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第五讲 古典概型
真题展示
2022 新高考一卷第五题
从 2 至 8 的 7 个整数中随机取 2 个不同的数，则这 2 个数互质的概率为
A． B． C． D．
【思路分析】先求出所有的基本事件数，再写出满足条件的基本事件数，
用古典概型的概率公式计算即可得到答案．
【解析】【解法一】(枚举法)从 2 至 8 的 7 个整数中任取两个数共有
种方式，
其中互质的有：23，25，27，34，35，37，38，45，47，56，57，58，
67，78，共14种，
故所求概率为 ．
【解法二】(正难则反)：从 2 至 8 的 7 个整数中任取两个数共有 种方
式，
其中不互质的有：2，4，6，8 中任取 2 个和 3，6 这 1 个，计 +1=7 个，
故所求概率为1− 。故选： ．
【试题评价】本题考查古典概型的概率计算，考查运算求解能力，属于基
础题．
知识要点整理
一、 事件的概率
对随机事件发生可能性大小的度量(数值)称为事件的概率，事件 A的概率用 P ( A )
表示．
二、 古典概型
一般地，若试验E具有以下特征：(1)有限性：样本空间的样本点只有有限个；
(2)等可能性：每个样本点发生的可能性 相等 ．
称试验E为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称 古典概型 ．
知识点三 古典概型的概率公式
一般地，设试验 E 是古典概型，样本空间 Ω 包含 n 个样本点，事件 A 包含其中
的k个样本点，则定义事件A的概率P(A)＝＝.
三、概率的基本性质
性质1 对任意的事件A，都有P(A)≥0.
性质2 必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P(Ω)＝1，P(∅)＝0.
性质3 如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)＝ P ( A ) ＋ P ( B ) ．
性质 4 如果事件 A 与事件 B 互为对立事件，那么 P(B)＝ 1 － P ( A ) ，P(A)＝ 1 －
P ( B ) ．
性质5 如果A⊆B，那么 P ( A ) ≤ P ( B ) ．
性质6 设A，B是一个随机试验中的两个事件，我们有 P(A∪B)＝ P ( A ) ＋ P ( B ) －
P ( A ∩ B ) ．
三年真题
一、单选题
1．已知一组抛物线 ，其中a为2，4，6，8中任取的一个数，b为1，3，5，7中任取的一
个数，从这些抛物线中任意抽取两条，它们在与直线 交点处的切线相互平行的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】这组抛物线共 条，任取两条取法有 种.
它们在与直线 交点处的切线斜率 ，
若 ，有 ， 两种情形，从中取出两条，有 种取法；若 ，有 ， ， 三种情形，从中取出两条，有 种取法；
若 ，有 ， ， ， 四种情形，从中取出两条，有 种取法；
若 ，有 ， ， 三种情形，从中取出两条，有 种取法；
若 ，有 ， 两种情形，从中取出两条，有 种取法；
共有 种，故所求概率为 .
故选：B.
2．设袋中有80个红球，20个白球，若从袋中任取10个球，则其中恰有6个红球的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据超几何分布的概率公式即可求解.
【详解】从袋中有80个红球，20个白球，若从袋中任取10个球共有 种取法，
恰好有6个红球，则有4个白球，故取法有 中，
由古典概型的概率公式得概率为 .
故选：D
3．从编号为1，2，…，10的10个大小相同的球中任取4个，则所取4个球的最大号码是6的概率为（
）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】所取4个球的最大号码是6，则编号为6的球必选，再从编号为1，2，3，4，5的球中选3个，从
而求出其概率.
【详解】所取4个球的最大号码是6，则编号为6的球必选，再从编号为1，2，3，4，5的球中选3个，
则所取4个球的最大号码是6的概率为 ，故选：B．
4．从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由古典概型概率公式结合组合、列举法即可得解.
【详解】从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，共有 种不同的取法，
若两数不互质，不同的取法有： ，共7种，
故所求概率 .
故选：D.
5．分别统计了甲、乙两位同学16周的各周课外体育运动时长（单位：h），得如下茎叶图：
则下列结论中错误的是（ ）
A．甲同学周课外体育运动时长的样本中位数为7.4
B．乙同学周课外体育运动时长的样本平均数大于8
C．甲同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值大于0.4
D．乙同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值大于0.6
【答案】C
【详解】对于A选项，甲同学周课外体育运动时长的样本中位数为 ，A选项结论正确.
对于B选项，乙同学课外体育运动时长的样本平均数为：
，
B选项结论正确.对于C选项，甲同学周课外体育运动时长大于 的概率的估计值 ，
C选项结论错误.
