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专题 24.4 弧、弦、圆心角（3 大知识点 10 类题型）（知识梳理与考
点分类讲解）
第一部分【知识点归纳与题型目录】
【知识点1】圆心角定义
如图所示，∠AOB的顶点在圆心，像这样顶点在圆心的角叫做圆心角．
【知识点2】弧、弦、圆心角的关系
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
【知识点3】弧、弦、圆心角的关系的推论
（1）在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦也相
等．
（2）在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也相
等．
以上（1）（2）可以简单概括为：“知一得二”
【要点提示】(1)一个角要是圆心角，必须具备顶点在圆心这一特征；(2)注意定理中不能忽视“同
圆或等圆”这一前提.
【解题技巧点拨】在同圆或等圆中，要证明弧、弦、圆心角中一组量相等，通常将其转化到
证明另外两组量中的任意一组量相等，一般方法有多种，而连接半径或作垂直于弦的直径构
造等弧、等弦、相等圆心角是常用来作辅助线的方法.
【题型目录】
【题型1】圆心角概念的理解..................................................2；
【题型2】弧、弦、圆心角的关系的理解........................................3；【题型3】利用弧、弦、圆心角的关系求半径....................................4；
【题型4】利用弧、弦、圆心角的关系求弦心距..................................6；
【题型5】利用弧、弦、圆心角的关系求其他线段长..............................7；
【题型6】利用弧、弦、圆心角的关系求角度...................................10；
【题型7】利用弧、弦、圆心角的关系证明.....................................11；
【题型8】利用弧、弦、圆心角的关系求圆弧度数...............................15；
【题型9】直通中考.........................................................16；
【题型10】拓展练习........................................................18.
第二部分【题型展示与方法点拨】
【题型1】圆心角概念的理解
【例1】（23-24九年级上·福建泉州·期中）下列图形中的角是圆心角的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查的是圆心角的概念，掌握顶点在圆心的角是圆心角是解题的关键．根据圆心角的概念
解答．
解：A、顶点没在圆心，不是圆心角，故选项不符合题意；
B、是圆心角，故选项符合题意；
C、顶点没在圆心，不是圆心角，故选项不符合题意；
D、顶点没在圆心，不是圆心角，故选项不符合题意；
故选：B．
【变式】（24-25九年级上·全国·假期作业）如图所示的圆中，下列各角是圆心角的是（ ）
A． B． C． D．【答案】B
【分析】本题考查圆心角的概念，确定一个角是否是圆心角，只要看这个角的顶点是否在圆心上，顶点在圆心上的角就是
圆心角，否则不是．
解：根据圆心角的概念， 、 、 的顶点分别是B、A、C，都不是圆心O，因此都不是圆心角．只有
B中的 的顶点在圆心，是圆心角．
故选：B．
【题型2】弧、弦、圆心角的关系的理解
【例2】（2023·江苏扬州·三模）下列各项命题中，属于真命题的是（ ）
A．相等的弦，所对的圆周角相等 B．同圆或等圆中，较长的弧，所对的弦也长
C．相等的圆心角所对的弦相等 D．相等的弦，所对的弧相等
【答案】B
【分析】本题考查了弦、弧、圆周角、圆心角的关系，理解 “在同圆或等圆中，弦、弧、圆周角、圆心
角一组量相等，其它都相等”是解题的关键．
解：A.同圆或等圆中相等的弦，所对的圆周角相等；结论错误，故不符合题意；
B.同圆或等圆中，较长的弧，所对的弦也长；符合题意，故结论正确；
C.同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等；结论错误，故不符合题意；
D.同圆或等圆中，相等的弦，所对的弧相等；结论错误，故不符合题意；
故选：B．
【变式】（23-24九年级下·全国·单元测试）如图，在 中， ，则下列结论中错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查的是弧，弦，圆心角之间的关系，由 逐一分析各选项即可得到答案．
解：∵ ，
∴ ，故A不符合题意；∴ ，
∴ ，故B不符合题意；
∴ ，故C不符合题意；
∵ 不一定为 的中点，
∴ 不一定成立，故D符合题意；故选D
【题型3】利用弧、弦、圆心角的关系求半径
【例3】（2024·湖北·模拟预测）西昌市“北环线”是市政府为进一步优化市区交通布局打造的重点民生
工程．如图，其中公路弯道处是一段圆弧，点 是这条弧所在圆的圆心，点 是 的中点， 与
相交于点 ．经测量， ， ，那么这段弯道的半径为（）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，圆心角、弧、弦的关系，关键是作辅助线构造直角三角形，由
勾股定理列出关于半径的方程．连接 ， ，设这段弯道的半径为 ，由圆心角、弧、弦的关系得
到 ，由等腰三角形的性质得到 ，由垂径定理求出 的长，由勾股定理得到
