圆锥侧面一周（回到原来的位置 ）所爬行的最短路径为 ．（结果保留根号） 【变式训练】 1．（2023春·黑龙江齐齐哈尔·九年级校联考期中）如图， 是圆锥底面的直径， ，母线 ．点 为 的中点，若一只蚂蚁从 点处出发，沿圆锥的侧面爬行到 点处，则蚂蚁爬行的最 短路程为 ．2．（2022秋·重庆沙坪坝·八年级重庆八中校考期中）如图1，一只蚂蚁从圆锥底端点A出发，绕圆锥表面 爬行一周后回到点A，将圆锥沿母线OA剪开，其侧面展开图如图2所示，若 =120°，OA= ，则蚂 蚁爬行的最短距离是 ． 【过关检测】 一、单选题 1．（2023秋·九年级课时练习）如图，在 中， ， ，则 的长为（ ）A． B． C． D． 2．（2023·全国·九年级专题练习）若圆锥的底面直径为4cm，侧面展开图的面积为 ，则圆锥的母线 长为（ ） A． cm B． cm C．3cm D．2cm 3．（2023秋·九年级课时练习）已知圆锥的底面半径为 ，母线长为 ，那么圆锥侧面展开图所成扇形的 圆心角为（ ） A． B． C． D． 4．（2023·江苏盐城·校联考二模）我国古代数学专著《九章算术》中记载：“今有宛田，下周三十步，径 十六步，问为田几何？”注释： 宛田是指扇形状的田，下周是指弧长，径是指扇形所在圆的直径．那么， 这口宛田的面积是多少平方步？ 计算可知，这块田的面积是（ ） A．60 平方步 B．90 平方步 C．120 平方步 D．240 平方步 5．（2023秋·全国·九年级专题练习）习近平总书记强调：“青年一代有理想、有本领、有担当，国家就有 前途，民族就有希望”．如图①是一块弘扬“新时代青年励志奋斗”的扇面宣传展板，该展板的部分示意 图如图②所示，它是以O为圆心， ， 长分别为半径，圆心角 形成的扇面，若 ， ，则阴影部分的面积为（ ） A． B． C． D． 二、填空题6．（2023·黑龙江哈尔滨·统考中考真题）一个扇形的圆心角是 ，弧长是 ，则扇形的半径是 cm． 7．（2023秋·九年级课时练习）（1）在半径为 的圆中，圆心角为 的扇形的面积是 ； （2）已知扇形的半径为 ，面积为 ，则扇形的圆心角是 ． 8．（2023·内蒙古呼和浩特·统考中考真题）圆锥的高为 ，母线长为3，沿一条母线将其侧面展开，展 开图（扇形）的圆心角是 度，该圆锥的侧面积是 （结果用含 的式子表示）． 9．（2023春·山东东营·九年级统考开学考试）如图是一个几何体的三视图，如果一只蚂蚁从这个几何体的 点B出发，绕其侧面一周（回到原来的位置B）所爬行的最短路程是 ． 10．（2023·重庆·九年级统考学业考试）把量角器和含 角的三角板按如图方式摆放：零刻度线与长直角 边重合，移动量角器使圆弧与斜边相切（即 的斜边 与 相切于点 ）时，发现量角器的中心 恰好在三角板的刻度3处（即 ），短直角边过量角器的外沿刻度120处（即 ），则 阴影部分的面积为 ． 三、解答题 11．（2023秋·福建福州·九年级校考阶段练习）已知圆锥侧面展开图的扇形圆心角为 ，弧长为 ． (1)求该圆锥的母线长和底面圆半径；(2)求该圆锥的全面积． 12．（2023春·吉林白城·九年级校联考阶段练习）如图， 是 的直径， 是 的切线，A为切点， 与 交于点 ，点 是 的中点，连接 . (1)求证： 是 的切线. (2)若 ， ，则劣弧 的长为______.（结果保留 ） 13．（2023·湖北襄阳·统考模拟预测）如图，点D在 的直径 上， 弦 于点 ，点 为 延 长线上一点， ． (1)求证： 是 的切线； (2)若 ， ，求阴影部分的面积． 14．（2023秋·全国·九年级专题练习）“抖空竹”在我国有着悠久的历史，是国家级的非物质文化遗产之 一．小颖玩“抖空竹”游戏时发现可以将某时刻的情形抽象成数学问题．如图，AC，BD分别与O相切 于点C，D，延长AC，BD交于点P，连接OP，CD，O的半径为2，DPC 90．(1)连接OC，OD，判断四边形CODP的形状，并说明理由； (2)求劣弧CD的长； (3)若某时刻BPM 30，PM 与CD交于点N ，求PN 的长． 15．（2023春·广东东莞·九年级校考开学考试）如图，AB是O的直径，C是半圆O上的一点，AC平分 DAB，ADCD，垂足为D，AD交O于E，连接CE． (1)求出：DC是O的切线； (2)若AB10，DC 4，求AC的长； (3)若E是弧AC的中点，O的半径为5，求图中阴影部分的面积． 16．（2023春·浙江金华·九年级校联考期中）如图，AB是O的切线，B为切点，直线AO交O于 C，D两点，连接BC，BD．过圆心O作BC的平行线，分别交AB的延长线、O及BD于点E，F，G．F BD (1)求证： 是 的中点； (2)求证：DE； (3)若F 是OE的中点，O的半径为6，求阴影部分的面积．