对于D选项，乙同学周课外体育运动时长大于 的概率的估计值 ，
D选项结论正确.
故选：C
6．从分别写有1，2，3，4，5，6的6张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之积是4
的倍数的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】方法一：先列举出所有情况，再从中挑出数字之积是4的倍数的情况，由古典概型求概率即可.
【详解】[方法一]：【最优解】无序
从6张卡片中无放回抽取2张，共有
15种情况，其中数
字之积为4的倍数的有 6种情况，故概率为 .
[方法二]：有序
从6张卡片中无放回抽取2张，共有
,(2,1),(3,1),(4,1),(5,1),
(6,1),(3,2),(4,2),(5,2),(6,2),(4,3),(5,3),(6,3),(5,4),(6,4),(6,5)30种情况，
其中数字之积为4的倍数有(1,4),(2,4),(2,6),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,5),(4,6),(5,4),(6,2),(6,4)12种情况，故概率为
.
故选：C.
7．将3个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（ ）
A．0.3 B．0.5 C．0.6 D．0.8【答案】C
【分析】利用古典概型的概率公式可求概率.
【详解】解：将3个1和2个0随机排成一行，可以是：
，
共10种排法，
其中2个0不相邻的排列方法为：
，
共6种方法，
故2个0不相邻的概率为 ，
故选：C.
8．将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】将4个1和2个0随机排成一行，可利用插空法，4个1产生5个空，
若2个0相邻，则有 种排法，若2个0不相邻，则有 种排法，
所以2个0不相邻的概率为 .
故选：C.
9．若10把钥匙中只有2把能打开某锁，则从中任取2把能将该锁打开的概率为___________.
【答案】
【分析】本题是一个古典概型，先求得从10把钥匙中任取2的种数，再求得任取2把能将该锁打开的种数，
代入公式求解.
【详解】解：从10把钥匙中任取2把有 种取法，
从中任取2把能将该锁打开有 种取法，所以从中任取2把能将该锁打开的概率为 ，
故答案为：
10．在一个小组中有8名女同学和4名男同学，从中任意地挑选2名同学担任交通安全宣传志愿者，那么
选到的两名都是女同学的概率是___________.（结果用分数表示）
【答案】
【分析】使用组合数分别计算任意地挑选2名同学与选到的两名都是女同学的选法，再用古典概型求概率.
【详解】在一个小组中有8名女同学和4名男同学，从中任意地挑选2名同学共有 种选法，
选到的两名都是女同学共有 种
那么选到的两名都是女同学的概率是 .
故答案为：
11．在三角形的每条边上各取三个分点（如图）．以这9个分点为顶点可画出若干个三角形，若从中任意
抽取一个三角形，则其三个顶点分别落在原三角形的三条不同边上的概率为____________．（用数字作
答）
【答案】
【分析】根据题意，首先分析可得9个点能构成三角形总个数，再由分步计数原理可得符合条件的三角形
个数，由等可能事件的概率公式，计算可得答案.
【详解】由题意，这9个点能构成三角形的总数为 .
要得到三个顶点分别落在原三角形的三条不同边上的三角形，须在原三角形三边上各取一点，组成三角形即可，则符合条件的三角形个数为 .
所以概率为 .
故答案为： .
12．从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为____________．
【答案】 ##0.3
【详解】解法一：设这5名同学分别为甲，乙，1,2,3，从5名同学中随机选3名，
有：(甲，乙，1)，(甲，乙，2)，(甲，乙，3)，(甲，1，2)，(甲，1，3)，(甲，2，3)，(乙，1，2)，(乙，
1，3)，(乙，2，3)，(1，2，3)，共10种选法；
其中，甲、乙都入选的选法有3种，故所求概率 .
故答案为： .
解法二：从5名同学中随机选3名的方法数为
甲、乙都入选的方法数为 ，所以甲、乙都入选的概率
故答案为：
13．从正方体的8个顶点中任选4个，则这4个点在同一个平面的概率为________．
【答案】 .
【分析】根据古典概型的概率公式即可求出．
【详解】从正方体的 个顶点中任取 个，有 个结果，这 个点在同一个平面的有
个，故所求概率 ．
故答案为： ．14．从某批产品中，有放回地抽取产品二次，每次随机抽取 件，假设事件 ：“取出的 件产品中至多有
件是二等品”的概率 ．
(1)求从该批产品中任取 件是二等品的概率 ；
(2)若该批产品共有 件，从中任意抽取 件，求事件 ：“取出的2件产品中至少有一件二等品”的概
率 ．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：记 表示事件“取出的2件产品中无二等品”， 表示事件“取出的2件产品中恰有1
件二等品”．
则 ， 互斥，且 ，
故
所以 ，
解得 或 （舍去）．
（2）解：记 表示事件“取出的2件产品中无二等品”，
则 ．
若该批产品共 件，由（1）知其中二等品有 件，
故 ，所以 .