，求出 即可．
解：连接 ， ，
设这段弯道的半径为 ，是 的中点，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
这段弯道的半径为 ．故选：A
【变式】（23-24九年级下·山东青岛·阶段练习）如图， 为 的直径，C为 上一点，点D是
的中点， 交 的延长线于点E， 于点F．若 ，则 的半径等于
（ ）
A．4cm B．5cm C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了弧，弦，圆周角之间的关系，角平分线的性质，全等三角形的性质与判定，勾
股定理，先由弧，弦，圆周角之间的关系得到 ， ，再由角平分线的性质得到
，证明 ，得到 ，设 的半径为 ，则
， ，在 中由勾股定理得 ，解方程即可得到答案．解：如图所示，连接 ．
∵点D是 的中点，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴
设 的半径为 ，则 ，
∴ ，
在 中，由勾股定理得 ，
∴ ，
解得 ，
∴ 的半径为 ．
故选：C．
【题型4】利用弧、弦、圆心角的关系求弦心距
【例4】（2024·北京·模拟预测）如图， 的半径等于4，如果弦 所对的圆心角等于 ，那么圆心
到弦 的距离为（ ）A． B．2 C．2 D．3
【答案】C
【分析】本题考查了等腰三角形的三线合一，勾股定理，圆心角的相关知识，熟练掌握知识点，正确添
加辅助线是解题的关键．过 作 于 ，则 ，对 运用勾股定理即可求解．
解：过 作 于 ，由题意得 ，
，
∴ ，
∵ ，
，
，
∴ ，故选：C．
【变式】（2022·山东德州·一模）圆的一条弦把圆分为度数比为 的两条弧，则弦心距与弦长的比为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据已知条件得到弦所对的圆心角∠AOB=90°，求得△AOB是等腰直角三角形，过点O做
OC⊥AB于C，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论．
解：∵弦AB把⊙O分成度数比为1：3两条弧，
∴弦所对的圆心角∠AOB= ，∴△AOB是等腰直角三角形，
过点O做OC⊥AB于C，
∴ ,
∴弦心距与弦长的比为1：2．故选：D．
【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，在解答此类问题时要注意在“同圆或等圆”中才适用，这
是此类问题的易错点．
【题型5】利用弧、弦、圆心角的关系求其他线段长
【例5】（23-24九年级下·山东菏泽·期中）如图，线段 ， 分别为 的弦， ， ，
是 的平分线，若 ，则弦 长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，圆内接四边形性质，勾股定理，全等三角形的性质和
判定的应用，过点 作 垂直于 的延长线，交于 ，作 于 ，连接 ， ，根据圆内
接四边形的性质可得 ，由 平分 ，可得 ， ，
， ，再证明 ， ，可得 ，
，则 ，进而求得 ，可知 ，再由勾股定理即可求
解，能根据角平分线正确作出辅助线是解此题的关键．解：过点 作 垂直于 的延长线，交于 ，作 于 ，连接 ， ，
∵ 平分 ， ，
∴ ， ， (圆内接四边形对角互补)，
则 ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，则 ，
∴ ，则 ，
∴ ，
由勾股定理可得： ，即： ，
∴ ，
故选：D．
【变式】（2024·广西·模拟预测）如图，点 为 上三点， ，点 为 上一点，
于 ， ， ，则 的长为（ ）A． B．2 C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了弧，弦，圆周角之间的关系，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与
判定，在 上取一点F，使得 ，连接 ，由 得到 ，进而证明
，得到 ，由三线合一定理得到 ，则 ．
解：如图所示，在 上取一点F，使得 ，连接 ，
∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，故选：B．
【题型6】利用弧、弦、圆心角的关系求角度
【例6】（2024九年级下·全国·专题练习）已知 是 的弦，若 ， ，则 所对的圆心
角的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查的是圆的有关性质及勾股定理，由题意得 ， ，根据勾股定理求得，即可得出答案．
解：由题意得 ， ，
，
所对的圆心角的度数为 故选：D
【变式】（2024·安徽亳州·二模）如图， 是 的两条直径，点 是劣弧 的中点．若
，则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】连接 ，如图所示，由对顶角性质、邻补角定义得到 ，再由同弧所对的圆心角相等及
等腰三角形的判定与性质，结合三角形内角和定理求出角度即可得到答案．
解：连接 ，如图所示：
，
，
点 是劣弧 的中点，
，则 ，
，，
故选：C．
【点睛】本题考查圆中求角度，涉及对顶角性质、邻补角定义、同弧所对圆心角相等、圆的性质、等腰
三角形的判定与性质、三角形内角和等知识，熟记相关几何性质，数形结合找准各个角度之间的关系是
解决问题的关键．
【题型7】利用弧、弦、圆心角的关系证明
【例7】（2024·江苏南京·二模）如图， 、 是 的两条弦， 与 相交于点E， ．
(1)求证： ；
(2)连接 作直线 求证： ．
【分析】本题考查了垂直平分线的判定与性质，利用弧、弦、圆心角的关系求证，正确掌握相关性质内
容是解题的关键．
（1）根据利用弧、弦、圆心角的关系得出 ，进而可得 ；