15．盒中装有标有数字1，2，3，4的卡片各2张，从盒中任意抽取3张，每张卡片被取出的可能性都相等，求：
(1)抽出的3张卡片上最大的数字是4的概率；
(2)抽出的3张中有2张卡片上的数字是3的概率；
(3)抽出的3张卡片上的数字互不相同的概率．
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）解：设“抽出的3张卡片上最大的数字是4”的事件记为 ，
试验发生包含的所有事件数为 种，
满足条件的事件是抽出的3张卡片上最大的数字是4，包括有 个 或有 个 ，
事件数是 ，
；
（2）解：设“抽出的 张中有 张卡片上的数字是 ”的事件记为 ，
试验发生包含的所有事件数为 种，且满足抽出的 张卡片上有 张卡片上的数字是 ，共有 种取
法，
；
（3）解：“抽出的3张卡片上的数字互不相同”的事件记为 ，
“抽出的3张卡片上有两个数字相同”的事件记为 ，
由题意， 与 是对立事件，
则抽出的3张卡片上有两个数字相同的有 种取法，
， ．
16．（2005·江西·高考真题（文））A、B两位同学各有五张卡片，现以投掷均匀硬币的形式进行游戏，当
出现正面朝上时A赢得B一张卡片，否则B赢得A一张卡片，如果某人已赢得所有卡片，则游戏终止．求掷硬币的次数不大于7次时游戏终止的概率．
【答案】
【详解】设 表示游戏终止时抛硬币的次数，设正面出现的次数为 ，反面出现的次数为 .依据题意，则
，且 .可得：当 ， 或 时， ；
当 或 时， ，所以 的取值为：5,7
.
故答案为： .
17．某项考试按科目A、科目B依次进行，只有当科目A成绩合格时，才可继续参加科目B的考试．已知
每个科目只允许有一次补考机会，两个科目成绩均合格方可获得证书．现某人参加这项考试，科目A每次
考试成绩合格的概率均为 ，科目B每次考试成绩合格的概率均为 ．假设各次考试成绩合格与否均互不
影响．
(1)求他不需要补考就可获得证书的概率；
(2)在这项考试过程中，假设他不放弃所有的考试机会，记他参加考试的次数为 ，求 的数学期望 ．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）设“科目A第一次合格”为事件 ，“科目A补考合格”为事件
“科目B第一次合格”为事件 ，“科目B补考合格”为事件则
根据独立事件概率计算公式得不需要补考获得证书的概率为
（2）根据题意， 的可能取值为2，3，4 且
所以
18．现有7张卡片，分别写上数字1，2，2，3，4，5，6．从这7张卡片中随机抽取3张，记所抽取卡片
上数字的最小值为 ，则 __________， _________．
【答案】 ， ##
【分析】利用古典概型概率公式求 ，由条件求 分布列，再由期望公式求其期望.
【详解】从写有数字1,2,2,3,4,5,6的7张卡片中任取3张共有 种取法，其中所抽取的卡片上的数字的最
小值为2的取法有 种，所以 ，
由已知可得 的取值有1，2，3，4，， ，
，
所以 ,
故答案为： ， .
三年模拟
一、单选题
1．某高校组织大学生知识竞赛，共设有5个版块的试题，分别是“中华古诗词”“社会主义核心价值观”
“科学实践观”“中国近代史”及“创新发展能力”.某参赛队从中任选2个版块作答，则“创新发展能
力”版块被该队选中的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】将五个版块依次记为A，B，C，D，E，
则有 共10种结果.
某参赛队从中任选2个版块作答，则“创新发展能力”版块被该队选中的结果
有 ，共4种，
则“创新发展能力”版块被选中的概率为 ，
故选：B.
2．在连续五次月考中，甲、乙两人的成绩依次为
甲：124，126，132，128，130
乙：121，128，135，133，123则下列说法正确的是（ ）
A．甲的成绩在逐渐上升
B．甲的平均成绩比乙的高
C．甲的发挥比乙的发挥更为稳定
D．随机取其中同一次成绩，甲得分低于乙的概率为
【答案】C
【详解】A选项，根据甲的数据可知，甲的成绩不是逐渐上升，A选项错误.
B选项， ，两个人的平均成绩相同，B选项错误.
C选项，甲的成绩的方差为：
，
乙的成绩的方差为：
，
，所以甲的发挥比乙稳定，C选项正确.
D选项，五次月考中，同一场次，甲比乙低分的有 次，所以概率为 ，D选项错误.
故选：C
3．我国古代有着辉煌的数学研究成果，其中的《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算
经》、《缉古算经》，有着十分丰富多彩的内容，是了解我国古代数学的重要文献．这5部专著中3部产
生于汉、魏晋、南北朝时期．某中学拟从这5部专著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容，则
所选2部专著均是汉、魏晋、南北朝时期专著的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：从这5部专著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容，基本事件总数 ，
设A={所选2部专著均是汉、魏晋、南北朝时期专著}
则
∴故选：A．
4．从集合 中任取2 个不同的质数 ， 则 的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】集合 中的质数有11，13，17，19，共4个数，
任取2个不同的质数 ， ，记作 的情况有 ， ， ，
， ， ， ， ， ， ， ， ，共12种；
符合 的有 ， ， ， ， ， ，
， ，共8种，所以概率为 .
故选：A.
5．从两名男生，两名女生共4名同学中随机选2名参加社会实践活动，则所选两名同学性别不同的概率为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】两名男生标记为 ， ，两名女生标记为 ， .
从中随机选2名参加社会实践的事件有 ， ， ， ， ， ，共计6种.
其中两名同学性别不同的事件有 ， ， ， ，共计4种，
所求概率 .
故选：D.
6．已知在多项选择题的四个选项 中，有至少两项且至多三项符合题目要求.规定：全部选对得5
分，部分选对得2分，有选错得0分.若某题的正确答案是 ，某考生随机选了至少一个选项且至多三个
选项，则该考生能得分的概率为（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【详解】考生做多项选择题的试验的不同结果有：
，共14个，
该考生能得分的事件M含有的结果有： ，共3个，
所以该考生能得分的概率 .
故选：C
7．若连续抛掷两次质地均匀的骰子，得到的点数分别为m，n，则满足 的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用列举法列出所有可能结果，再根据古典概型的概率公式计算可得.
【详解】解：设连续投掷两次骰子，得到的点数依次为 、 ，两次抛掷得到的结果可以用 表示，
则结果有 ， ， ， ， ， ，
， ， ， ， ， ，
， ， ， ， ， ，
， ， ， ， ， ，
， ， ， ， ， ，
， ， ， ， ， ，
共有36种．
其中满足 有： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，
， ，共 种，
所以满足 的概率 ．
故选：B
二、多选题8．某学校为调查学生迷恋电子游戏情况，设计如下调查方案，每个被调查者先投掷一枚骰子，若出现向
上的点数为3的倍数，则如实回答问题“投掷点数是不是奇数?”，反之，如实回答问题“你是不是迷恋电
子游戏?”．已知被调查的150名学生中，共有30人回答“是”，则下列结论正确的是（ ）
A．这150名学生中，约有50人回答问题“投掷点数是不是奇数?”
B．这150名学生中，必有5人迷恋电子游戏
C．该校约有5%的学生迷恋电子游戏
D．该校约有2%的学生迷恋电子游戏
【答案】AC
【详解】由题意可知掷出点数为3的倍数的情况为3,6，故掷出点数为3的倍数的概率为 ，故理论上回答
问题一的人数为 人.掷出点数为奇数的概率为 ，理论上回答问题一的50人中有25人回答
“是”，故回答问题二的学生中回答“是”的人数为30-25=5人.
对于A, 抽样调查的这150名学生中，约有50人回答问题一，故A正确.
对于B, 抽样调查的这150名学生中，约有5人迷恋电子游戏，“必有”过于绝对，故B错.
对于C,抽样调查的150名学生中，50名学生回答问题一，故有100名学生回答问题二，有5名学生回答
“是”， 故该校迷恋电子游戏的学生约为 ，故C正确.
对于D,由C可知该校迷恋电子游戏的学生约为 ，故D错.
故选：AC.
三、填空题
9．“青山”饮料厂推出一款新产品——“绿水”，该厂开展促销活动，将 罐“绿水”装成一箱，且每箱
均有 罐可以中奖．若从一箱中随机抽取 罐，则能中奖的概率为______．
【答案】 ##
【详解】记一箱中能中奖的“绿水”灌装饮料分别记为 、 ，不能中奖的“绿水”灌装饮料分别记为 、
、 、 ，
从一箱中随机抽取 罐，所有基本事件有： 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、
、 、 、 ，共 种，
其中，事件“随机抽取的 罐能中奖”所包含的基本事件有： 、 、 、 、 、 、 、 、
，共 种，故所求概率为 .
故答案为： .