（2）因为 所以 ，即 结合 ，得出E、O都在 的垂直平分线
上，即可作答．
解：（1）证明：∵ ，
∴
∴ ，
即 ．
∴ ．
（2）证明：连接∵
∴
∴
∴
∵
∴E、O都在 的垂直平分线上．
∴
【变式1】（22-23九年级上·北京·期中）如图， 是 的直径，弦 ，分别过 、 作 的
垂线，垂足为 、 ，以下结论
① ；
② ；
③若四边形 是正方形，则 ；
④若 为弧 的中点，则 为 中点．
所有正确结论的序号是 ．
【答案】①②④
【分析】先证明四边形 是矩形，再证明 ，可得结论①②正确，证明
，可得③错误；证明 是等边三角形，可得④正确，从而可得答案．
解：连接 、 ， 如图， 、 ，，
，
，
，
四边形 是矩形，
，
在 和 中，
，
，
， ，
，故②正确，
， ， ，故①正确，
当四边形 是正方形时， ，
，
，
故③错误，
若 是 的中点，连接 ，而
，
，
是等边三角形，，
，故④正确．
故答案为：①②④．
【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，勾股定理的应用，直角三角形全等的判定与性质，矩形
的判定与性质，正方形的性质，圆心角、弧、弦的关系；掌握“在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两
条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等”是解题的关键．
【变式2】（23-24九年级上·广东广州·期末）如图，四边形 内接于 ，E为 延长线上一点，
连接 ，若 ，且 ，则 的度数是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查菱形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，连接 ，由 ，
证明四边形 是平行四边形，由 可证明四边形 是菱形，得
再证明 是等边三角形即可得出结论．
解：连接 ，如图，
∵ ， ，
∴四边形 是平行四边形，
又
∴四边形 是菱形，
∴ ，
∵∴ ，即 是等边三角形，
∴ ，
∴ ,
故选：D
【题型8】利用弧、弦、圆心角的关系求圆弧度数
【例8】（2024九年级下·全国·专题练习）已知 是 的弦，若 ， ，则 所对的圆心
角的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查的是圆的有关性质及勾股定理，由题意得 ， ，根据勾股定理求得
，即可得出答案．
解：由题意得 ， ，
，
所对的圆心角的度数为
故选：D
【变式】（23-24九年级上·山东聊城·期中）如图， 是 的弦，延长 相交于点E，已知
，则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了等边对等角，三角形内角和定理，圆心角等知识．明确角度之间的数量关系是解题
的关键．
如图，连接 ，由三角形内角和求 ，，
，根据
，计算求解即可．
解：如图，连接 ，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的度数为 ，
故选：C．
第三部分【中考链接与拓展延伸】
【题型9】直通中考
【例1】（2021·湖南张家界·中考真题）如图， 内接于 ， ，点 是 的中点，连接
， ， ，则 ．【答案】
【分析】圆上弧长对应的圆周角等于圆心角的一半，再利用等腰三角形三线合一的性质，即可得出答案．
解:根据圆上弦长对应的圆周角等于圆心角的一半，
，
，
，
为等腰三角形，
又 点 是 的中点，根据等腰三角形三线合一，
为 的角平分线，
，
故答案是： ．
【点睛】本题考查了弦长所对应的圆周角等于圆心角的一半和等腰三角形三线合一的性质，解题的关键
是：根据性质求出 ，再利用角平分线或三角形全等都能求出解．
【例2】（2023·山东烟台·中考真题）如图，将一个量角器与一把无刻度直尺水平摆放，直尺的长边与量
角器的外弧分别交于点A，B，C，D，连接 ，则 的度数为 ．
【答案】
【分析】方法一∶如图：连接 ，由题意可得： ，
，然后再根据等腰三角形的性质求得 、 ，最后根据角的
和差即可解答．
方法二∶ 连接 ，由题意可得： ，然后根据圆周角定理即可求解．
解：方法一∶ 解：如图：连接 ，
由题意可得： ， ， ，
∴ ， ，
∴ ．
故答案为 ．方法二∶解∶ 连接 ，
由题意可得： ，
根据圆周角定理，知 ．
故答案为 ．
【点睛】本题主要考查了角的度量、圆周角定理等知识点，掌握圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角
度数的一半是解答本题的关键．
【题型10】拓展延伸
【例】（2024·甘肃武威·三模）如图，已知 为 的直径，点C为半圆上的四等分点，在直径 所
在的直线上找一点P，连接 交 于点Q（异于点P），使 ，则
．
【答案】 或 或
【分析】本题主要考查了圆心角与弧之间的关系，等边对等角，三角形内角和定理，分当点P在线段
延长线上时，当点P在线段 上时，当点P在线段 延长线上时，三种情况讨论求解即可．
解：如图所示，当点P在线段 延长线上时，连接 ，
∵点C为半圆上的四等分点，∴ ，
设 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
如图所示，当点P在线段 上时，
∵ ，
∴ ，
设 ，则 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；如图所示，当点P在线段 延长线上时，
∵ ，
∴ ，
设 ，则
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
综上所述， 的度数为 或 或 ，
故答案为：或或．