10．若函数 的定义域和值域分别为 和 ，则满足 的函数概率是
______．
【答案】
【详解】因函数 的定义域和值域分别为 和 ，则函数 有6个，它们是：
； ； ；
； ； ，
满足 的函数有2个数，它们是 或 ，
因此满足 的函数有4个，所以满足 的函数概率是 .
故答案为：
11．某中学从甲、乙两个班中各选出15名学生参加知识竞赛，将他们的成绩（满分100分）进行统计分析，
绘制成如图所示的茎叶图.设成绩在88分以上（含88分）的学生为优秀学生，现从甲、乙两班的优秀学生
中各取1人，记甲班选取的学生成绩不低于乙班选取得学生成绩记为事件 ，则事件 发生的概率
___________.
【答案】【详解】从甲、乙两班的优秀学生中各取1人所有的可能为：
，
共18种情况，其中甲班选取的学生成绩不低于乙班选取得学生成绩的情况有4种，
所以 ，
故答案为：
12．将一颗骰子连掷两次，每次结果相互独立，则第一次点数小于3且第二次点数大于3的概率为______．
【答案】
【详解】依题意，将一颗骰子连掷两次的基本事件的件数为 ，
而第一次点数小于3且第二次点数大于3（记为事件 ）的基本事件有 ，
共6件，
所以 .
故答案为： .
13．从1，2，3，4，5，6中任取4个不同的数，则这4个数的中位数是3的概率为____________．
【答案】
【详解】中位数为3，则中间两个数为2，4，
∴符合条件的有1，2，4，5和1，2，4，6，故概率为 ．
故答案为：
14．一只口袋内装有大小相同的5只球，其中3只白球，2只黑球，从中一次摸出两只球，则摸出的两只
球颜色不同的概率是________.
【答案】
【分析】利用列举法求解，列出5只球中一次摸出两只球的所有情况，再找出摸出的两只球颜色不同即一
黑一白的情况，然后利用古典概型的概率公式计算可得答案.【详解】记3只白球分别为 ,两只黑球分别为 ，
则从5只球中一次摸出两只球的所有情况有：
，共10种情况，
其中摸出的两只球颜色不同的有： ，共6种情况，
所以摸出的两只球颜色不同的概率为： .
故答案为： .
15．从 ， ， ， 这 个数中随机取出 个不同的数 ， ，则 的概率为__________．
【答案】 ##
【详解】取出 个不同的数 ， 的所有情况为1和3，1和5，1和7，3和5，3和7，5和7，6种情况，
其中满足 的有：1和3，1和5，1和7，3种情况，
所以 的概率为 ．
故答案为：
16．为防控新冠疫情，很多公共场所要求进人的人必须佩戴口罩．现有 人在一次外出时需要从蓝、白、
红、黑、绿 种颜色各 只的口罩中随机选 只不同颜色的口罩，则蓝、白口罩同时被选中的概率为
____________．
【答案】 ##
【详解】从蓝、白、红、黑、绿5种颜色各1只的口罩中选3只不同颜色的口罩，样本点列举如下：（蓝，
白，红），（蓝，白，黑），（蓝，白，绿），（蓝，红，黑），（蓝，红，绿），（蓝，黑，绿），
（白，红，黑），（白，红，绿），（白，黑，绿），（红，黑，绿），共有10个样本点，其中蓝、白色
口罩同时被选中的样本点有（蓝，白，红），（蓝，白，黑），（蓝，白，绿），共3个样本点，所以蓝、
白色口罩同时被选中的概率为 ．
故答案为： ．四、解答题
17．现有甲、乙、丙三个人相互传接球，第一次从甲开始传球，甲随机地把球传给乙、丙中的一人，接球
后视为完成第一次传接球；接球者进行第二次传球，随机地传给另外两人中的一人，接球后视为完成第二
次传接球；依次类推，假设传接球无失误．
(1)设第一次接球人为 ，第二次接球人为 ，通过 次传接球后，列举出 的所有可能的结果；
(2)完成第三次传接球后，计算球正好在乙处的概率．
【答案】(1)答案见解析
(2)
【详解】（1）通过 次传接球后， 的结果：
（乙，甲），（乙，丙），（丙，甲），（丙，乙）；
（2）三次传接球，接球的结果：
（乙，甲，乙），（乙，甲，丙），（乙，丙，甲），（乙，丙，乙），
（丙，甲，乙），（丙，甲，丙），（丙，乙，甲），（丙，乙，丙），
共8种，它们是等可能的，
其中球正好在乙处的结果有：（乙，甲，乙），（乙，丙，乙），（丙，甲，乙），共3种，
所以第3次传接球后，球正好在乙处的概率为
